Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas

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APUNTES MATEMÁTICAS I Grado en Administración y Dirección de Empresas Universidad Rovira i Virgili AprenAI 2026-2027 Apuntes de Matemáticas I (ADE): primitivas inmediatas, cambio de variable, partes, integral definida, cálculo de áreas, curva de Lorenz e índice de Gini.

APREN.AI Índice 1 Integral indefinida y cálculo de primitivas inmediatas Concepto de primitiva y constante de integración Propiedades algebraicas de linealidad Tabla de integrales inmediatas fundamentales Aplicación práctica: resolución de primitivas inmediatas Métodos de integración 2 Cambio de variable y sustitución Fundamentos del cambio de variable o sustitución Procedimiento algorítmico en cuatro pasos Ejemplos de aplicación 3 Integración por partes Fundamento analítico y deducción Criterios de elección y procedimiento sistemático Casos prácticos resueltos Integrales cíclicas o recurrentes 4 La integral definida y teoremas fundamentales del cálculo Partición de un intervalo y sumas de Riemann Límite formal e integrabilidad de Riemann Propiedades de la integral definida Teorema del valor medio del cálculo integral La Regla de Barrow 5 Cálculo de áreas de recintos planos delimitados por curvas Definición analítica del área comprendida entre curvas Cálculo de un único recinto cerrado Múltiples recintos e intercambio de curvas dominantes Interpretación gráfica en recintos acotados típicos 6 Aplicaciones a la economía — Curva de Lorenz e índice de Gini Definición y propiedades de la curva de Lorenz La recta de equidad perfecta y la desviación distributiva Deducción e interpretación del índice de Gini 7 Formulario Integrales indefinidas e inmediatas Métodos de integración Integral definida y teoremas fundamentales Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 1 Cálculo de áreas y aplicaciones económicas Errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 2 1 Integral indefinida y cálculo de primitivas inmediatas AL ACABAR SABRÁS Definir el concepto de primitiva y justificar la presencia de la constante de integración. Interpretar la relación económica entre magnitudes marginales y totales mediante integración. Aplicar las propiedades de linealidad evitando errores en productos y cocientes. Calcular integrales inmediatas potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 Si conocemos con exactitud la velocidad a la que cambia el coste de producción por cada unidad adicional, ¿podemos saber el coste total exacto de la empresa? El cálculo diferencial permite calcular la razón de cambio de una función mediante la derivada. Por el contrario, el cálculo integral recorre el camino inverso: determina la función original a partir de su tasa de variación conocida. ESQUEMA Estructura del cálculo integral y aplicaciones Concepto de primitiva y constante de integración Si conocemos la derivada de una función desconocida, buscamos revertir dicha derivación para reconstruirla.

Esta operación inversa recibe el nombre de antiderivación o integración indefinida.

Cálculo integral Fundamentos y aplicaciones del cálculo Integral indefinida Primitivas inmediatas y métodos Técnicas de integración Sustitución y partes Integral definida Áreas, límites e integración de Riemann Aplicaciones económicas Costes, flujos y distribución de renta Medición de desigualdad Curva de Lorenz e índice de Gini Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 3 DEFINICIÓN Una función es una primitiva o antiderivada de otra función en un intervalo si se satisface la igualdad: Al conjunto de todas sus primitivas se le denomina integral indefinida y se escribe: donde es el integrando y representa la constante de integración arbitraria.

Consideremos, por ejemplo, la función . Sabemos que derivar produce . Sin embargo, expresiones como o comparten con exactitud la misma derivada, debido a que la derivada de cualquier número constante equivale a cero. No es posible recobrar de forma unívoca la función original conociendo únicamente su derivada; siempre queda indeterminada una constante aditiva . En el análisis económico, esta correspondencia matemática es fundamental para vincular variables de flujo con variables de stock. Por ejemplo, integrar el flujo temporal de inversión permite reconstruir el stock total de capital.

De igual modo, este procedimiento conecta los conceptos marginales con sus valores totales: integrar una función de coste marginal permite determinar la función de coste total salvo una constante, que representa los costes fijos. COMPRUEBA 2 ¿Por qué la solución de una integral indefinida siempre debe incorporar la constante aditiva k?

Propiedades algebraicas de linealidad La integración indefinida cumple propiedades lineales respecto a las operaciones de suma, resta y multiplicación por escalares: F (x) f(x) = dx dF (x) f(x) f(x) dx = F (x) + k f(x) k f(x) = 2x x2 2x x + 2 5 x 2 17 k Extracción de constantes: La integral del producto de un número constante por una función permite sacar dicho factor fuera del operador: 1 a f(x) dx = a f(x) dx (a = constante) Suma de funciones: La integral de una adición es la adición de las integrales de cada sumando: 2 [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx Diferencia de funciones: La integral de una resta es la resta de las integrales correspondientes: 3 [f(x) g(x)] dx = f(x) dx g(x) dx Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 4 ERROR FRECUENTE La integral indefinida no es distributiva respecto a la multiplicación ni respecto a la división.

Por ello, cometerás un grave error algebraico si aplicas identidades falsas como: Para integrar productos o cocientes que no admitan simplificación inmediata se requieren métodos específicos como la integración por partes o el cambio de variable (véanse «Métodos de integración — Cambio de variable y sustitución» y «Métodos de integración — Integración por partes»). COMPRUEBA 3 ¿Es correcto asegurar que la integral de x · e^x es igual a (x²/2) · e^x + k?

Tabla de integrales inmediatas fundamentales A partir de la inversión directa de las reglas de derivación elementales se obtiene la siguiente tabla de integrales inmediatas: Tipo de función Integrando Primitiva Restricciones Constante Potencial general Potencial unitaria inversa Exponencial natural Exponencial en base arbitraria Seno Ninguna Coseno Ninguna Tangente Secante al cuadrado Cosecante al cuadrado Trigonométrica inversa (arcoseno) Trigonométrica inversa (arcocoseno) Trigonométrica inversa (arcotangente) Ninguna f(x) g(x) dx = f(x) dx g(x) dx ( ) ( ) dx = g(x) f(x) g(x) dx f(x) dx f(x) f(x)dx a ax + k a R xn + n+1 xn+1 k n = 1 x 1 ln x + k x = 0 eax e + a 1 ax k a = 0 ax a + ln a 1 x k a > 0, a = 1 sin x cos x + k cos x sin x + k tan x ln cos x + k cos x = 0 cos x 2 1 tan x + k cos x = 0 sin x 2 1 cotx + k sin x = 0 1 x2 1 arcsin x + k x < 1 1 x2 1 arccos x + k x < 1 1+x2 1 arctan x + k Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 5 Aplicación práctica: resolución de primitivas inmediatas La combinación de las reglas de linealidad y la tabla básica permite resolver integrales elementales paso a paso mediante transformaciones algebraicas directas.

EJEMPLO Problema 1: Hallar . Aplicando la regla de la potencia con : Problema 2: Calcular . Extraemos la constante numérica y resolvemos la potencia: Nótese que la constante se absorbe en una única constante arbitraria . Problema 3: Determinar . Separamos en dos integrales independientes por linealidad: Se agrupan las constantes individuales en una sola constante . Problema 4: Resolver . Con exponente fraccionario , sumamos la unidad al exponente: Problema 5: Calcular . Extraemos el factor constante de la integral: COMPRUEBA 4 Al calcular la integral de una suma de tres sumandos, ¿es necesario escribir tres constantes distintas k , k y k en el resultado final?

x dx 3 n = 3 x dx = 3 + 3 + 1 x3+1 k = + 4 x4 k 15x dx 2 15x dx = 2 15 x dx = 2 15 + k = [ 3 x3 1] 5x + 3 k 15k 1 k (x + 2 x ) dx 5 (x + 2 x ) dx = 5 x dx + 2 x dx = 5 + 3 x3 k + 1 + 6 x6 k = 2 + 3 x3 + 6 x6 k k = k + 1 k 2 x dx 2/3 n = 2/3 x dx = 2/3 + + 1 3 2 x2/3+1 k = + 3 5 x5/3 k = x + 5 3 5/3 k 10e dx x 10e dx = x 10 e dx = x 10e + x k Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 6 IDEAS CLAVE La integración indefinida es la operación inversa a la derivación y recupera la función primitiva . La constante arbitraria refleja que todas las funciones desplazadas verticalmente comparten la misma derivada nula de su constante.

