Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització

I 0 flashcards i 13 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS MATEMÀTIQUES II Grau en Administració i Direcció d'Empreses Universitat Pompeu Fabra AprenAI 2026-2027 Apunts complets de Matemàtiques II (UPF ADE): plans i rectes a R³, càlcul bivariable, formes quadràtiques, multiplicadors de Lagrange i extrems globals.

APREN.AI Índex Geometria a R3 1 Equacions de plans a l'espai Determinació d'un pla a partir d'un punt i dos vectors directors Equació general o implícita del pla Pla determinat per tres punts no alineats Pla a partir d'un punt i el vector normal, i cerca de punts addicionals 2 Equacions de rectes a l'espai Determinació d'una recta a l'espai De l'equació vectorial a la forma contínua Equacions implícites com a intersecció de dos plans Càlcul de punts d'una recta 3 Posicions relatives de rectes i plans Condicions d'ortogonalitat a l'espai Posició relativa de dos plans a l'espai Posició relativa entre recta i pla Exercicis resolts de construcció geomètrica 4 Funcions de dues variables — Domini, recorregut i corbes de nivell Domini d'una funció bivariable i restriccions algebraiques Representació geomètrica del domini al pla XY Recorregut o rang d'una funció bivariable Representació tridimensional i corbes de nivell Càlcul diferencial bivariable 5 Derivades parcials i matriu hessiana Derivades parcials primeres Derivades parcials d'ordre dos La matriu hessiana 6 Interpretació de derivades, pla tangent i aproximació lineal Interpretació de les derivades parcials Lectura de derivades sobre mapes de corbes de nivell Pla tangent i vector normal Aproximació lineal i diferencial total 7 Derivació implícita i propietats del gradient Fonament de la derivació implícita en corbes de nivell Càlcul de la recta tangent a una corba de nivell Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 1 El vector gradient i les seves propietats geomètriques Representació conjunta de corbes de nivell, tangents i gradients 8 Funcions homogènies — Grau d'homogeneïtat i teorema d'Euler Definició i concepte de funció homogènia Propietats algebraiques de les funcions homogènies El teorema d'Euler Funció de producció de Cobb-Douglas i rendiments d'escala 9 Àlgebra quadràtica — Formes quadràtiques i classificació pel signe Definició i representació matricial Classificació pel signe Criteri dels menors principals per a matrius 2x2 Formes quadràtiques subjectes a una restricció lineal 10 Optimització clàssica — Punts estacionaris i classificació local Punts estacionaris i geometria del pla tangent Extrems locals i condició necessària de primer ordre Classificació mitjançant el test de la matriu hessiana Resolució de casos indeterminats i estudi per definició Aplicació econòmica: maximització del benefici en producció conjunta 11 Convexitat i concavitat — Propietats i òptims globals en dominis convexos Geometria dels conjunts convexos Funcions convexes i còncaves: definició analítica i geomètrica Aproximació de segon ordre i matriu hessiana Condicions de segon ordre per a la concavitat i convexitat Determinació de dominis convexos màxims Teorema fonamental d'òptims globals en dominis convexos Càlcul del recorregut mitjançant l'òptim global 12 Optimització restringida — Mètode de Lagrange i interpretació del multiplicador 1.

Plantejament i el mètode de substitució 2. Fonament geomètric: tangència de corbes de nivell 3. La funció lagrangiana i les condicions de primer ordre 4. Classificació local: el determinant del Hessià orlat 5.

Interpretació econòmica de λ: anàlisi de sensibilitat i preu d'ombra 13 Òptims en conjunts compactes — Topologia, transformacions monòtones i teorema de Weierstrass Nocions bàsiques de topologia al pla Transformacions estrictament creixents Teorema de Weierstrass i protocol d'optimització Exemples d'aplicació sobre regions compactes Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 2 14 Formulari Geometria a R³: plans, rectes i posicions relatives Càlcul diferencial bivariable Formes quadràtiques i convexitat Optimització lliure i condicionada Errors típics Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 3 1 Equacions de plans a l'espai EN ACABAR SABRÀS Determinar les equacions vectorial, paramètriques i general d'un pla a l'espai. Obtenir el vector normal a un pla mitjançant el producte vectorial de dos vectors directors. Calcular l'equació implícita d'un pla mitjançant el determinant de tres punts no alineats. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Com es pot definir completament la inclinació i orientació d'una superfície plana a l'espai mitjançant un sol vector?

A l'espai tridimensional , un pla queda determinat geomètricament quan es coneix un punt de pas i dues direccions independents contingudes en ell, o bé un punt i una direcció perpendicular a la seva superfície.

ESQUEMA Geometria a R3 Geometria a R3 1 Equacions de plans a l'espai 2 Equacions de rectes a l'espai 3 Posicions relatives de rectes i plans R3 Equacions de plans Formes vectorial, paramètrica i implícita Equacions de rectes Formes vectorial, contínua i implícita Posicions relatives Intersecció i paral·lelisme entre rectes i plans Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 4 Determinació d'un pla a partir d'un punt i dos vectors directors Un pla queda fixat de manera única si es coneix un punt i dos vectors directors linealment independents i . La independència lineal assegura que aquests dos vectors no són proporcionals ni tenen la mateixa direcció.

Esquema d'un pla amb punt, vectors directors i vector normal ortogonal. Qualsevol punt genèric pertany al pla si el vector format des del punt base, , es pot escriure com una combinació lineal dels dos vectors directors mitjançant dos paràmetres reals .

DEFINICIÓ L'equació vectorial del pla expressa les coordenades de qualsevol punt com la suma del punt conegut i els desplaçaments segons les direccions directores: Si es desglossa component a component aquesta igualtat vectorial, s'obtenen les equacions paramètriques del pla: π Q(x , y , z ) 0 0 0 = u (u , u , u ) 1 2 3 = v (v , v , v ) 1 2 3 X(x, y, z) = QX (x x , y 0 y , z 0 z ) 0 λ, μ R X = Q + λ + u μ (λ, μ v R) (x, y, z) = (x , y , z ) + 0 0 0 λ (u , u , u ) + 1 2 3 μ (v , v , v ) 1 2 3 (λ, μ x = x + λ u + μ v 0 1 1 y = y + λ u + μ v 0 2 2 z = z + λ u + μ v 0 3 3 R) Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 5 COMPROVA-HO 2 Quants paràmetres independents calen per descriure un pla a l'espai en forma paramètrica i per què?

Equació general o implícita del pla L'eliminació dels paràmetres i condueix a una relació lineal única entre les coordenades espacials, anomenada equació general o implícita: on els coeficients tenen un significat geomètric fonamental: representen les components d'un vector normal perpendicular al pla, .

Com que el vector normal ha de ser ortogonal a qualsevol direcció continguda en el pla, el seu producte escalar amb els vectors directors és zero: Hi ha dues maneres principals d'obtenir aquesta equació general quan es coneixen un punt i dos vectors directors: Forma d'expressió Estructura matemàtica Elements bàsics necessaris Vectorial Punt i vectors directors λ μ Ax + By + Cz + D = 0 o b Ax + e ˊ By + Cz = D A, B, C = n (A, B, C) n = u 0 i n = v 0 Mitjançant el determinant de coplanaritat: Com que el vector , i estan situats en el mateix pla, són tres vectors linealment dependents.

El determinant format per les seves components ha d'anul·lar-se obligatòriament: En desenvolupar aquest determinant per la primera columna o per la regla de Sarrus, s'arriba directament a la forma . 1 QX u v det( , , ) = QX u v 0 = x x 0 y y 0 z z 0 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 0 Ax + By + Cz + D = 0 Mitjançant el producte vectorial: El producte vectorial genera directament un vector perpendicular a tots dos vectors directors: on els vectors unitaris canònics són , i . Un cop obtingudes les components , es determina el terme independent substituint les coordenades del punt .

