Càlcul d'Estructures Hiperestàtiques i Teoremes de Mohr

I 0 flashcards i 2 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS ESTRUCTURES I Grau en Arquitectura Universitat Rovira i Virgili AprenAI 2026-2027 Apunts d'Estructures I sobre càlcul de deformacions, línia elàstica, teoremes de Mohr i resolució d'estructures hiperestàtiques pel mètode de les forces.

APREN.AI Índex 1 Càlcul de deformacions i teoremes de Mohr Equació diferencial de la línia elàstica Primer teorema de Mohr Segon teorema de Mohr Integració directa i condicions de contorn 2 Resolució d'estructures hiperestàtiques pel mètode de les forces Fonaments del mètode de les forces Descomposició en subsistemes i equació de compatibilitat Superposició d'esforços i deformades finals 3 Formulari Línia elàstica i relacions diferencials Teoremes de Mohr Mètode de les forces Deformacions canòniques en mènsula de longitud L Errors típics Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Càlcul d'Estructures Hiperestàtiques i Teoremes de Mohr 1 1 Càlcul de deformacions i teoremes de Mohr EN ACABAR SABRÀS Deduir l'equació diferencial de la línia elàstica a partir de la curvatura i la rigidesa a flexió. Calcular angles de gir relatiu mitjançant el primer teorema de Mohr. Determinar desplaçaments i desviacions tangencials emprant el segon teorema de Mohr. Aplicar condicions de contorn adequades per obtenir deformacions en bigues isostàtiques. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Per què la deformació d'una biga depèn tant de la seva secció geomètrica com del seu material?

L'anàlisi de les deformacions en peces prismàtiques sotmeses a flexió constitueix la base per verificar l'estat límit de servei i resoldre estructures estàticament indeterminades. ESQUEMA Mètodes de càlcul de deformacions en bigues Equació diferencial de la línia elàstica Quan una biga recta es deforma per efecte d'un moment flector, la seva fibra neutra adopta una corba anomenada línia elàstica. Considerem un segment diferencial de longitud sotmès a flexió pura.

Línia elàstica Integració directa d²v/dx² = M/EI Condicions de contorn Restriccions en suports (v = 0, θ = 0) Teoremes de Mohr Mètodes d'àrea de moments flectors 1r Teorema (Girs) Àrea sota el diagrama M/EI 2n Teorema (Desplaçaments) Moment estàtic respecte al punt dx Càlcul d'Estructures Hiperestàtiques i Teoremes de Mohr 2 Esquema geomètric de la deformació diferencial d'un element sotmès a flexió. A partir de la hipòtesi de Navier-Bernoulli, les seccions planes inicialment perpendiculars a l'eix de la peça romanen planes i ortogonals a la línia neutra deformada. La deformació longitudinal unitària a una distància de la línia neutra és , on representa el radi de curvatura.

Combinant la llei de Hooke unidimensional ( ) i integrant les tensions a l'àrea de la secció transversal, s'obté la relació clàssica de flexió: Per a petites deformacions, la curvatura s'aproxima geomètricament com la derivada segona del desplaçament transversal o fletxa respecte a la coordenada longitudinal . D'aquesta manera s'estableix l'equació diferencial de la línia elàstica: Com que l'angle de gir de la secció coincideix amb el pendent de la elàstica, tenim que . Integrant aquesta expressió s'obté directament el desplaçament vertical . COMPROVA-HO 2 Quina magnitud física s'obté en integrar l'equació de la línia elàstica una sola vegada respecte a x?

Primer teorema de Mohr El primer teorema de Mohr, conegut com el teorema de les pendents o dels angles, estableix que l'angle de gir relatiu entre dues seccions i de l'eix de la peça equival a la integral del diagrama de moments dividit per la rigidesa a flexió entre aquests dos punts: y ε = y/r r σ = E ε M = E I r 1 v(x) x = dx2 d v 2 E I M(x) θ(x) θ(x) = dx dv v(x) A B EI Càlcul d'Estructures Hiperestàtiques i Teoremes de Mohr 3 Geomètricament, aquest gir relatiu correspon a l'àrea compresa sota la corba delimitada entre les seccions i . Si la secció està perfectament encastada, el seu gir absolut és nul ( ), de manera que el gir absolut a equival directament a l'àrea esmentada.