En economía, la integración conecta flujos con stocks (inversión y capital) y magnitudes marginales con totales (costes marginales y costes totales). El operador integral es lineal para la suma y el producto por un escalar, pero nunca se distribuye sobre productos o cocientes. La regla de potencias es válida para cualquier exponente excepto , caso cuya primitiva es . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 5. ¿Cuál es la primitiva general de la función y por qué no sigue la regla de las potencias ordinaria? 6. ¿Cómo se calcula la integral de aplicando las propiedades algebraicas? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 7. ¿Qué representa la función F(x) si dF(x)/dx = f(x)? 8.

¿Por qué aparece la constante k en la integral indefinida? 9. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las integrales indefinidas es correcta? 10. ¿Cuál es el resultado de calcular 1/(1 + x²) dx?

F (x) k x dx = n + n+1 xn+1 k n = 1 ln x + k f(x) = x 1 f(x) = 15x2 La tasa de variación instantánea a) Una primitiva o antiderivada de f(x) b) La derivada segunda de f(x) c) El cociente diferencial de f(x) d) Porque la derivada de una constante es 0 a) Para corregir errores en el integrando b) Porque la integral no está acotada c) Para transformar exponentes negativos en positivos d) La integral de un producto es el producto a) Las potencias fraccionarias no se pueden integrar b) Las constantes multiplicativas salen de la integral c) La integral de un cociente es el cociente d) ln(1 + x²) + k a) arctan(x) + k b) -1/(1 + x) + k c) arcsin(x) + k d) Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 7 2 Cambio de variable y sustitución AL ACABAR SABRÁS Identificar cuándo aplicar una sustitución directa g(x) = t o un cambio x = g(t).

Transformar correctamente el diferencial dx a la nueva variable. Resolver integrales con polinomios compuestos, funciones trascendentes y radicales mediante cambio de variable. Deshacer el cambio para expresar la primitiva final en la variable de partida. PIÉNSALO ANTES DE LEER 11 ¿Por qué no basta con sustituir la variable x dentro de una función f(x) sin modificar dx? Fundamentos del cambio de variable o sustitución Cuando una expresión no se puede resolver mediante integración inmediata (véase «Integral indefinida y cálculo de primitivas inmediatas»), el método de cambio de variable permite transformar el integrando en una forma elemental.

Este método constituye la operación inversa de la regla de la cadena del cálculo diferencial.

Existen dos formas teóricas de plantear esta transformación, las cuales se combinan en la práctica mediante la relación de invertibilidad : Modalidad Transformación de variables Estructura de la integral Sustitución directa Transformación de la variable independiente Para aplicar este método de manera rigurosa, la función auxiliar empleada debe cumplir condiciones matemáticas precisas: Métodos de integración 2 Cambio de variable y sustitución 3 Integración por partes x = g(t) t = g (x) 1 g(x) = t g (x)dx = dt f[g(x)]g (x)dx = f(t)dt x = g(t) dx = g (t)dt f(x)dx = f[g(t)]g (t)dt Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 8 Ser continuamente derivable, lo que asegura que la derivada interna exista, sea continua y permita calcular el nuevo diferencial.

Ser monótona, lo que garantiza la existencia de una función inversa para deshacer la sustitución y recuperar la variable original. COMPRUEBA 12 ¿Por qué se exige que la función de cambio sea monótona? Procedimiento algorítmico en cuatro pasos Para resolver cualquier integral mediante sustitución, se aplica de forma sistemática la siguiente secuencia de pasos: PROCESO Algoritmo de integración por cambio de variable 1 Elección de sustitución Definir t = t(x) o x = g(t) simplificadora. 2 Cálculo de diferenciales Diferenciar y transfor mar todo a t y dt. 3 Resolución de primitiva Integrar la nueva fun ción inmediata G(t) + k. 4 Retorno a variable original Deshacer cambio evaluando G(t(x)) + k.

ERROR FRECUENTE Olvidar transformar el diferencial al pasar a la variable . Nunca se debe reemplazar simplemente por ; es obligatorio derivar la relación elegida para despejar y transformar correctamente el diferencial. Asimismo, ningún término en puede quedar dentro del integrando tras aplicar el cambio. COMPRUEBA 13 ¿Qué ocurre si tras sustituir la variable aún queda alguna variable original x en el integrando? Elegir la sustitución: definir una relación funcional o que simplifique la estructura del integrando.

1 t = t(x) x = g(t) Calcular los diferenciales y transformar: diferenciar la igualdad elegida ( ) y sustituir todos los términos para que la integral dependa exclusivamente de la nueva variable. 2 dt = t (x)dx Integrar en la nueva variable: calcular la primitiva directa respecto a la variable auxiliar (véase «Integral indefinida y cálculo de primitivas inmediatas»). 3 g(t)dt = G(t) + k Deshacer la sustitución: sustituir de nuevo por su expresión en términos de para obtener la solución final . 4 t x G(t(x)) + k dx t dx dt x Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 9 Ejemplos de aplicación 1.

Integral polinómica compuesta Se desea resolver la integral algebraica: Se elige el cambio identificando la derivada interna: Sustituyendo en la integral: Deshaciendo el cambio se obtiene: 2. Integrales con funciones trascendentes En el caso de funciones exponenciales y trigonométricas: Se define , con lo cual su diferencial resulta . La integral se transforma directamente en: Para la combinación de logaritmo y tangente: Se selecciona . Derivando mediante la regla de la cadena: Sustituyendo e integrando: 3.

Integral con radicales Para eliminar raíces del integrando: Se toma el radical como nueva variable para simplificar la expresión: x(x + 2 3) dx 4 u = x + 2 3 du = 2xdx xdx = 2 du (x + 2 3) (xdx) = 4 u = 4 2 du u du = 2 1 4 + 2 1 5 u5 k = + 10 u5 k + 10 (x + 3) 2 5 k e sen(e )dx x x u = ex du = e dx x sen(u)du = cos(u) + k = cos(e ) + x k ln(cos x) tanxdx t = ln(cosx) dt = dx = cosx senx tanxdx tanxdx = dt t( dt) = tdt = + 2 t2 k = (ln(cos x)) + 2 1 2 k x dx x + 1 Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 10 Diferenciando ambos lados respecto a sus variables: Al sustituir en el integrando original se obtiene una expresión enteramente polinómica: Integrando término a término: Deshaciendo el cambio con : COMPRUEBA 14 Al integrar con raíces cuadradas mediante t = (x+1), ¿por qué es conveniente despejar x antes de diferenciar?