2 × u v = n × u = v = i u x v x j u y v y k u z v z (u v y z u v ) + z y i (v u x z u v ) + x z j (u v x y u v ) y x k = i (1, 0, 0) = j (0, 1, 0) = k (0, 0, 1) (A, B, C) Q X = Q + λ + u μv Q , u v Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 6 Forma d'expressió Estructura matemàtica Elements bàsics necessaris Paramètrica Punt i components de General o implícita Vector normal i terme independent COMPROVA-HO 3 Per què és vàlid calcular el vector normal d'un pla mitjançant el producte vectorial de dos dels seus vectors directors? Pla determinat per tres punts no alineats Si es disposa de tres punts que no estan en línia recta, , i , aquests defineixen un únic pla a l'espai.

Per formular les equacions, es pren un dels punts com a referència i es construeixen dos vectors directors a partir de les diferències entre punts: x = x + λu + μv 0 1 1 y = y + λu + μv 0 2 2 z = z + λu + μv 0 3 3 Q , u v Ax + By + Cz + D = 0 = n (A, B, C) D Q R S = u = QR R Q i = v = QS S Q Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 7 EXEMPLE Trobem l'equació del pla que conté els punts , i : 1. Construcció dels vectors directors: 2. Forma vectorial: 3. Obtenció del vector normal mitjançant producte vectorial: L'equació pren la forma . Substituint el punt : L'equació general és , o bé .

Aquest resultat coincideix amb el càlcul pel determinant directe: Comprovació d'ortogonalitat: Pla a partir d'un punt i el vector normal, i cerca de punts addicionals Quan s'especifica directament el vector normal i un punt , els coeficients de les incògnites queden fixats immediatament com , i . L'únic valor que cal determinar és el terme independent , imposant que el punt compleixi l'equació.

Q(3, 0, 0) R(2, 1, 0) S(2, 0, 2) = u = QR (2, 1, 0) (3, 0, 0) = ( 1, 1, 0) = v = QS (2, 0, 2) (3, 0, 0) = ( 1, 0, 2) (x, y, z) = (3, 0, 0) + λ ( 1, 1, 0) + μ ( 1, 0, 2) (λ, μ R) = n × u = v = i 1 1 j 1 0 k 0 2 2 + i 2 + j = k (2, 2, 1) 2x + 2y + z = D Q(3, 0, 0) 2(3) + 2(0) + 1(0) = D D = 6 2x + 2y + z = 6 2x + 2y + z 6 = 0 = x 3 y z 1 1 0 1 0 2 0 2x + 2y + z 6 = 0 n = u (2, 2, 1) ( 1, 1, 0) = 2 + 2 + 0 = 0 n = v (2, 2, 1) ( 1, 0, 2) = 2 + 0 + 2 = 0 = n (n , n , n ) 1 2 3 P A = n 1 B = n2 C = n 3 D P Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 8 EXEMPLE Considerem el pla que passa pel punt i té com a vector normal perpendicular .

Com que , l'equació té l'estructura: Atès que pertany al pla: Així doncs, l'equació del pla és . Per calcular punts addicionals pertanyents a un pla conegut, n'hi ha prou amb assignar valors arbitraris a dues de les tres coordenades i aïllar la tercera variable a l'equació general. Per exemple, en el pla , fixant i s'obté: Per tant, el punt és un altre punt del pla. ERROR FREQÜENT Un error habitual d'examen és utilitzar les components del vector normal com si fossin un vector director en l'equació vectorial, o a la inversa. El vector format pels coeficients de l'equació implícita és sempre ortogonal a la superfície del pla, mai paral·lel a ella.

Per passar a la forma vectorial o paramètrica calen necessàriament dos vectors perpendiculars a i independents entre si. COMPROVA-HO 4 Si un pla té per equació 2x - y + 3z = 4, com es pot obtenir un punt qualsevol d'aquest pla? IDEES CLAU Un pla a queda completament determinat per un punt i dos vectors directors linealment independents, o per tres punts no alineats. L'equació vectorial s'escriu com , la qual es desglossa en les tres equacions paramètriques. L'equació general o implícita del pla té la forma . Els coeficients són exactament les coordenades d'un vector normal perpendicular a qualsevol vector contingut en el pla.

El vector normal es pot obtenir mitjançant el producte vectorial , o bé l'equació general desenvolupant el determinant de coplanaritat. P ( 2, 1, 2) = u (1, 3, 1) = n (1, 3, 1) x + 3y z = D P 2 + 3(1) 2 = D D = 1 x + 3y z = 1 x + 3y z = 1 x = 1 y = 1 1 + 3(1) z = 1 4 z = 1 z = 5 P (1, 1, 5) (A, B, C) (A, B, C) R3 X = Q + λ + u μv Ax + By + Cz + D = 0 A, B, C = n (A, B, C) × u v Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 9 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 5. Com es verifica algebraicament que un vector normal és correcte respecte als vectors directors del pla? 6.

Quina condició matricial han de complir el vector format per un punt fix i un punt genèric, , i dos vectors directors per pertànyer al mateix pla? GEOMETRIA A R3 2 Equacions de rectes a l'espai EN ACABAR SABRÀS Deduir el vector director d'una recta a partir de dos punts a l'espai Transformar una recta entre les formes vectorial, paramètrica, contínua i implícita Interpretar les equacions implícites com la intersecció de dos plans Calcular punts concrets que pertanyin a una recta expressada en qualsevol forma PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 7 Quantes equacions lineals calen com a mínim per descriure una recta a l'espai tridimensional?

A l'espai tridimensional , una recta queda perfectament fixada si coneixem un punt pel qual passa i la seva orientació, és a dir, un vector que marqui la seva trajectòria. De manera equivalent, conèixer dos punts distints determina una única recta que els connecta. Determinació d'una recta a l'espai Per definir una recta necessitem essencialment dos elements bàsics: Un punt de pas conegut . Un vector director no nul, que n'estableix la direcció.

Si en comptes d'un vector disposem de dos punts diferents de la recta, i , podem obtenir directament el vector director restant les seves coordenades: De l'equació vectorial a la forma contínua L'equació vectorial expressa les coordenades de qualsevol punt de la recta com la suma de la posició del punt base i un múltiple escalar del vector director: QX R3 Q = (x , y , z ) 0 0 0 = v (v , v , v ) 1 2 3 Q = (x , y , z ) 0 0 0 R = (x , y , z ) 1 1 1 = v = QR (x 1 x , y 0 1 y , z 0 1 z ) 0 X = (x, y, z) Q X = Q + λ v (x, y, z) = (x , y , z ) + 0 0 0 λ (v , v , v ), λ 1 2 3 R Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 10 Si desglossem aquesta igualtat coordenada a coordenada, obtenim les equacions paramètriques: Quan totes les components del vector director són diferents de zero ( ), podem aïllar el paràmetre a cadascuna de les tres equacions i igualar els resultats, donant lloc a l'equació contínua: PROCÉS Passos per obtenir les diferents formes d'una recta 1 Equació vectorial Suma de punt base i vector escalat per lambda 2 Equacions paramètriques Desglossament per components individuals de x, y, z 3 Equació contínua Aïllament i igualació del paràmetre lambda 4 Equacions implícites Separació en dues equacions lineals de dos plans COMPROVA-HO 8 Quants valors reals diferents del paràmetre λ cal triar a les equacions paramètriques per trobar un punt de la recta?

Equacions implícites com a intersecció de dos plans A partir de la doble igualtat de l'equació contínua, podem separar dues equacions lineals independents en tres variables. En agrupar els termes i ordenar les incògnites, s'arriba a les anomenades equacions generals o implícites: Aquest sistema representa geomètricament la intersecció de dos plans no paral·lels a l'espai (vegeu «Geometria a R3 — Equacions de plans a l'espai»). Cadascuna de les equacions correspon a un pla amb el seu respectiu vector normal i .

Com que la recta està continguda simultàniament en ambdós plans, el vector director de la recta és perpendicular als vectors normals dels dos plans: Forma d'equació Expressió matemàtica Elements visibles directament Vectorial Punt base i vector director Paramètrica , etc.

Punt base i coordenades de x = x + λ v 0 1 y = y + λ v 0 2 z = z + λ v 0 3 v , v , v = 1 2 3 0 λ = v 1 x x 0 = v 2 y y 0 v 3 z z 0 { Ax + By + Cz = D A x + B y + C z = D = n1 (A, B, C) = n2 (A , B , C ) v v i n1 v n2 (x, y, z) = Q + λv Q v x = x + 0 λv 1 Q v Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 11 Forma d'equació Expressió matemàtica Elements visibles directament Contínua Punt base canviat de signe i components de Implícita / General Sistema de 2 equacions lineals Normals dels dos plans que formen la recta ERROR FREQÜENT A l'espai , una sola equació lineal de tipus NO és una recta, sinó un pla.

