Formas Cuadráticas
Flashcards
- ¿Qué propiedades debe cumplir una aplicación para ser considerada una forma bilineal simétrica?
- Una aplicación φ: E × E → k es una forma bilineal simétrica si es lineal en cada argumento por separado y φ(u, v) = φ(v, u) para todo u, v en E.
- ¿Cómo se define la forma cuadrática asociada a una forma bilineal simétrica φ?
- La forma cuadrática q(u) asociada a una forma bilineal simétrica φ se define como q(u) = φ(u, u).
- ¿Cómo se construye la matriz de una forma bilineal simétrica en una base dada?
- La matriz de una forma bilineal simétrica φ en una base B = {u1, ..., un} se define como MB(φ) = (aij) donde aij = φ(ui, uj).
- ¿Qué característica importante tiene la matriz de una forma bilineal simétrica?
- La matriz de una forma bilineal simétrica siempre es simétrica.
Preguntas tipo test
- ¿Cuál de las siguientes propiedades es fundamental para que una aplicación φ: E × E → k sea una forma bilineal simétrica?
- a) φ(u, v) = -φ(v, u)
- b) φ(u, v) = φ(v, u)
- c) φ(u, v) = φ(u + v, u + v)
- d) φ(u, v) = λφ(u, v) + φ(v, u)
Respuesta: b) φ(u, v) = φ(v, u). Una forma bilineal simétrica se caracteriza por ser lineal en cada argumento y cumplir la propiedad de simetría φ(u, v) = φ(v, u). La opción 'b' describe correctamente esta propiedad clave.
- Dada una forma bilineal simétrica φ, ¿cómo se define la forma cuadrática q(u) asociada a ella?
- a) q(u) = φ(u, u)
- b) q(u) = φ(u, v)
- c) q(u) = φ(u + v, u + v)
- d) q(u) = 2φ(u, v)
Respuesta: a) q(u) = φ(u, u). La forma cuadrática q(u) está directamente asociada a la forma bilineal simétrica φ por la relación q(u) = φ(u, u).
- ¿Qué propiedad clave tiene la matriz de una forma bilineal simétrica φ en cualquier base B?
- a) Es siempre diagonal.
- b) Es siempre antisimétrica.
- c) Es siempre simétrica.
- d) Su determinante es siempre positivo.
Respuesta: c) Es siempre simétrica.. La observación 0.1.6 establece que la matriz de una forma bilineal simétrica MB(φ) es siempre simétrica, es decir, MB(φ) = MB(φ)T.
Álgebra Multilineal
Flashcards
- ¿Qué es el espacio dual de un k-espacio vectorial E?
- Es el conjunto de todas las aplicaciones lineales de E a k, es decir, E* = {φ : E → k lineales}.
- ¿Cómo se define la base dual B* a partir de una base B de E?
- Si B = {u1, ..., un} es una base de E, la base dual B* = {u1, ..., un} se define tal que uⁱ(uj) = δij, donde δij es la delta de Kronecker.
- ¿Con qué espacio es canónicamente isomorfo el espacio bidual E**?
- El espacio bidual E** es canónicamente isomorfo al espacio E original. Esto significa que la correspondencia no depende de la elección de una base.
- ¿Qué es un tensor (o aplicación multilineal)?
- Es una aplicación multilineal f: E1 × ... × Er → k, lo que significa que es lineal en cada una de sus r componentes cuando las demás se mantienen fijas.
Preguntas tipo test
- Si B = {u1, ..., un} es una base de E, ¿cuál es la propiedad definitoria de los elementos uⁱ de la base dual B*?
- a) uⁱ(uj) = 1 si i=j, 0 si i≠j
- b) uⁱ(uj) = δij
- c) uⁱ(uj) = ui + uj
- d) uⁱ(uj) = uⁱ(uj)
Respuesta: b) uⁱ(uj) = δij. La base dual B* = {u1, ..., un} se define de modo que cada uⁱ es una aplicación lineal de E a k, y su acción sobre un vector de la base original uj es uⁱ(uj) = δij. Esta propiedad fundamental permite definir las coordenadas de cualquier covector en la base dual.
- Dada una aplicación lineal φ: E → F, ¿cómo se define la aplicación lineal dual φ*: F* → E*?
- a) φ*(w) = φ(w)
- b) φ*(w) = w + φ
- c) φ*(w) = φ⁻¹(w)
- d) φ*(w) = w ο φ
Respuesta: d) φ*(w) = w ο φ. Una aplicación lineal φ: E → F induce una aplicación dual φ*: F* → E* definida por φ*(w) = w ο φ. Esto significa que la aplicación dual toma un covector de F* y devuelve un covector de E* aplicando la composición con la aplicación lineal original.
- ¿A qué es igual T0(E) (o T0 0(E)) por convenio?
- a) E
- b) k
- c) E*
- d) 0
Respuesta: b) k. Por convención, el conjunto de tensores de tipo (0,0), T0 0(E), se define como el cuerpo de escalares k. Esto establece una base para la jerarquía de tensores.
Geometría Proyectiva
Flashcards
- ¿Define "delirio" en el contexto de los trastornos psicóticos?
- Un delirio es una creencia falsa e inquebrantable que no se basa en la realidad y que persiste a pesar de la evidencia en contra.
- ¿Qué son los síntomas negativos en los trastornos psicóticos?
- Son la ausencia o disminución de funciones normales, como la expresión emocional (afecto aplanado), la motivación (abulia) o la capacidad de sentir placer (anhedonia).
- ¿Cuál es la principal diferencia entre esquizofrenia y trastorno esquizoafectivo?
- La esquizofrenia se caracteriza principalmente por síntomas psicóticos, mientras que el trastorno esquizoafectivo presenta síntomas psicóticos junto con episodios significativos de trastornos del estado de ánimo (depresivos o maníacos).
- ¿Cuál es la idea fundamental del programa de Erlangen en relación con la geometría?
- Según el programa de Erlangen, una geometría se basa en el estudio de invariantes al aplicar ciertas transformaciones. Esto significa que las geometrías están 'incluidas' en las superiores, como la euclídea en la afín y la afín en la proyectiva.
Preguntas tipo test
- ¿Cuál de los siguientes síntomas es considerado un síntoma positivo de los trastornos psicóticos?
- a) Apatía
- b) Alucinaciones
- c) Anhedonia
- d) Retraimiento social
Respuesta: b) Alucinaciones. Las alucinaciones son percepciones sensoriales sin un estímulo externo real, y junto con los delirios y el pensamiento desorganizado, se clasifican como síntomas positivos porque son "añadidos" a la experiencia normal de una persona. La apatía, anhedonia y retraimiento social son síntomas negativos.
- ¿Qué tipo de delirio implica la creencia de que una persona de alto estatus está enamorada del individuo?
- a) Delirio de persecución
- b) Delirio de grandeza
- c) Delirio erotomaníaco
- d) Delirio somático
Respuesta: c) Delirio erotomaníaco. El delirio erotomaníaco se caracteriza por la creencia infundada de que otra persona, generalmente de mayor estatus, está enamorada del individuo que lo padece.
- ¿Cuál de los siguientes no es un criterio diagnóstico principal para la esquizofrenia según el DSM-5?
- a) Delirios
- b) Alucinaciones
- c) Discurso desorganizado
- d) Trastorno del estado de ánimo predominante
Respuesta: d) Trastorno del estado de ánimo predominante. Aunque los trastornos del estado de ánimo pueden coexistir o ser parte de otros trastornos psicóticos (como el trastorno esquizoafectivo), un trastorno del estado de ánimo predominante no es un criterio diagnóstico principal para la esquizofrenia. Los criterios clave incluyen delirios, alucinaciones, discurso desorganizado, comportamiento desorganizado o catatónico, y síntomas negativos.
Proyectividades
Flashcards
- ¿Qué es una proyectividad?
- Una proyectividad es una aplicación f: P → P entre espacios proyectivos de dimensión n, definida por una aplicación lineal biyectiva φ: E → E, tal que f([v]) = [φ(v)].
- ¿Cuándo dos aplicaciones lineales φ y ψ representan la misma proyectividad f?
- Dos aplicaciones lineales φ y ψ representan la misma proyectividad f si y solo si existe un escalar λ ≠ 0 tal que ψ = λφ.
- ¿Cuál es la diferencia entre una proyectividad y una homografía?
- Las homografías son un caso particular de proyectividades donde el espacio proyectivo de origen P y el de destino P' son el mismo (P = P').
- ¿Qué propiedad geométrica fundamental mantiene toda proyectividad con respecto a los puntos?
- Una proyectividad siempre es una colineación, lo que significa que mantiene la alineación de puntos.
Preguntas tipo test
- ¿Sobre qué tipo de aplicación se define una proyectividad?
- a) Una aplicación lineal biyectiva.
- b) Una aplicación lineal inyectiva pero no necesariamente biyectiva.
- c) Una aplicación lineal suprayectiva pero no necesariamente biyectiva.
- d) Cualquier aplicación que mapea puntos a puntos.
Respuesta: a) Una aplicación lineal biyectiva.. Una proyectividad se define a partir de una aplicación lineal biyectiva φ: E → E entre los espacios vectoriales subyacentes a los espacios proyectivos P(E) y P(E'). Esta biyectividad es crucial para la definición de la proyectividad.
- ¿Qué es una homografía?
- a) Una proyectividad que no es biyectiva.
- b) Una proyectividad donde el espacio de origen y el de destino son el mismo.
- c) Una proyectividad que no mantiene las razones dobles.
- d) Una aplicación semilineal.
Respuesta: b) Una proyectividad donde el espacio de origen y el de destino son el mismo.. Una homografía es un caso especial de proyectividad donde el espacio proyectivo de origen y el de destino son el mismo, es decir, f: P → P.
- Si [φ] y [ψ] representan la misma proyectividad, ¿qué relación existe entre φ y ψ?
- a) φ y ψ son idénticas.
- b) φ es la inversa de ψ.
- c) Existe un escalar λ ≠ 0 tal que ψ = λφ.
- d) φ y ψ tienen el mismo rango.
Respuesta: c) Existe un escalar λ ≠ 0 tal que ψ = λφ.. Si dos aplicaciones lineales φ y ψ representan la misma proyectividad, significa que sus imágenes proyectivas son las mismas. Esto ocurre si y solo si ψ es un múltiplo escalar no nulo de φ (ψ = λφ para λ ≠ 0).
Cónicas y Cuádricas
Flashcards
- ¿Cuál es la definición fundamental de una cuádrica?
- Una cuádrica Q de P(E) es la clase de equivalencia de una forma cuadrática q: E → k.
- ¿Qué es una cónica en el contexto de las cuádricas?
- Una cónica es una cuádrica donde la dimensión del espacio proyectivo, n, es 2.
- ¿Cuándo se dice que un punto p pertenece a una cuádrica Q?
- Un punto p = [u] pertenece a una cuádrica Q si la forma cuadrática asociada q(u) es igual a 0.
- ¿Cómo se define la matriz de una cuádrica en una referencia dada?
- La matriz de una cuádrica Q en una referencia R (MR(Q)) se define como la matriz de la forma cuadrática asociada q en una base B adaptada a R, es decir, MB(q) o MB(φ).
Preguntas tipo test
- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor la definición de una cuádrica Q en un espacio proyectivo P(E)?
- a) Un conjunto de puntos que forman una esfera.
- b) La clase de equivalencia de una forma cuadrática.
- c) Cualquier superficie definida por una ecuación lineal.
- d) Una figura geométrica con al menos un punto singular.
Respuesta: b) La clase de equivalencia de una forma cuadrática.. Una cuádrica se define como la clase de equivalencia de una forma cuadrática. Las otras opciones describen propiedades o casos específicos, pero no la definición general.
- ¿Bajo qué condición un punto p = [u] pertenece a una cuádrica Q?
- a) Si u es un vector nulo.
- b) Si q(u) es un valor positivo.
- c) Si q(u) es un valor negativo.
- d) Si la forma cuadrática asociada q(u) es igual a cero.