IDEAS CLAVE El cambio de variable es la técnica de integración que revierte formalmente la regla de la cadena. La función de sustitución debe ser continuamente derivable y monótona para admitir inversa. Todo el integrando, incluido obligatoriamente el diferencial , debe transformarse en la nueva variable. La resolución concluye siempre deshaciendo el cambio para devolver el resultado a la variable original. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 15. ¿Qué dos propiedades analíticas fundamentales debe cumplir la función g(t) elegida para el cambio? 16. ¿Cuál es la expresión transformada de la integral indefinida al realizar el cambio x = g(t)?

t = x + 1 t = 2 x + 1 x = t 2 1 dx = 2tdt (t 2 1) (2tdt) = t2 (t 2 1)t(2t)dt = (2t 4 2t )dt 2 5 2t5 + 3 2t3 k t = x + 1 5 2( ) x + 1 5 + 3 2( ) x + 1 3 k dx Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 11 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 3 Integración por partes AL ACABAR SABRÁS Deducir analíticamente la fórmula de integración por partes a partir de la derivada de un producto. Seleccionar estratégicamente los factores u y dv para simplificar la integral resultante. Resolver integrales con funciones trigonométricas e inversas aplicando el método de partes. Despejar algebraicamente integrales cíclicas o recurrentes.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 17 ¿Por qué no se puede calcular la integral de un producto simplemente multiplicando las integrales de cada factor? Cuando el integrando contiene un producto de expresiones que no puede resolverse mediante integrales inmediatas (véase «Integral indefinida y cálculo de primitivas inmediatas»), se emplea el método de integración por partes. Esta herramienta permite transformar una integral compleja en otra sustancialmente más sencilla. Fundamento analítico y deducción La técnica se fundamenta directamente en la regla de derivación de un producto.

Si se consideran dos funciones derivables y continuas, y , el diferencial de su producto viene dado por la expresión: Al aplicar la integral indefinida en ambos lados de la igualdad y usar la propiedad de linealidad de la integral indefinida (véase «Integral indefinida y cálculo de primitivas inmediatas»), obtenemos: Puesto que la integración es la operación inversa de la diferenciación, resulta que .

Al reordenar los términos algebraicamente, se obtiene la fórmula general de integración por partes: En términos de las funciones originales dependientes de la variable , esta misma relación se formula como: u = g(x) v = f(x) d(u v) = u dv + v du d(u v) = u dv + v du d(u v) = u v u dv = u v v du x g(x)f (x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 12 PARA RECORDARLO Para memorizar el orden de los factores en la fórmula, resulta común la mnemotecnia verbal: «Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme» ( ).

Criterios de elección y procedimiento sistemático El éxito de la técnica depende por completo de una descomposición adecuada del integrando inicial en dos factores complementarios: y . Elemento Operación que se le aplica Criterio estratégico de selección Diferenciación ( ) Elegir la parte cuya derivada sea más simple que la función de partida. Integración ( ) Elegir el factor que contenga a y cuya primitiva sea de cálculo directo e inmediato. La aplicación ordenada se ejecuta mediante los siguientes pasos: PROCESO Fases del método de integración por partes 1 Identificar u y dv Descomponer el inte grando para que dv sea integrable y du sea más simple.

2 Diferenciar e integrar Calcular la derivada du y la primitiva v a partir de dv. 3 Aplicar fórmula Construir u·v - v du vigilando cuidadosa mente los signos. 4 Resolver y sumar k Integrar la expresión restante o despejarla si resulta cíclica. ERROR FRECUENTE Olvidar el cambio de signo de la primitiva al sustituir en la fórmula. Por ejemplo, si , entonces . El término se convierte en . Ignorar ese doble signo negativo conduce a un resultado erróneo. u dv = u v v du f(x) dx u dv u u du dv dv v = dv dx Descomposición del integrando: Se identifican y de modo que su producto conforme exactamente la expresión total a integrar.

1 u dv Cálculo de componentes: Se diferencia para obtener y se calcula una primitiva de para hallar . 2 u du dv v Sustitución en la fórmula: Se evalúa y se resuelve la nueva integral restante. 3 u v v du Incorporación de la constante: Se añade la constante de integración final (véase «Integral indefinida y cálculo de primitivas inmediatas»). 4 k dv = sin(x) dx v = cos(x) v du ( cos(x)) du = + cos(x) du Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 13 COMPRUEBA 18 ¿Por qué no es conveniente elegir como dv una función cuya primitiva sea desconocida o más compleja que la original? Casos prácticos resueltos 1.

Producto de función polinómica y trigonométrica Se desea resolver la integral . Se efectúa la separación: Aplicando la fórmula general: Resolviendo la integral inmediata: 2.

Funciones trigonométricas inversas aisladas Para resolver integrales donde interviene una función trigonométrica inversa como , se toma la propia función como y el diferencial básico como : Sustituyendo en la fórmula de partes: Para calcular la integral restante, se multiplica y divide por 2 para generar la derivada del denominador en el numerador: Por consiguiente, la solución final es: Integrales cíclicas o recurrentes Una integral cíclica aparece cuando, tras aplicar la integración por partes en reiteradas ocasiones, reaparece en el segundo miembro la misma integral que se pretendía calcular inicialmente.

En este caso no se produce un bucle sin fin, sino que se formula una ecuación algebraica donde la incógnita es la propia integral. x sin(x) dx { u = x dv = sin(x) dx du = dx v = cos(x) x sin(x) dx = x cos(x) ( cos(x)) dx = x cos(x) + cos(x) dx x sin(x) dx = x cos(x) + sin(x) + k arctan(x) dx u dv { u = arctan(x) dv = dx du = 1+x2 dx v = x arctan(x) dx = x arctan(x) dx 1 + x2 x dx = 1 + x2 x dx = 2 1 1 + x2 2x ln(1 + 2 1 x ) 2 arctan(x) dx = x arctan(x) ln(1 + 2 1 x ) + 2 k Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 14 EJEMPLO Calcular la integral .

Primera integración por partes: Llamamos y volvemos a aplicar integración por partes sobre ella con el mismo criterio: Resolución de la ecuación algebraica: Sustituimos el desarrollo de en la igualdad inicial: Sumamos la integral en ambos miembros: Despejamos la integral dividiendo entre 2 e incorporamos la constante : COMPRUEBA 19 Al resolver una integral cíclica en la segunda etapa, ¿qué ocurriría si invertimos los roles asignando la función trigonométrica a u y la exponencial a dv?

e sin(x) dx x { u = ex dv = sin(x) dx du = e dx x v = cos(x) e sin(x) dx = x e cos(x) + x e cos(x) dx x I = 1 e cos(x) dx x { u = ex dv = cos(x) dx du = e dx x v = sin(x) I = 1 e sin(x) x e sin(x) dx x I 1 e sin(x) dx = x e cos(x) + x e sin(x) x e sin(x) dx x 2 e sin(x) dx = x e cos(x) + x e sin(x) x k e sin(x) dx = x + 2 e cos(x) + e sin(x) x x k Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 15 IDEAS CLAVE La fórmula de integración por partes procede directamente de la regla de derivación del producto: . La variable debe elegirse buscando que su derivada sea más sencilla que la expresión original.

El término diferencial debe contener al factor y corresponder a una función cuya primitiva sea inmediata. Las funciones inversas o logarítmicas aisladas pueden integrarse asignando a la función y . En las integrales cíclicas, la integral buscada reaparece en el segundo miembro y se calcula despejándola como incógnita de una ecuación algebraica. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 20. ¿De qué propiedad del cálculo diferencial proviene la expresión analítica de la integración por partes? 21. Al integrar por partes , ¿qué elecciones se toman para y ? 22. ¿Cómo se concluye el cálculo en una integral recurrente o cíclica como ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 23.