Diagrama d'esforços i deformada per biga isostàtica amb càrregues puntuals. Segon teorema de Mohr El segon teorema de Mohr permet determinar la desviació tangencial d'un punt de l'elàstica respecte a la tangent traçada des d'un altre punt. Esquema de la desviació tangencial aplicada en el segon teorema de Mohr. La distància vertical mesurada en el punt entre la corba deformada i la tangent traçada des de la secció , denotada com , és igual al moment estàtic de l'àrea del diagrama compresa entre i , pres respecte a la vertical que passa pel punt d'interès : on és la distància des del centre de gravetat de l'àrea del diagrama fins a la secció on es mesura la separació tangencial.

θ = AB θ B θ = A M(x) dx E I 1 x A x B M/(EI) A B A θ = A 0 B B A t BA M/(EI) A B B t = BA M(x) E I 1 x A x B (x B x) dx = ( E I rea M A ˋ ) x cdg x cdg B Càlcul d'Estructures Hiperestàtiques i Teoremes de Mohr 4 ERROR FREQÜENT Confondre la desviació tangencial amb la fletxa absoluta del nus. La magnitud només representa el desplaçament respecte a la recta tangent que surt d'un altre punt . Únicament coincideix amb la fletxa absoluta quan la tangent de referència és completament horitzontal, com passa en l'encastament rígid d'una mènsula ( ). En bigues recolzades, cal fer una correcció geomètrica addicional.

Teorema de Mohr Formulació matemàtica Significat geomètric 1r Teorema (Girs) Àrea del diagrama entre els punts i 2n Teorema (Desplaçaments) Primer moment de l'àrea respecte a l'eix vertical per COMPROVA-HO 3 Respecte a quin punt s'ha de calcular el braç de palanca del moment estàtic al segon teorema de Mohr per trobar t_BA? Integració directa i condicions de contorn Quan s'aplica el mètode d'integració directa a l'equació diferencial, apareixen dues constants d'integració ( i ). Aquestes es resolen imposant les restriccions cinemàtiques que introdueixen els suports de l'estructura: Suport simple o articulació: impedeix el desplaçament transversal, per tant . El gir és lliure.

Encastament: restringeix completament el moviment de la secció, de manera que tant la fletxa com el gir són nuls ( i ). Extrem lliure: no imposa restriccions al gir ni a la fletxa; les forces internes (moment flector i esforç tallant) són les que s'anul·len. Aquestes relacions fonamentals permeten resoldre el comportament de mènsules i bigues sota diferents tipus de sol·licitació estàtica abans d'abordar estructures amb major grau de complexitat (vegeu «Resolució d'estructures hiperestàtiques pel mètode de les forces»). EXEMPLE En una mènsula de longitud encastada a l'origen amb càrrega puntual a l'extrem lliure, el gir a l'extrem val i la fletxa .

Si la sol·licitació consisteix en un moment pur aplicat a l'extrem lliure, el gir resulta i la fletxa val . t BA v B t BA A θ = A 0 θ = AB M dx EI 1 M /(EI) A B t = BA M (x EI 1 B x)dx M /(EI) B C 1 C 2 v = 0 θ v = 0 θ = 0 L P θ = 2EI P L2 δ = 3EI P L3 M θ = EI M L δ = 2EI M L2 Càlcul d'Estructures Hiperestàtiques i Teoremes de Mohr 5 IDEES CLAU L'equació diferencial fonamental de la línia elàstica relaciona la derivada segona de la fletxa amb el quocient . El primer teorema de Mohr obté el gir relatiu entre dues seccions com l'àrea del diagrama compresa entre elles.

El segon teorema de Mohr calcula la desviació tangencial mitjançant el moment estàtic de l'àrea del diagrama de moments respecte al punt on es mesura la distància. La desviació tangencial només és igual a la fletxa absoluta si la secció d'origen manté la tangent completament horitzontal, com en un encastament. Les condicions de contorn cinemàtiques dels suports permeten determinar les constants d'integració de la línia elàstica. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 4. En quina circumstància la desviació tangencial coincideix exactament amb la fletxa absoluta del nus ? 5. Quines condicions de contorn cinemàtiques defineixen una secció rígidament encastada? Test Encercla la resposta correcta.

Les solucions són al final. 6. Què representa el primer teorema de Mohr geomètricament entre dues seccions? 7. Respecte a quin punt s'avalua el braç en el segon teorema per trobar t_BA? 8. Quant val la fletxa a l'extrem lliure d'una mènsula de longitud L sotmesa a una càrrega P? 9. Quina condició cinemàtica es compleix sempre en un suport articulat d'una biga recta horitzontal?

