Recull de tasques i qüestionaris pràctics d'Anàlisi de Dades

1. Qüestionari 1. Taules de freqüència

A partir d'una mostra de països, s'analitzen tres variables: la proporció de superfície agrícola respecte al total del territori ( Terreny agrícola, en %), el nombre de tractors per cada 100 km² de terra conreada ( Maquinària agrícola) i el percentatge de treballadors del sector agrari ( Ocupació en l'agricultura, N = 11). Es disposa de les taules de freqüències obtingudes per a cadascuna d'elles:

Respon a les següents qüestions:

a.

Indica la freqüència absoluta dels intervals [80, 90), [30, 40) i [20, 30) per a la variable Terreny agrícola.

b.

Determina el percentatge de països amb una proporció de superfície de conreu compresa en els intervals [30, 40), [60, 70) i [40, 50).

c.

Especifica la freqüència relativa acumulada associada als intervals [10, 20), [40, 50), [30, 40), [50, 60) i [80, 90).

d.

Quin percentatge de països compta amb una superfície agrícola superior al 50%?

e.

Quin percentatge dels països té menys del 60% de superfície destinada a l'agricultura?

f.

És cert que més del 55% dels països considerats tenen una dotació inferior a 100 tractors per cada 100 km² conreats? Justifica la resposta.

g.

Quin percentatge exacte de països té menys de 100 tractors per cada 100 km²?

h.

Per a la variable Ocupació en l'agricultura, indica la freqüència relativa acumulada de cadascun dels intervals considerats.

i.

Quants països tenen menys del 35% de la seva població ocupada en el sector agrícola?

j.

Quin percentatge de països presenta una ocupació en el sector agrari compresa entre el 10% i el 20%?

Anàlisi d'admissions universitàries

Es disposa del percentatge d'admissió d'alumnes a 26 facultats d'economia i empresa:

19,4; 38,6; 32,6; 47,0; 7,6; 21,3; 33,9; 35,9; 33,7; 42,1; 16,0; 23,0; 50,5; 17,2; 24,5; 31,0; 27,8; 28,6; 15,1; 18,3; 35,1; 29,1; 30,2; 44,6; 52,0; 37,4.

S'ha elaborat un histograma i la corresponent taula de freqüències utilitzant 6 intervals entre el límit inferior de 7,5 i el límit superior de 52,5:

Respon a les preguntes següents sobre aquesta distribució:

a)

b)

c)

d)

e)

%

f)

Anàlisi d'admissions universitàries

Es disposa del percentatge d'admissió d'alumnes a 26 facultats d'economia i empresa:

19,4; 38,6; 32,6; 47,0; 7,6; 21,3; 33,9; 35,9; 33,7; 42,1; 16,0; 23,0; 50,5; 17,2; 24,5; 31,0; 27,8; 28,6; 15,1; 18,3; 35,1; 29,1; 30,2; 44,6; 52,0; 37,4.

S'ha elaborat un histograma i la corresponent taula de freqüències utilitzant 6 intervals entre el límit inferior de 7,5 i el límit superior de 52,5:

Respon a les preguntes següents consultant la taula de resums numèrics:

g)

h)

i)

Mínim:

Màxim:

Anàlisi d'admissions universitàries

Es disposa del percentatge d'admissió d'alumnes a 26 facultats d'economia i empresa:

19,4; 38,6; 32,6; 47,0; 7,6; 21,3; 33,9; 35,9; 33,7; 42,1; 16,0; 23,0; 50,5; 17,2; 24,5; 31,0; 27,8; 28,6; 15,1; 18,3; 35,1; 29,1; 30,2; 44,6; 52,0; 37,4.

S'ha elaborat un histograma i la corresponent taula de freqüències utilitzant 6 intervals entre el límit inferior de 7,5 i el límit superior de 52,5:

A partir de les dades d'admissions universitàries anteriors i del resum numèric facilitat:

a)

Analitza la forma de la distribució del percentatge d'admissions i tria quina opció la descriu millor:

b)

Indica els valors del primer i del tercer quartil d'aquesta distribució:

$Q_1$:

$Q_3$:

Anàlisi d'admissions universitàries

Es disposa del percentatge d'admissió d'alumnes a 26 facultats d'economia i empresa:

19,4; 38,6; 32,6; 47,0; 7,6; 21,3; 33,9; 35,9; 33,7; 42,1; 16,0; 23,0; 50,5; 17,2; 24,5; 31,0; 27,8; 28,6; 15,1; 18,3; 35,1; 29,1; 30,2; 44,6; 52,0; 37,4.

