Fonaments Matemàtics: Lógica y Conjuntos

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APUNTES FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Grado en Ingeniería Informática Universidad Politécnica de Cataluña AprenAI 2026-2027 Apuntes de Fonaments Matemàtics: lógica proposicional, tablas de verdad, reglas de deducción y álgebra de conjuntos para Grado en Ingeniería Informática.

APREN.AI Índice Lógica proposicional 1 Conectivas y tablas de verdad Proposiciones y valores de verdad Conectivas elementales Condicional, variantes y bicondicional Tautologías y contradicciones 2 Equivalencias y métodos de deducción Implicación lógica y reglas de inferencia Equivalencias lógicas fundamentales Estructura del razonamiento deductivo y métodos de demostración 3 Teoría de conjuntos — Operaciones y álgebra básica Fundamentos: pertenencia, inclusión y conjuntos especiales Operaciones fundamentales y álgebra de conjuntos 4 Formulario Lógica proposicional y tablas de verdad Reglas de inferencia y métodos de deducción Álgebra de conjuntos Errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Fonaments Matemàtics: Lógica y Conjuntos 1 1 Conectivas y tablas de verdad AL ACABAR SABRÁS Identificar proposiciones lógicas y determinar el tamaño de sus tablas de verdad. Construir tablas de verdad para conjunciones, disyunciones, condicionales y bicondicionales. Formular el recíproco y contrarrecíproco de un condicional dado. Diferenciar entre tautología y contradicción según sus valores de verdad. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Puede una promesa expresada como «si llueve, no salgo de casa» ser falsa si ese día no llueve?

La lógica matemática estudia la validez de los razonamientos a partir de unidades elementales de información y sus conexiones lógicas.

ESQUEMA Estructura de la Lógica Proposicional Lógica proposicional 1 Conectivas y tablas de verdad 2 Equivalencias y métodos de deducción Elementos básicos Proposiciones simples y valores de verdad Conectivas lógicas Operadores de conjunción, disyunción y negación Implicaciones Condicional, contrarrecíproco y bicondicional Evaluación global Tablas de verdad, tautologías y contradicciones Fonaments Matemàtics: Lógica y Conjuntos 2 Proposiciones y valores de verdad En lógica binaria, una proposición es un enunciado o afirmación que solo puede admitir uno de dos valores posibles: verdadero (V) o falso (F), sin término medio.

Si una frase depende del contexto subjetivo (como afirmar que un número arbitrario es grande), no constituye una proposición. Las variables de enunciado representan proposiciones indeterminadas y se denotan con letras minúsculas ( ). Se distingue entre proposiciones simples, que no admiten descomposición en partes más breves, y proposiciones compuestas ( ), que resultan de asociar varias simples mediante conectivas. Una tabla de verdad presenta de forma exhaustiva las combinaciones de verdad de las proposiciones simples implicadas. Para un conjunto de variables existen exactamente combinaciones posibles.

COMPRUEBA 2 ¿Cuántas filas tiene la tabla de verdad de una proposición compuesta con 3 variables simples? Conectivas elementales Las proposiciones simples se combinan o modifican a través de operadores denominados conectivas: Disyunción ( , denotada ): solo resulta falsa si ambas componentes son falsas. Si al menos una es verdadera, el enunciado es verdadero. Conjunción ( , notada ): resulta verdadera únicamente cuando las dos proposiciones que la componen son verdaderas simultáneamente. Disyunción exclusiva: resulta verdadera si los valores de las proposiciones son distintos, y falsa si ambas coinciden en veracidad o falsedad.

Negación ( ): invierte el valor de verdad de la proposición original. V V V V F V F V F F F V V F V F F F F V Condicional, variantes y bicondicional La proposición condicional ( , leída «si entonces ») vincula un antecedente o hipótesis ( , condición suficiente) con un consecuente o tesis ( , condición necesaria). El condicional solo es falso cuando la hipótesis es verdadera y la conclusión es falsa; en cualquier otro escenario resulta verdadero. A partir de un condicional se definen formas derivadas: Recíproco: . p, q, r, s, ...

P , Q, R n 2n p o q p q p y q p q ¬p p q pνq p q ¬p p q p q p q p q q p Fonaments Matemàtics: Lógica y Conjuntos 3 Contrarrecíproco: la proposición contrarrecíproca es . Por su parte, el bicondicional ( , « si y solo si ») equivale lógicamente a la conjunción . Un bicondicional es verdadero exclusivamente cuando ambas variables comparten el mismo valor de verdad. V V V V V V V F F V F F F V V F V F F F V V V V ERROR FRECUENTE Asumir que si la hipótesis es falsa en un condicional , el resultado global es falso. Siempre que el antecedente es falso, el condicional es automáticamente verdadero, independientemente de la conclusión.