Per definir una recta en forma implícita calen sempre dues equacions lineals independents, ja que la recta és la intersecció entre aquests dos plans. Càlcul de punts d'una recta Segons la forma d'expressió utilitzada, podem calcular fàcilment nous punts de la recta mitjançant dos procediments: = v 1 x x 0 = v 2 y y 0 v 3 z z0 v R3 Ax + By + Cz = D A partir de la forma vectorial o paramètrica: s'assigna qualsevol valor numèric fix al paràmetre i s'obtenen directament les coordenades del punt.

1 λ A partir de la forma implícita: s'assigna un valor arbitrari a una de les tres variables (per exemple, ) i es resol el sistema resultant de dues equacions amb dues incògnites per deduir el valor de les altres dues. 2 x = 0 Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 12 EXEMPLE Trobem les diferents expressions de la recta que passa pels punts i . Primer, determinem el vector director: 1. Equació vectorial: 2. Equació contínua: 3. Equacions implícites: prenent dues igualtats independents de la forma contínua: El sistema general és: Per trobar altres punts de la recta: Fixant a la forma vectorial: . Fixant a les implícites: de la primera equació ; substituint a la segona, .

Així obtenim el punt . COMPROVA-HO 9 Com es comprova si el punt (0, 2, -1) pertany a la recta expressada pel sistema {x + y = 2, 2y + z = 3}? Q = (1, 1, 1) R = (2, 0, 3) = v = QR (2 1, 0 1, 3 1) = (1, 1, 2) (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(1, 1, 2), λ R = 1 x 1 = 1 y 1 2 z 1 = 1 x 1 1 y 1 (x 1) = y 1 x + 1 = y 1 x + y = 2 = 1 y 1 2 z 1 2(y 1) = (z 1) 2y 2 = z + 1 2y + z = 3 { x + y = 2 2y + z = 3 λ = 2 T = (1 + 2(1), 1 + 2( 1), 1 + 2(2)) = (3, 1, 5) x = 0 0 + y = 2 y = 2 2(2) + z = 3 z = 1 S = (0, 2, 1) Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 13 IDEES CLAU Una recta a queda determinada de manera única per un punt i un vector director, o bé per dos punts distints.

L'equació contínua s'obté aïllant el paràmetre a les equacions paramètriques i igualant les tres expressions. A l'espai, una recta en forma general o implícita ve donada sempre per un sistema de dos plans no paral·lels. El vector director d'una recta implícita és ortogonal als vectors normals dels dos plans que la defineixen. Per trobar punts addicionals podem assignar un valor lliure a a les paramètriques o a una coordenada a les implícites. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 10. Quin és el vector director d'una recta definida per l'equació contínua ? 11. Per què no és possible representar una recta a mitjançant una única equació lineal?

GEOMETRIA A R3 3 Posicions relatives de rectes i plans EN ACABAR SABRÀS Determinar la posició relativa entre dos plans mitjançant la relació de coeficients. Analitzar la posició relativa d'una recta i un pla combinant vectors o sistemes d'equacions. Construir equacions de rectes i plans que compleixin condicions d'ortogonalitat i paral·lelisme. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 12 Per què una recta paral·lela a un pla té un vector director perpendicular al vector normal d'aquest? Condicions d'ortogonalitat a l'espai A l'espai tridimensional , la posició mútua d'elements lineals es pot deduir a partir dels seus vectors característics.

Per analitzar l'orientació d'un pla, s'utilitza el seu vector normal , provinent de l'equació general (vegeu «Geometria a R3 — Equacions de plans a l'espai»). Per a una recta, es fa servir el seu vector director (vegeu «Geometria a R3 — Equacions de rectes a l'espai»). R3 λ λ = 2 x 3 = 4 y+1 5 z R3 R3 = n (A, B, C) = v (v , v , v ) 1 2 3 Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 14 DEFINICIÓ Dos plans són perpendiculars si els seus vectors normals respectius formen un angle de 90 graus entre ells. Donats i , la condició d'ortogonalitat s'expressa mitjançant el producte escalar nul: Esquema de dos plans perpendiculars amb vectors normals ortogonals.

D'altra banda, dues rectes i amb vectors directors i són perpendiculars si les seves direccions formen un angle recte: En el cas mixt entre una recta i un pla , la relació geomètrica s'inverteix respecte a les operacions vectorials habituals. Com que el vector normal ja és ortogonal a la superfície del pla, la recta serà perpendicular al pla si apunta exactament en la mateixa direcció que . π : 1 Ax + By + Cz = D π : 2 A x + B y + C z = D n1 = n2 0 A A + B B + C C = 0 r 1 r 2 = u (u , u , u ) 1 2 3 = v (v , v , v ) 1 2 3 u = v 0 u v + 1 1 u v + 2 2 u v = 3 3 0 r π n n Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 15 Diagrama d'una recta perpendicular a un pla amb vectors colineals.

DEFINICIÓ Una recta i un pla són perpendiculars si i només si el vector director de la recta és paral·lel al vector normal del pla , és a dir, si són vectors proporcionals: ERROR FREQÜENT És habitual confondre la perpendicularitat i el paral·lelisme quan es barreja una recta amb un pla. Si una recta és perpendicular al pla, els seus vectors són proporcionals ( ). Si la recta és paral·lela al pla, el vector director de la recta és perpendicular al vector normal ( ). Recorda sempre que el vector del pla és normal a la seva superfície. COMPROVA-HO 13 Si una recta té director (2, -1, 3) i un pla té normal (1, 2, 0), quina relació d'ortogonalitat o paral·lelisme tenen?

Posició relativa de dos plans a l'espai Dos plans a l'espai tridimensional poden adoptar tres posicions relatives: ser coincidents, ser paral·lels no coincidents o tallar-se formant una recta (plans secants). vr nπ = n k v = v 1 A = v 2 B = v 3 C k = n k v v = n 0 R3 Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 16 Considerem les equacions generals dels dos plans: La seva posició relativa es determina immediatament analitzant la proporcionalitat entre els coeficients de les incògnites i els termes independents: Posició relativa Relació de coeficients Interpretació geomètrica Coincidents Són el mateix pla; tenen infinits punts comuns en dues dimensions.

Paral·lels Vectors normals proporcionals però cap punt d'intersecció comú. Secants o Vectors normals no direccionals comuns; es tallen en una recta. Diagrama de dos plans secants intersecant-se en una recta comuna. Per a dues rectes i , el paral·lelisme s'expressa de forma anàloga a través de la proporcionalitat directa dels seus respectius vectors directors i : COMPROVA-HO 14 Quina és la posició relativa dels plans 2x - y + 3z = 4 i 4x - 2y + 6z = 5? Posició relativa entre recta i pla Per determinar com es posicionen mútuament una recta i un pla , disposem de dues metodologies equivalents: l'estudi algebraic del sistema de tres equacions amb tres incògnites o l'anàlisi vectorial directa.

{ π : Ax + By + Cz = D 1 π : A x + B y + C z = D 2 = A A = B B = C C D D = A A = B B = C C D D = A A B B = B B C C r 1 r 2 u v = u k v = v 1 u 1 = v 2 u 2 v 3 u 3 r π Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 17 Mitjançant equacions generals, la recta ve donada per la intersecció de dos plans, que juntament amb el pla formen el sistema: Alternativament, mitjançant les propietats del vector director i el vector normal , la classificació s'estableix segons el criteri següent: ESQUEMA Posició relativa entre recta i pla Posició relativa Condició vectorial Punts en comú Recta continguda en el pla i qualsevol punt compleix Infinits punts (la recta és dins del pla).

Recta i pla paral·lels i el punt compleix Cap punt d'intersecció. Recta i pla secants Un únic punt de tall . COMPROVA-HO 15 Per què és necessari comprovar la pertinença d'un punt de la recta quan el producte escalar v_r · n_π val zero? Exercicis resolts de construcció geomètrica A continuació es presenten tres exercicis tipus que il·lustren la resolució de problemes de perpendicularitat i paral·lelisme.