Respuesta: d) Si la forma cuadrática asociada q(u) es igual a cero.. Un punto p=[u] pertenece a una cuádrica Q si la forma cuadrática asociada q(u) es igual a cero. Las otras opciones son incorrectas.
- Si A = MR(Q) es la matriz de una cuádrica y x representa las coordenadas proyectivas de un punto p, ¿cuál es la condición para que p pertenezca a Q?
- a) x^t A x = 0
- b) det(A) = 0
- c) A es la matriz identidad
- d) x es un vector nulo
Respuesta: a) x^t A x = 0. Si A es la matriz de una cuádrica y x son las coordenadas de un punto, el punto p pertenece a la cuádrica si y solo si x^t A x = 0. Esta es la condición fundamental para verificar la pertenencia de un punto a una cuádrica en coordenadas.
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Texto del documento
ÁLGEBRA MULTILINEAL Y GEOMETRÍA PROYECTIVA Apuntes basados en el curso impartido por Miguel Ángel Barja 1 ApuntsFME Barcelona, Enero 2018 ii Autores principales: Òscar Benedito, Ernesto Lanchares, Miquel Ortega. Otros autores: Jordi Castellví, Èric Sierra. Revisores: Iñaki Garrido. La elaboración de este documento no habría sido posible sin los apuntes de Oriol Na- varro del curso de Álgebra Multilineal y Geometría Proyectiva, impartido por Miguel Ángel Barja en la Facultat de Matemàtiques i Estadística de la Universitat Politècnica de Catalunya. Última modificación: 20 de enero de 2020.
Esta obra está bajo una licencia Creative Commons "Reconocimiento-NoCommercial-CompartirIgual 4.0 Interna- cional". Contenidos 0. Formas Cuadráticas 1 0.1. Definición, matriz de una forma cuadrática y bases . . . . . . . . . . . . 1 Teorema de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Método convergencia-pivote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.2. Clasificación afín y proyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Teorema de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1. Álgebra multilineal 7 1.1. Espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Tensores . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Dimensión y bases de Tq p (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Teorema de la base de Tq p (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Recordatorio de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5. Tensores simétricos y antisimétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6. Producto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. Geometría Proyectiva 21 2.1. Contexto e idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1. Problema matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.
Definición y caracterizaciones del espacio proyectivo . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Variedades lineales proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4. Sistemas de referencia proyectivos. Coordenadas proyectivas . . . . . . . 28 2.5. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.6. Los teoremas de Desargues y Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Teorema de Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Teorema de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.7. Coordenadas absolutas. Razón doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38 Teorema de la invariancia de razón doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.8. Cuaternas armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Teorema de la cuaterna armónica en el cuadrilátero . . . . . . . . . . . . 42 2.9. Relación entre el espacio proyectivo y el afín . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.9.1. Completación proyectiva del espacio afín An . . . . . . . . . . . . 43 2.9.2. Variedades lineales afines y proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.9.3. Espacios afines dentro de un espacio proyectivo . . . . . . . . . . 46 2.9.4. Relación entre la razón simple y la razón doble . . . . . . . . . . . 46 iii iv CONTENIDOS 3. Proyectividades 49 3.1.
Definiciones y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2. Caracterización geométrica de las proyectividades . . . . . . . . . . . . . 51 Teorema fundamental de la geometría proyectiva . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3. El teorema de Poncelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Teorema de Poncelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4. Clasificación y estudio de homografías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4.1. Clasificación de homografías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4.2. Homografía dual y variedades f-invariantes . . . . . . . . . . . . . 59 3.4.3. Algunas familias de homografías . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.4. Homografías de P1 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.5. Relación entre afinidades y proyectividades . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.5.1. Las afinidades definen proyectividades . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.5.2. Las proyectividades definen afinidades . . . . . . . . . . . . . . . 67 4. Cónicas y cuádricas 71 4.1. Definiciones y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2. Tangencia y polaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.2.1. Polaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2.2. Cuádrica dual . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 79 4.3. Cuádricas proyectivas y afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4. Clasificación proyectiva de cuádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Índice alfabético 85 Tema 0 Formas Cuadráticas 0.1. Definición, matriz de una forma cuadrática y ba- ses Definición 0.1.1. Sea E un k-e.v. Diremos que una aplicación φ: E × E k (u, v) 7 φ(u, v) es una forma bilineal simétrica si φ(u1 + u2, v) = φ(u1, v) + φ(u2, v) φ(λu, v) = λφ(u, v) φ(u, v) = φ(v, u) u, v, u1, u2 E y λ k. Definición 0.1.2. Sea φ una forma bilineal simétrica sobre un k-e.v. E. Diremos que la aplicación q: E k u 7 q(u) = φ(u, u) es la forma cuadrática asociada a φ.
Observación 0.1.3. Se cumple que q(λu) = λ2 q(u) Lema 0.1.4. Sea φ una forma bilineal simétrica sobre un k-e.v. E con car k 6= 2 y sea q la forma cuadrática asociada a φ, entonces φ(u, v) = 1 2 (q(u + v) q(u) q(v)) Demostración. q(u + v) q(u) q(v) = φ(u + v, u + v) φ(u, u) φ(v, v) = = φ(u, u) + φ(u, v) + φ(v, u) + φ(v, v) φ(u, u) φ(v, v) = 2φ(u, v) 1 2 TEMA 0. FORMAS CUADRÁTICAS Definición 0.1.5. Sea φ una forma bilineal simétrica/cuadrática sobre un k-e.v. E y sea B = {u1, · · · , un} una base. La matriz de φ en base B es MB(φ) = (aij) = (φ(ui, uj)) Observación 0.1.6. La matriz MB(φ) es simétrica Definición 0.1.7. Sea E un k-e.v. y sea φ: E × E k una forma bilineal simétrica.
Diremos que φ es definida positiva si φ(x, x) > 0, x E x 6= ~ 0 Diremos que φ es definida negativa si φ(x, x) < 0, x E x 6= ~ 0 Diremos que φ es no definida en cualquier otro caso. Observación 0.1.8. Si φ es una forma bilineal simétrica y definida positiva entonces define un producto escalar sobre E. Definición 0.1.9. Dada una matriz cuadrada A (dim n) definimos Ak = (aij), 1 i, j k y δk(A) = det Ak Teorema 0.1.10. Teorema de Sylvester. Sea E un k-e.v. de dimension n y sea φ: E×E k una forma bilineal simétrica, entonces φ es definida positiva δk(MB(φ)) > 0 1 k n B base de E Demostración. = Como φ es definida positiva, define un producto escalar sobre E.
Si tomamos una base B cualquiera, mediante Gramm-Schmidt podemos construir una base ortogonal B2 = {v1, · · · , vn}. Por tanto i 6= j = φ(vi, vj) = 0, φ(vi, vi) > 0 1 i, j n Llamamos φ(vi, vi) = λi > 0. Por tanto MB2 (φ) = λ1 0 · · · 0 0 λ2 ... . . . . . . ... ... 0 0 · · · 0 λn = det MB2 (φ) = n Y i=1 λi > 0 Entonces, como MB(φ) = ST B,B2 MB2 (φ)SB2,B det MB(φ) = det SB2,B 2 det MB2 (φ) > 0 Por lo tanto, la matriz de un producto escalar tiene determinante positivo independien- temente de la base tomada. Observamos que φ también define un producto escalar en el 0.1. DEFINICIÓN, MATRIZ DE UNA FORMA CUADRÁTICA Y BASES 3 subespacio vectorial < v1, · · · , vk > cuando lo restringimos a este.
Por lo que hemos visto antes se tiene que det MB(φ)k = δk(MB(φ)) > 0 1 k n. = Tenemos que δk(MB(φ)) > 0 1 k n. Aplicamos la siguiente variación de Gramm-Schmidt. Tomamos la base B = {u1, · · · , un} Y hacemos la siguiente construc- ción: v1 = u1 v2 = α2,1u1 + u2 v3 = α3,1u1 + α3,2u2 + u3 . . . vn = αn,1u1 + · · · + αn,n 1un 1 + un αi,j son tales que φ(vk, ui) = 0 2 k n 1 i k 1 Propiedades de {v1, · · · , vn} k, hv1, · · · , vki = hu1, · · · , uki En particular, B2 = {v1, · · · , vn} es base de E. φ(vk, vi) = 0 1 i k 1 porque vi hu1, · · · , uii y hemos tomado los α de manera que φ(vk, ui) = 0 = B2 es base ortogonal La matriz SB2B SB2B = 1 α2,1 · · · αn,1 0 1 ... . . . . . . ... ...
αn,n 1 0 · · · 0 1 = det SB2B = 1 y δk(SB2B) = 1 Finalmente, tenemos MB(φ) = ST B,B2 MB2 (φ)SB,B2 k l = k l φ(v1, v1) ... φ(vk, vk) ... φ(vn, vn) k l = δk(MB(φ)) = δk(St B,B2 )δk(MB2 (φ))δk(SB,B2 ) = δk(MB2 (φ)) = = k Y i=1 φ(vi, vi) > 0 (por hipótesis) = δk(MB(φ)) δk 1(MB(φ)) = φ(vk, vk) > 0 Finalmente, x E φ(x, x) = φ k X i=1 xivi, k X i=1 xivi = k X i=1 x2 i φ(vi, vi) > 0 si x 6= ~ 0 4 TEMA 0. FORMAS CUADRÁTICAS Teorema 0.1.11. Método convergencia-pivote. Dada una forma bilineal simétrica φ, queremos encontrar una base de E, B2, en la cual MB2 (φ) sea una matriz diagonal. Partimos de una base B i de MB(φ).
El procesos es: operación con filas a las dos matrices y luego la misma operacion pero en las columnas de la primera matriz únicamente (véase ejemplo). MB(φ)"Id op. filas S1MB(φ)"S1 misma op. en columnas S1MB(φ)ST 1 "S1 · · · Sr . . . S1MB(φ)ST 1 . . . ST r "Sr . . . S1 Donde la matriz de la izquierda es MB2 y es diagonal. Ejemplo 0.1.12.
qφ(x, y, z) = 2x2 + 2y2 4xy 2yz; A = MB(φ) = 2 2 0 2 2 1 0 1 0 2 2 0 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 fila (1)+(2) 2 2 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 columna (1)+(2) columna (1)+(2) 2 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 fila (2)+(3) 2 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 columna (2)+(3) columna (2)+(3) 2 0 0 1 0 0 0 2 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 fila (3) 1 2 (2) 2 0 0 1 0 0 0 2 1 1 1 1 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 columna (3) 1 2 (2) columna (3) 1 2 (2) 2 0 0 1 0 0 0 2 0 1 1 1 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 Entonces, en base B, los vectores de B2 son: v1 = (1, 0, 0); φ(v1, v1) = 2 v2 = (1, 1, 1); φ(v2, v2) = 2 v3 = ( 1 2 , 1 2 , 1 2 ); φ(v3, v3) = 1 2 Y φ(vi, vj) = 0, i 6= j. Proposición 0.1.13. Sea E un k-e.v.
de dimension n, sea φ: E × E k una forma bilineal simétrica y sea q su forma cuadrática asociada. Consideremos B = {u1, . . . un} una base q-ortogonal de E. Sabemos que D = MB (φ) = α1 · · · 0 . . . ... . . . 0 · · · αn . Consideremos el subespacio vectorial E E definido por E = u E " φ (u, v) = 0 v E . Tenemos que 0.1. DEFINICIÓN, MATRIZ DE UNA FORMA CUADRÁTICA Y BASES 5 i) D = MB (φ) = α1 0 · · · 0 0 ... αm . . . 0 . . . ... 0 · · · 0 = E = hum+1, . . . , uni . ii) rg q + dim E = n = i0 (q) = dim E . iii) Sean k = R, e i+ (q) el número de elementos estrictamente positivos de la diagonal de MB (φ). i+ (q) no depende de la base q-ortogonal B elegida. iv) Sea k = R y sean δ0 = 1, δ1, . . .