Tautologías y contradicciones Una tautología es una proposición compuesta cuyo valor de verdad es siempre verdadero, al margen de los valores individuales de sus términos componentes; suele denotarse con [T]. Por el contrario, una contradicción es un enunciado que resulta invariablemente falso bajo cualquier combinación, denotado por [C]. Para profundizar en las equivalencias formales y reglas de inferencia a partir de estas estructuras, véase «Lógica proposicional — Equivalencias y métodos de deducción». COMPRUEBA 3 ¿Qué diferencia a una tautología de una contradicción? IDEAS CLAVE Una proposición solo puede admitir valor verdadero o falso, nunca ambos simultáneamente.

Para proposiciones simples, la tabla de verdad contiene combinaciones de entrada. El condicional únicamente resulta falso ante hipótesis verdadera y conclusión falsa. El condicional original y su contrarrecíproco presentan exactamente la misma tabla de verdad. Una tautología toma siempre el valor verdadero y una contradicción toma siempre el valor falso. ¬q ¬p p q p q (p q) (q p) p q p q q p ¬q ¬p p q p p q n 2n p q p q ¬q ¬p Fonaments Matemàtics: Lógica y Conjuntos 4 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 4. ¿En qué único caso es falso el condicional ? 5. ¿Cuál es la expresión contrarrecíproca del condicional ?

LÓGICA PROPOSICIONAL 2 Equivalencias y métodos de deducción AL ACABAR SABRÁS Identificar y aplicar las reglas de inferencia deductivas en razonamientos proposicionales. Simplificar expresiones complejas mediante el uso de leyes de equivalencia lógica. Diseñar demostraciones formales empleando el método del contrarrecíproco y la reducción al absurdo. PIÉNSALO ANTES DE LEER 6 ¿Por qué refutar la conclusión de una implicación permite deducir la negación de su punto de partida?

Implicación lógica y reglas de inferencia Una proposición compuesta implica lógicamente a otra proposición , denotado por como condicional, cuando dicho condicional constituye una tautología (véase «Lógica proposicional — Conectivas y tablas de verdad»). En ese caso se escribe o formalmente . Las principales reglas de inferencia son implicaciones tautológicas que permiten derivar conclusiones verdaderas a partir de premisas verdaderas: Adición: Modus Ponendo Ponens: Modus Tollendo Tollens: Silogismo hipotético: Silogismo disyuntivo: y también Dilema constructivo: Contradicción: COMPRUEBA 7 ¿Por qué la regla del Modus Ponens garantiza que la conclusión sea verdadera si las premisas lo son?

p q p q P Q P Q P Q P Q es T p (pνq) [(p q)νp] q [(p q)ν¬q] ¬p [(p q)ν(q r)] (p r) [¬pν(pνq)] q [pν(¬pν¬q)] ¬q [(p q)ν(r s)ν(pνr)] (qνs) (p ) ¬p Fonaments Matemàtics: Lógica y Conjuntos 5 Equivalencias lógicas fundamentales Dos proposiciones compuestas y son lógicamente equivalentes si se implican mutuamente, es decir, cuando el bicondicional es una tautología. Se denota como .

Ley lógica Equivalencia para la conjunción Equivalencia para la disyunción Idempotencia Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes de De Morgan eg (p u q) eg p u eg q eg (p u q) eg p u eg q Dominación Identidad Otras equivalencias fundamentales incluyen la doble negación ( ), la definición del condicional ( ), la exportación ( ), el contrarrecíproco ( ) y la reducción al absurdo ( ). ERROR FRECUENTE Confundir el enunciado recíproco con el contrarrecíproco. El recíproco de es , el cual no es equivalente a la proposición original. La equivalencia válida es la del contrarrecíproco: .

Estructura del razonamiento deductivo y métodos de demostración Un razonamiento deductivo tiene la forma de un condicional donde las premisas forman el antecedente y la conclusión es el consecuente. El razonamiento es válido si el condicional asociado es una tautología; si admite un caso donde las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa, constituye una falacia. Para verificar la validez de una implicación existen tres vías principales: Transformación directa: aplicar equivalencias lógicas a la hipótesis hasta obtener la conclusión. Demostración por el contrarrecíproco: probar que es una tautología (véase «Lógica proposicional — Conectivas y tablas de verdad»).

Reducción al absurdo: demostrar que suponer la falsedad del condicional conduce a una contradicción.