2 M/(EI) M/(EI) t BA t BA B La reacció hiperestàtica del suport a) El desplaçament vertical absolut b) El gir relatiu entre ambdues c) La curvatura màxima del tram d) Respecte al centre del tram a) Respecte a la secció A b) Respecte a la secció B c) Respecte a l'origen de coordenades d) P·L² / (2·E·I) a) P·L / (E·I) b) P·L³ / (8·E·I) c) P·L³ / (3·E·I) d) El gir és zero a) La fletxa és zero b) La curvatura és nul·la c) El moment flector és màxim d) Càlcul d'Estructures Hiperestàtiques i Teoremes de Mohr 6 Resolució d'estructures hiperestàtiques pel mètode de les forces EN ACABAR SABRÀS Calcular el grau d'hiperestaticitat d'estructures aporticades i bigues contínues.

Plantejar l'equació de compatibilitat de moviments alliberant vincles redundants. Determinar els esforços finals mitjançant el principi de superposició lineal. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 10 Com podem calcular les reaccions d'una biga si les equacions d'equilibri de la física són insuficients? Fonaments del mètode de les forces Una estructura és hiperestàtica quan les equacions de l'estàtica resulten insuficients per determinar totes les reaccions o esforços interns. El grau d'hiperestaticitat quantifica el nombre de lligams sobrants respecte a una configuració estrictament isostàtica estable.

DEFINICIÓ El grau d'hiperestaticitat (GH) equival al nombre de reaccions externes o esforços interns redundants que cal alliberar perquè l'estructura esdevingui isostàtica i cinemàticament estable. Per a una biga contínua de dos vans amb recolzaments simples, el valor és GH = 1. El procediment bàsic del mètode de les forces consisteix a alliberar tants vincles com graus d'hiperestaticitat tingui la peça. Aquesta operació defineix l'anomenat sistema base isostàtic, on les coaccions eliminades es substitueixen per forces o moments desconeguts anomenats redundants hiperestàtiques. Diagrama d'alliberament de vincles per obtenir un sistema base isostàtic.

Càlcul d'Estructures Hiperestàtiques i Teoremes de Mohr 7 Esquema d'un pòrtic hiperestàtic amb càrrega puntual i distribuïda. COMPROVA-HO 11 Quina condició ha de complir el sistema base escollit després de retirar els vincles sobrants? Descomposició en subsistemes i equació de compatibilitat Per resoldre l'estructura hiperestàtica s'aplica el principi de linealitat descomponent el problema en dos escenaris sobre el mateix sistema base isostàtic: Esquema de descomposició de deformades entre càrrega contínua i reacció redundant.

Cas 1 (càrregues exteriors): s'analitza el sistema base suportant exclusivament les forces i moments externs originals, calculant el desplaçament o gir en el punt del vincle retirat. 1 δ Cas 2 (acció redundant unitària o força F): es carrega el sistema base únicament amb la força o moment redundant (o un valor unitari auxiliar), avaluant la deformació induïda en la mateixa coordenada.

2 F δ Càlcul d'Estructures Hiperestàtiques i Teoremes de Mohr 8 Com que el recolzament real és indeformable, el moviment net final ha de complir estrictament la condició de compatibilitat: ERROR FREQÜENT Un error habitual és ometre el sentit relatiu dels desplaçaments o girs en plantejar l'equació de compatibilitat. Si la càrrega exterior genera una fletxa cap avall ( ) i la redundant s'orienta cap amunt provocant un moviment de signe contrari, cal assignar els signes de manera coherent o igualar els mòduls en sentits oposats ( ). Un error de signe aquí altera totalment el valor de la redundant.

Per avaluar els desplaçaments en aquests subsistemes isostàtics es recorre als mètodes clàssics d'integració o geometria de deformacions (vegeu «Càlcul de deformacions i teoremes de Mohr»). PROCÉS Flux de resolució pel mètode de les forces COMPROVA-HO 12 Com s'obté el valor de la força redundant F un cop calculats els desplaçaments individuals?

Superposició d'esforços i deformades finals Un cop deduïda la magnitud exacta de la força redundant mitjançant l'equació de compatibilitat, es determinen totes les reaccions i diagrames d'esforços interns aplicant el principi de superposició: δ = total δ + δ = 0 δ + c rregues a ˋ F δ = redundant 0 δ > 0 F δ = δ Estructura hiperestàtica Determinació del grau d'hiperestaticitat GH de l'estructura. 1 Alliberament de vincles Retirada de redundants per definir el sistema base isostàtic. 2 Cas 1 i Cas 2 Càlcul de desplaçaments sota càrregues exteriors i redundant F. 3 Equació de compatibilitat Resolució de la redundant imposant desplaçament net nul al suport.