, δn 6= 0. Entonces, i (q) es igual al número de cambios de signo en la secuencia δ0, . . . , δn. Demostración. i) ui {um+1, . . . , un}, φ uj, ui = (0 · · · 1 · · · 0 ) α1 ... αm 0 ... 0 0 . . . 1 . . . 0 = 0 1 j n = = hum+1, . . . , uni E . Sea u E tal que u / hum+1, . . . uni. Se tiene que 1 i m t.q. xi 6= 0. Entonces, et iMB (φ) u = (0 · · · 1i · · · 0) α1 ... αm 0 ... 0 . . . xi . . . = αixi 6= 0 = u / E . Así pues, E = hum+1, . . . , uni . iii) Sea B0 = {u0 1, . . . , u0 n} una base q-ortogonal de E. MB0 (φ) = D0 = α0 1 · · · 0 . . . ... . . . 0 · · · α0 n . 6 TEMA 0. FORMAS CUADRÁTICAS Tenemos que m = i+ (q, B) ; F+ = hu1, . . . umi ; E = F+ hum+1, . . . uni = F+ F 0 .
Análogamente, m0 = i+ q, B0 ; F0+ = D u0 1, . . . u0 m E ; E = F0+ D u0 m+1, . . . u0 n E = F0+ F0 0 . Consideremos la función que proyecta un vector de F+ sobre F0+ . f : F+ E F0+ v 7 f(v). Sea v F+ y sean v1 y v2 las proyecciones de v sobre F0+ y F0 0 respectivamente. Tenemos que f(v) = v1. Entonces, f(v) = 0 = v1 = 0 = v = v2. Además, 0 φ (v, v) y φ (v2, v2) = φ (v, v) 0, de modo que v = 0 y f es inyectiva. Considerando la función que proyecta un vector de F0+ sobre F+ . g: F0+ E F+ v 7 g(v). y siguiendo un razonamiento análogo, obtenemos que g es inyectiva, de modo que m = m0 . 0.2. Clasificación afín y proyectiva Definición 0.2.1. Sean E y F k-espacios vectoriales.
Sean φ: E × E k, ψ: F × F k formas bilineales simétricas. Diremos que φ y ψ son afínmente equivalentes, y escribiremos φ ψ, si existe un isomorfismo f : E F tal que φ (u, v) = ψ f (u) , f (v) u, v E, φ f 1 u0 , f 1 v0 = ψ u0 , v0 u0 , v0 F. Teorema 0.2.2. Teorema de Sylvester. i) k = R φ ψ rg φ = rg ψ y i+ (φ) = i+ (ψ) . ii) k = C φ ψ rg φ = rg ψ. Tema 1 Álgebra multilineal 1.1. Espacio dual Definición 1.1.1. Sea E un k-ev. Definimos el espacio dual de E como E = {φ : E k lineales} (también es un k-espacio vectorial). Observación 1.1.2. Para definir E tenemos que usar bases de E. Definición 1.1.3. Si B = {u1, · · · , un} es una base de E (k-ev.) definimos u i : E k uj 7 u i (uj) = δij.
Y llamaremos base dual de B a B = {u 1, · · · , u n} (que efectivamente es una base de E ). Observación 1.1.4. En particular si w E y w = n X i=1 aiu i , se cumple que: w(uj) = n X i=1 aiu i (uj) = aj = w = n X i=1 w(ui)u i . Proposición 1.1.5. Cambios de base. Sean B1 y B2 bases de E (k-ev. de dim E = n) y sean B 1 y B 2 las bases duales de B1 y B2. Si SB1B2 es la matriz de cambio de base de B1 a B2, entonces SB 1 B 2 = (S 1 B1B2 )T = (SB2B1 )T . Proposición 1.1.6. Aplicaciones lineales. Sean E y F k-ev. y sea φ: E F una aplica- ción lineal, entonces φ induce la aplicación lineal siguiente: φ : F E w 7 φ (w) = w φ. Observación 1.1.7.
Si E y F son de dimensión finita, φ admite expresión matricial (en coordenadas). En particular: B1 base de E B2 base de F = φ viene dada por MB1,B2 (φ), B 1 base de E B 2 base de F = φ viene dada por MB 2 ,B 1 (φ ) = (MB1,B2 (φ))T . 7 8 TEMA 1. ÁLGEBRA MULTILINEAL Proposición 1.1.8. Espacio bidual. Dado E k-ev. podemos definir E , E , · · · . En par- ticular tenemos que E es canónicamente isomorfo a E mediante el isomorfismo φ: E E u 7 φ(u), donde φ(u): E k w 7 (φ(u))(w) = w(u). Observación 1.1.9. Como este isomorfismo es canónico (no depende de las bases), E = E y no distinguimos entre E y E . 1.2. Tensores Definición 1.2.1. Sean E1, · · · , Er k-ev.
Diremos que f : E1 × · · · × Er k es un tensor (o una aplicación multilineal) si i = 1, · · · , r y vj Ej (i 6= j) se cumple que φi : Ei k v 7 φ(u) = f(v1, · · · , vi 1, v, vi+1, · · · , vr) es una aplicación lineal. Definición 1.2.2. Sea E un k-ev. Llamaremos tensor de tipo (p, q) (o tensor p veces covariante y q veces contravariante) (o tensor p-covariante y q-contravariante) a un tensor f : p z }" { E × · · · × E × q z }" { E × · · · × E k (v1, · · · , vp, w1, · · · , wq) 7 f(v1, · · · , vp, w1, · · · , wq). Observación 1.2.3. Al conjunto de tensores de este tipo se le denota como Tq p (E). Observación 1.2.4. Por convenio T0(E) = T0 (E) = T0 0 (E) = k. Ejemplo 1.2.5. Sea E un k-ev.
T1(E) = T0 1 (E) = E . T1 (E) = T1 0 = E ( = E). T2(E) = T0 2 (E) = {formas bilineales de E en k}. Proposición 1.2.6. Tq p (E) = Tp q (E ) (cambiando el orden). Proposición 1.2.7. Tq p (E) tiene estructura de k-espacio vectorial. Si f, g Tq p (E) y α, β k, αf + βg: p z }" { E × · · · E × q z }" { E × · · · × E k (v1, · · · , vp, w1, · · · , wq) 7 (αf + βg)(v1, · · · , vp, w1, · · · , wq). donde (αf + βg)(v1, · · · , vp, w1, · · · , wq) = αf(v1, · · · , vp, w1, · · · , wq)+ βg(v1, · · · , vp, w1, · · · , wq). 1.2. TENSORES 9 Definición 1.2.8.
Dados f Tq p (E) y g Tq0 p0 (E), definimos el producto tensorial de f y g como f g: p+p0 z }" { E × · · · × E × q+q0 z }" { E × · · · × E k (v1, · · · , vp, v1, · · · vp0 , w1, · · · , wq, w1, · · · , wq0 ) 7 f(v1, · · · , vp, w1, · · · , wp) g(v1, · · · , vp0 , w1, · · · wq0 ). Observación 1.2.9. Si f y g son tensores, entonces f g también lo es. Además f g Tq+q0 p+p0 (E). Proposición 1.2.10. Sean f Tq p (E), g Tq0 p0 y h Tq00 p00 (E). NO es abeliano. En general f g 6= g f. es asociativo. (f g) h = f (g h). Denotado por f g h. ~ 0 f = f ~ 0 = ~ 0. f (g + h) = f g + f h, ((f + g) h = f h + g h). α k. (αf) g = α(f g) = f (αg). Ejemplo 1.2.11. Sea E = R3 , B = {e1, e2, e3}, B = {e 1, e 2, e 3}.
Y consideramos el producto tensorial de los tensores e 1 y e 2 sobre los vectores v1 = (x1, y1, z1) y v2 = (x2, y2, z2). (e 1 e 2)(v1, v2) = e 1(v1)e 2(v2) = x1y2 (e 2 e 1)(v1, v2) = e 2(v1)e 1(v2) = y1x2 = e 1 e 2 6= e 2 e 1. Ejemplo 1.2.12. Sea E = R2 , B = {e1, e2}, B = {e 1, e 2}, entonces e1 e2 T2 (E) (e1 e2) = (e 1 e 2 )(e 1, e 1) = e1(e1)e2(e1) = 0, (e1 e2)(e 1, e 2) = 1, (e1 e2)(e 2, e 1) = 0, (e1 e2)(e 2, e 2) = 0. Observación 1.2.13. Si E es un k-ev de dimensión n y B = {e1, · · · , en} (e i1 · · · e ip " {z } I={i1,··· ,ip} ej1 · · · ej2 " {z } J={j1,···jq} )(el1 , · · · , elp " {z } L={l1,··· ,lp} , e m1 , · · · , e mq " {z } M={m1,··· ,mq} ) = 1 si I = L y J = M, 0 en otro caso.
Observación 1.2.14. Sean f, g Tq p (E), entonces f = g f(ei1 , · · · , e jq ) = g(ei1 , · · · , e jq ), ei1 , · · · , eip B, e j1 , · · · , e jq B . 10 TEMA 1. ÁLGEBRA MULTILINEAL 1.3. Dimensión y bases de Tq p (E) Recordemos que Tq p (E) es un k-ev. Teorema 1.3.1. Teorema de la base de Tq p (E). Sea E un k-ev. de dimensión n y sea B = {e1, · · · , en}, entonces i) dim Tq p (E) = np+q ii) Una base de Tq p (E) es Bq p = n e i1 · · · e ip ej1 · · · ejq "i1,··· ,ip {1,··· ,n} j1,··· ,j1 {1,··· ,n} o iii) Si f Tq p (E), las coordenadas de f en la base Bq p son fBq p = (f(ei1 , · · · , eip , e j1 , · · · , e jq )) Demostración.
i) Es consecuencia directa de ii) ii) Primero veamos que Bq p es linealmente independiente. Sea w = X αIJ (e i1 · · · e ip ej1 · · · ejq ) = 0 Sean I0, J0 dos conjuntos de índices cualesquiera, entonces 0 = w(ei1 , · · · , eip , e j1 , · · · , e jq ) = αI0J0 (Por la 1.2.13). Veamos ahora que Bq p es generadora. Sea f Tq p (E), definimos g Tq p (E) como g = X I,J (f(ei1 , · · · , eip , e j1 , · · · , e jq )(e i1 · · · e ip ej1 · · · ejq )) Demostrando ahora que f = g quedan provados ii) y iii). Tenemos ahora que g(ei1 , · · · , eip , e j1 , · · · , e jq ) = f(ei1 , · · · , eip , e j1 , · · · , e jq ) Por la 1.2.13 y queda demostrado el teorema. Ejemplo 1.3.2.
Sea E = Rn , B = {e1, · · · , en} y B = {e 1 · · · e n} Sea u Rn u = u(e 1) + · · · + u(e n) (B1 0 = B) Sea w T0 1 (E)(= E ) w = w(e1)e 1 + · · · + w(en)e n (B0 1 = B ) Sea n = 3 y sea f T2(E) B0 2 = {e 1 e 1, e 1 e 2, · · · e 3 e 3} f = f(e1, e1)e 1 e 1 + f(e1, e2)e 1 e 2 + · · · + f(e3, e3)e 3 e 3 1.4. RECORDATORIO DE PERMUTACIONES 11 Proposición 1.3.3. Cambio de base. Sea E un k-ev. de dimensión n y sean B = {e1, · · · , en} y B = {u1, · · · , un}. Sea S = (si j) la matriz de cambio de base de B a B y sea T = (ti j) su inversa.