¿De qué regla del cálculo diferencial proviene el método de sustitución? 24. ¿Por qué se exige que la función de cambio sea monótona? 25. En la integral de x(x² + 3) dx con u = x² + 3, ¿cuál es el valor de x dx? 26. Al aplicar t = (x + 1), ¿a qué equivale el diferencial dx? 27. ¿Cuál es la fórmula correcta de integración por partes?

u dv = u v v du u du dv dx v u dv = dx arctan(x) dx u dv e sin(x) dx x Regla del cociente a) Derivación implícita b) Regla de la cadena c) Regla del producto d) Para garantizar existencia de inversa a) Para hacer lineal el integrando b) Para evitar integrales impropias c) Para anular las constantes d) du a) du / 2 b) 2 du c) du / (2x) d) dt a) t dt b) 2t dt c) dt / (2t) d) u dv = u·v + v du a) u dv = u·v - v du b) u dv = u'·v - u v' dx c) u dv = u·v - u du d) Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 16 28. ¿Qué factor conviene elegir como u al integrar? 29. Al aplicar partes a arctan(x) dx, ¿qué vale dv? 30. ¿Cómo se resuelve una integral cíclica tras reaparecer la original?

4 La integral definida y teoremas fundamentales del cálculo AL ACABAR SABRÁS Definir rigurosamente las sumas de Riemann inferiores y superiores sobre una partición. Demostrar el teorema del valor medio del cálculo integral a partir de Weierstrass y Bolzano. Calcular integrales definidas aplicando correctamente la Regla de Barrow. PIÉNSALO ANTES DE LEER 31 ¿Por qué al aumentar infinitamente el número de rectángulos la aproximación de un área deja de tener margen de error? El cálculo integral conecta dos problemas aparentemente desconectados: la determinación del área bajo una curva y la operación inversa de la derivada.

El que resulte más difícil de derivar a) El que tenga derivada más simple b) El término de mayor exponente siempre c) El que contenga siempre al diferencial dx d) x dx a) dx b) 1 / (1 + x²) dx c) arctan(x) dx d) Igualando la expresión resultante a cero a) Aplicando un cambio de variable adicional b) Derivando de nuevo ambos miembros c) Despejando la integral en una ecuación d) Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 17 ESQUEMA Estructura del cálculo integral y aplicaciones Partición de un intervalo y sumas de Riemann Para medir la superficie encerrada bajo una función continua en un intervalo , se divide el dominio en tramos más pequeños.

Una partición consiste en una colección ordenada de puntos que descomponen el intervalo en subintervalos cerrados contiguos, , solapados únicamente en sus extremos. DEFINICIÓN La amplitud o longitud de cada subintervalo se define mediante para cada índice . Si tomamos un valor representativo arbitrario en cada subintervalo, la suma de Riemann se expresa como: Geométricamente, cada sumando representa el área de una columna rectangular de base y altura .

La elección de estos puntos dentro del intervalo condiciona el valor obtenido para la aproximación: Tipo de suma Selección del punto de evaluación Efecto sobre el área real ( ) Suma inferior ( ) Punto donde para todo Subestima el área bajo la curva Suma superior ( ) Punto donde para todo Sobreestima el área bajo la curva En el caso ilustrativo de la recta sobre el intervalo dividido en cuatro partes homogéneas ( con ), las sumas quedan acotadas por defecto y por exceso.

Integral definida y fundamentos Sumas de Riemann y Barrow Cálculo de áreas planas Regiones delimitadas por curvas Aplicaciones a la economía Lorenz y coeficiente de Gini [a, b] a = x < 0 x < 1 x < 2 < x = n b n I = i [x , x ] i 1 i Δ = i x i x i 1 i = 1, 2, … , n ω i [x , x ] i 1 i S = f(ω )(x i=1 n i i x ) = i 1 f(ω )Δ i=1 n i i Δ i f(ω ) i f(x) 0 S min f( ) ωi f(x) x I i S max f( ) ωi f(x) x I i f(x) = 2x [0, 1] n = 4 Δ = i 0,25 Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 18 Gráfica comparativa de las sumas de Riemann inferior y superior. Para la suma inferior se toman los extremos izquierdos: . En cambio, para la suma superior se seleccionan los extremos derechos: .

COMPRUEBA 32 ¿Por qué la suma inferior S_min subestima necesariamente el área de una función creciente no negativa? Límite formal e integrabilidad de Riemann Cuando la malla se hace cada vez más densa, la discrepancia entre y desaparece y ambas sumas convergen hacia un único valor límite , que corresponde al área exacta delimitada por la curva. De forma rigurosa, una función es integrable según Riemann sobre si existe un número real tal que, para cualquier , es posible hallar una tolerancia de separación que satisface: Esta desigualdad se cumple para cualquier partición con norma menor que la tolerancia ( ) e indistintamente de los puntos elegidos.

A dicho número se le denomina integral definida de sobre el intervalo y se anota: S = min 0(0,25) + 0,5(0,25) + 1(0,25) + 1,5(0,25) = 0,75 S = max 0,5(0,25) + 1(0,25) + 1,5(0,25) + 2(0,25) = 1,25 S min S max S f [a, b] L ε > 0 δ > 0 f(ω )Δ L < i=1 n i i ε max Δ < i δ ω i [x , x ] i 1 i L f Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 19 Propiedades de la integral definida La integral de Riemann posee propiedades estructurales fundamentales para el cálculo: Aditividad de intervalos: si en el conjunto de los números reales, entonces . Límites idénticos: si los extremos de integración coinciden, la región no tiene anchura: .

Inversión de límites: invertir los extremos de integración cambia el signo del resultado: . COMPRUEBA 33 Si sabemos que la integral entre 1 y 5 vale 10 y entre 1 y 3 vale 4, ¿cuánto vale la integral entre 5 y 3? Teorema del valor medio del cálculo integral Este resultado establece que toda función continua alcanza en algún punto interior su altura promedio sobre el intervalo. DEFINICIÓN Si una función es continua en el intervalo cerrado , existe al menos un punto tal que: La interpretación geométrica muestra que el área real bajo la curva equivale exactamente a la superficie de un rectángulo de base y altura .

Demostración formal f(x) dx = a b L a < b < c f(x) dx = a c f(x) dx + a b f(x) dx b c f(x) dx = a a 0 f(x) dx = c a f(x) dx a c f [a, b] c (a, b) f(c) = f(x) dx b a 1 a b f(x) dx = a b f(c)(b a) (b a) f(c) Aplicación de Weierstrass: Al ser continua en , el teorema de Weierstrass asegura la existencia de un mínimo absoluto y de un máximo absoluto .

1 f [a, b] m = min f(x) x [a,b] M = max f(x) x [a,b] Acotación de la integral: Dado que para todo , integrando la desigualdad se obtiene: 2 m f(x) M x [a, b] m(b a) f(x) dx a b M(b a) Aislamiento del promedio: Dividiendo toda la expresión entre la longitud del intervalo : 3 (b a) > 0 m f(x) dx b a 1 a b M Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 20 La Regla de Barrow La resolución de sumas y límites resulta inviable en la práctica analítica. La Regla de Barrow, o segundo teorema fundamental del cálculo, conecta la integral definida con el concepto de primitiva (véase «Integral indefinida y cálculo de primitivas inmediatas»).

DEFINICIÓN Si es una función continua en el intervalo cerrado y es cualquier primitiva suya tal que , entonces: Donde representa el valor de la antiderivada evaluada en el extremo superior y en el extremo inferior . ERROR FRECUENTE El error más habitual al aplicar la regla de Barrow es omitir los paréntesis y cambiar de forma incorrecta los signos de los términos de al efectuar la resta. Cuando la primitiva contiene varios términos algebraicos, escribe siempre para asegurar que el signo negativo afecte a todos los sumandos del extremo inferior. IDEAS CLAVE Una partición descompone un intervalo en subintervalos de longitud .