π A x + B y + C z = D 1 1 1 1 A x + B y + C z = D 2 2 2 2 A x + B y + C z = D 3 3 3 3 vr nπ Producte escalar nul v_r i n_π són perpendiculars Recta continguda Punt de r pertany a π Recta paral·lela Punt de r no pertany a π Producte escalar no nul Secants en un sol punt vr = nπ 0 P r P π vr = nπ 0 P r P / π vr = nπ 0 P Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 18 EXEMPLE Exercici 1: Trobeu l'equació del pla paral·lel a la recta que passi pels punts i .

EXEMPLE Exercici 2: Determineu l'equació del pla que passa pel punt i és perpendicular a la recta expressada com a intersecció de dos plans: r : (x, y, z) = (1, 2, 1) + λ(1, 1, 0) Q = (1, 0, 1) R = (2, 1, 0) Determinem els vectors directors del pla: com que ha de ser paral·lel a , un vector director és el de la recta, . 1 r = u (1, 1, 0) L'altre vector director prové de la unió dels dos punts del pla: .

2 = v = QR R Q = (2 1, 1 0, 0 1) = (1, 1, 1) Triem com a punt base i construïm l'equació vectorial: 3 Q = (1, 0, 1) (x, y, z) = (1, 0, 1) + λ(1, 1, 0) + μ(1, 1, 1) (λ, μ R) P = (2, 1, 1) r : { x + y z = 2 x + 2z = 1 El vector normal del pla buscat ha de coincidir amb el vector director de la recta: . 1 = nπ vr Trobem mitjançant el producte vectorial dels vectors normals dels plans que defineixen la recta: (També es pot prendre el vector oposat buscant dos punts de la recta com i ). 2 vr = vr × n1 = n2 = i 1 1 j 1 0 k 1 2 2 i j ( + k 2 ) = j (2, 3, 1) ( 2, 3, 1) Q = (1, 1, 0) R = ( 1, 4, 1) Utilitzant el vector normal , l'equació general té la forma .

3 = n ( 2, 3, 1) 2x + 3y + z = D Substituïm el punt per determinar el terme : 4 P = (2, 1, 1) D 2(2) + 3( 1) + 1 = D 4 3 + 1 = D D = 6 L'equació resultant del pla és . 5 2x + 3y + z = 6 Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 19 EXEMPLE Exercici 3: Trobeu l'equació d'una recta que passi pel punt i sigui perpendicular al pla d'equació . Expresseu la recta com a intersecció de dos plans. IDEES CLAU Dos plans són perpendiculars si el producte escalar dels seus vectors normals és zero ( ). Una recta és perpendicular a un pla si el seu vector director és proporcional al vector normal del pla ( ).

Dos plans són paral·lels si els seus coeficients són proporcionals però no ho són els termes independents, i coincidents si tots els termes són proporcionals. La posició d'una recta respecte a un pla s'avalua mitjançant : si és diferent de zero són secants; si és zero, la recta està continguda o és paral·lela segons si un punt de la recta pertany al pla. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 16. Com podem comprovar si dos plans són perpendiculars a partir de les seves equacions generals? 17. Quina condició vectorial distingeix una recta paral·lela a un pla d'una recta continguda en ell?

P = (0, 1, 1) (x, y, z) = (1, 0, 1) + λ(1, 0, 1) + μ(1, 1, 1) Com que la recta és perpendicular al pla, el seu vector director és el normal del pla: . 1 = vr nπ Calculem el vector normal amb el producte vectorial dels dos vectors directors del pla: 2 = nπ × uπ = vπ = i 1 1 j 0 1 k 1 1 + j k ( i ) = j + i = k (1, 0, 1) Escrivim la recta en forma contínua amb el punt : 3 P (0, 1, 1) = 1 x 0 = 0 y + 1 1 z 1 Isolem per obtenir la forma d'intersecció de dos plans: 4 { y + 1 = 0 x = z 1 { y = 1 x z = 1 n1 = n2 0 = n k v vr nπ Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 20 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 18.

Què representen els coeficients A, B i C en l'equació general d'un pla Ax + By + Cz + D = 0? 19. Com s'obté un vector normal a partir de dos vectors directors u i v linealment independents? 20. Quants paràmetres lliures intervenen en les equacions paramètriques d'un pla a R³? 21. Quin procediment permet trobar un punt pertanyent a un pla conegut a partir de l'equació implícita? 22. Com s'obté el vector director a partir de dos punts Q i R d'una recta? 23. Quina figura geomètrica descriu una única equació lineal a l'espai tridimensional R³? 24. Com es defineix una recta en forma implícita a R³? 25.

Quina relació geomètrica té el vector director d'una recta amb els vectors normals dels plans implícits?

La distància del pla a l'origen a) Un vector normal perpendicular al pla b) Un punt pertanyent al pla c) Dos vectors directors del pla d) Fent la suma vectorial u + v a) Fent el producte escalar u · v b) Fent el producte vectorial u x v c) Dividint les components d'u i v d) Dos paràmetres a) Cap paràmetre b) Tres paràmetres c) Un paràmetre d) Fixar dues variables i aïllar la tercera a) Calcular el mòdul del vector normal b) Multiplicar el vector normal pel terme independent c) Igualar les tres variables a zero sempre d) Multiplicant les components coordenada a coordenada a) Calculant el mòdul de la suma vectorial b) Sumant les coordenades dels dos punts c) Restant les coordenades de Q i R d) Un pla a) Una circumferència b) Un punt únic c) Una recta d) Com a suma de dos vectors a) Com a divisió de dues equacions b) Com a intersecció de dos plans c) Mitjançant una sola equació cartesiana d) És perpendicular a tots dos normals a) És coincident amb el primer vector b) És paral·lel a tots dos normals c) Té la mateixa direcció que ambdós d) Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 21 26.

Quina condició han de complir dos plans per ser estrictament paral·lels? 27. Si una recta és perpendicular a un pla, com es relacionen els seus vectors? 28. Què ocorre si el producte escalar entre el director d'una recta i el normal d'un pla no és zero? 29. Com es troba el vector director d'una recta donada com a intersecció de dos plans? 4 Funcions de dues variables — Domini, recorregut i corbes de nivell EN ACABAR SABRÀS Determinar analíticament el domini d'una funció de dues variables segons les seves restriccions algebraiques. Representar gràficament les regions del domini distingint vores contínues i discontínues.

Calcular el recorregut d'expressions bivariables a partir de les fites del seu domini. Obtenir i dibuixar les corbes de nivell com a seccions de la superfície a alçada constant. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 30 Com podem visualitzar en un pla pla de dues dimensions una superfície muntanyosa que s'eleva en tres dimensions?

Coeficients proporcionals i termes independents no proporcionals a) Normals ortogonals i termes independents iguals b) Tots els coeficients i termes independents proporcionals c) Producte escalar dels seus coeficients nul d) Els vectors directors formen un determinant nul a) El vector director i el normal són ortogonals b) El seu producte escalar és nul c) El vector director és proporcional al normal d) La recta i el pla són coincidents a) La recta i el pla són secants b) La recta és estrictament paral·lela al pla c) La recta està continguda en el pla d) Restant els coeficients dels dos plans a) Sumant els termes independents dels plans b) Calculant el producte vectorial dels normals c) Fent el producte escalar dels normals d) Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 22 Una funció real de dues variables reals assigna a cada parell ordenat de nombres un únic valor real .

Aquestes funcions permeten modelitzar relacions on una magnitud depèn de dos factors independents simultanis. ESQUEMA Estructura del càlcul de funcions bivariables Domini d'una funció bivariable i restriccions algebraiques El domini d'una funció , denotat per , és el subconjunt de punts del pla per als quals l'expressió analítica té sentit i produeix una imatge real ben definida: Quan la funció no té restriccions algebraiques, com ara un polinomi de dues variables , el domini coincideix amb la totalitat del pla: .