De manera que tenemos esta relación: B B S T B B St Tt Sea f Tq p (E) y sean fB = (αIJ )I,J = f(ei1 , · · · , eip , e j1 , · · · , e jq ) I,J fB = (αIJ )I,J = f(ui1 , · · · , uip , u j1 , · · · , u jq ) I,J Entonces, I, J αIJ = f(ui1 , · · · , uip , u j1 , · · · , u jq ) = X L,M sl1 i1 · · · s lp ip tj1 m1 · · · tjq mq f(ei1 , · · · , eip , e j1 , · · · , e jq ) Ejemplo 1.3.4. f T1 (E) = E = E por lo tanto f = u y uB=(x1,··· ,un) uB =(x1,··· ,xn), entonces x1 . . . xn = T x1 . . . xn f T1(E) = E por lo tanto f = w y wB=(x1,··· ,un) wB =(x1,··· ,xn), entonces x1 . . . xn = St x1 . . . xn f T2(E) por lo tanto f es una forma bilineal y fB=A Mn,n(k) fB =A Mn,n(k), entonces A = St AS 1.4.
Recordatorio de permutaciones Denotaremos como xn = {1, · · · , n} Denotaremos como Sn = {σ: xn xn biyectivas} #Sn = n! Sn es un grupo por composición. Además denotaremos s1s2 = s1 s2 12 TEMA 1. ÁLGEBRA MULTILINEAL Fijada s0 Sn, la aplicación φ: Sn Sn s 7 s0s es biyectiva. Sea s Sn, denotaremos s de las siguientes maneras – s = 1 2 · · · n s(1) s(2) · · · s(n) ! – Si s es cíclica la denotaremos como s = (1, 3, 7, 5). En este caso, s(1) = 3, s(3) = 7, s(7) = 5 y s(5) = 1, para el resto de valores s(i) = i. Llamaremos trasposición a una permutación del tipo s = (i, j) con i 6= j s Sn, s se puede expresar como composición (o producto) de trasposiciones.
Además, la paridad del número de trasposiciones se mantiene, es decir s = t1 · · · tp = l1 · · · lq = p q mód 2 Sea s Sn y sea s = t1 · · · tp una descomposición de s en trasposiciones. Entonces, definimos el signo de s como ε(s) = ( 1)p . 1.5. Tensores simétricos y antisimétricos Definición 1.5.1. Sea E un k-ev. de dimensión n, sea f Tp(E) y s Sp, entonces, definimos (sf) Tp(E) como (sf)(v1, · · · , vp) = f(vs(1), · · · , vs(p)) Ejemplo 1.5.2. Sea E = R4 , B = {e1, e2, e3, e4}, f = e 1 e 2 e 3 T3(E) y s = (1, 2, 3) S3, entonces (sf)(v1, v2, v3) = f(v2, v3, v1) Proposición 1.5.3. Sea E un k-ev. de dimensión n, sean w1, . . . , wp T1(E) = E , y s Sp (t = s 1 ).
Entonces s(w1 · · · wp) = wt(1) · · · wt(p) Demostración. Sean u1, . . . , un E (obsérvese que w1 · · · wp Tp(E)) s(w1 · · · wp)(u1, . . . , up) = (w1 · · · wp)(us(1), . . . , us(p)) = w1(us(1))·w2(us(2)) · · · wp(us(p)) Dado que s(i) = j i = t(j), wi(us(i)) = wi(uj) = wt(j)(uj). Con lo que podemos reordenar el último producto como wt(1)(u1) · wt(2)(u2) · · · wt(p)(up) = wt(1) · · · wt(p)(u1, . . . , up) 1.5. TENSORES SIMÉTRICOS Y ANTISIMÉTRICOS 13 Ejemplo 1.5.4. Sea E = R3 , B = {e1, e2, e3}, B = {e 1, e 2, e 3} para los dos siguientes ejemplos. En el primero fijamos (1, 2) = s S2.
Entonces s = (1, 2) = s 1 = t y para los siguientes elementos de T2(E) se cumple: f1 = e 1 e 2 sf1 = e 2 e 1 f2 = e 1 e 1 sf2 = e 1 e 1 f3 = e 2 e 3 sf3 = e 3 e 2 En el segundo fijamos (1, 2, 3) = s (S)3. Entonces t = s 1 = (1, 3, 2), es decir, que t(1) = 3, t(2) = 1, t(3) = 2, y para el siguiente elemento de T3(E) se cumple: f = e 1 e 2 e 3 sf = e 3 e 1 e 2 Observación 1.5.5. Sea fi Tp(E). Entonces s( P αifi) = P αi(sfi). Por tanto, la proposición anterior sirve para f Tp(E). Ejemplo 1.5.6. Con las mismas hipótesis que en el primer caso del ejemplo 1.5.4 se cumple: f = 3e 1 e 2 + 5e 1 e 1 + 5e 2 e 3 sf = 3e 2 e 1 + 5e 1 e 1 + 5e 3 e 2 Definición 1.5.7. Sea E un k-ev. de dim n. Sea f Tp(E).
f es simétrica s Sp, sf = f y Sp(E) = n f Tp(E) " f simétrica o Tp(E). Definición 1.5.8. Sea E un k-ev. de dim n. Sea f Tp(E). f es antisimétrica s Sp, sf = ε(s)f y Ap(E) = n f Tp(E) " f antisimétrica o TP (E). Observación 1.5.9. Sp(E), Ap(E) Tp(E) son s.e-v. (ver observación 1.5.5). Ejemplo 1.5.10. Para los dos ejemplos, sea E = R3 , sean B y B bases de E y de E correspondientemente. 1. Definimos f = e 1 e 2 T2(E) y s = (1, 2) (S)2. Entonces S2 = {Id, s} y ε(Id) = 1, ε(s) = 1. Id(f) = f = ε(Id) · f s(f) = e 2 e 1 6= f, s(f) 6= f ) = f / S2(E) f / A2(E) 2. Como anteriormente, S2 = Id, s = (1, 2) .
Para f = e 1 e 2 + e 2 e 1, Id(f) = f s(f) = e 2 e 1 + e 1 e 2 = f ) = f S2(E) Para f = e 1 e 2 e 2 e 1, Id(f) = f = ε(Id)f s(f) = e 2 e 1 e 1 e 2 = f = ε(s)f ) = f A2(E) 14 TEMA 1. ÁLGEBRA MULTILINEAL Observación 1.5.11. ε(s) = ( 1)n si ε(s) = t1 · · · tn, donde t1, . . . , tn son trans- posiciones. ε(s1s2) = ε(s1)ε(s2). s Sp. Definimos A M(R)p×p, donde ai,j = 1 si i = s(j) y ai,j = 0 en otro caso. Entonces det A = ε(s). Proposición 1.5.12. Sea E un k-e.v. de dimensión n, sea f Tp(E). 1. Podemos caracterizar los tensores simétricos como: f simétrica u1, . . . , up E, i, j f(u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , up) = f(u1, . . . , uj, . . . , ui, . . . , up) 2.
Podemos caracterizar los tensores antisimétricos como: f antisimétrica u1, . . . , up E, i 6= j f(u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , up) = f(u1, . . . , uj, . . . , ui, . . . , up) u1, . . . , up E, i 6= j si ui = uj entonces f(u1, . . . , up) = 0. Demostración. 1. La implicación directa es una consecuencia de la definición de sime- tría. En el caso de la implicación conversa se cumple: t transposición tf = f = t1, . . . , tm transposiciones t1, . . . , tmf = t1(t2(. . . (tmf) . . . )) = f Finalmente, s Sp s = t1 · · · tm = s Sp sf = f = f es simétrica. 2. Veamos primero que la tercera condición implica la segunda. u1, . . . , up E, i 6= j 0 = f(u1, . . . , ui + uj, . . . , ui + uj, . . .
, up) = f(u1, . . . , ui, . . . , ui, . . . , up) + f(u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , up)+ f(u1, . . . , uj, . . . , ui, . . . , up) + f(u1, . . . , uj, . . . , uj, . . . , up) = f(u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , up) + f(u1, . . . , uj, . . . , ui, . . . , up) = f(u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , up) = f(u1, . . . , uj, . . . , ui, . . . , up) Veamos ahora que la segunda condición implica la primera. Suponiendo cierta la segunda condición se cumple: tf = f = t1 · · · tmf = ( 1)m f = ε(t1 · · · tm)f Y entonces: s Sp s = t1 · · · tm y ε(s) = ( 1)m = s Sp sf = ε(s)f = f Ap(E) Y, finalmente, que la primera implica la tercera. Por ser f antisimétrica, u1, . . . , up E, i 6= j f(u1, . .
. , ui, . . . , uj, . . . , up) = f(u1, . . . , uj, . . . , ui, . . . , up) Si ui = uj, entonces f(u1, . . . , up) = 0. 1.5. TENSORES SIMÉTRICOS Y ANTISIMÉTRICOS 15 Proposición 1.5.13. Sea E un k-ev. con car k 6= 2 y sea f Tp(E), entonces vi, vj E f(· · · , vi, · · · , vj, · · · ) = f(· · · , vj, · · · , vi, · · · ) f(· · · , w, · · · , w, · · · ) = 0 Demostración.
= f(· · · , w, · · · , w, · · · ) = f(· · · , w, · · · , w, · · · ) = 2f(· · · , w, · · · , w, · · · ) = 0 = f(· · · , w, · · · , w, · · · ) = 0 = f(· · · , vi + vj, · · · , vi + vj, · · · ) = 0 = f(· · · , vi, · · · , vi, · · · ) + f(· · · , vj, · · · , vj, · · · ) + f(· · · , vi, · · · , vj, · · · ) + f(· · · , vj, · · · , vi, · · · ) = 0 = f(· · · , vi, · · · , vj, · · · ) = f(· · · , vj, · · · , vi, · · · ) Ejemplo 1.5.14. Sea f T2(E) (forma bilineal) y sea B = {e1, . . . , en} una base, Llamamos MB(f) = A = f(ei, ej) y sea S2 = Id, s = (1, 2) .
Entonces Idf = f Mb(sf) = sf(ei, ej) = f(ej, ei) = At Es decir, f es simétrico si y solo si At = A A simétrica y f es antisimétrico si y solo si A = At A antisimétrica Ejemplo 1.5.15. Sea dim E = n y {e1, . . . , en} una base de E, entonces f : n z }" { E × · · · × E k (u1, . . . , un) 7 detB(u1, . . . , un) Como f es multilineal ( = f Tn(E)), f es antisimétrico por la proposición 1.5.12. Definición 1.5.16. Sea E un k-ev. con car k = 0 y f Tp(E). Llamamos simetrizado de f a S(f) = 1 p! X s Sp sf y antisimetrizado de f a A(f) = 1 p! X s Sp ε(s)sf Ejemplo 1.5.17.
Sea E = R3 y B = {e1, e2, e3} base de E Sea f = e 1 e 2 T2(E) y Sp = Id, s = (1, 2) , entonces S(f) = 1 2 (e 1 e 2 + e 2 e 1) A(f) = 1 2 (e 1 e 2 e 2 e 1) Sea g = e 1 e 2 e 3 y Sp = Id, (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3), (1, 3, 2) , entonces S(g) = 1 6 (e 1 e 2 e 3 +e 2 e 1 e 3 +e 3 e 2 e 1 +e 1 e 3 e 2 +e 3 e 1 e 2 +e 2 e 3 e 1) 16 TEMA 1. ÁLGEBRA MULTILINEAL Observación 1.5.18. s 1 Sp, por lo tanto no hace falta calcular s 1 Ejemplo 1.5.19. Sea f T2(E) (forma bilineal) y sea MB(f) = A = f(ei, ej) , entonces MB(S(f)) = 1 2 MB(f) + MB(f)t = 1 2 (A + At ) MB(A(f)) = 1 2 MB(f) MB(f)t = 1 2 (A At ) Observación 1.5.20. Si f T2(E) = f = S(f) + A(f) Proposición 1.5.21. Sea E un k-ev.