Las sumas inferiores subestiman el área y las sumas superiores la sobreestiman para funciones no negativas. La integral definida de Riemann representa el límite único común de las sumas cuando la norma de la partición tiende a cero. El teorema del valor medio garantiza la existencia de un valor medio de altura mediante los teoremas de Weierstrass y Bolzano. La Regla de Barrow calcula la integral definida evaluando una primitiva en los extremos: . Conclusión mediante Bolzano: Puesto que el valor se encuentra comprendido entre el valor mínimo y el máximo , por el teorema de los valores intermedios (corolario del teorema de Bolzano) existe necesariamente un punto que satisface .

4 f(x) dx b a 1 a b m M c [a, b] f(c) = f(x) dx b a 1 a b f(x) [a, b] F (x) F (x) = f(x) f(x) dx = a b F (x) = [ ]a b F (b) F (a) F (b) x = b F (a) x = a F (a) F (b) (F (a)) Δ = i x i x i 1 f(c) F (b) F (a) Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 21 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 34. ¿Qué ocurre con el valor de una integral definida si se intercambian sus extremos de integración? 35. ¿En qué dos teoremas sobre funciones continuas se basa la demostración del teorema del valor medio del cálculo integral? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 36. ¿Qué representa geométricamente cada término de una suma de Riemann? 37.

¿Qué valor toma la integral definida cuando ambos límites de integración son iguales? 38. Según el teorema del valor medio, ¿qué representa el producto f(c)(b - a)? 39. ¿Cuál es la expresión correcta que enuncia la Regla de Barrow? 5 Cálculo de áreas de recintos planos delimitados por curvas AL ACABAR SABRÁS Calcular los límites de integración hallando los puntos de intersección entre curvas continuas. Determinar la posición relativa de dos curvas en un intervalo para formular correctamente el integrando. Descomponer y calcular el área total cuando existen múltiples regiones con cruce de funciones.

La longitud de un arco de curva a) La pendiente de una recta tangente b) El volumen de un cilindro recto c) El área de un rectángulo aproximador d) Cero a) Infinito b) El valor de la función c) Uno d) El perímetro del recinto integrado a) El área de un rectángulo equivalente b) El error residual de aproximación c) La derivada media del intervalo d) F(a) - F(b) a) F'(b) - F'(a) b) F(b) - F(a) c) F(b) + F(a) d) Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 22 PIÉNSALO ANTES DE LEER 40 ¿Por qué la integral de una función continua entre dos puntos puede dar cero aunque encierre una superficie visible con el eje horizontal?

Definición analítica del área comprendida entre curvas Para determinar la medida de una superficie delimitada por dos funciones continuas y sobre un intervalo , se evalúa la diferencia vertical entre la función superior y la inferior en cada punto. DEFINICIÓN Si y son continuas y cumplen que en el intervalo cerrado , el área encerrada entre ambas curvas viene dada por la integral definida: Para aplicar esta fórmula analítica se deben identificar los extremos de integración y . Cuando el enunciado no los proporciona de forma explícita, estos límites surgen de los puntos de corte entre ambas trayectorias resolviendo la ecuación , lo que equivale a calcular las raíces de .

PROCESO Procedimiento de cálculo de áreas entre curvas 1 Hallar in tersecciones Resolver f(x) = g(x) para hallar los límites del intervalo 2 Determinar posición Identificar qué curva es superior en cada subintervalo 3 Plantear integrales Escribir superior me nos inferior para cada recinto delimitado 4 Aplicar Barrow Integrar y sumar las áreas independientes calculadas ERROR FRECUENTE Integrar directamente sin comprobar qué función está por encima en cada tramo produce un resultado negativo o una resta incorrecta de superficies. Para evitarlo, comprueba siempre el signo de la diferencia evaluando un valor intermedio en el intervalo de integración antes de operar.

COMPRUEBA 41 ¿Por qué el integrando debe formularse siempre como curva superior menos curva inferior? f(x) g(x) [a, b] f(x) g(x) f(x) g(x) [a, b] A = [f(x) a b g(x)] dx a b f(x) = g(x) f(x) g(x) = 0 f(x) g(x) Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 23 Cálculo de un único recinto cerrado Cuando las curvas se cruzan únicamente en dos puntos continuos, delimitan una sola región compacta. En este caso basta con determinar la función dominante y evaluar la integral mediante la Regla de Barrow (véase «La integral definida y teoremas fundamentales del cálculo»). EJEMPLO Calcular el área delimitada por las curvas e .

Gráfica del recinto cerrado delimitado por las curvas parabólica y cúbica. COMPRUEBA 42 ¿Qué ocurriría con el signo de la integral si integrásemos (x³ - x²) en vez de (x² - x³) en el intervalo [0, 1]? Múltiples recintos e intercambio de curvas dominantes Cuando dos funciones se cortan en tres o más puntos dentro del dominio de estudio, las curvas alternan su posición relativa: la que era superior pasa a ser inferior tras cruzar el punto de corte. En virtud de la propiedad de aditividad respecto al intervalo (si , entonces y = x3 y = x2 Cálculo de intersecciones: se igualan ambas funciones para encontrar las fronteras: Se obtienen los puntos , correspondientes a y .

1 x = 3 x 2 x 3 x = 2 0 x (x 2 1) = 0 x = 0yx = 1 P (0, 0) 1 P (1, 1) 2 Posición relativa: en el intervalo , tomando por ejemplo , se observa que mientras que . Por lo tanto, en todo el interior. 2 (0, 1) x = 0,5 0,5 = 2 0,25 0,5 = 3 0,125 x > 2 x3 Integración: planteamos la diferencia entre la función superior y la inferior: 3 A = (x 0 1 2 x ) dx = 3 = [ 3 x3 4 x4 ] 0 1 ( 3 1 4 1 ) (0 0) = 12 1 a < b < c h(x) dx = a c Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 24 ), es obligatorio calcular cada recinto por separado y sumarlos. EJEMPLO Calcular el área comprendida entre y .

h(x) dx + a b h(x) dx b c f(x) = 4x g(x) = x + 3 3x2 Intersecciones: planteamos la igualdad entre curvas: Factorizando el trinomio se obtiene , lo que produce tres puntos de abscisa: , y , delimitando los puntos , y .

1 x + 3 3x = 2 4x x + 3 3x 2 4x = 0 x(x + 2 3x 4) = 0 x(x 1)(x + 4) = 0 x = 1 4 x = 2 0 x = 3 1 ( 4, 16) (0, 0) (1, 4) Primera región en : en este tramo la cúbica está por encima de la recta : Evaluando en los extremos: 2 A 1 [ 4, 0] g(x) f(x) A = 1 [(x + 4 0 3 3x ) 2 4x] dx = + x 2x [ 4 x4 3 2 ] 4 0 A = 1 0 + ( 4) 2( 4) = [ 4 ( 4)4 3 2 ] [64 64 32] = 32 Segunda región en : la recta pasa a situarse por encima de la función cúbica: 3 A 2 [0, 1] A = 2 [4x 0 1 (x + 3 3x )] dx = 2 2x x = [ 2 4 x4 3 ] 0 1 2 1 ( 4 1 ) 0 = 4 3 Área total: sumamos ambas regiones independientes: 4 A = A + 1 A = 2 32 + = 4 3 4 131 Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 25 Gráfica de dos regiones adyacentes delimitadas por recta y cúbica.

COMPRUEBA 43 ¿Por qué no se puede resolver el problema anterior con una única integral definida desde -4 hasta 1? Interpretación gráfica en recintos acotados típicos En el análisis de gráficas de examen se presentan con frecuencia regiones delimitadas entre curvas y rectas notables, o entre una curva polinómica y el eje horizontal de abscisas ( ). En todos estos casos el procedimiento analítico es análogo.