Tanmateix, les operacions no definides per a tots els nombres reals imposen condicions analítiques que cal determinar pas a pas: Tipus d'expressió Condició analítica Domini resultant Polinomi Cap restricció Fracció algebraica Denominador no nul: Arrel d'índex parell Radicand no negatiu: Arrel d'índex senar Cap restricció sobre el radicand Logaritme o Argument estrictament positiu: Per exemple, per a la funció fraccionària , la condició de denominador no nul requereix , és a dir, .

(x, y) z = f(x, y) Fonaments i representació Domini, recorregut i corbes de nivell Càlcul diferencial bivariable Derivades parcials, pla tangent i gradient Classificació i propietats Funcions homogènies i formes quadràtiques Optimització i extrems Extrems lliures, convexitat i multiplicadors f(x, y) D f R2 D = f (x, y) R f(x, y) R { 2 } f(x, y) = x + 2 2y D = f R2 D f p(x, y) R2 q(x,y) p(x,y) q(x, y) = 0 (x, y) R q(x, y) = 0 { 2 } 2n p(x, y) p(x, y) 0 (x, y) R p(x, y) 0 { 2 } 2n+1 p(x, y) R2 ln(p(x, y)) log(p(x, y)) p(x, y) > 0 (x, y) R p(x, y) > 0 { 2 } f(x, y) = x y 2x +y 3 x y = 0 D = f R 2 (x, y) x y = 0 { } Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 23 COMPROVA-HO 31 Quina condició analítica defineix el domini d'una funció amb una arrel d'índex senar al numerador i cap altra operació?

Representació geomètrica del domini al pla XY La representació gràfica d'un domini al pla bidimensional consisteix a dibuixar la frontera establerta per l'equació associada i sombrejar les regions que verifiquen la condició analítica corresponent. EXEMPLE DE DOMINI AMB DENOMINADOR NO NUL Considerem la funció . El denominador no pot anul·lar-se: L'equació descriu una circumferència de centre i radi . El domini comprèn tots els punts del pla excepte la vora d'aquesta circumferència, que es representa amb traç discontinu o contorn exclòs.

Definir l'equació de la frontera: Es substitueix la desigualtat ( ) per una igualtat estricta i s'identifica la corba geomètrica (recta, paràbola, circumferència). 1 , >, , <, = = Triar el traç de la vora: Si la desigualtat és no estricta ( o ), els punts de la corba formen part del domini i es dibuixen amb línia contínua. Si la condició és estricta ( ) o d'exclusió ( ), la corba no pertany al domini i es traça amb línia discontínua o buida. 2 >, < = Comprovar una regió amb un punt de prova: S'elegeix un punt senzill que no estigui sobre la frontera (com ara l'origen ) i se substitueix a la desigualtat.

Si el punt satisfà la relació, la regió que el conté pertany al domini; si no la compleix, pertany al domini la regió oposada. 3 (0, 0) f(x, y) = (x 1) +y 9 2 2 x 2y 2 (x 1) + 2 y 2 9 = 0 (x 1) + 2 y = 2 9 (x 1) + 2 y = 2 9 (1, 0) r = 3 D = f (x, y) R (x 1) + y = 9 { 2 2 2 } Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 24 Gràfica del domini excloent la circumferència de centre (1,0) i radi 3. Vegem ara el procediment sobre desigualtats: EXEMPLE AMB ARREL QUADRADA I PARÀBOLA DE FRONTERA Per a la funció , el radicand ha de ser no negatiu: . La frontera és la paràbola , amb vèrtex a . Com que la desigualtat és , la paràbola s'inclou al domini i es dibuixa amb línia contínua.

Prenem el punt de prova : (cert). Per tant, la regió superior conté el domini. Si provem : (fals), confirmant que queda fora. EXEMPLE AMB LOGARITME I DESIGUALTAT ESTRICTA Per a , l'argument requereix , la qual cosa equival a . La frontera és la circumferència amb centre a l'origen i radi . Atès que la desigualtat és estricta, la circumferència es traça amb línia discontínua. Avaluant el punt de prova obtenim (fals); així doncs, el domini correspon a tota la regió exterior a la circumferència.

f(x, y) = y + 2x2 y + 2x 2 0 y 2x2 y = 2x2 (0, 0) (1, 1) 1 2(1) 2 1 2 (0, 1) 1 2(0) 2 1 0 f(x, y) = ln(2x + 2 2y 2 8) 2x + 2 2y 2 8 > 0 x + 2 y > 2 4 x + 2 y = 2 4 r = 2 (0, 0) 0 > 4 Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 25 Gràfica del domini exterior a la circumferència discontínua de radi 2. Quan conflueixen diverses restriccions simultànies, com ara a , el domini total és la intersecció dels dominis individuals: Això defineix el semicercle tancat de radi 1 situat per sobre de la recta , on la recta és discontínua i l'arc circular és continu.

ERROR FREQÜENT Dibuixar la frontera amb línia contínua quan la desigualtat és estricta ( o ), o quan prové d'un denominador no nul ( ). En els exàmens, traçar una línia contínua en una frontera exclosa resta punts directament perquè indica que s'inclouen punts on la funció no existeix o no està definida. Recorda sempre: línia contínua només per a i ; línia discontínua per a , i . COMPROVA-HO 32 Si un domini ve donat per , com s'ha de representar la vora i quina regió cal ombrejar?

f(x, y) = ln(x + y) 1 x y 2 2 { x + y > 0 y > x 1 x y 0 x + y 1 2 2 2 2 y = x > < = > < = x + 2 y < 2 9 Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 26 Recorregut o rang d'una funció bivariable El recorregut o rang d'una funció de dues variables, representat per , és el conjunt de tots els valors reals que pren la variable dependent quan el parell recorre tot el domini : Per determinar el recorregut, cal analitzar les fites inferiors i superiors imposades per les operacions de la funció. Per exemple, per a , la suma de quadrats garanteix que per a qualsevol punt de . Atès que i l'expressió pot créixer indefinidament, el recorregut és l'interval .

COMPROVA-HO 33 Quin és el recorregut de la funció ? Representació tridimensional i corbes de nivell La representació geomètrica completa d'una funció bivariable requereix un sistema de coordenades cartesianes tridimensional format per tres eixos ortogonals , i . El gràfic resultant és una superfície a l'espai formada pel conjunt de ternes ordenades . Els plans més bàsics a l'espai il·lustren aquest comportament: per exemple, l'equació defineix un pla horitzontal paral·lel al pla coordenat a una alçada fixa de dues unitats, mentre que descriu un pla vertical paral·lel al pla coordenat .

Atès que dibuixar superfícies en tres dimensions a mà alçada és complex, s'utilitzen les corbes de nivell per projectar la informació de relleu sobre el pla bidimensional. DEFINICIÓ DE CORBA DE NIVELL Una corba de nivell d'alçada és el conjunt de punts del domini on la funció pren un valor constant . Geomètricament, s'obté intersecant la superfície amb el pla horitzontal : En projectar aquestes interseccions sobre el pla per a diversos valors de , s'obté un mapa d'isovalors que permet interpretar la forma de la superfície en 3D.

R f z (x, y) D f R = f z R z = f(x, y), (x, y) D { f } f(x, y) = x + 2 y2 x + 2 y 2 0 R2 f(0, 0) = 0 R = f [0, ) f(x, y) = x + 2 y + 2 1 z = f(x, y) X Y Z R3 (x, y, f(x, y)) z = 2 XY y = 2 XZ k (x, y) k z = f(x, y) z = k { z = f(x, y) z = k f(x, y) = k XY k Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 27 CÀLCUL DE CORBES DE NIVELL CONCÈNTRIQUES Considerem la funció . Establim l'equació , és a dir, .