Consideramos A, S : Tp(E) Tp(E), entonces i) A, S son lineales ii) f Sp(E) = S(f) = f y f Ap(E) = A(f) = f iii) Im(S) = Sp(E) y Im(A) = Ap(E) Demostración. i) Queda como ejercicio. (pista: Consideramos S(f + g)) ii) f Sp(E) = S(f) = f queda como ejercicio. Suponemos que f Ap(E), entonces A(f) = 1 p! X s Sp ε(s)sf = 1 p! X s Sp ε(s) ε(s)f = p!f p! = f iii) Im(S) = Sp(E) queda como ejercicio. Demostraremos que Im(A) = Ap(E). Por ii) sabemos que Ap(E) Im(A), por lo tanto, resta ver que A(h) Ap(E), h Tp(E). Sea s Sp sA(h) = s 1 p! X r Sp ε(r)rh = 1 p! X r Sp ε(r)s(rh) = = ε(s) 1 p! X r Sp ε(sr)srh 1,4 = ε(s) 1 p! X t Sp ε(t)th = ε(s)A(h) Observación 1.5.22.
Las mismas construcciones funcionan para tensores (0, q), Tq (E) = Tq(E ), pero no funcionan para tensores (p, q) donde p, q 6= 0 porque las construcciones implican permutaciones. 1.6. PRODUCTO EXTERIOR 17 1.6. Producto exterior Observación 1.6.1. Sp(E) Tp(E), Ap(E) Tp(E) y Sp, Ap s.e.v.. f Sp(E), g Sp0 (E) en general f g / Sp+p0 (E) f Ap(E), g Ap0 (E) en general f g / Ap+p0 (E) Ejemplo 1.6.2. Sean ω1, ω2 T1(E): T1(E) = E = S1(E) = A1(E), porque S1 = {Id}. ω1 ω2 / S2(E), A2(E). Observación 1.6.3. El producto exterior (que definiremos) manda tensores antisimétri- cos a antisimétricos. Observación 1.6.4. Lo haremos en Tp(E), análogamente se hará en Tq (E). Definición 1.6.5.
Sea E un k-e.v.; ω1, . . . , ωp T1(E) = E, el producto exterior de orden 1 es: ω1 · · · ωp = p!A(ω1 · · · ωp) Observación 1.6.6. ω1 · · · ωp = p! 1 p! X s Sp ε(s)s ω1 · · · ωp = = X s Sp ε(s) ωs 1(1) · · · ωs 1(p) ε(s)=ε(s 1) = X r Sp ε(r) ωr(1) · · · ωr(p) Ejemplo 1.6.7. Sea E = R3 , B = {e1, e2, e3}, B = {e 1, e 2, e 3}. e 1 e 2 = e 1 e 2 e 2 e 1 e 2 e 1 = · · · = e 1 e 2 e 1 e 1 = e 1 e 1 e 1 e 1 = 0 Proposición 1.6.8. Sean ω1, . . . ωp T1(E) = E i) ω1 · · · ωp Ap(E) ii) ω1 · · · αiωi + βiωi . · · · ωp = αi(ω1 · · · ωi . . . . ωp)+βi(ω1 · · · ωi · · · ωp) iii) Sea s Sp, t = s 1 , ωs(1) · · · ωs(p) = t ω1 · · · ωp = ε(s) ω1 · · · ωp . iv) Si u1, . . . , up E, ω1 · · · ωp u1, . . .
, up = det ωj(ui) . v) Si ωi = ωj, (i 6= j) = ω1 · · · ωp = 0. vi) ω1 · · · ωp 6= 0 {ω1, . . . , ωp} son linealmente independientes. Demostración. 18 TEMA 1. ÁLGEBRA MULTILINEAL i) ω1 · · · ωp = p!A ω1 · · · ωp. = ω1 · · · ωp Im(A) visto = Ap(E). ii) Ejercicio (misma proposición que ). iii) ωs(1) · · · ωs(p) = t(ω1 · · · ωp) (Ejercicio, misma proposición que ). ωs(1) · · · ωs(p) 1,6,5+1,6,6 = X r Sp ε(r) ωrs(1) · · · ωrs(p) = ε2(s)=1 = ε(s) X r Sp ε(rs) z }" { ε(r)ε(s) ωrs(1) · · · ωrs(p) rs=m Sp = ε(s) X ε(m) ωm(1) · · · ωm(p) = = ε(s) ω1 · · · ωp . iv) Tp(E) z }" { ω1 · · · ωp u1, . . . , up = X r Sp ε(r) ωr(1) · · · ωr(p) u1, . . . , up = X r Sp ε(r) ωr(1)(u1) . . .
ωr(p)(up) def det = det(ωj(ui))i,j. v) ω1 · · · ωi · · · ωi · · · ωp iii) = ( 1)ω1 · · · ωi · · · ωi · · · ωp = = 2 ω1 · · · ωp = 0 car k6=2 = ω1 · · · ωp = 0. vi) = Suponemos que son l.d. y que ωp = Pp 1 j=1 αjωj: ω1 · · · ωp = ω1 · · · ωp 1 p 1 X j=1 αjωj ii) = p 1 X j=1 αj ω1 · · · ωp 1 ωj v) = 0 !! = Sea B = {u1, . . . , un}, B = {ω1, . . . , ωp, Steinitz z }" { ωp+1, . . . , . . . , ωn} la base dual de B, tene- mos que: ω1 · · · ωp u1, . . . , up iv) = det ωj (ui) = 1 0 . . . 0 0 ... ... . . . . . . ... ... 0 0 . . . 0 1 = 1 6= 0. Observación 1.6.9. En el caso particular de B = {e1, . . . en} base de E, I = n i1, . . . ip o , 1 i1 < . . . < ip n; J = n j1, . . . jp o , 1 j1 < . . .
< jp n. 1.6. PRODUCTO EXTERIOR 19 εIJ = e i1 · · · e ip ej1 , · · · , ejp = ( 1 si I = J 0 en el caso contrario En efecto, si jk J, jk / I, entonces en virtud del cálculo dado por iv) (1.6.8), en la posición k hay una fila de ceros. Por otro lado, si I = J entonces tenemos el determinante de la matriz identidad. Observemos también que si I = J pero no están ordenadas crecientemente, εIJ = ±1 en función de las permutaciones que ordenan estos conjuntos. Teorema 1.6.10. Sea E un k-e.v. de dim n, sea B = {e1, . . . , en} y sea p n. i) dim Ap (E) = n p . ii) Una base de Ap es B̃ = n e i1 · · · e ip o , i i1 < · · · < ip n. iii) Si w Ap (E), las coordenadas de w en la base anterior son: w ei1 , . .
. , eip 1 i1<···<ip n Demostración. i) ii) = i) trivialmente. ii) L.I.: Sea w = X I={i1,...,ip} 1 i1<···<ip n αIe i1 · · · e ip = 0. Sea I0 = n i0 1, . . . , i0 p o con 1 i0 1 < · · · < i0 p n cualesquiera. Entonces, 0 = w ei0 1 , . . . , ei0 p = X I={i1,...,ip} 1 i1<···<ip n αIe i1 · · · e ip ei0 1 , . . . , ei0 p 1,6,9 = αI0 . Generadores: Ap (E) = A Tp (E) = Ap h ei1 · · · eip i I = n ei1 · · · eip o I = ii) = n ei1 · · · eip o I ordenado . iii) Sea w Ap (E). Consideremos w̃ = X I={i1,...,ip} 1 i1<···<ip n w ei1 , . . . , eip e i1 · · · e ip . Veremos que w̃ = w. Como tensores, basta ver que coinciden sobre vectores ej1 , . . . , ejp .
Como ambos son alternados, podemos suponer 1 j1 < · · · < jp n. Entonces, w̃ ej1 , . . . , ejp = w ej1 , . . . , ejp . 20 TEMA 1. ÁLGEBRA MULTILINEAL Ejemplo 1.6.11.
Sea E = R3 y B = {e1, e2, e3} Espacio dim base coordenadas A1(E) = T1(E) 3 {e 1, e 2, e 3} w = (a1, b1, c1) A2(E) T2(E) 3 {e 1 e 2, e 1 e 3, e 2 e 3} w1 w2 =(w1 w2)(e1, e2)e 1 e 2+ (w1 w2)(e1, e3)e 1 e 3+ (w1 w2)(e2, e3)e 2 e 3 A3(E) T3(E) 1 {e 1 e 2 e 3} t = (w1 w2 w3) = (t(e1, e2, e3)) Además, si w1 = (a1, b1, c2)B , w2 = (a2, b2, c2)B y w3 = (a3, b3, c3)B w1 w2 = w1(e1) w1(e2) w2(e1) w2(e2) (e 1 e 2)+ w1(e1) w1(e3) w2(e1) w2(e3) (e 1 e 3)+ w1(e2) w1(e3) w2(e2) w2(e3) (e 2 e 3) = = a1 b1 a2 b2 (e 1 e 2) + a1 b1 a3 b3 (e 1 e 3) + a2 b2 a3 b3 (e 2 e 3) w1 w2 w3 = (w1 w2 w3)(e1, e2, e3)(e 1 e 2 e 3) = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 (e 1 e 2 e 3) Observación 1.6.12.
De forma análoga, podemos hacer el producto exterior de ten- sores 1-contravariantes T1 (E) = E y obtendremos Ap (E) con dimensión n p y base n ei1 · · · eip o 1 i1<···<ip n si B = {ei, . . . , en} es base de E. Definición 1.6.13. Sea E un k-ev. y sean f Ap(E) y g Aq(E). Definimos el producto exterior de f y g como f g = (p + q)! p!q! A(f g). Proposición 1.6.14. Sea E un k-ev. y sean f Ap(E), g Aq(E) y h Ar(E). i) (f g) h = f (g h) = f g h ii) f g = ( 1)pq g f iii) es lineal en cada factor. Observación 1.6.15. w1 w2 · · · wr = w1 (w2 (· · · wr 1 (wr))). Ejemplo 1.6.16.
Sea E = R4 , B = {e1, e2, e3, e4} y f, g A2(E) f = e 1 e 2 + e 2 e 3 + e 3 e 4 g = e 1 e 2 + e 1 e 3 f g = (e 1 e 2 + e 2 e 3 + e 3 e 4) (e 1 e 2 + e 1 e 3) = = :0 e 1 e 2 e 1 e 2 + :0 e 1 e 2 e 1 e 3 + :0 e 2 e 3 e 1 e 2 + :0 e 2 e 3 e 1 e 3+ +e 3 e 4 e 1 e 2 + :0 e 3 e 4 e 1 e 3 = e 3 e 4 e 1 e 2 Tema 2 Geometría Proyectiva 2.1. Contexto e idea Segun el programa de Erlangen, una geometría se basa en el estudio de invariantes al aplicar unas ciertas transformaciones. Así tenemos que las geometrías están "incluídas" en las superiores. Así, la geometría euclidea, que estudia las transformaciones ortogonales, estaría "in- cluída" en la geometría afín, que estudia las tansformaciones lineales.
Aquí se muestra una tabla con las distintas geometrías en la cual cada una esta "incluída" en la anterior Geometría Transformaciones de estudio G. euclídea transformaciones ortogonales G. afín transformaciones lineales G. proyectiva proyectividades G. Algebraica transformaciones por polinomios G. Analítica transformaciones por funciones analíticas G. Diferencial transformaciones por funciones de clase C Topología transformaciones por funciones de clase C 0 2.1.1. Problema matemático π2 π1 O r1 r2 s1 s2 p φ(p) p0 φ(p0 ) 21 22 TEMA 2. GEOMETRÍA PROYECTIVA La idea básica del problema es enviar los puntos de π1 a π2 mediante la siguiente aplicación φ: π1 π2 p 7 p0 π2 Observación 2.1.1.
i) φ manda rectas a rectas ii) φ no esta definida en r1 iii) r2 no esta en la imagen de φ iv) φ(s1) y φ(s2) son pararelas, por lo tanto, φ no mantiene el paralelismo v) φ no mantiene el tipo de cónica afín Veremos que la solucion para ii) y iii) consistirá en añadir puntos en el . 2.2. Definición y caracterizaciones del espacio pro- yectivo Definición 2.2.1. Sea k un cuerpo, E un k-e.v. de dim n + 1. El espacio proyectivo asociado a E es P(E) = {s.e.v. de dim 1 de E} Diremos que P(E) tiene dimensión n. Observación 2.2.2. Se cumple P(E) = (E\{0})/ , donde v v0 λ 6= 0, v0 = λv para v, v0 E \ {0}. Definición 2.2.3. Tenemos la siguiente aplicación π dada por el paso al cociente.