Configuración geométrica Ecuación de frontera inferior Integrando resultante Región bajo el eje Región entre dos funciones continuas Región sobre una recta secante y = 0 X y = f(x) 0 f(x) = f(x) y = g(x) f(x) g(x) y = mx + n f(x) (mx + n) Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 26 Gráfica de región sombreada bajo el eje horizontal para una función cúbica. Cuando la región sombreada se sitúa por debajo del eje horizontal, como ocurre con la cúbica factorizada entre sus raíces positivas y , la recta superior es la función constante nula . El cálculo riguroso del recinto sombreado exige restar la curva de cero: .

IDEAS CLAVE El área entre dos curvas se calcula integrando la diferencia entre la función superior y la inferior en el intervalo analizado. Los extremos de integración se deducen resolviendo el sistema de ecuaciones cuando no vienen dados. Si las trayectorias se cortan en más de dos puntos, el recinto total debe descomponerse sumando las integrales de cada subintervalo. Cuando un recinto se ubica por debajo del eje de abscisas, la curva superior de referencia es la recta constante . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 44. ¿Cuáles son los puntos de corte entre las curvas y = x³ e y = x² y qué área delimitan? 45. ¿En qué puntos se intersectan f(x) = 4x y g(x) = x³ + 3x²? 46.

¿Cuál es el valor del área conjunta que encierran f(x) = 4x y g(x) = x³ + 3x²? y = x(x 2 4) x = 0 x = 2 y = 0 [0 0 2 x(x 2 4)] dx f(x) = g(x) y = 0 Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 27 Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 47. ¿Cómo se calcula el área entre dos curvas continuas f(x) g(x) en un intervalo [a, b]? 48. Si dos curvas se cruzan en tres puntos a < b < c, ¿cómo debe calcularse el área total? 49. ¿Qué valor de área encierran conjuntamente las curvas y = x³ e y = x²? 50. Al hallar el área de una curva situada bajo el eje horizontal y = 0, ¿cuál es el integrando?

6 Aplicaciones a la economía — Curva de Lorenz e índice de Gini AL ACABAR SABRÁS Identificar las cuatro propiedades analíticas y la definición formal de la curva de Lorenz. Deducir la integral del índice de Gini a partir del cociente geométrico de áreas entre curvas. Interpretar la escala del índice de Gini en relación con el nivel de equidad en la distribución del ingreso. PIÉNSALO ANTES DE LEER 51 ¿Por qué el cálculo integral permite medir la desigualdad económica de un país a partir de una única gráfica? Definición y propiedades de la curva de Lorenz En el análisis económico, el cálculo integral permite cuantificar cómo se distribuyen los ingresos o los recursos dentro de una población.

Para modelar esta distribución se utiliza la curva de Lorenz, descrita formalmente mediante una función continua definida en el intervalo cerrado .

Restando las pendientes f'(x) - g'(x) a) Integrando f(x) más g(x) b) Derivando el producto f(x)·g(x) c) Integrando f(x) menos g(x) d) Multiplicando las integrales de ambos intervalos a) Integrando de a hasta c directamente b) Calculando solo el intervalo más amplio c) Sumando las áreas de [a,b] y [b,c] d) 1/12 unidades cuadradas a) 1/6 unidades cuadradas b) 1/3 unidades cuadradas c) 1/4 unidades cuadradas d) f(x) + 1 a) f(x) - 0 b) 0 - f(x) c) 1 / f(x) d) L(x) [0, 1] Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 28 En esta relación funcional, la variable independiente denota la fracción acumulada de la población, ordenada de menor a mayor nivel de renta.

Por su parte, la variable dependiente representa la proporción acumulada del ingreso global que percibe dicha porción de la sociedad. Ambas variables se expresan habitualmente en tanto por uno, de modo que multiplicar su valor por 100 equivale al porcentaje poblacional o de renta correspondiente. DEFINICIÓN La curva de Lorenz es una función creciente definida para , que especifica la proporción acumulada del ingreso global obtenida por la fracción de la población con ingresos más bajos.

Toda curva de Lorenz analíticamente válida satisface cuatro propiedades fundamentales asociadas a su naturaleza socioeconómica: Acotación de la imagen: , dado que cuantifica una fracción o porcentaje del ingreso nacional. Origen nulo: , lo que traduce formalmente que ningún volumen salarial se percibe en ausencia de perceptores. Cierre unitario: , puesto que el total de los perceptores (100 %) percibe el importe global de las rentas (100 %). Disparidad relativa: , debido a que el porcentaje acumulado de perceptores de ingresos menores nunca puede reunir una proporción del ingreso total superior a su propio porcentaje poblacional.

EJEMPLO Si en un estudio se observa que el 30 % de la población con menores ingresos acumula el 23 % de la renta nacional, este escenario se traslada a la función mediante la asignación puntual . COMPRUEBA 52 ¿Por qué la gráfica de la curva de Lorenz no puede situarse nunca por encima de la recta identidad y = x? La recta de equidad perfecta y la desviación distributiva La referencia distributiva teórica corresponde a la función identidad , denominada recta de completa equidad. En este escenario ideal, cualquier subgrupo acumula exactamente una proporción idéntica del ingreso global: el primer 20 % poblacional recibe el 20 % de la riqueza, el 50 % acumula el 50 %, y así de forma sucesiva.

A medida que la curva real observada se aproxima a la recta , la estructura retributiva de dicha sociedad resulta más homogénea. Por el contrario, conforme desciende alejándose de la diagonal, la desigualdad en la distribución del ingreso se acentúa de modo progresivo. x L(x) y = L(x) x [0, 1] L(x) x 0 L(x) 1 L(0) = 0 L(1) = 1 L(x) x L(0,3) = 0,23 y = x L(x) y = x L(x) Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 29 Esquema geométrico de las áreas R y R para calcular Gini. Geométricamente, la separación o dispersión entre la igualdad distributiva absoluta y la distribución real se mide integrando el recinto encerrado entre ambas funciones.

Definimos la región como el recinto acotado superiormente por la recta e inferiormente por la función de Lorenz en el intervalo (véase «Cálculo de áreas de recintos planos delimitados por curvas»): Asimismo, la región comprende la superficie total bajo la diagonal ideal de equidad completa en el mismo intervalo unitario: Deducción e interpretación del índice de Gini El índice de Gini ( ) sintetiza el nivel de desigualdad de una distribución económica mediante el cociente normalizado entre el área de desviación real y el área teórica de equidad total: Sustituyendo el valor analítico en el denominador, obtenemos la expresión operativa directa: El valor del índice de Gini oscila de manera continua dentro del rango (o expresado en porcentaje sobre 100): GI = 0: Equidad distributiva total.

La curva coincide con , de modo que . Todos los asalariados perciben rentas idénticas. GI = 1: Inequidad distributiva absoluta. Todo el ingreso queda acaparado en una porción infinitesimal de la cúspide poblacional (0 % de perceptores de la base), de forma que para todo y .

R 1 y = x y = L(x) [0, 1] rea(R ) = A ˊ 1 [x 0 1 L(x)]dx R 2 rea(R ) = A ˊ 2 xdx = 0 1 = [ 2 x2 ] 0 1 2 1 GI GI = = rea(R ) A ˊ 2 rea(R ) A ˊ 1 xdx 0 1 [x L(x)]dx 0 1 rea(R ) = A ˊ 2 1/2 GI = = 1/2 [x L(x)]dx 0 1 2 [x 0 1 L(x)]dx [0, 1] L(x) y = x rea(R ) = A ˊ 1 0 L(x) = 0 x < 1 rea(R ) = A ˊ 1 rea(R ) A ˊ 2 Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 30 En consecuencia, valores más reducidos del índice señalan distribuciones sensiblemente equitativas, mientras que magnitudes elevadas reflejan una acumulación de la renta en pocas manos.