Perquè la corba existeixi cal que : Nivell Equació resultant Descripció geomètrica al pla XY Circumferència de centre i radi Circumferència de centre i radi Circumferència de centre i radi Circumferència de centre i radi En dibuixar aquests valors al pla es forma una família de circumferències concèntriques al voltant de l'origen que s'eixamplen a mesura que augmenta l'alçada . Mapa de corbes de nivell concèntriques corresponents als valors z = 2, 3, 4, 5. COMPROVA-HO 34 Quina figura geomètrica representen les corbes de nivell de la funció per a qualsevol valor constant ?

f(x, y) = x + 2 y + 2 1 x + 2 y + 2 1 = k x + 2 y = 2 k 1 k 1 z = k f(x, y) = k k = 2 x + 2 y = 2 1 (0, 0) r = 1 k = 3 x + 2 y = 2 2 (0, 0) r = 2 k = 4 x + 2 y = 2 3 (0, 0) r = 3 k = 5 x + 2 y = 2 4 (0, 0) r = 2 XY z f(x, y) = 2x + y k Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 28 IDEES CLAU El domini és el conjunt de punts on la funció està ben definida sobre els nombres reals. Els denominadors imposen , les arrels d'índex parell requereixen i els logaritmes exigeixen . A la representació gràfica del domini, les desigualtats no estrictes es dibuixen amb línia contínua i les estrictes o diferents de zero amb línia discontínua.

El recorregut és el conjunt d'imatges reals que pren la funció per als punts del seu domini. Una corba de nivell és la secció obtinguda en tallar la superfície amb un pla horitzontal , projectada al pla . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 35. Com es determina analíticament i gràficament el domini de la funció ? 36. Quin és el recorregut de la funció ? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 37. Quin és el domini analític de f(x, y) = ln(y - x²)? 38. Quin tipus de traç correspon a la frontera del domini f(x, y) = (4 - x² - y²)? 39. Quina figura formen les corbes de nivell de f(x, y) = x² + y² + 1 per a k > 1? 40. Quin és el recorregut de f(x, y) = x² + y²?

D f (x, y) R2 q(x, y) = 0 p(x, y) 0 p(x, y) > 0 R f z z = f(x, y) z = k XY f(x, y) = ln(x y) f(x, y) = x 2 y2 y x² a) y > x² b) Tot R² c) y x² d) Línia contínua a) Traç ombrejat b) Punts aïllats c) Línia discontínua d) Hipèrboles equilàteres a) Paràboles paral·leles b) Rectes secants c) Circumferències concèntriques d) (- , 0] a) [0, + ) b) R complet c) (0, + ) d) Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 29 5 Derivades parcials i matriu hessiana EN ACABAR SABRÀS Calcular derivades parcials primeres mantenint fixa una de les variables com a constant. Avaluar numèricament derivades parcials en coordenades donades.

Determinar les derivades parcials de segon ordre i comprovar la simetria de les derivades creuades. Construir la matriu hessiana d'una funció de dues variables tant de forma genèrica com en punts concrets. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 41 Com podem mesurar la inclinació d'una superfície en un punt si ens podem moure en diferents direccions independents? El càlcul diferencial bivariable estén els conceptes de variació i pendent de funcions reals a funcions amb dues variables independents. Permet quantificar la resposta exacta del valor d'una funció quan es produeix una petita pertorbació en una sola de les seves variables mentre la restant roman immutable.

ESQUEMA Càlcul diferencial bivariable Càlcul diferencial bivariable 5 Derivades parcials i matriu hessiana 6 Interpretació de derivades, pla tangent i aproximació lineal 7 Derivació implícita i propietats del gradient Derivades parcials primeres Variació tractant una variable com a constant Derivades parcials segones Derivació successiva d'ordre dos Matriu hessiana Matriu 2x2 simètrica de derivades segones Simetria creuada Igualtat f_xy = f_yx Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 30 Derivades parcials primeres Considerem una funció bivariable definida sobre un domini pla.

Quan volem mesurar la taxa de canvi d'aquesta funció respecte d'una variable concreta, tractem l'altra variable com si fos una constant numèrica. DEFINICIÓ La derivada parcial respecte a x mesura la taxa de variació de la funció en variar mentre es manté constant. De manera anàloga, la derivada parcial respecte a y mesura la taxa de variació en modificar deixant fixa la variable . Per expressar aquestes operacions s'utilitzen diverses notacions equivalents habituals: Respecte a : Respecte a : Per dur a terme aquests càlculs s'apliquen directament les mateixes regles usuals de derivació d'una variable (regla de la potència, de la cadena, del producte i del quocient).

EXEMPLE Vegem com calcular les derivades parcials primeres i la seva avaluació numèrica en un punt per a diverses estructures funcionals: Funció polinòmica: . Trobem i . En el punt : i . Producte creuat: . Trobem i . En el punt : i . Funció exponencial: . Per la regla de la cadena: i . En el punt : i . Funció logarítmica: . Trobem i . En el punt : i . En el cas de funcions racionals com , la derivació requereix aplicar la regla del quocient amb atenció: Avaluada al punt , resulta en .

De manera equivalent respecte a : z = f(x, y) x y y x x = x f = x z f (x, y) = x z (x, y) = x f (x, y) = 1 z (x, y) 1 y = y f = y z f (x, y) = y z (x, y) = y f (x, y) = 2 z (x, y) 2 (x , y ) 0 0 f(x, y) = 2x y2 = x f 2 = y f 2y (1, 0) (1,0) = x f 2 (1,0) = y f 0 f(x, y) = 3xy2 f = x 3y2 f = y 6xy (2, 1) f (2,1) = x 3(1) = 2 3 f (2,1) = y 6(2)(1) = 12 f(x, y) = ex y 2 = x f 2xex y 2 = y f ex y 2 (1, 2) (1,2) = x f 2e = 1 e 2 (1,2) = y f e = 1 e 1 f(x, y) = ln(2x y) = x f 2x y 2 = y f 2x y 1 (1, 1) (1,1) = x f 2 (1,1) = y f 1 f(x, y) = 2xy x+y2 = x f = (2xy)2 1 (2xy) (x + y ) 2y 2 = 4x y 2 2 2xy 2xy 2y3 = 4x y 2 2 2y3 2x2 y ( 2, 1) ( 2,1) = x f = 2( 2)2 1 8 1 y = y f = (2xy)2 2y (2xy) (x + y ) 2x 2 = 4x y 2 2 4xy 2x 2xy 2 2 2 = 4x y 2 2 2xy 2x 2 2 2xy2 y x 2 Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 31 En el punt obtenim .

COMPROVA-HO 42 Com es deriva respecte a x una expressió on y apareix multiplicant, com ara 3xy²? Derivades parcials d'ordre dos Les derivades parcials primeres d'una funció continuen sent, en general, funcions de dues variables. Si es tornen a derivar parcialment, s'obtenen les derivades parcials segones o d'ordre dos.

Derivada primera Derivades segones (notació de Leibniz) Notació de subíndexs Tipus de derivada Derivada pura respecte a Derivada creuada ( primer, després ) Derivada creuada ( primer, després ) Derivada pura respecte a Quan aquestes derivades d'ordre dos són funcions contínues, es compleix la propietat fonamental de simetria de derivades creuades: ERROR FREQÜENT Un error habitual en derivar termes mixtes és tractar la variable que es manté fixa com si fos zero en lloc d'una constant multiplicativa. Per exemple, en derivar respecte a , la té derivada 1 i el terme resultant és , mai 0.

La matriu hessiana Totes les derivades d'ordre dos d'una funció bivariable es poden organitzar matricialment per descriure la curvatura de la superfície.

DEFINICIÓ La matriu hessiana d'una funció és la matriu quadrada d'ordre formada per totes les derivades parcials segones: ( 2, 1) ( 2,1) = y f = 2( 2)(1)2 1 ( 2) 2 4 3 x f = x ( x f ) x2 f 2 f (x, y) xx x x f = y ( x f ) y x f 2 f (x, y) xy x y y f = x ( y f ) x y f 2 f (x, y) yx y x y f = y ( y f ) y2 f 2 f (x, y) yy y f (x, y) = xy f (x, y) yx = y x f 2 x y f 2 24x y 2 y y 24x2 f(x, y) 2 × 2 H(x, y) = = ( x2 f 2 x y f 2 y x f 2 y2 f 2 ) ( f xx f yx f xy f yy ) Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 32 Com que en les funcions usuals les derivades creuades coincideixen, la matriu hessiana és habitualment simètrica.