π: E \ {0} P(E) v 7 π(v) = [v] {s.e.v. de dim 1 de E} [v] Definición 2.2.4. A los elementos de P(E) los llamaremos puntos de P(E). p = π(v) = [v] Observación 2.2.5. Si E no es relevante, Pn = P(E). Si queremos remarcar k, Pn k = P(E). Normalmente P + kn = P(kn+1 ) = (kn+1 \ 0)/ . Ejemplo 2.2.6. 1. P1 R. 2.2. DEFINICIÓN Y CARACTERIZACIONES DEL ESPACIO PROYECTIVO 23 A1 R Cada objeto de P1 R (rectas en naranja) tiene su equivalente en A1 R (puntos en rojo), a excepción de la recta x = 0. Para solucionar este problema, podemos usar la siguiente representación v1 v2 C Pero el problema ahora viene por que v1 y v2 corresponden al mismo elemento de P1 R.
Lo podemos solucionar de la siguiente forma: De tal forma que A1 R { } = P1 R = C/(v1 v2) 2. P2 R. 24 TEMA 2. GEOMETRÍA PROYECTIVA A2 R Cada objeto de P2 R (rectas en naranja) tiene su equivalente en A2 R (puntos en rojo), a excepción de las rectas del plano x = 0. Para solucionar este problema, procedemos de manera análoga a 1 C De nuevo, nos encontramos con el problema de que hay elementos de C (en azul) que se corresponden con el mismo elemento de P2 R, No obstante, podemos visualizarlo como Y unir los puntos azules antipolares. Aunque, si lo tratamos de imaginar, este objeto no cabe en R3 . 2.3. VARIEDADES LINEALES PROYECTIVAS 25 3. P1 C = (C2 \0)/ = C { } = S2 .
Las igualdades por el momento son por analogía o intuición, más adelante se demostrarán. Aunque nos podemos hacer una idea basándonos en la proyección estereográfica 4. P2 Z/2 contiene 7 puntos pues las rectas de Z3 solo contienen el 0 y un punto. Observación 2.2.7. Hemos enunciado la definición algebraica de Pn R. Existe una defini- ción axiomática que no es igual en algunos casos patológicos. 2.3. Variedades lineales proyectivas Definición 2.3.1. Sea E un k-e.v. de dimensión n + 1, sea Pn = P(E). Llamaremos variedad lineal (proyectiva) de dimensión r a cualquier conjunto de la forma: V = π(H \ {0}) donde H E es un subespacio vectorial de dimensión r + 1.
Por convención defnimos la siguiente notación: V = π(H \ {0}) = π(H) Ejemplo 2.3.2. Pn = π(E) es una variedad lineal de dimensión n. p Pn , p = π(v) = π([v]) es una varidead lineal de dimensión 0. = π( E) es una variedad lineal de dimensión 1. Definición 2.3.3. dim V = 1 Recta dim V = 2 Plano dim V = n 1 Hiperplano Lema 2.3.4. V = π(H \ {0}) H \ {0} = π 1 (V ) 26 TEMA 2. GEOMETRÍA PROYECTIVA Ejercicio 2.3.5. Demostrar el lema anterior. Observación 2.3.6. Hay una biyección {s.e.v. de E} π π 1 variedades lineales de P(E) con dimension r + 1 r H1 H2 V1 V2 con Vi = π(Hi) Las operaciones + y definidas para subespacios, se definen a traves de esta bi- yección a variedades. Proposición 2.3.7.
Sean V1, V2 Pn variedades lineales = V1 V2 variedad lineal que verifica: V1 V2 V1, V2 Si W variedad lineal, W V1, V2 = W V1 V2 Demostración. Veamos que: V1 V2 = π(H1 H2) si Vi = π(Hi) Si v H1 H2, p = [v] π(H1), π(H2) = p V1 V2 Sea p V1 V2, p = [v1], v1 H1 p = [v2], v2 H2 = [v1] = [v2] = λ 6= 0 t.q. v2 = λv1 = = v2 H1 = v2 H1 H2 = p = [v2] π(H1 H2) El resto sigue de lo que sabemos de s.e.v.s. Definición 2.3.8. Sean V1, V2 Pn variedades lineales, Vi = π(Hi), definimos join o variedad lineal generada como: V1 V2 = π(H1 + H2) Proposición 2.3.9. V1, V2 V1 V2 Sea W una variedad lineal, V1, V2 W = V1 V2 W Demostración. Propiedades de la suma de s.e.v. Proposición 2.3.10.
Sean V1, V2 Pn variedades lineales: V1 V2 = dim (V1) dim (V2) Si V1 V2 y dim (V1) = dim (V2) = V1 = V2 Proposición 2.3.11. Fórmula de Grassmann. dim (V1 V2) + dim (V1 V2) = dim (V1) + dim (V2) 2.3. VARIEDADES LINEALES PROYECTIVAS 27 Demostración. Propiedades s.e.v. Ejemplo 2.3.12. 1. P2 V1, V2 rectas, tenemos que dim (V1 V2) + dim (V1 V2) = 2 (Grassmann). dim (V1 V2) 1 dim (V1 V2) 2 Posición relativa 0 2 Se cortan en un punto 1 1 Son la misma recta Por tanto, dos rectas en un plano, o se cruzan o son la misma. 2. P3 V1, V2 rectas, tenemos que dim (V1 V2) + dim (V1 V2) = 2 (Grassmann).
dim (V1 V2) 1 dim (V1 V2) 3 Posición relativa -1 3 Se cruzan 0 2 Se cortan en un punto V1 V2 = P2 1 1 Son la misma recta 3. P3 V1, V2 planos, tenemos que dim (V1 V2) + dim (V1 V2) = 4 (Grassmann). dim (V1 V2) 2 dim (V1 V2) 3 Posición relativa 1 3 Se cortan en una recta 2 2 Son el mismo plano 4. P3 V1 plano, V2 recta, tenemos que dim (V1 V2)+dim (V1 V2) = 3 (Grassmann). dim (V1 V2) 2 dim (V1 V2) 3 Posición relativa 0 3 Se cortan en un punto 1 2 V2 V1 Proposición 2.3.13. Sean p Pn , r, V, H Pn (recta, variedad lineal, hiperplano, respectivamente). 1. dim (V p) = ó dim V ( p V ) dim V + 1 ( p / V ) 2. dim (r H) = ó 1 ( r H) 0 ( r * H) Demostración. Fórmula de Grassmann. Definición 2.3.14.
Sean V1, V2 Pn , (Vi = π (Hi) variedades lineales, V1 y V2 son suplementarias H1 y H2 son complementarios. Observación 2.3.15. V1, V2 suplementarias H1 H2 = E (1) H1 + H2 = E (2) H1 H2 = (1) V1 V2 = Pn (2) V1 V2 = 28 TEMA 2. GEOMETRÍA PROYECTIVA Proposición 2.3.16. Sean V1, V2 Pn variedades lineales: 1. V1, V2 son suplementarias = dim V1 + dim V2 = n 1 2. Si dim V1 + dim V2 = n 1 V1, V2 suplementarias V1 V2 = Pn V1 V2 = Demostración. 1. V1, V2 suplementarias H1, H2 complementarios = dim V1+1 z }" { dim H1 + dim V2+1 z }" { dim H2 = dim E = n + 1 2. Fórmula de Grassmann. Definición 2.3.17. Sea Pn = R(E), y sean p0, . . . , pm Pn tal que pi = [vi], vi E, decimos que p0, . . .
, pm son linealmente independientes (l.i.) v0, . . . , vm E son linealmente independientes. Observación 2.3.18. La independencia lineal no depende de los representantes elegidos. Ejemplo 2.3.19. P2 R = P(R3 ). Sean p0 = [(1, 1, 0)], p1 = [(0, 1, 1)], p2 = [(2, 3, 1)]. Enton- ces p0 y p1 son linealmente independientes, pero p0, p1, p2 son linealmente dependientes. Proposición 2.3.20. Sean p0, . . . , pm Pn puntos y V Pn una variedad lineal: 1. dim (p0 · · · pm) m. 2. dim (p0 · · · pm) = m p0, . . . , pm son linealmente independientes. 3. dim V = m p0, . . . , pm V linealmente independientes tales que V = p0 · · · pm p0, . . . , pm V linealmente independientes, V = p0 · · · pm. Demostración.
Inmediata a partir de propiedades de s.e.v.. Definición 2.3.21. p0, . . . , pr Pn (r n) están en posición general n + 1 puntos cualesquiera de ellos son l.i.. 2.4. Sistemas de referencia proyectivos. Coordena- das proyectivas Observación 2.4.1. Pn = P(E). Sea B = {v0, . . . , vn} base de E: p = [v] = [λv] (v)B = x0 . . . xn (λv)B = λx0 . . . λxn Vemos que las coordenadas estarían definidas salvor por multiplicar por λ. 2.4. SISTEMAS DE REFERENCIA Y COORDENADAS PROYECTIVOS 29 Definición 2.4.2. Sea Pn = P(E).Un sistema de referencia proyectivo en Pn es: R = {p0, . . . , pn; p} Donde p0, . . . , pn, p están en posición general. {p0, . . .
, pn} son los vertices de R p es el punto unidad Definición 2.4.3. Sea Pn = P(E). Fijado un sistema de referencia R. Sea B = {u0, . . . , un} base de E. Diremos que B está adaptada a R si y solo si: pi = [ui], i = 0, . . . , n p = [u0 + · · · + un] Asignación de coordenadas proyectivas Pn = P(E), Sea R = {p0, . . . , pn; p}, y B = {u0, . . . , un} una base adaptada. Sea q Pn , q = [v], entonces qR = vB. (Hace falta ver que la definición es consistente) Proposición 2.4.4. Sea R un sistema de referencia en Pn . Sean B1 = {u0, . . . , un}, B2 = {u0 0, . . . u0 n} bases adaptadas a R. Sea q = [v] Pn , entonces λ 6= 0 tal que vB2 = λvB1 . Demostración. pi = [ui] = [u0 i], i = 0, . . . , n.
Por tanto, λ 6= 0 tal que u0 i = λiui, i = 1, . . . , n. Por otro lado, p = [u0 + · · · + un] = [u0 0 + · · · + u0 n] = λ 6= 0 tal que u0 0 + · · · + u0 n = = λ0u0 + · · · + λnun = λ(u0 + · · · + un) B1 base = λi = λ i = 1, . . . , n Observación 2.4.5. R = {p0, . . . , pn; p} en Pn 1. q Pn , qR = (a0, . . . , an) = λ(a0, . . . , an) notación = (a0 : · · · : an) λ 6= 0 2. Ejemplos: (p0)R = (1 : 0 : · · · : 0) . . . (pn)R = (0 : · · · : 0 : 1) 3. qR = (0 : · · · : 0) no existe. 4.
Sea P2 R = P(R3 ), R = {p0, p1, p2; p} = [(1, 1, 0)], [(1, 0, 1)], [(0, 1, 1)]; [(3, 3, 2)] , en- tonces B = [(1, 1, 0)], [(1, 0, 1)], [(0, 1, 1)] no es una base adaptada, para que lo sea, debemos multiplicar v0, v1, v2 por λ0, λ1, λ2 tales que p = λ0p0 + λ1p1 + λ2p2. En este caso: λ0 + λ1 = 3 λ0 + λ2 = 3 λ1 + λ2 = 2 λ0 = 2 λ1 = 1 λ2 = 1 Y el sistema de referencia con la base B adaptada es: R0 = [(2, 2, 0)], [(1, 0, 1)], [(0, 1, 1)]; [(3, 3, 2)] 30 TEMA 2. GEOMETRÍA PROYECTIVA Ejemplo 2.4.6. Consideremos el espacio P2 R, un sistema de referencia R = {p0, p1, p2; p}, con p0 = [(1, 1, 0)], p1 = [(1, 0, 1)], p2 = [(0, 1, 1)] y p = [(3, 3, 2)].