S'ha elaborat un histograma i la corresponent taula de freqüències utilitzant 6 intervals entre el límit inferior de 7,5 i el límit superior de 52,5:

Tenint en compte els estadístics d'admissions a facultats calculats prèviament ($Q_1 = 21,73$, $Q_3 = 37,03$, mínim = $7,6$ i màxim = $52$), determina si la següent afirmació és vertadera o falsa:

«El diagrama de caixa de la variable d'admissions mostra la presència d'alguna dada atípica.»

Vertadera

Falsa

5 Pregunta 13. Valors extrems del temps de desplaçament

S'estudia ara una nova variable, anomenada MINUTS, que mesura el temps diari que empren 26 treballadors per desplaçar-se al seu lloc de treball:

S'estudia la variable anomenada MINUTS, que mesura el temps diari que empren 26 treballadors per desplaçar-se al seu lloc de treball:

30,4 · 42,1 · 22,5 · 35,6 · 31 · 33,7 · 23

21,3 · 52 · 17,2 · 35,1 · 28,6 · 23,4 · 18,3

16 · 30,2 · 32,2 · 27,8 · 19,4 · 24,5 · 29,1

33,9 · 15,1 · 7,6 · 32,6 · 34,2

Quins són els valors mínim i màxim d'aquesta variable?

6 Pregunta 14. Estadístics descriptius del temps de desplaçament

Per a la variable MINUTS mostrada a l'activitat anterior, calcula o completa els principals paràmetres estadístics de centralització, dispersió i posició.

S'estudia la variable anomenada MINUTS, que mesura el temps diari que empren 26 treballadors per desplaçar-se al seu lloc de treball:

30,4 · 42,1 · 22,5 · 35,6 · 31 · 33,7 · 23

21,3 · 52 · 17,2 · 35,1 · 28,6 · 23,4 · 18,3

16 · 30,2 · 32,2 · 27,8 · 19,4 · 24,5 · 29,1

33,9 · 15,1 · 7,6 · 32,6 · 34,2

Anàlisi d'admissions universitàries

Es disposa del percentatge d'admissió d'alumnes a 26 facultats d'economia i empresa:

19,4; 38,6; 32,6; 47,0; 7,6; 21,3; 33,9; 35,9; 33,7; 42,1; 16,0; 23,0; 50,5; 17,2; 24,5; 31,0; 27,8; 28,6; 15,1; 18,3; 35,1; 29,1; 30,2; 44,6; 52,0; 37,4.

S'ha elaborat un histograma i la corresponent taula de freqüències utilitzant 6 intervals entre el límit inferior de 7,5 i el límit superior de 52,5:

7. Pregunta 15. Diagrames de caixa comparatius

A la següent figura s'il·lustren quatre diagrames de caixa identificats amb les lletres A, B, C i D:

Associa cadascun dels diagrames amb la variable que representa: la variable admissions, la variable minuts, o cap d'elles.

Diagrama

Variable associada

Diagrama

8. Qüestionari 3. Dades agrupades i transformacions lineals

Es presenten dues situacions pràctiques d'anàlisi de dades:

Part 1. Despesa telefònica de 140 famílies:

Despesa mensual (€)

Llars ($n_i$)

$N_i$

15-20

5

5

20-30

35

40

30- 40

60

100

40-60

30

130

60-100

10

140

a.

Troba la mitjana i la desviació estàndard de la despesa telefònica mensual.

b.

Identifica en quin interval es troba la mediana i en quin interval es situa el primer quartil.

c.

Quin interval conté el tercer quartil?

d.

Com es caracteritza la forma de la distribució (simetria)?