En un punt concret , s'obté avaluant cadascuna de les entrades: EXEMPLE Considerem la funció : EXEMPLE Construïm la matriu hessiana de i avaluem-la en el punt : COMPROVA-HO 43 Quina condició geomètrica o estructural presenta la matriu hessiana quan les funcions són contínuament diferenciables? (x , y ) 0 0 H(x , y ) = 0 0 ( f (x , y ) xx 0 0 f (x , y ) yx 0 0 f (x , y ) xy 0 0 f (x , y ) yy 0 0 ) f(x, y) = 4x y 3 2 Calculem les derivades primeres: i . 1 = x f 12x y 2 2 = y f 8x y 3 Calculem les derivades segones a partir de : i . 2 x f = x2 f 2 24xy2 = y x f 2 24x y 2 Calculem les derivades segones a partir de : i .

3 y f = x y f 2 24x y 2 = y2 f 2 8x3 Construïm la matriu hessiana global: 4 H(x, y) = ( 24xy2 24x y 2 24x y 2 8x3 ) f(x, y) = ln(x + y ) 2 (1, 1) Derivades primeres: i .

1 f = x x+y2 1 f = y x+y2 2y Derivades segones pures i creuades: 2 f = xx , f = (x + y ) 2 2 1 xy (x + y ) 2 2 2y f = yx , f = (x + y ) 2 2 2y yy = (x + y ) 2 2 2(x + y ) 2y(2y) 2 (x + y ) 2 2 2x 2y2 Avaluació en tenint en compte que : 3 (1, 1) x + y = 2 1 + 1 = 2 2 f (1, 1) = xx = 22 1 4 1 f (1, 1) = xy f (1, 1) = yx = 22 2(1) = 4 2 2 1 f (1, 1) = yy = 22 2(1) 2(1)2 = 4 0 0 Estructuració final de la matriu hessiana en el punt: 4 H(1, 1) = ( 4 1 2 1 2 1 0 ) Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 33 IDEES CLAU La derivada parcial respecte a una variable es calcula aplicant les regles estàndard mentre la resta de variables es tracten com a paràmetres constants.

Per avaluar una derivada parcial en un punt , primer s'obté l'expressió algebraica de la derivada i després se substitueixen les coordenades. Les derivades d'ordre dos s'obtenen derivant novament les derivades primeres respecte a cadascuna de les variables independents. Si les derivades creuades d'ordre dos són contínues, verifiquen la igualtat . La matriu hessiana recull totes les derivades d'ordre dos i és habitualment simètrica. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 44. Com s'obté la derivada parcial d'una funció respecte a ? 45. Per què la matriu hessiana d'ordre és normalment simètrica?

CÀLCUL DIFERENCIAL BIVARIABLE 6 Interpretació de derivades, pla tangent i aproximació lineal EN ACABAR SABRÀS Interpretar geomètricament i econòmicament les derivades parcials. Deduir el signe de les derivades parcials a partir de mapes de corbes de nivell. Calcular l'equació del pla tangent i identificar el seu vector normal. Aproximar variacions reals mitjançant la diferencial total. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 46 Com es pot predir l'impacte immediat en el benefici en augmentar lleugerament un sol factor de producció?

Interpretació de les derivades parcials Les derivades parcials primeres d'una funció bivariable (definides a «Càlcul diferencial bivariable — Derivades parcials i matriu hessiana») admeten una doble lectura fonamental: geomètrica i econòmica o numèrica. (x , y ) 0 0 f = xy f yx 2 × 2 y 2 × 2 z = f(x, y) Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 34 Esquema geomètric de les rectes tangents a seccions d'una superfície. Des del punt de vista geomètric, si fixem el valor , la funció esdevé una corba sobre el pla vertical paral·lel a l'eix . La derivada parcial mesura la pendent de la recta tangent a aquesta corba en el punt .

De la mateixa manera, mantenint constant, la derivada representa la tangent de la inclinació en la direcció de l'eix .

Numèricament, aquestes taxes permeten estimar el canvi de la variable dependent davant d'increments unitaris en una sola variable: Variació aproximada quan creix una unitat i es manté constant: Variació aproximada quan creix una unitat i es manté constant: y = y 0 x f (x , y ) x 0 0 P (x , y , f(x , y )) 0 0 0 0 x = x 0 f (x , y ) y 0 0 y x y f (x , y ) x 0 0 f(x + 0 1, y ) 0 f(x , y ) 0 0 f(x + 0 1, y ) 0 f(x , y ) + 0 0 f (x , y ) x 0 0 y x f (x , y ) y 0 0 f(x , y + 0 0 1) f(x , y ) 0 0 f(x , y + 0 0 1) f(x , y ) + 0 0 f (x , y ) y 0 0 Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 35 EXEMPLE Considerem una funció de producció de tipus Cobb-Douglas (vegeu «Funcions homogènies — Grau d'homogeneïtat i teorema d'Euler»): on són les unitats produïdes, és el capital i és el treball.

Les derivades parcials respecte a cada factor són: Avaluades al punt inicial i : : si el capital s'incrementa en 1 unitat mantenint el treball constant, la producció augmentarà aproximadament en 0,359 unitats. : si el treball creix en 1 unitat mantenint el capital fix, la producció s'incrementarà aproximadament en 7,184 unitats. COMPROVA-HO 47 Què indica el signe positiu o negatiu d'una derivada parcial fx'(x0, y0) respecte a l'alçària de la superfície z? Lectura de derivades sobre mapes de corbes de nivell Les corbes de nivell (vegeu «Funcions de dues variables — Domini, recorregut i corbes de nivell») projecten les altures sobre el pla .

Observant el valor de cada corba i el sentit dels eixos coordenats, podem deduir directament els signes de les derivades parcials. F (K, L) = 5K L 1/3 2/3 F K L = K F K L , = 3 5 2/3 2/3 L F K L 3 10 1/3 1/3 K = 100 L = 10 (100, 10) = K F × 3 5 100 × 2/3 10 2/3 0,359 (100, 10) = L F × 3 10 100 × 1/3 10 1/3 7,184 z xy Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 36 Gràfica de corbes de nivell per analitzar signes de derivades. Per analitzar el signe de en un punt , ens desplacem cap a la dreta (augment d' mantenint fixa). Si passem cap a corbes de nivell amb valors inferiors de , la derivada és negativa ( ); si saltem cap a valors superiors de , és positiva ( ).

El mateix procediment s'aplica verticalment per a . Punt Comportament en créixer x Comportament en créixer y Signes de les derivades P (2, 2) Passa a corbes de menor cota (z decreix) Passa a corbes de menor cota (z decreix) , Q (2, 6) En disminuir x, z augmenta (en augmentar x, z decreix) Passa a corbes de major cota (z augmenta) , Aquesta lectura permet també identificar els valors extrems que pot assolir la funció al llarg d'una recta determinada observant les corbes tangents que talla, o resoldre equacions del tipus trobant les interseccions amb la recta vertical . COMPROVA-HO 48 Com es detecta que una equació f(2, y) = 10 no té solució en un mapa de corbes de nivell?

f x (x , y ) 0 0 x y z f < x 0 z f > x 0 f y f < x 0 f < y 0 f < x 0 f > y 0 f(x , y) = 0 k x = x 0 Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 37 Pla tangent i vector normal El pla tangent a una superfície en un punt és l'extensió natural de la recta tangent de funcions d'una variable cap a superfícies tridimensionals. Diagrama del pla tangent i el seu vector normal perpendicular.

Aquest pla ha de complir dues condicions geomètriques indispensables: DEFINICIÓ L'equació del pla tangent a la superfície en el punt s'expressa com: Recordem que l'equació general d'un pla a l'espai és , on és el vector normal perpendicular a aquest pla (vegeu «Geometria a R3 — Equacions de plans a l'espai»). Si reordenem l'equació del pla tangent: Identificant coeficients s'obté directament el vector normal al pla tangent: Qualsevol múltiple no nul d'aquest vector, com per exemple , és igualment un vector perpendicular vàlid al pla tangent. Contenir el punt de contacte de la superfície: .

1 (x , y , f(x , y )) 0 0 0 0 Tenir les mateixes pendents o derivades parcials que la funció original en aquest punt tant en la direcció com en la direcció .