Queremos encontrar B = {u0, u1, u2} una base adaptada, es decir, que cumpla p = [u0 +u1 +u2] y que pi = [ui]. Comprobamos que para la base B = n (2, 2, 0)t , (1, 0, 1)t , (0, 1, 1)t o , se cumple (p0)R = (1 : 0 : 0) (p1)R = (0 : 1 : 0) (p2)R = (0 : 0 : 1) (p)R = (1 : 1 : 1) El punto q = [(3, 2, 1)] tiene las coordenadas qR = wB = (1 : 1 : 0), que, en un abuso de notación, escribiremos como (1, 1, 0). Proposición 2.4.7. Sean R1, R2 sistemas de referencia de Pn . Sea q Pn . i) S Mn+1(k) invertible tal que qR1 = SqR2 (matriz del cambio de sistema de referencia). ii) Sean B1, B2 bases adaptadas a R1, R2 respectivamente. Podemos coger S = SB2,B1 .
iii) Cualquier matriz de cambio de referencia es de la forma S = λSB2,B1 (λ 6= 0). Demostración. Cambio de base en E. Observación 2.4.8. Sea R sistema de referencia en Pn , y B una base adaptada a éste. Las variedades lineales se pueden describir con Ecuaciones paramétricas: Sea V Pn una variedad lineal de dim m. Entonces p0, . . . , pm V linealmentes independientes tales que V = p0 · · · pm y para q Pn q V w F α0, . . . , αm k wB = α0(v0)B + · · · + αm(vm)B α0, . . . , αm k qR = α0(p0)R + · · · + α(pm)R Donde V = π(F), pi = π(vi), y q = π(w). Ecuaciones implícitas: Las ecuaciones implícitas de V en R coinciden con las ecua- ciones implícitas de F en B.
Es decir, existe una matriz A tal que los vectores wB = x0 . . . xn que cumplen A x0 . . . xn = 0 . . . 0 son todos los pertenecientes a F y los puntos qR = x0 . . . xn que cumplen A x0 . . . xn = 0 . . . 0 son todos los pertenecientes a V . Observación 2.4.9. Sea E un k-e.v. de dimensión n + 1, F un subespacio vectorial de dimensión m + 1, Pn = P(E) y V = π(F) una variedad lineal. Entonces dim V = dim F 1 = dim E rg A 1 = n + 1 rg A 1 = m = dim V = n rg A 2.4. SISTEMAS DE REFERENCIA Y COORDENADAS PROYECTIVOS 31 Observación 2.4.10. Para convertir de ecuaciones implícitas a paramétricas se debe resolver el sistema de ecuaciones homogéneo.
Para convertir de ecuaciones paramétricas a implícitas se debe imponer rg (p0)R . . . (pm)R x0 . . . xn = rg (p0)R . . . (pm)R Ejemplo 2.4.11. Consideremos el espacio P2 R con un sistema de referencia R = {p0, p1, p2, p}, y los puntos (q0)R = (1, 1, 1) y (q1)R = (1, 2, 0). Encontremos las ecuaciones paramétricas e implícitas de la recta V = q0 q1. Dado que los puntos son dados directamente y se hace su join, las ecuaciones pa- ramétricas son tan solo las combinaciones lineales de q0 y q1. Más formalmente, si (q)R = x0 x1 x2 , se cumple q V α0, α1 t.q.
x0 x1 x2 = α0 1 1 1 + α1 1 2 0 Para encontrar las ecuaciones implícitas de esta variedad, imponemos que (x0, x1, x2) sea combinación lineal de q0 y q1, es decir, q V rg 1 1 x0 1 2 x1 1 0 x2 = rg 1 1 1 2 1 0 = 2 1 1 x0 1 2 x1 1 0 x2 = 0 Consideremos ahora la recta V 0 dada por x0 + x1 + x2 = 0. Para encontrar su expre- sión paramétrica, debemos resolver este sistema de ecuaciones. En este caso, podemos encontrar dos soluciones linealmente independientes y expresar todas las soluciones como combinaciones lineales de estas. x0 x1 x2 = β0 1 1 0 + β1 0 1 1 En este mismo ejemplo, p0 p1 : x2 = 0, p2 p : x1 x0 = 0 y (p0 p1) (p2 p) = (1, 1, 0). Análogamente para los demás índices. Ejemplo 2.4.12.
Consideremos P2 Z/2 . Sus puntos se pueden expresar como (a, b, c) a, b, c Z/2. Podemos representarlo como 32 TEMA 2. GEOMETRÍA PROYECTIVA (0, 0, 1) (0, 1, 0) (1, 0, 0) (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 1) x0 + x1 + x2 = 0 Como se puede observar, contiene siete puntos y siete rectas. Se denomina plano de Fano. Observación 2.4.13. En P2 , sean (p0)R = a0 b0 c0 y (p1)R = a1 b1 c1 . Entonces, V = p0 p1 : x0 x1 x2 = α a0 b0 c0 + β a1 b1 c1 . Es decir, aunque no haya operación suma definida entre puntos, está bien definido el conjunto de combinaciones lineales de ellos. Observación 2.4.14. i) V = p0 · · · pm W = q0 · · · qr ) V W = p0 · · · pm q0 · · · qr. Demostración. Directa de espacios vectoriales.
ii) V : A x0 . . . xn = 0 W : B x0 . . . xn = 0 V W : A B ! x0 . . . xn = 0. Demostración. Directa de espacios vectoriales. 2.5. Dualidad La dualidad es una diferencia fundamental respecto de la geometría afín. Ejercicio 2.5.1. Problema 3, Lista T1. Consideremos E un espacio vectorial y su dual E . Sea F E un subespacio vectorial. Entonces, F = w E "w (u) = 0 u F es un subespacio vectorial de E y se satisface que dim F = dim E dim F. Además, se tiene que F1 F2 F 2 F 1 , 2.5. DUALIDAD 33 (F1 F2) = F 1 + F 2 , (F1 + F2) = F 1 F 2 , F = F. Por tanto, E = E E {s.e.v. de dim = d} {s.e.v.
de dim = dim E d} de manera que la operación define una biyección entre E y E que invierte el orden de las inclusiones e intercambia + y . Definición 2.5.2. Sea Pn = P (E). Llamaremos espacio proyectivo dual de P (E) a (Pn ) P (E ) . Observación 2.5.3. i) dim (Pn ) = n. ii) (Pn ) = Pn . Definición 2.5.4. Sea F E y sea V = π (F) Pn una variedad lineal de dim m. Entonces, se define la variedad lineal dual de V como V π F (Pn ) . Observación 2.5.5. i) dim V = n m 1, ii) (V ) = V , iii) V1 V2 V 2 V 1 , iv) (V1 V2) = V 1 V 2 , v) (V1 V2) = V 1 V 2 . En conclusión, Pn = (Pn ) (Pn ) {vars. lins. de dim = m} {vars. lins.
de dim = n m 1} de manera que la operación define una biyección entre Pn y (Pn ) que invierte el orden de las inclusiones e intercambia y . Observación 2.5.6. Caso particular de los hiperplanos. Pn (Pn ) H hiperplano 7 H punto dim m = n 1 dim n (n 1) 1 = 0 34 TEMA 2. GEOMETRÍA PROYECTIVA Recíprocamente, Hp p hiperplano [ p (Pn ) En ecuaciones, Hp : a0x0 + · · · + anxn = 0 p = a0 . . . an . Conclusión: los hiperplanos de Pn son (están en biyección con) un espacio proyectivo de dim n. Definición 2.5.7. Sean H0, . . . , Hm hiperplanos de Pn . H0, . . . , Hm son linealmente in- dependientes H 0 , . . . , H m son linealmente independientes. Definición 2.5.8. Sean H0, . . . , Hm hiperplanos de Pn .
H0, . . . , Hm están en posición general H 0 , . . . , H m están en posición general. Proposición 2.5.9. Sean H0, . . . , Hm Pn hiperplanos, entonces H0, . . . , Hm l.i. dim(H0 · · · Hm) = n m 1 Demostración. H0, . . . , Hm l.i def H 0 , . . . , H m (Pn ) son l.i. dim(H o · · · H m) = m dim(H o · · · H m) = n m 1 = dim(H0 · · · Hm) Definición 2.5.10. Una recta (o haz) de hiperplanos en Pn es la colección de hiperplanos que contienen a una variedad fijada V de dimensión n 2. Ejemplo 2.5.11. Dualización del triángulo. Triángulo en P2 Triángulo en P2 q1 q2 q3 r1 r2 r3 (r1) (r2) (r3) (q1) (q2) (q3) Ejemplo 2.5.12.
Cuadrilátero en P2 Cuadrilátero en P2 q4 q1 q2 q3 f h r1 q5 q6 j r1 r4 r3 r2 f g i j k 2.6. LOS TEOREMAS DE DESARGUES Y PAPPUS 35 Definición 2.5.13. Sea R = {p0, . . . , pn; p} una referencia de Pn , sea B = {u0, . . . , un} una base adaptada y sea B = {u 0, . . . , u n} su base dual. Entonces, llamamos referencia dual de R a R = n p0 0 = [u 0], . . . , p0 n = [u n]; p0 = [u 0 + · · · + u n] o Observación 2.5.14. R no depende de la base B escogida. Ejemplo 2.5.15. En coordenadas, sea p Pn y sea pR = (a0, . . . , an), entonces p es un hiperplano de (Pn ) y, en referencia R se tiene p a0x0 0 + · · · + anx0 n = 0 Y si H Pn en referencia R Pn H b0x0 + · · · + bnxn = 0 entonces (H )R = (b0, . . .
, bn) Observación 2.5.16. En general, si tenemos R una referencia de Pn y una refencia de (Pn ) , R = {p0 0 , . . . , pn 0 ; p0 }. Entonces (pi 0 ) es un hiperplano tal que pi / (pi 0 ) y pj (pi 0 ) i 6= j. 2.6. Los teoremas de Desargues y Pappus Teorema 2.6.1. Teorema de Desargues. Sean ABC, A0 B0 C0 dos triángulos en P2 (sin vértices ni lados en común). Entonces, AA0 BB0 CC0 6= AB A0 B0 = Z AC A0 C0 = Y BC B0 C0 = X están alineados. O A B C A0 C0 B0 Y Z X r Demostración. = Analítica R = {A, B, C; O}, es un sistema de referencia porque todos los puntos son linealmente independientes. A, B, C linealmente independientes (ABC triangulo) 36 TEMA 2.
GEOMETRÍA PROYECTIVA A, B, O linealmente independientes (si no, AB = A0 B0 ) B, C, O linealmente independientes (si no, BC = B0 C0 ) C, A, O linealmente independientes (si no, AC = A0 C0 ) Tenemos que A0 AO : x1 x2 = 0 i A 6= A0 = A0 = (a : 1 : 1) B0 BO : x0 x2 = 0 i B 6= B0 = B0 = (1 : b : 1) C0 CO : x0 x1 = 0 i C 6= C0 = C0 = (1 : 1 : c) Z : AB : x2 = 0 A0 B0 : 0 = a 1 x0 1 b x1 1 1 x2 x0(1 b) x1(a 1) = x0(1 b) + x1(1 a) = 0 = = Z = (a 1 : 1 b : 0). Análogamente, X = (0 : b 1 : 1 c), Y = (a 1 : 0 : 1 c). Vemos que Z X = Z = X, Y, Z no son linealmente independientes X, Y, Z están alineados.