4 Superposició final Suma d'esforços i reaccions dels dos casos resolts.

5 F M = total M + ext F M unit V = total V + V Càlcul d'Estructures Hiperestàtiques i Teoremes de Mohr 9 Paràmetre Cas 1: Accions exteriors Cas 2: Redundant F Estructura real combinada Estat estructural Sistema base isostàtic Sistema base isostàtic Estructura hiperestàtica Càrregues actives Forces i moments exteriors Força o parell redundant Accions exteriors + reaccions reals Desplaçament al nus alliberat (recolzament rígid) Diagrama d'esforços , , Aquest procediment permet transformar l'anàlisi complexa d'estructures hiperestàtiques en combinacions de problemes isostàtics elementals, garantint tant l'equilibri estàtic com la coherència cinemàtica dels vincles reals.

IDEES CLAU El grau d'hiperestaticitat determina el nombre de vincles que cal eliminar per convertir l'estructura en un sistema base isostàtic. El mètode de les forces divideix el problema en el Cas 1 (càrregues exteriors) i el Cas 2 (acció redundant F). L'equació de compatibilitat imposa que el moviment combinat en el punt del suport rígid alliberat sigui nul: . Els diagrames finals d'esforços i les reaccions s'obtenen mitjançant la superposició lineal dels resultats dels dos subsistemes. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 13. Quina és la funció de l'equació de compatibilitat en el mètode de les forces? 14. Com s'expressa el moment flector total definitiu a partir de la superposició?

Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 15. Quin és el grau d'hiperestaticitat d'una biga contínua de dos vans amb recolzaments simples? F δ = 0 δ = δ δ = 0 M ext V F M unit V M = total M + ext F M unit δ = total 0 GH = 2 a) GH = 3 b) GH = 1 c) GH = 0 d) Càlcul d'Estructures Hiperestàtiques i Teoremes de Mohr 10 16. Quina condició expressa la compatibilitat en un suport rígid alliberat? 17. Com es defineix el sistema base isostàtic? 18. Quin és l'error més comú en plantejar l'equació de compatibilitat?

3 Formulari Línia elàstica i relacions diferencials Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : fletxa transversal; : moment flector; : mòdul d'elasticitat; : moment d'inèrcia Equació fonamental de curvatura de la línia elàstica en flexió : gir o pendent de la secció; : constant d'integració Càlcul de girs per integració directa : desplaçament vertical; : constants obtingudes dels suports Càlcul de la corba de fletxes en peces rectes Teoremes de Mohr Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : gir relatiu entre dues seccions; integral: àrea del diagrama de 1r Teorema: càlcul del canvi d'angle o gir absolut si : desviació tangencial a respecte a la tangent a ; : distància del cdg a 2n Teorema: càlcul de desplaçaments relatius respecte a la recta tangent El moment flector ha de ser zero.

a) El tallant ha de ser continu. b) La reacció vertical ha d'anul·lar-se. c) La suma de fletxes ha de ser nul·la. d) L'estructura restant en retirar les redundants. a) L'estructura sense cap càrrega exterior. b) L'estructura amb tots els suports encastats. c) El conjunt de barres sotmeses a tracció. d) Confondre la inèrcia amb l'àrea. a) Utilitzar càrregues puntuals en comptes de línies. b) No respectar els signes dels moviments. c) Oblidar el mòdul d'elasticitat E.

