Exercicis d'integrals i equacions diferencials i en diferències

Problema 8. Model d'estabilització macroeconòmica d'A. J. Preston (integral)

En el marc d'un model d'estabilització macroeconòmica òptima, A. J. Preston expressa la inversió $I$ com una funció del temps definida mitjançant la següent integral:$$I = \int_{0}^{T} \frac{A(1 - D e^{\beta t})}{1 + C D e^{\beta t}} \, dt$$on tots els paràmetres i constants són estrictament positius. Calculeu el valor d'aquesta integral $I$ emprant el canvi de variable $x = C D e^{\beta t}$.

Problema 11. Equació en diferències d'Akerlof i Stiglitz

Considereu la següent equació en diferències de segon ordre, procedent d'un model de G. Akerlof i J. Stiglitz:$$K_{t+2} + \left(\frac{\sigma\beta}{\alpha} - 2\right)K_{t+1} + (1 - \sigma\beta)K_t = d$$on els paràmetres $\alpha$, $\beta$ i $\sigma$ són positius.

a.

Deduïu la condició perquè les arrels del polinomi característic associat siguin complexes.

b.

Determineu les condicions necessàries i suficients per a l'estabilitat del sistema dinàmic.

Problema 8 (Avançat). Resolució d'equació diferencial homogènia

Una equació diferencial de la forma $x' = g(x/t)$, on el segon membre és una funció dependent exclusivament del quocient $x/t$, s'anomena equació diferencial homogènia de primer ordre.

a.

Demostreu que mitjançant el canvi de variable $z = \frac{x}{t}$, l'equació es redueix a una equació diferencial de variables separables en què la variable dependent és $z(t)$.

b.

Feu servir aquest resultat per a resoldre l'equació diferencial:$$3tx^2 x' = x^3 + t^3$$