Part 2. Transformacions de variables:

Un grup de 16 estudiants realitza una prova qualificada sobre una escala de 0 a 80 punts, amb els resultats següents: 36; 40,8; 44,8; 77,6; 59,2; 68; 48,8; 48; 40; 28; 55,2; 46,4; 57,6; 56,8; 52,8; 45,6.

Per transformar les notes a una escala estàndard de 0 a 10, es divideix cada puntuació per 8 ($Y = X/8$).

a.

Quins són els valors de la mitjana, la desviació estàndard i la mediana de les notes en escala de 0 a 10?

b.

Si la mitjana d'una variable $X$ és 7 i definim $Y = 8/X$, quant val la mitjana de $Y$? Tria entre:

9. Tasca 4. Distribució normal i puntuacions tipificades

Resol els problemes següents basats en les propietats de la distribució normal:

a.

Perímetres cranials (Moore 1.62): Els perímetres cranials d'un contingent militar segueixen una distribució normal amb mitjana $\mu = 57{,}9\text{ cm}$ i desviació típica $\sigma = 2{,}8\text{ cm}$. Fent servir la regla 68-95-99,7:

%

%

b.

Proves d'accés SAT vs ACT (Moore 1.56): La Meritxell obté 680 punts a la prova SAT de matemàtiques, on les notes es distribueixen com una $N(500, 100)$. La Clara obté 27 punts a la prova ACT, la qual segueix una $N(18, 6)$. Quina de les dues estudiants ha aconseguit una puntuació relativa més alta?

Meritxell

Clara

c.

Força d'adherència d'una locomotora (Moore 1.58): L'adherència d'un model de locomotora segueix una distribució $N(0{,}37; 0{,}04)$.

(c) Si gràcies a millores tècniques la distribució passa a ser $N(0{,}41; 0{,}02)$, quines són ara aquestes dues proporcions?

Rendibilitat a l'estranger vs EUA: A partir de les rendibilitats anuals durant 26 anys (1971-1997):

Any · Rendibilitat a l'estranger (%) · Rendibilitat als EUA (%) · Any · Rendibilitat a l'estranger (%) · Rendibilitat als EUA (%)

1971 · 29,6 · 14,6 · 1985 · 56,2 · 31,6

1972 · 36,3 · 18,9 · 1986 · 69,4 · 18,6

1973 · -14,9 · -14,8 · 1987 · 24,6 · 5,1

1974 · -23,2 · -26,4 · 1988 · 28,5 · 16,8

1975 · 35,4 · 37,2 · 1989 · 10,6 · 31,5

1976 · 2,5 · 23,6 · 1990 · -23 · -3,1

1977 · 18,1 · -7,4 · 1991 · 12,8 · 30,4

1978 · 32,6 · 6,4 · 1992 · 12,1 · 7,6

1979 · 4,8 · 18,2 · 1993 · 32,9 · 10,1

1980 · 22,6 · 32,3 · 1994 · 6,2 · 1,3

1981 · -2,3 · -5 · 1995 · 11,2 · 37,6

1982 · -1,9 · 21,5 · 1996 · 6,4 · 23

1983 · 23,7 · 22,4 · 1997 · 2,1 · 33,4

1984 · 7,4 · 6,1

10. Regressió. Models de regressió lineal simple

a. Mercat de valors (Moore 2.3.4): Amb dades del període 1960-1997, es tenen les següents dades sobre la variació al gener ($X$) i la variació anual total ($Y$): $\bar{x} = 1{,}75\%$, $s_x = 5{,}36\%$, $\bar{y} = 9{,}07\%$, $s_y = 15{,}35\%$ i coeficient de correlació $r = 0{,}596$.