2 x y z = f(x, y) (x , y ) 0 0 z = f(x , y ) + 0 0 f (x , y )(x x 0 0 x ) + 0 f (x , y )(y y 0 0 y ) 0 Ax + By + Cz + D = 0 n = (A, B, C) f (x , y )(x x 0 0 x ) + 0 f (x , y )(y y 0 0 y ) 0 z + f(x , y ) = 0 0 0 n = (f (x , y ), f (x , y ), 1) x 0 0 y 0 0 ( f , f , 1) x y Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 38 PROCÉS Passos per obtenir l'equació del pla tangent 1 Avaluar la funció Calcular z = f(x , y ) en el punt de tangència 2 Calcular derivades parcials Obtenir les expressions de f'x i f'y 3 Avaluar les pendents Substituir (x , y ) en f'x i f'y 4 Construir l'equació Aplicar z = z + f'x·(x - x ) + f'y·(y - y ) EXEMPLE Trobem el pla tangent a la superfície en el punt : Cota del punt: .

Derivades parcials: ; . Substituint a la fórmula del pla tangent: El vector normal en aquest punt és o bé . EXEMPLE Determinem en quin punt el pla tangent a coincideix amb . El pla donat té vector normal . Comparant amb la forma canònica : Comprovem que el punt pertany al pla i a la funció: Segons la funció: . Segons el pla: . Els valors coincideixen; per tant, el punt de contacte és . COMPROVA-HO 49 Com es dedueix la tercera component del vector normal (-1) en l'equació del pla tangent? Aproximació lineal i diferencial total En el càlcul d'una variable, la recta tangent permetia obtenir una aproximació de la funció al voltant d'un punt mitjançant .

En dues variables, el pla tangent compleix exactament aquesta funció com a aproximació lineal: f(x, y) = 6 x 2 y2 P (1, 2) f(1, 2) = 6 1 2 2 = 2 1 f = x 2x f (1, 2) = x 2 f = y 2y f (1, 2) = y 4 z = 1 2(x 1) 4(y 2) z = 11 2x 4y 2x + 4y + z = 11 n = (2, 4, 1) ( 2, 4, 1) f(x, y) = 4x + 2 9y2 16x + 18y + z + 25 = 0 n = (16, 18, 1) ( 16, 18, 1) (f , f , 1) x y f (x , y ) = x 0 0 8x = 0 16 x = 0 2 f (x , y ) = y 0 0 18y = 0 18 y = 0 1 ( 2, 1) z = f( 2, 1) = 4( 2) + 2 9( 1) = 2 16 + 9 = 25 16( 2) + 18( 1) + z + 25 = 0 50 + z + 25 = 0 z = 25 ( 2, 1, 25) x = a y f(a) + f (a)(x a) Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 39 Quan ens desplacem d'un punt inicial a un punt pròxim , distingim dos conceptes fonamentals: Increment real (Delta f): és el canvi exacte que experimenta la funció: Diferencial total ( ): és l'estimació lineal proporcionada pel pla tangent: Quan les variacions de les variables independents ( i ) són prou petites, la diferencial aproxima amb gran precisió l'increment real: Delta f df.

ERROR FREQÜENT No confongueu mai el valor aproximat de la funció amb la diferencial . La diferencial és únicament la variació estimada respecte a la cota inicial. Per calcular l'aproximació lineal de la funció cal sumar-hi el valor base: . EXEMPLE Considerem la funció i el punt base . Calculem el valor base i les derivades: . . . L'aproximació lineal al voltant d' és: Si avaluem al punt pròxim , on i : Diferencial: . Valor aproximat: . Valor exacte: . COMPROVA-HO 50 Per què l'error entre Delta f i df tendeix a zero a mesura que ens apropem al punt base (x0, y0)?

f(x, y) f(x , y ) + 0 0 f (x , y )(x x 0 0 x ) + 0 f (x , y )(y y 0 0 y ) 0 (x , y ) 0 0 (x + 0 dx, y + 0 dy) Δf = f(x + 0 dx, y + 0 dy) f(x , y ) 0 0 df df = f (x , y ) dx + x 0 0 f (x , y ) dy y 0 0 dx dy f(a, b) df df f(a, b) f(x , y ) + 0 0 df f(x, y) = ln(xy ) 2 (e, 1) f(e, 1) = ln(e × 1 ) = 2 ln(e) = 1 f = x = xy2 y2 x 1 f (e, 1) = x e 1 f = y = xy2 2xy y 2 f (e, 1) = y 2 (e, 1) f(x, y) 1 + (x e 1 e) + 2(y 1) (2,73, 0,99) dx = 2,73 e dy = 0,99 1 = 0,01 df = (2,73 e 1 e) + 2(0,99 1) 0,0157 f(2,73, 0,99) 1 0,0157 = 0,9843 f(2,73, 0,99) = ln(2,73 × 0,99 ) = 2 0,9842 Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 40 IDEES CLAU Les derivades parcials mesuren el pendent geomètric de les rectes tangents segons les direccions dels eixos o l'impacte d'un canvi unitari marginal en termes econòmics.

El signe de les derivades parcials en un mapa de corbes de nivell es determina comprovant si la funció passa a corbes de major o menor valor en avançar en el sentit dels eixos. L'equació del pla tangent en un punt és . Un vector normal canònic associat al pla tangent ve donat per . La diferencial total permet estimar l'increment real quan els desplaçaments són molt petits. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 51. Com s'expressa el vector normal d'un pla tangent a partir de la seva equació general Ax + By + Cz + D = 0? 52. Quina diferència conceptual hi ha entre l'increment real Delta f i la diferencial df?

CÀLCUL DIFERENCIAL BIVARIABLE 7 Derivació implícita i propietats del gradient EN ACABAR SABRÀS Calcular la derivada implícita dy/dx d'una corba de nivell F(x,y) = C. Trobar l'equació de la recta tangent a una corba de nivell en un punt determinat. Identificar i aplicar les propietats del vector gradient de perpendicularitat i variació màxima. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 53 Com es pot conèixer el pendent d'una corba plana si no podem aïllar la variable y? Fonament de la derivació implícita en corbes de nivell Quan treballem amb una expressió de la forma , aquesta equació defineix una corba de nivell en el pla (vegeu «Funcions de dues variables — Domini, recorregut i corbes de nivell»).

Sovint no podem aïllar la variable en termes de de manera senzilla. Tanmateix, si suposem que localment actua com una funció derivable respecte de , és possible trobar la seva taxa de canvi mitjançant les derivades parcials de (vegeu «Càlcul diferencial bivariable — Derivades parcials i matriu hessiana»).

Com que el valor de la funció roman constant al llarg de tota la corba ( ), la variació total o diferencial d'aquesta funció ha de ser nul·la (vegeu «Càlcul diferencial bivariable — Interpretació de derivades, pla tangent i aproximació lineal»): z f(x , y ) = 0 0 f (x , y )(x x 0 0 x ) + 0 f (x , y )(y y 0 0 y ) 0 n = (f (x , y ), f (x , y ), 1) x 0 0 y 0 0 df = f dx + x f dy y \fDeltaf F (x, y) = C y x y x dx dy F F (x, y) = C Apunts de Matemàtiques II: Càlcul a R³ i optimització 41 Aïllant el quocient diferencial obtenim directament la relació fonamental de derivació implícita: DEFINICIÓ Si una corba de nivell ve donada per i es compleix , la derivada implícita de respecte de és: EXEMPLE Considerem la relació implícita .

Per trobar , definim i calculem les derivades parcials: Aplicant la fórmula de la derivada implícita: Aquesta expressió és vàlida per a tots els punts on . ERROR FREQÜENT L'error més habitual en els exàmens és oblidar el signe negatiu inicial de la fórmula i escriure directament en lloc de , o invertir l'ordre calculant . Recordeu que el signe menys sorgeix necessàriament en igualar la diferencial total a zero i aïllar . COMPROVA-HO 54 D'on prové el signe negatiu a la fórmula de la derivada implícita dy/dx = -F_x / F_y?

Càlcul de la recta tangent a una corba de nivell La derivada implícita avaluada en un punt concret representa geomètricament el pendent de la recta tangent a la corba plana en aquest punt. Recordem que l'equació punt-pendent de la recta tangent és: Seguint aquesta relació, podem determinar la recta tangent mitjançant…