Problemas de Números Complejos

Ejercicio 1. Formas de un número complejo

Complete la tabla convirtiendo cada número complejo a las formas vectorial $(a, b)$, polar $r_\theta$ y binómica $a + bi$:

Apartado

Forma vectorial

Forma polar

Forma binómica

Ejemplo

(1, 5)

$\sqrt{26}_{1{,}373}$

$1 + 5i$

a)

$2 - 3i$

b)

$6_{\pi/6}$

c)

(0, 8)

d)

$6_{-\pi/2}$

e)

(-3, 0)

f)

(-3, -1)

g)

$-4 + 3i$

Ejercicio 2. Operaciones con números complejos

Efectúe las siguientes operaciones y exprese el resultado en las tres representaciones (vectorial, polar y binómica):

a)

$(1, 0) - (0, 5)$

b)

$(1, 0) \cdot (0, 5)$

c)

$(2, 3) \cdot (0, -3)$

d)

$(2, 3) \cdot (2, 3)$

e)

$$\frac{(-1, 4)}{(3, -3)}$$

f)

$$\frac{(0, 1)}{(-1, 5)}$$

g)

$(1, 6)^2$

h)

$(5, -3)^4$

Ejercicio 3. Raíces y potencias complejas

Calcule las siguientes operaciones y exprese el resultado en forma binómica:

a.

$\sqrt[3]{(0, 8)}$

b.

$\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$

c.

$\sqrt[4]{-i}$

d.

$\sqrt[4]{-1}$

e.

$(3, -2)^{\frac{2}{3}}$

f.

$\sqrt[6]{1}$

g.

$\sqrt[3]{-1}$

h.

$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)^{\frac{2}{3}}$

Ejercicio 4. Demostración con fórmula de Euler

Demuestre, haciendo uso de la fórmula de Euler, la propiedad del cociente de exponenciales complejas:

$$\frac{e^z}{e^w} = e^{z-w}$$

Ejercicio 5. Módulo y argumento de expresiones

Determine el módulo y el argumento de cada uno de los números resultantes de calcular las siguientes expresiones:

a.

$e^{2+2i}$

b.

$e^{3-2i}$

c.

$e^{3+2i} \cdot e^{-1-4i}$

d.

$\ln(4 - i)$

e.

$\ln(-3 + i)$

f.

$\ln(-5i)$

Ejercicio 6. Ecuaciones polinómicas y exponenciales

Halle las soluciones en $\mathbb{C}$ de las siguientes ecuaciones:

a.

$\bar{z} = 2 - 4i$

b.

$e^z = 4 - 2i$

c.

$z^2 + z + 1 = 0$

d.

$z^3 - 2z + 4 = 0$

e.

$z^2 - 2z + 4 = 0$

f.

$z^4 + 2z^2 - 3 = 0$

g.

$\frac{1}{z} + \frac{2}{z} = 2 + 3i$

Ejercicio 7. Factorización de polinomios en C[x]

Factorice completamente en factores irreducibles de primer grado en $\mathbb{C}[x]$ los siguientes polinomios:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Ejercicio 8. Potenciación de números complejos

Efectúe las siguientes potencias complejas expresando el resultado en forma binómica:

a)

b)

c)

d)

Ejercicio 9. Ecuaciones en el plano complejo

Resuelva las siguientes ecuaciones en el conjunto de los números complejos:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Ejercicio 10. Sistemas de ecuaciones lineales complejas

Resuelva para $z, w \in \mathbb{C}$ los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

$$\begin{cases} z + 3wi = 1 \\ z - w = 2 - 3i \end{cases}$$

b)

$$\begin{cases} z - 2 + 3w = 3i \\ (2 - i)z - w = 2 \end{cases}$$

c)

$$\begin{cases} z + wi = 3 \\ 2z - w = 1 - 2i \end{cases}$$

d)

$$\begin{cases} 4w - z = -1 + 4i \\ 5z + w = z - 1 \end{cases}$$

e)

$$\begin{cases} zi + wi = i \\ z - w = 1 \end{cases}$$

f)

$$\begin{cases} w + z = 2 \\ 4(z - w) = -2 - i \end{cases}$$