P Q P Q P Q pνp p pνp p pνq qνp pνq qνp (pνq)νr pν(qνr) (pνq)νr pν(qνr) pν(qνr) (pνq)ν(pνr) pν(qνr) (pνq)ν(pνr) pν pν pν p pν p ¬¬p p (p q) (¬pνq) [p (q r)] [(pνq) r] (p q) (¬q ¬p) (p q) [(pν¬q) ] p q q p ¬q ¬p P Q ¬Q ¬P Fonaments Matemàtics: Lógica y Conjuntos 6 PROCESO Procedimiento de reducción al absurdo 1 Suposición contraria Asumir que el condi cional es falso asig nando P verdadero y Q falso 2 Formula ción conjunta Establecer la conjun ción P y no Q como punto de partida 3 Deducción lógica Aplicar implicaciones y reglas hasta alcan zar una contradicción evidente 4 Conclu sión final Rechazar la suposi ción y confirmar la va lidez del condicional original COMPRUEBA 8 ¿Cuál es el supuesto de partida en una demostración por reducción al absurdo de un condicional P -> Q?

IDEAS CLAVE Una implicación lógica surge cuando un condicional entre premisas y conclusión es una tautología. El Modus Ponens permite inferir a partir de la veracidad conjunta de y de . Las leyes de De Morgan transforman negaciones de conjunciones en disyunciones de negaciones y viceversa. El razonamiento es válido si no admite premisas verdaderas con conclusión falsa; en tal caso es una falacia. La demostración por reducción al absurdo parte de asumir para derivar una contradicción. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 9. ¿En qué se distingue la demostración por contrarrecíproco de la reducción al absurdo? 10.

¿Qué relación de equivalencia define al condicional en términos de disyunción y negación? Suponer que el condicional general es falso: hipótesis verdadera y conclusión falsa. 1 P Q Expresar la negación en forma de conjunción: resulta verdadera. 2 P ν¬Q Deducir consecuencias lógicas a partir de hasta alcanzar dos valores de verdad incompatibles para una misma proposición ( o valor ). 3 P ν¬Q Rν¬R Concluir que la suposición inicial es errónea, demostrando que es necesariamente verdadera. 4 P Q q p p q P ¬Q Fonaments Matemàtics: Lógica y Conjuntos 7 Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 11. ¿Cuál es el valor de verdad del condicional si la hipótesis es falsa? 12.

¿Qué enunciado es lógicamente equivalente a p q? 13. ¿Cuándo resulta verdadera una conjunción p q? 14. ¿Qué define formalmente a una contradicción? 15. ¿Cuál es la expresión equivalente correcta según las leyes de De Morgan para ¬(p q)? 16. ¿Qué componentes intervienen en la regla de Modus Tollens para derivar ¬p? 17. ¿Qué define formalmente a una falacia en lógica proposicional? 18. ¿Cuál es el contrarrecíproco de la proposición p q?

Indeterminado a) Siempre falso b) Siempre verdadero c) Depende del valor de la tesis d) q p a) ¬p ¬q b) ¬q ¬p c) p q d) Únicamente cuando ambas son verdaderas a) Cuando ambas son falsas b) Cuando tienen valores distintos c) Cuando al menos una es verdadera d) Proposición que siempre es falsa a) Enunciado con valor indeterminado b) Condicional con antecedente falso c) Proposición que siempre es verdadera d) p ¬q a) ¬p q b) ¬p ¬q c) ¬p ¬q d) p q y ¬q a) ¬p q y q b) p q y ¬p c) p q y p d) Una contradicción irreducible a) Premisas verdaderas con conclusión falsa b) Un condicional siempre falso c) Un bicondicional indeterminado d) q p a) ¬q ¬p b) ¬p ¬q c) q ¬p d) Fonaments Matemàtics: Lógica y Conjuntos 8 3 Teoría de conjuntos — Operaciones y álgebra básica AL ACABAR SABRÁS Diferenciar de forma rigurosa las relaciones de pertenencia e inclusión de conjuntos.

Operar con uniones, intersecciones, diferencias y complementarios sobre conjuntos arbitrarios. Aplicar las leyes fundamentales del álgebra de conjuntos para simplificar expresiones simbólicas. PIÉNSALO ANTES DE LEER 19 ¿Puede un mismo objeto actuar a la vez como elemento y como subconjunto respecto a una familia de conjuntos? La teoría de conjuntos formaliza la agrupación de elementos bajo criterios no ambiguos, sirviendo de base conceptual para el cálculo lógico y el análisis matemático discreto. ESQUEMA Estructura del tema de teoría de conjuntos Fundamentos: pertenencia, inclusión y conjuntos especiales Un conjunto es una agrupación de objetos considerados como una entidad independiente.