(a)

(b)

L'equació de la recta de regressió mínim-quadràtica (en la forma $\hat{Y} = a + bX$):

(c)

%

(d)

%

Rendibilitat a l'estranger vs EUA: A partir de les rendibilitats anuals durant 26 anys (1971-1997):

Any · Rendibilitat a l'estranger (%) · Rendibilitat als EUA (%) · Any · Rendibilitat a l'estranger (%) · Rendibilitat als EUA (%)

1971 · 29,6 · 14,6 · 1985 · 56,2 · 31,6

1972 · 36,3 · 18,9 · 1986 · 69,4 · 18,6

1973 · -14,9 · -14,8 · 1987 · 24,6 · 5,1

1974 · -23,2 · -26,4 · 1988 · 28,5 · 16,8

1975 · 35,4 · 37,2 · 1989 · 10,6 · 31,5

1976 · 2,5 · 23,6 · 1990 · -23 · -3,1

1977 · 18,1 · -7,4 · 1991 · 12,8 · 30,4

1978 · 32,6 · 6,4 · 1992 · 12,1 · 7,6

1979 · 4,8 · 18,2 · 1993 · 32,9 · 10,1

1980 · 22,6 · 32,3 · 1994 · 6,2 · 1,3

1981 · -2,3 · -5 · 1995 · 11,2 · 37,6

1982 · -1,9 · 21,5 · 1996 · 6,4 · 23

1983 · 23,7 · 22,4 · 1997 · 2,1 · 33,4

1984 · 7,4 · 6,1

10.b. Rendibilitat a l'estranger vs EUA (Apartats a - e)

(a)

Descriu la relació que s'observa al núvol de punts:

(b)

%

(c)

(d)

(e)

L'any 1997, la rendibilitat als EUA va ser del 33,4% i a l'estranger del 2,1%.

%

Rendibilitat a l'estranger vs EUA: A partir de les rendibilitats anuals durant 26 anys (1971-1997):

Any · Rendibilitat a l'estranger (%) · Rendibilitat als EUA (%) · Any · Rendibilitat a l'estranger (%) · Rendibilitat als EUA (%)

1971 · 29,6 · 14,6 · 1985 · 56,2 · 31,6

1972 · 36,3 · 18,9 · 1986 · 69,4 · 18,6

1973 · -14,9 · -14,8 · 1987 · 24,6 · 5,1

1974 · -23,2 · -26,4 · 1988 · 28,5 · 16,8

1975 · 35,4 · 37,2 · 1989 · 10,6 · 31,5

1976 · 2,5 · 23,6 · 1990 · -23 · -3,1

1977 · 18,1 · -7,4 · 1991 · 12,8 · 30,4

1978 · 32,6 · 6,4 · 1992 · 12,1 · 7,6

1979 · 4,8 · 18,2 · 1993 · 32,9 · 10,1

1980 · 22,6 · 32,3 · 1994 · 6,2 · 1,3

1981 · -2,3 · -5 · 1995 · 11,2 · 37,6

1982 · -1,9 · 21,5 · 1996 · 6,4 · 23

1983 · 23,7 · 22,4 · 1997 · 2,1 · 33,4

1984 · 7,4 · 6,1

10.b. Rendibilitat a l'estranger vs EUA (Apartats f - g)

(f)

Identifica la dada amb el residu més gran i avalua com canvia la recta si s'omet aquesta observació:

Es tracta d'una observació influent?

Sí

No

(g)

Què succeeix si s'elimina la dada de 1974?

Alçada de la Sara (Moore 2.44): Es controla l'edat en mesos ($X$) i l'alçada en cm ($Y$) d'una nena:

Dades de la Sara

alçada

edat

86 · 36

90 · 48

91 · 51

93 · 54

94 · 57

95 · 60

(a)

Troba la recta de regressió mínim-quadràtica.

(b)

Quin és el ritme de creixement mensual?

(c)

Si el creixement habitual entre els 4 i 5 anys és d'uns 6 cm a l'any, creix la Sara a un ritme inferior a la mitjana? Raona la resposta.

Alçada de la Sara (Moore 2.44): Es controla l'edat en mesos ($X$) i l'alçada en cm ($Y$) d'una nena:

Dades de la Sara

alçada

edat

86 · 36

90 · 48

91 · 51

93 · 54

94 · 57

95 · 60

(d)

És recomanable emprar aquesta recta per predir la seva alçada als 30 anys? Raoneu la resposta.