PROCESO Deducción geométrica del índice de Gini 1 Curva y diagonal Definir L(x) y la recta y = x en [0,1] 2 Área de desviación Calcular R integrando x - L(x) de 0 a 1 3 Área de equidad Determinar R inte grando x de 0 a 1 (vale 1/2) 4 Cociente normalizado Dividir R entre R multiplicando la inte gral por 2 País Posición IDH Índice de Gini Japón 7 24,9 Suecia 5 25,0 Noruega 1 25,8 Etiopía 170 30,0 Suiza 9 33,7 Irlanda 4 34,3 Tanzania 162 34,6 España 19 34,7 Australia 3 35,2 Burkina Faso 174 39,5 Estados Unidos 8 40,8 Nicaragua 112 43,1 Argentina 36 52,8 Brasil 69 58,0 Bolivia 115 60,1 Sierra Leona 176 62,9 Namibia 125 74,3 Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 31 ERROR FRECUENTE Al calcular el índice de Gini mediante integración definida, un fallo recurrente consiste en omitir el factor multiplicativo 2 en la fórmula.

La integral definida evalúa únicamente el área del recinto intermedio . Para obtener el índice , es indispensable dividir dicha integral entre el área del triángulo de equidad ( ), lo cual equivale algebraicamente a multiplicar la integral por 2. COMPRUEBA 53 Si el área encerrada entre la recta de equidad y la curva de Lorenz es igual a 0,18, ¿cuánto vale el índice de Gini? IDEAS CLAVE La curva de Lorenz cuantifica la fracción de renta acumulada frente a la proporción de población ordenada de menores a mayores ingresos. Toda curva de Lorenz satisface las condiciones de frontera , , y discurre bajo la diagonal cumpliendo .

La recta representa la distribución de completa equidad, delimitando un área triangular igual a en el intervalo . El índice de Gini se deduce como la razón geométrica , que conduce a la fórmula operativa . Un valor de representa igualdad distributiva total, mientras que un valor de refleja concentración o inequidad absoluta. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 54. ¿Qué representa analíticamente el área delimitada bajo la recta identidad en el intervalo [0, 1] dentro de la deducción del índice de Gini? 55. ¿Cómo se interpreta económicamente que un país registre un índice de Gini cercano a 0 frente a otro con índice superior a 50? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 56.

¿Qué condición analítica cumple obligatoriamente la curva de Lorenz L(x) para todo x en [0, 1]? [x 0 1 L(x)]dx R 1 GI 1/2 L(x) L(0) = 0 L(1) = 1 0\tleL(x)\tle1 L(x)\tlex y = x 1/2 [0, 1] rea(R )/ rea(R ) A ˊ 1 A ˊ 2 GI = 2\tint [x 0 1 L(x)]dx GI = 0 GI = 1 L(x) >= x para todo punto a) L(x) es cóncava y mayor que 1 b) L(x) <= x en todo el dominio c) L(0) = 1 y L(1) = 0 d) Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 32 57. ¿A qué se debe el coeficiente 2 en la expresión GI = 2 ¹ [x - L(x)] dx? 58. ¿Qué situación describe un índice de Gini exactamente igual a 0? 59. Si una economía presenta L(0,40) = 0,25, ¿cuál es la lectura correcta de este valor?

7 Formulario Integrales indefinidas e inmediatas Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa : integrando; : primitiva con ; : constante arbitraria Definición general de la integral indefinida y cálculo de antiderivadas. : variable; : exponente constante ( ) Integración de potencias algebraicas enteras y fraccionarias. : variable independiente ( ); : logaritmo natural Integración de la potencia con exponente . : base neperiana; : constante no nula ( ) Integración de exponenciales de base natural con argumento lineal. : base constante positiva ( ) Integración de funciones exponenciales con base constante general.

: variable real; : arco tangente Primitiva inmediata de tipo trigonométrica inversa.

A duplicar el intervalo de integración a) A dividir entre el área del triángulo 1/2 b) A que L(x) es una parábola simétrica c) A un factor de corrección muestral arbitrario d) Monopolio de toda la renta nacional a) Población sin ningún tipo de retribución b) Concentración absoluta de la riqueza c) Equidad distributiva total del ingreso d) El 75 % de personas carece de sueldo a) El 40 % más rico gana el 25 % b) El 40 % más pobre percibe el 25 % c) El 25 % más pobre percibe el 40 % d) f(x)dx = F (x) + k f(x) F (x) F (x) = f(x) k x dx = n + n+1 xn+1 k x n n = 1 dx = x 1 ln x + k x x = 0 ln n = 1 e dx = ax e + a 1 ax k e a a = 0 a dx = x a + ln a 1 x k a a > 0, a = 1 dx = 1+x2 1 arctan x + k x arctan Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 33 Métodos de integración Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa Elegir Diferenciar Transformar a Integrar Deshacer sustitución : función continuamente derivable y monótona; : diferencial auxiliar Integrales donde aparece una función compuesta multiplicada por su derivada interna.

: funciones continuas y derivables; ; Integración de productos algebraicos con exponenciales o trigonométricas, y funciones inversas aisladas. Aplicar partes dos veces con la misma asignación Igualar la expresión a la integral inicial Agrupar términos sumando la integral al primer miembro Despejar la integral dividiendo entre su coeficiente Sumar Ecuación con la integral buscada en ambos miembros como incógnita Resolución de integrales cíclicas o recurrentes del tipo . Integral definida y teoremas fundamentales Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa : límites del intervalo; ; Definición formal y rigurosa de la integral de Riemann mediante sumas finitas.

: punto interior garantizado por Bolzano; : valor medio Teorema del valor medio del cálculo integral para funciones continuas en . : primitiva continua de en Regla de Barrow para la evaluación directa y exacta de integrales definidas. Cálculo de áreas y aplicaciones económicas Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa : curva superior ( ); : curva inferior; : puntos de corte Cálculo del área geométrica encerrada entre dos funciones continuas. : índice de Gini ( ); : curva de Lorenz; : proporción de población Cuantificación del grado de desigualdad en la distribución del ingreso nacional.

t = t(x) dt = t (x)dx g(t)dt G(t) + k G(t(x)) + k t(x) dt u dv = u v v du u, v du = u dx v = dv k e sin x dx x f(x)dx = a b lim f(ω )Δ max Δ 0 i i=1 n i i a, b Δ = i x i x i 1 ω i [x , x ] i 1 i f(c) = f(x)dx b a 1 a b c (a, b) f(c) [a, b] f(x)dx = a b [F (x)] = a b F (b) F (a) F (x) f(x) [a, b] A = [f(x) a b g(x)] dx f(x) f(x) g(x) g(x) a, b GI = 2 [x 0 1 L(x)] dx GI 0 GI 1 L(x) x Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 34 Errores típicos Distribuir integrales sobre productos o divisiones: . Se debe emplear integración por partes o cambio de variable. Omitir la diferenciación en cambios de variable: sustituir directamente por sin calcular la derivada .