Para designar los conjuntos se emplean letras mayúsculas, mientras que sus elementos se denotan con minúsculas. La relación entre un elemento y una colección se establece mediante el símbolo de pertenencia , cuya negación es . Un conjunto puede especificarse de dos modos: por extensión, detallando cada elemento de forma explícita (como ), o por comprensión, declarando una propiedad o predicado que caracteriza a sus componentes ( , véase «Lógica proposicional — Conectivas y tablas de verdad»).

Definición y pertenencia Elementos, conjuntos y formas de especificación Relaciones de inclusión Subconjuntos, inclusión estricta y conjunto potencia Operaciones básicas Unión, intersección, diferencia y complementario Álgebra de conjuntos Leyes de idempotencia, distributividad e identidad a A a / A A = {1, 2} A = {x : p(x)} Fonaments Matemàtics: Lógica y Conjuntos 9 Diagrama de Venn con elementos individuales a, b y c. En el marco de cualquier problema, todos los elementos pertenecen a un marco de referencia denominado conjunto universal ( ). Por el contrario, la estructura desprovista de componentes se llama conjunto vacío y se representa mediante o bien .

Diremos que un conjunto es subconjunto de (o que está contenido en él, denotado ) si cada objeto de forma parte también de : . Cuando se cumple y además existe al menos un elemento de no presente en , se afirma que la inclusión es estricta o propia ( o ). Diagrama de inclusión donde el conjunto A es subconjunto de B. A partir del axioma de extensión se deduce que dos conjuntos coinciden en su totalidad si y solo si . Asimismo, el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto arbitrario ( ), y todo conjunto está contenido en el universal ( ). La relación de inclusión cumple también la propiedad transitiva: si y , entonces .

CONJUNTO POTENCIA O DE LAS PARTES Dado un conjunto , se define el conjunto potencia o conjunto de las partes, representado por , como la familia formada por la totalidad de subconjuntos de : ERROR FRECUENTE No se debe confundir la relación de pertenencia ( ) con la de inclusión ( ). El símbolo vincula un elemento individual con un conjunto, mientras que compara dos conjuntos entre sí. Por ejemplo, el conjunto vacío pertenece a las partes de ( ) precisamente porque está contenido en él ( ). COMPRUEBA 20 ¿Por qué la afirmación A es siempre verdadera con independencia del contenido de A?

U {} A B A B A B x, (x A x B) A B B A A B A B A B B A A A U A B B C A C A P(A) A X P(A) X A A P(A) A Fonaments Matemàtics: Lógica y Conjuntos 10 Operaciones fundamentales y álgebra de conjuntos A partir de conjuntos dados pueden generarse nuevas colecciones aplicando operaciones elementales: Unión ( ): reúne todos los elementos que pertenecen a o a (o a ambos simultáneamente): . Intersección ( ): formada por los elementos comunes: . Si , los conjuntos reciben el nombre de disjuntos. Diferencia ( ): elementos de que no forman parte de : . En general, . Complementario ( ): elementos de que no pertenecen a , equivalente a . Por tanto, se verifica que .

Diferencia simétrica ( ): reúne los elementos que pertenecen exclusivamente a uno de los dos conjuntos: . Diagrama que ilustra la operación unión de los conjuntos A y B. Ley algebraica Expresión con unión ( ) Expresión con intersección ( ) Idempotencia Conmutatividad Asociatividad Distributividad Dominación Identidad Involución COMPRUEBA 21 ¿Cómo se expresa la diferencia de conjuntos A \ B empleando únicamente operaciones de intersección y complementación?

A B A B A B = {x : x A x B} A B A B = {x : x A x B} A B = A B A B A B = {x : x A x / B} A B = B A Ac U A U A A B = A Bc AΔ B AΔ B = (A B) (B A) = (A B) (A B) A A = A A A = A A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A U = U A = A = A A U = A (A ) = c c A Fonaments Matemàtics: Lógica y Conjuntos 11 IDEAS CLAVE Un conjunto queda definido si sus elementos se determinan sin ambigüedad por extensión o por comprensión. La igualdad entre conjuntos equivale a la doble inclusión: . El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto, y todo conjunto está contenido en el universal .