Rendibilitat a l'estranger vs EUA: A partir de les rendibilitats anuals durant 26 anys (1971-1997):

Any · Rendibilitat a l'estranger (%) · Rendibilitat als EUA (%) · Any · Rendibilitat a l'estranger (%) · Rendibilitat als EUA (%)

1971 · 29,6 · 14,6 · 1985 · 56,2 · 31,6

1972 · 36,3 · 18,9 · 1986 · 69,4 · 18,6

1973 · -14,9 · -14,8 · 1987 · 24,6 · 5,1

1974 · -23,2 · -26,4 · 1988 · 28,5 · 16,8

1975 · 35,4 · 37,2 · 1989 · 10,6 · 31,5

1976 · 2,5 · 23,6 · 1990 · -23 · -3,1

1977 · 18,1 · -7,4 · 1991 · 12,8 · 30,4

1978 · 32,6 · 6,4 · 1992 · 12,1 · 7,6

1979 · 4,8 · 18,2 · 1993 · 32,9 · 10,1

1980 · 22,6 · 32,3 · 1994 · 6,2 · 1,3

1981 · -2,3 · -5 · 1995 · 11,2 · 37,6

1982 · -1,9 · 21,5 · 1996 · 6,4 · 23

1983 · 23,7 · 22,4 · 1997 · 2,1 · 33,4

1984 · 7,4 · 6,1

d. Pes i producció de llavors (Moore 2.96): Es relaciona el nombre mitjà de llavors ($Y$) produïdes per diferents arbres amb el seu pes mitjà en mg ($X$):

(a)

Ajusta un model lineal directe i comprova el seu $R^2$.

(b)

Ajusta un model logarítmic.

(c)

Prediu el nombre de llavors per a un arbre amb llavors de $100\text{ mg}$.

11. Tasca 7. Taules de contingència i plans professionals

En una enquesta sobre sortides professionals enviada als 722 estudiants d'últim curs d'un grau d'Administració d'Empreses, es van obtenir les respostes següents segons sexe i especialitat escollida (Moore 2.74):

Dones

Homes

Comptabilitat

68

56

Administració

91

40

Economia

5

6

Finances

61

59

Mitjançant un full de càlcul s'han obtingut les taules de freqüències conjuntes, marginals i condicionals:

Respon a les qüestions següents:

a.

Quin percentatge d'homes hi ha entre els estudiants que van respondre el qüestionari?

%

b.

Quin percentatge d'estudiants s'especialitzen en Administració respecte del total dels enquestats?

%

c.

Quin percentatge representen les dones especialitzades en Finances sobre el total d'enquestats?

%

d.

Quin és el percentatge d'estudiants de Finances d'entre les dones?

%

e.

Quin és el percentatge de dones d'entre els estudiants que han escollit Finances?

%

f.

És cert que proporcionalment hi ha més dones que homes a Economia?

g.

Als homes els atrauen proporcionalment més els estudis de Finances que els d'Administració?

h.

És cert que el percentatge de dones que trien Economia duplica el dels homes?

i.

Hi ha més del doble d'homes especialitzats en Administració que de dones en aquesta mateixa especialitat?

j.

Quin percentatge d'alumnes no va contestar el qüestionari i quin impacte pot tenir aquesta manca de resposta?

%

12. Tasca 8. Descomposició de sèries temporals

Es disposa de les dades de vendes trimestrals d'una botiga d'electrònica durant un període de quatre anys (des de 2002:1 fins a 2005:4):

a.

Comenta els components principals que s'aprecien gràficament a la sèrie.

b.

Calcula la tendència lineal de la sèrie ($t = 1, 2, \dots, 16$) especificant l'ordenada a l'origen i el pendent.

c.

Quines són les quatre components teòriques clàssiques d'una sèrie temporal?

d.

Com es defineix la component irregular o aleatòria?

e.

Calcula la mitjana mòbil centrada d'ordre 4 corresponent al primer trimestre de 2003:

f.

Assumint un model additiu, determina el component estacional del tercer trimestre:

g.

Realitza la previsió de la component de tendència per al primer trimestre de 2006 ($t = 17$).

h.