d) = dx2 d v 2 E I M (x) v M (x) E I θ(x) = = dx dv dx + E I M (x) C 1 θ C 1 v(x) = dx + E I M (x) 2 C x + 1 C 2 v(x) C , C 1 2 θ = BA θ B θ = A M (x)dx EI 1 x A x B θ BA M θ = A 0 t = BA M (x) EI 1 x A x B (x B x)dx = EI rea M A ˋ x cdg t BA B A x cdg B Càlcul d'Estructures Hiperestàtiques i Teoremes de Mohr 11 Mètode de les forces Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza Determinació de Alliberament de vincles redundants Càlcul de (Cas 1: càrregues) Càlcul de (Cas 2: redundant) Imposició de compatibilitat Superposició d'esforços : grau d'hiperestaticitat; : incògnita hiperestàtica; : desplaçaments o girs Procediment general de resolució d'estructures hiperestàtiques : desplaçament sota càrregues; : desplaçament per força unitària; : redundant Equació de compatibilitat cinemàtica en un suport rígid : esforços en Cas 1; : esforços sota redundant unitària Superposició final de lleis d'esforços interns Deformacions canòniques en mènsula de longitud L Fórmula Significat dels símbols Quan s'utilitza : càrrega puntual a l'extrem lliure; : longitud del voladís Mènsula encastada amb força puntual a l'extrem : parell flector aplicat a l'extrem lliure Mènsula encastada amb moment pur a l'extrem : càrrega repartida uniforme Mènsula encastada sota càrrega contínua Errors típics Braç de palanca al 2n teorema de Mohr: mesurar la distància respecte al punt origen en comptes del punt destí on s'avalua la desviació tangencial.

Confondre desviació tangencial amb fletxa: considerar que és directament el desplaçament absolut quan la tangent a no és horitzontal ( ). Signes en la compatibilitat: sumar desplaçaments oposats sense atendre al sentit vectorial de la redundant respecte a la càrrega exterior. GH δ δ = F δ unit δ + δ = 0 GH F δ δ = total δ + F δ = 1 0 F = δ 1 δ δ δ 1 F M = total M + 0 F M , V = 1 total V + 0 F V 1 M , V 0 0 M , V 1 1 δ = , θ = 3EI P L3 2EI P L2 P L δ = , θ = 2EI M L2 EI M L M δ = , θ = 8EI q L4 6EI q L3 q x cdg A B t BA A θ = A 0 F Càlcul d'Estructures Hiperestàtiques i Teoremes de Mohr 12 Solucions de les preguntes de repàs 1.

La resistència a deformar-se per flexió ve determinada pel producte E·I, on el mòdul d'elasticitat E mesura la rigidesa del material i el moment d'inèrcia I reflecteix la distribució geomètrica de la secció. 2. S'obté la funció de gir o pendent de la secció transversal, θ(x) = dv/dx. 3. S'ha de mesurar respecte al punt B, que és el punt on s'està avaluant la distància vertical fins a la tangent. 4. Coincideix únicament quan el pendent de la corba deformada a la secció de referència és completament nul ( ), per exemple en un encastament perfecte. 5. A l'encastament tant el desplaçament transversal com el gir són completament nuls: i . 6. c) El gir relatiu entre ambdues.

El primer teorema estableix que el gir relatiu entre dues seccions equival a l'àrea del diagrama M/EI. 7. c) Respecte a la secció B. El moment estàtic es calcula sempre respecte a la línia vertical de la secció on es mesura la separació tangencial (B). 8. d) P·L³ / (3·E·I). La integració del moment lineal produeix una fletxa a l'extrem donada canònicament per P·L³ / (3·E·I). 9. b) La fletxa és zero. El suport articulat impedeix el desplaçament transversal, per la qual cosa v = 0, però permet el gir lliurement. 10. Cal recórrer a les deformacions de l'estructura, imposant que el desplaçament en els recolzaments reals ha de ser nul. 11.

Ha de ser un sistema estrictament isostàtic i cinemàticament estable, assegurant que no es converteixi en un mecanisme. 12. Aïllant F directament de l'equació de compatibilitat de deformacions, igualant la suma algebraica dels moviments al desplaçament real del suport (normalment zero). 13. Proporciona l'equació cinemàtica addicional necessària per determinar la redundant hiperestàtica en igualar el moviment net a la deformació permesa pel vincle real. 14. S'expressa com la suma del moment del cas exterior més la redundant multiplicada pel moment de l'estat unitari: . 15. c) GH = 1. Té quatre reaccions i tres equacions d'equilibri al pla, per tant GH = 4 - 3 = 1. 16.

d) La suma de fletxes ha de ser nul·la.. El recolzament rígid impedeix el moviment, per la qual cosa el desplaçament net total ha de ser zero. 17. a) L'estructura restant en retirar les redundants.. S'obté eliminant els lligams sobrants fins a assolir una configuració isostàtica cinemàticament estable. 18. c) No respectar els signes dels moviments.. Si no es considera el sentit contrari dels desplaçaments, el càlcul de la força redundant resulta erroni. A θ = A 0 v = 0 θ = 0 M = total M + ext F M unit Càlcul d'Estructures Hiperestàtiques i Teoremes de Mohr 13