= Sintética π plano en P3 z }" { P2 = P(E) P(E) = P3 , E = E × k Sea r una recta en P3 , r * π, tal que r π = O. Sean p, p0 r, p 6= p0 , p, p0 6= O. r y AA0 son coplanarias = pA p0 A0 = A0 (intersección de rectas en un plano). Análogamente, pB p0 B0 = B0 pC p0 C0 = C0 . Por construcción, pA0 π = A, pB0 π = B, pC0 π = C p0 A0 π = A0 , p0 B0 π = B0 , p0 C0 π = C0 A0, B0, C0 son linealmente independientes (forman un triángulo). Si estuvieran alineados, T = A0 B0 C0 = A, B, C π (p t) estarían alineados. Finalmente, Z = AB A0 B0 = π (A0 B0 p) A0 B0 p0 intersección de = planos distintos π (A0 B0) Análogamente, Y = π (A0 C0) y X = π (B0 C0).
Entonces, X, Y, Z π (A0 B0 C0) (que es una recta porque es la intersección de dos planos distintos). = Dualidad Hipotésis: X, Y, Z están alineados. Consideramos el espacio proyectivo dual y dualizamos las hipótesis: 2.6. LOS TEOREMAS DE DESARGUES Y PAPPUS 37 r (AB) (AC) (BC) (A0 B0 ) (B0 C0 ) (A0 C0 ) (B) (C) (A) (B0 ) (C0 ) (A0 ) (BB0 ) (AA0 ) (CC0 ) Z Y X O Queremos ver que, en efecto, (AA0 ) , (BB0 ) , (CC0 ) están alineados. Por la primera implicación, s (P2 ) recta tal que: s = " h (AB) (AC) i A0 B0 A0 C0 # [. . . ] [. . . ] = (AB AC) A0 B0 A0 C0 [. . . ] [. . . ] = A (A0 ) B (B0 ) C (C0 ) = (AA0 ) (BB0 ) (CC0 ) s = (AA0 BB0 CC0 ) = AA0 BB0 CC0 = s (un punto) Observación 2.6.2.
El teorema de Desargues es su propio dual: ( = ) ( = ). Observación 2.6.3. Definición axiomática de P2 X puntos Y rectas Hay una relación de pertenencia entre puntos y rectas (los puntos pertenecen a rectas). Axiomas: p1, p2, !r tal que p1, p2 r r1, r2, !p tal que p r1, r2 4 puntos no alineados Teorema 2.6.4. Teorema de Pappus. Sean r, s P2 k rectas diferentes (r 6= s), sean A, B, C r tal que A 6= B, B 6= C y C 6= A y sean también A0 , B0 , C0 s tal que A0 6= B0 , B0 6= C0 y C0 6= A0 . Entonces x0 AB0 A0 B, x1 AC0 A0 C y x2 BC0 B0 C están alineados. Demostración. 38 TEMA 2. GEOMETRÍA PROYECTIVA O A B C A0 B0 C0 x2 x1 x0 Tomamos la referencia R = {A, B, A0 ; B0 }.
Entonces A = (1, 0, 0) A0 = (0, 0, 1) B = (0, 1, 0) B0 = (1, 1, 1) C = (1, a, 0) C0 = (1, 1, b) con a, b 6= 0. Calculamos ahora x0, x1 y x2 y vemos que x0 x1 x2 = 0 2.7. Coordenadas absolutas. Razón doble Definición 2.7.1. Sea R = {p0, p1; p} un sistema de referencia de P1 k y sea q P1 k con qR = (x0, x1) las coordenadas de q en la referencia R. Definimos las coordenadas absolutas de q como α = x0 x1 k { } Observación 2.7.2. A diferencia de las coordenadas normales, NO está definido salvo constantes. Observación 2.7.3. Al trabajar con coordenadas absolutas, trabajaremos con aritmética normal de 0/ . Observación 2.7.4.
(p0)R = (1, 0) α0 = (p1)R = (0, 1) α1 = 0 (p2)R = (1, 1) α2 = 1 Definición 2.7.5. Sean q1, q2, q3, q4 P1 k con al menos 3 de ellos diferentes. Sea R un sistema de referencia y sean (qi)R = (xi : yi) i = 1, 2, 3, 4. Definimos la razón doble de q1, q2, q3, q4 como (q1, q2, q3, q4) = x3 y3 x1 y1 x3 y3 x2 y2 : x4 y4 x1 y1 x4 y4 x2 y2 k { } 2.7. COORDENADAS ABSOLUTAS. RAZÓN DOBLE 39 Observación 2.7.6. La razón doble no depende del sistema de referencia ni del represen- tante de cada punto. De hecho, sean R y R dos sistemas de referencia y qi = (xi, yi)R = (xi, yi)R, por lo tanto xi yi ! = S xi yi !
y se tiene que x3 y3 x1 y1 x3 y3 x2 y2 : x4 y4 x1 y1 x4 y4 x2 y2 = det S x3 y3 x1 y1 det S x3 y3 x2 y2 : det S x4 y4 x1 y1 det S x4 y4 x2 y2 Observación 2.7.7. La razón doble es cociente de razones simples Observación 2.7.8. En coordenadas absolutas, si q1 α1 (α1 : 1) q2 α2 (α2 : 1) q3 α3 (α3 : 1) q4 α4 (α4 : 1) teniendo en cuenta que ( , 1) = (1, 0). emtonces, (q1, q2, q3, q4) = α3 1 α1 1 α3 1 α2 1 : α4 1 α1 1 α4 1 α2 1 = α3 α1 α3 α2 : α4 α1 α4 α2 Observación 2.7.9. Sean q1, q2, q3, q4 P1 k tal que {q1, q2, q3} son diferentes dos a dos.
Tomamos R = {q1, q2; q3} como nuestro sistema de referencia y sean (x, y)R = q4 las coordenadas de q4 en el sistema de referencia R, entonces (q1, q2, q3, q4) = 1 1 1 0 1 1 0 1 : x y 1 0 x y 0 1 = 1 1 : y x = x y es decir, la coordenada absoluta de q4 en la referencia R = {q1, q2; q3}. Observación 2.7.10. Sea V Pn una variedad de dimensión n 2, por lo tanto V es una recta de (Pn ) y si V H1, H2, H3, H4 Pn , la razón doble de H1, H2, H3, H4 queda definida considerando los hiperplanos como puntos del espacio dual, es decir, (H1, H2, H3, H4) = (H 1 , H 2 , H 3 , H 4 ) Ejemplo 2.7.11. Consideramos V P4 V : x0 = 0 x1 = 0 40 TEMA 2.
GEOMETRÍA PROYECTIVA Podemos identificar V = H P4 hiperplano "V H . Tomamos ahora H1 x0 = 0 (1, 0, 0, 0) H2 x1 = 0 (0, 1, 0, 0) H3 2x0 + x1 = 0 (2, 1, 0, 0) H4 3x0 + 2x1 = 0 (3, 2, 0, 0) Para calcular la razón doble, aplicamos la observación 2.7.9, y tomamos el sistema de referencia R = {H1, H2; H3} y B = (2, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0) una base adaptada. Entonces se tiene que (H4)R = 3 2 , 2 = (3, 4). Por lo tanto, (H1, H2, H3, H4) = 3 4 Proposición 2.7.12. Sean q1, q2, q3, q4 Pn y sea ρ = (q1, q2, q3, q4). Si permutamos los cuatro puntos, (con 4! = 24 posiblidades), obtendremos uno de los sisguientes valores para la razón doble Ap = ( ρ, ρ 1 , 1 ρ, 1 1 ρ , ρ ρ 1 , ρ 1 ρ ) Definición 2.7.13.
Sean V, r Pn dos variedades suplementarias con dim r = 1 ( = dim V = n 2). Entonces, definimos la proyección desde V como Φ: r V p 7 V p De nuevo identificando los hiperplanos de Pn con puntos de (Pn ) . Asimismo, definimos la sección con r como Ψ: V r H 7 H r Observación 2.7.14. p / V = V p es un hiperplano que contiene a V . Observación 2.7.15. Ψ está bien definido y r H es un punto. En efecto, si r H no es un punto, r H, pero si nos miramos ahora H = Pn 1 , entonces V es un hiperplano de H, = r V 6= , lo cual es una contradicción ya que hemos supuesto que V y r son suplementarias. Observación 2.7.16. Φ(Ψ(H)) = H y Ψ(Φ(p)) = p, esd decir, Φ y Ψ son inversas mutuas. Teorema 2.7.17.
Teorema de la invariancia de razón doble. Sean V, r Pn dos variades suplementarias con dim r = 1 ( = dim V = n 2) y sean Φ y Ψ la proyección desde V y la sección con r respectivamente. Entonces, i) p1, p2, p3, p4 r con p1, p2, p3 distintos dos a dos (p1, p2, p3, p4) = Φ(p1), Φ(p2), Φ(p3), Φ(p4) ii) H1, H2, H3, H4 V (identificando hiperplanos con elementos del dual) con H1, H2, H3 distintos dos a dos. Entonces (H1, H2, H3, H4) = Ψ(H1), Ψ(H2), Ψ(H3), Ψ(H4) 2.8. CUATERNAS ARMÓNICAS 41 Demostración. Primero vemos que i) ii) porque Ψ 1 = Φ. Pasamos ahora a demostrar i). Sea ρ = (p1, p2, p3, p4), entonces podemos elegir u1, u2 E tal que p1 = [u1], p2 = [u2] y p3 = [u1 + u2].
Por lo tanto p4 = [ρu1 + u2], de la misma forma, ρ = (H1, H2, H3, H4) y podemos escoger w1, w2 E tal que H1 = [w1], H2 = [w2] y H3 = [w1 + w2]. Lo que implica que H4 = [ρw1 + w2]. Ahora trabajamos con que pi Hi. Entonces p1 H1 = w1(u1) = 0 p2 H2 = w2(u2) = 0 p3 H3 = (w1 + w2)(u1 + u2) = 0 = :0 w1(u1) + w1(u2) + w2(u1) + :0 w2(u2) = 0 p4 H4 = (ρw1 + w2)(ρu1 + u2) = 0 = :0 ρw1(u1) + ρw1(u2) + ρw2(u1) + :0 w2(u2) = 0 trabajando ahora con la cuarta ecuación ρw1(u2) + ρw2(u1) = w1(u2)(ρ ρ) = 0 (1) = ρ = ρ La cancelación en (1) ocurre ya que w1(u2) 6= 0.
Y w1(u2) 6= 0 ya que, si lo fuera, w1(u2) = 0 = p2 H1 = {p1, p2} r H1 = r H1 = r V 6= pero como sabemos r V = ya que son variedades suplementarias. 2.8. Cuaternas armónicas Observación 2.8.1. Sean p1, p2, p3, p4 Pn diferentes dos a dos. y sea Ap = ( ρ, 1 ρ , 1 ρ, 1 1 ρ , ρ ρ 1 , ρ 1 ρ ) Entonces, los valores de Ap son diferentes, salvo el caso en que Ap = ( 1, 1 2 , 2 ) con k = R Definición 2.8.2. Sean p1, p2, p3, p4 Pn diferentes dos a dos. Entonces {p1, p2, p3, p4} forman una cuaterna armónica si y solo si (p1, p2, p3, p4) = 1 Proposición 2.8.3. Sean p1, p2, p3, p4 Pn diferentes dos a dos.
Entonces, son eqivalentes i) ρ = (p1, p2, p3, p4) = 1 ii) (p1, p2, p3, p4) = (p2, p1, p3, p4) iii) (p1, p2, p3, p4) = (p1, p2, p4, p3) iv) (p1, p2, p3, p4) = (p3, p4, p1, p2) Demostración. La demostración se hará en clase de problemas 42 TEMA 2. GEOMETRÍA PROYECTIVA Teorema 2.8.4. Teorema de la cuaterna armónica en el cuadrilátero. Sean A, B, C, D, p1, p2 P2 los vértices de un cuadrilátero, sea p1p2 = r P2 , AC = s P2 , s BD = O P2 , s r = p3 P2 y DB r = p4 P2 . Entonces, {p1, p2, p3, p4} son una cuaterna armónica. Dicho de otra forma, en un cuadrilátero, la intersección de una diagonal con las otras dos y los vértices de la diagonal forman una cuaterna armónica. A B C D O p1 p2 p3 p4…