Calcula la previsió completa ajustada per estacionalitat per al segon trimestre de 2006 ($t = 18$):

13. Tasca 9. Mesura de la desigualtat i índex de Gini

Una empresa de lloguer d'embarcacions compta amb una plantilla de 60 treballadors. La meitat (30 empleats) cobra 12 €/hora, una quarta part (15 empleats) cobra 18 €/hora i la quarta part restant (15 empleats) cobra 45 €/hora.

a)

Calcula l'índex de Lorenz-Gini ($I_1$) d'aquesta distribució salarial inicial:

$x$

$n$

$x \cdot n$

$N$

$A$

$p$

$q$

$p - q$

12 €

30

360 €

30

360 €

0,5

0,28

0,22

18 €

15

270 €

45

630 €

0,75

0,48

0,27

45 €

15

675 €

60

1.305 €

1

1

0

suma

0,49

b)

Calcula el nou índex de Gini si es redueix el salari del grup més baix de 12 € a 10 € l'hora:

$x$

$n$

$x \cdot n$

$N$

$A$

$p$

$q$

$p - q$

10 €

30

300 €

30

300 €

0,5

0,24

0,26

18 €

15

270 €

45

570 €

0,75

0,46

0,29

45 €

15

675 €

60

1.245 €

1

1

0

suma

0,55

c)

Partint novament de la distribució original (12 €, 18 € i 45 €), calcula l'índex si el salari del grup superior s'incrementa de 45 € a 85 € l'hora:

d)

Com qualificaries el grau de desigualtat d'aquesta darrera distribució (cap, poca, bastant o gairebé nul·la)?

e)

Si a partir d'aquesta darrera situació s'aplica una reducció salarial lineal del 10% a tots els treballadors, la desigualtat mesurada per l'índex de Gini augmentarà, disminuirà o es mantindrà constant?

f)

Si la direcció decideix establir un sou idèntic de 20 €/hora per a tots els treballadors, quant valdrà l'índex de Gini?

Tasca 10. Nombres índexs de preus i quantitats

Es disposa dels preus unitaris i quantitats venudes d'una pastisseria en tres productes (gelats, torrons i pastissos) durant vuit trimestres consecutius (des de 2007.1 fins a 2008.4):

Any · Gelat · Torró · Pastís

Preu 1 unitat ($p^1$) · Quantitat ($Q^1$) · Preu 1 unitat ($p^2$) · Quantitat ($Q^2$) · Preu 1 unitat ($p^3$) · Quantitat ($Q^3$)

2007.1 · 1 · 100 · 0,5 · 125 · 0,25 · 70

2007.2 · 1,25 · 120 · 0,75 · 100 · 0,8 · 85

2007.3 · 1 · 129 · 0,65 · 100 · 1,25 · 100

2007.4 · 1,8 · 129 · 0,65 · 100 · 1,25 · 100

2008.1 · 0,6 · 100 · 0,5 · 125 · 0,25 · 70

2008.2 · 0,9 · 110 · 0,75 · 100 · 0,8 · 85

2008.3 · 1 · 129 · 0,65 · 100 · 1,25 · 100

2008.4 · 1,9 · 130 · 0,45 · 120 · 1,35 · 110

a)

Calcula l'índex de preus de Paasche per al quart trimestre de 2008 prenent com a període base el tercer trimestre de 2008 ($I_P^{2008.3/2008.4}$):

b)

Calcula l'índex de preus de Laspeyres per al mateix període 2008.4 amb base 2008.3 ($I_L^{2008.3/2008.4}$):

c)

Determina la taxa de creixement real de la venda de pastissos entre el 4t trimestre de 2007 i el 3r trimestre de 2007 (%):

%

d)

Calcula la taxa de creixement nominal de les vendes de pastissos entre el 3r i el 4t trimestre de 2008 (%):

%

e)

Troba el creixement real de les vendes de pastissos entre el 3r i el 4t trimestre de 2008 (%):

%

f)

Quant val l'índex de preus de Paasche del quart trimestre de 2008 referit a la base 2007.1?

g)

Segons l'índex de Paasche anterior, quant van variar conjuntament els preus de venda entre el 2n trimestre de 2007 i el 3r trimestre de 2007 (%):

%

h)

Quin és el valor de l'índex de preus de Laspeyres del quart trimestre de 2008 en base 2007.1?

i)

Segons l'índex de Laspeyres, quina és la taxa de variació conjunta dels preus entre el 2n i el 3r trimestre de 2007 (%):

%