Errores de signo en la Regla de Barrow: no proteger entre paréntesis el valor al restar, omitiendo el cambio de signo de los sumandos negativos. Inversión de posición de curvas en áreas: no verificar qué curva es superior en cada subintervalo, lo que genera cancelaciones algebraicas o áreas negativas. Olvido del factor 2 en el índice de Gini: calcular únicamente el área de desviación sin normalizarla dividiendo por el área de equidad ( ). f(x)g(x) dx = f(x) dx g(x) dx dx dt dt = t (x) dx F (a) [x 0 1 L(x)] dx 1/2 Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 35 Soluciones de las preguntas de repaso 1.

No con exactitud completa: al integrar el coste marginal podemos reconstruir los costes que varían con la producción, pero desconocemos los costes fijos iniciales, que corresponden a la constante de integración. 2. Porque la derivada de una constante cualquiera es siempre cero. Existen infinitas funciones con la misma derivada que solo difieren entre sí en un valor constante. 3. No, es completamente incorrecto. La integral de un producto no equivale al producto de las integrales de sus factores. 4. No es necesario. La suma o combinación lineal de constantes arbitrarias genera una nueva constante que se condensa en un único término aditivo k. 5. Su primitiva es .

No sigue la regla habitual de potencias porque al aplicar la fórmula para resultaría una división por cero en el denominador . 6. Se extrae la constante fuera del signo de integración ( ), se integra la potencia obteniendo y se simplifica el coeficiente multiplicando por 15, resultando . 7. b) Una primitiva o antiderivada de f(x). Por definición, cualquier función cuya derivada coincida con el integrando f(x) recibe el nombre de primitiva o antiderivada. 8. a) Porque la derivada de una constante es 0. Cualquier función g(x) = F(x) + k comparte idéntica derivada con F(x), ya que la derivada de una constante es siempre cero. 9. c) Las constantes multiplicativas salen de la integral.

La linealidad permite extraer factores constantes fuera del operador integral, pero no permite distribuir productos ni cocientes. 10. b) arctan(x) + k. La derivada de la función arcotangente es exactamente 1/(1 + x²), por lo que su integral indefinida es arctan(x) + k. 11. Porque dx representa el incremento infinitesimal de la variable original; si la variable cambia a t, el diferencial debe reflejar la tasa de cambio entre ambas según su derivada. 12. Porque la monotonía estricta garantiza que la función sea inyectiva y posea función inversa, requisito indispensable para poder deshacer el cambio al final del cálculo. 13.

El proceso de sustitución está incompleto o la elección no es adecuada; toda la expresión, incluido el diferencial, debe depender únicamente de la nueva variable antes de integrar. 14. Porque al despejar x = t² - 1, el diferencial dx = 2t dt se calcula de forma directa sin generar fracciones ni derivadas racionales complejas. 15. Debe ser continuamente derivable (para que exista y sea continua la derivada de la sustitución) y monótona (para asegurar la existencia de función inversa al deshacer el cambio). 16. La integral queda expresada como tras sustituir la variable y el diferencial. 17.

Porque la regla de derivación para productos genera una suma de términos cruzados (u'v + uv'), por lo que la integración requiere un tratamiento que compense esa estructura. 18. Porque para aplicar la fórmula necesitamos calcular v a partir de dv; si v no es inmediata o se vuelve más compleja, la nueva integral resultante será aún más difícil de resolver que la inicial. 19. Se desharía la primera integración por partes, llegando a una identidad trivial de la forma 0 = 0 sin poder despejar la integral buscada. 20. Proviene de integrar a ambos lados la derivada del producto de dos funciones continuas: .

ln x + k n = 1 n + 1 15 x dx 2 3 x 3 5x + 3 k \tintf[g(t)]g (t)dt d(u v) = u dv + v du Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 36 21. Se toma (con ) y (con ). 22. Se agrupan las integrales idénticas sumándolas en el primer miembro (obteniendo ) y luego se despeja dividiendo por 2 y sumando la constante . 23. c) Regla de la cadena. El cambio de variable constituye la inversión directa de la regla de la cadena aplicada a funciones compuestas. 24. a) Para garantizar existencia de inversa. La monotonía garantiza que la correspondencia sea biyectiva, asegurando que se pueda deshacer la sustitución al final. 25. b) du / 2.

Dado que du = 2x dx, al despejar el factor x dx se obtiene du / 2. 26. c) 2t dt. Elevando al cuadrado se tiene x = t² - 1, por lo que diferenciando respecto a t resulta dx = 2t dt. 27. b) u dv = u·v - v du. La deducción a partir de la derivada del producto establece que u dv = u·v - v du. 28. b) El que tenga derivada más simple. El criterio estratégico principal es asignar u al término cuya derivada simplifique la nueva integral. 29. b) dx. Al no haber otro factor algebraico, se asigna u = arctan(x) y el diferencial completo dv = dx. 30. d) Despejando la integral en una ecuación. La integral buscada se traslada al miembro izquierdo y se despeja algebraicamente dividiendo entre su coeficiente.

31. Porque las sumas inferiores y superiores convergen hacia un único límite común a medida que el ancho de cada subintervalo tiende a cero. 32. Porque al evaluar en el valor mínimo del subintervalo (su extremo izquierdo), la altura del rectángulo queda totalmente contenida bajo la gráfica de la función en todo el tramo. 33. Por aditividad, la integral de 3 a 5 es 10 - 4 = 6. Al invertir los extremos de integración, la integral de 5 a 3 resulta -6. 34. El signo de la integral se invierte, cumpliéndose que . 35.

Se apoya en el teorema de Weierstrass para determinar los extremos absolutos mínimo y máximo, y en el teorema de Bolzano (propiedad de los valores intermedios) para asegurar que se alcanza el valor medio. 36. d) El área de un rectángulo aproximador. Cada término multiplica la base del subintervalo por la altura evaluada, dando el área de una columna rectangular. 37. a) Cero. Al no existir anchura en el intervalo de integración, el área encerrada es nula. 38. b) El área de un rectángulo equivalente. Equivale a la superficie de un rectángulo de base igual a la anchura del intervalo y altura f(c), igual a la integral. 39. c) F(b) - F(a).

La integral definida se obtiene restando el valor de la primitiva en el límite inferior al del límite superior. 40. Porque las partes de la curva situadas por encima del eje suman valor positivo y las que están por debajo suman valor negativo, cancelándose algebraicamente si no se dividen en integrales independientes. 41. Porque la altura de cada elemento infinitesimal de área debe ser estrictamente no negativa para que la integral definida represente una medida geométrica de área real. 42. Daría un valor de -1/12 unidades cuadradas, lo cual es geométricamente inconsistente al ser un área una magnitud siempre positiva.

u = arctan(x) du = 1+x2 dx dv = dx v = x 2 e sin(x)dx x k f(x)dx = c a f(x)dx a c Matemáticas I: Cálculo Integral y Aplicaciones Económicas 37 43. Porque las áreas de signos opuestos se compensarían algebraicamente, dando un resultado menor que el área geométrica total real. 44. Se cortan en los puntos (0, 0) y (1, 1), encerrando un área de exactamente unidades cuadradas. 45. Se intersectan en las abscisas , y , dando lugar a dos regiones adyacentes. 46. El área total es la suma de 32 y , lo que resulta en unidades cuadradas. 47. d) Integrando f(x) menos g(x). El área corresponde a la integral definida de la curva superior f(x) menos la curva inferior g(x). 48.

d) Sumando las áreas de [a,b] y [b,c]. Al alternarse las posiciones relativas, se deben calcular y sumar las integrales independientes de cada región. 49. a) 1/12 unidades cuadradas. La integral definida de (x² - x³) entre 0 y 1 da exactamente 1/12. 50. c) 0 - f(x). Como la recta horizontal y = 0 es la cota superior, se integra 0 - f(x) para obtener un área positiva. 51. Porque cuantifica la superficie exacta de separación entre la…