El conjunto potencia agrupa a la totalidad de los subconjuntos concebibles a partir de . La diferencia coincide exactamente con la intersección . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 22. ¿Qué condición formal debe cumplirse para afirmar que dos conjuntos A y B son idénticos? 23. ¿Cuál es la diferencia conceptual entre la unión y la diferencia simétrica de dos conjuntos? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 24. ¿Qué relación vincula formalmente a un subconjunto X con el conjunto potencia P(A)? 25. ¿Qué resultado produce la intersección de un conjunto A con el conjunto vacío? 26. ¿Cómo se define que dos conjuntos A y B sean disjuntos? 27.

¿Cuál de las siguientes igualdades algebraicas describe la ley de dominación para la unión?

A = B A B B A U P(A) A A B A Bc X es igual a P(A) a) X pertenece a P(A) b) X contiene a P(A) c) P(A) es subconjunto de X d) El complementario de A a) El conjunto A b) El conjunto universal c) El conjunto vacío d) Su diferencia es simétrica a) Su unión es vacía b) A es subconjunto de B c) Su intersección es vacía d) A B = B A a) A A = A b) A U = U c) A = A d) Fonaments Matemàtics: Lógica y Conjuntos 12 4 Formulario Lógica proposicional y tablas de verdad Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : antecedente (suficiente), : consecuente (necesario) Condicional: falso solo si es verdadero y es falso.

Negación de consecuente y antecedente invertidos Contrarrecíproco: lógicamente equivalente al condicional directo. Doble condicional simultáneo Bicondicional: verdadero si ambas variables coinciden en valor. : número de proposiciones simples Calcular el número total de filas de una tabla de verdad exhaustiva. Reglas de inferencia y métodos de deducción Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa Modus Ponendo Ponens Deducir la conclusión a partir de la hipótesis y el condicional. Modus Tollendo Tollens Deducir la falsedad del antecedente al refutar el consecuente. Primera ley de De Morgan Transformar la negación de una conjunción en disyunción de negaciones.

Segunda ley de De Morgan Transformar la negación de una disyunción en conjunción de negaciones. Asumir Deducir consecuencias lógicas Obtener contradicción ( ) Concluir validez de Reducción al absurdo Demostrar condicionales complejos por vía indirecta. p q p q p q ¬q ¬p p q (p q) (q p) 2n n [(p q) p] q q [(p q) ¬q] ¬p ¬(p q) ¬p ¬q ¬(p q) ¬p ¬q P ¬Q R ¬R P Q Fonaments Matemàtics: Lógica y Conjuntos 13 Álgebra de conjuntos Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa Doble inclusión entre conjuntos Procedimiento canónico para demostrar la igualdad de conjuntos. Diferencia y complementario respecto a Reescribir diferencias en forma de intersección.

Diferencia simétrica Determinar elementos que pertenecen estrictamente a uno de los dos conjuntos. : conjunto de las partes o potencia Generar o verificar la familia de todos los subconjuntos concebibles. Errores típicos Confundir el recíproco ( ) con el contrarrecíproco ( ): solo este último es lógicamente equivalente a . Evaluar un condicional como falso cuando su antecedente es falso: si la hipótesis no se cumple, el condicional es automáticamente verdadero. Confundir pertenencia ( ) con inclusión ( ): los elementos pertenecen a conjuntos; los subconjuntos se incluyen en conjuntos.

A B B A A = B A B = A Bc U A Δ B = (A B) (B A) X P(A) X A P(A) q p ¬q ¬p p q Fonaments Matemàtics: Lógica y Conjuntos 14 Soluciones de las preguntas de repaso 1. No; en lógica formal, si la condición inicial no se cumple (no llueve), el compromiso nunca se rompe, por lo que el condicional se evalúa como verdadero. 2. Tiene 8 filas, ya que el número de combinaciones posibles para n variables proposicionales es 2^n, y en este caso 2^3 = 8. 3. Una tautología arroja siempre un valor de verdad verdadero para todas sus combinaciones posibles, mientras que una contradicción resulta siempre falsa. 4. Es falso exclusivamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. 5.

Su contrarrecíproco es . 6. Porque si el punto de partida fuera cierto, la implicación obligaría a que la conclusión también lo fuese; al no ocurrir esto, el punto inicial debe ser falso. 7. Porque la estructura condicional global es una tautología; si el antecedente conjunto (la premisa y la implicación) es verdadero, el consecuente no puede ser falso. 8. Se asume que el antecedente P es verdadero y simultáneamente el consecuente Q es falso. 9. El método del contrarrecíproco prueba directamente la implicación equivalente , mientras que la reducción al absurdo asume para hallar una contradicción. 10. La proposición equivale lógicamente a . 11. c) Siempre verdadero.

El condicional p q solo es falso cuando la hipótesis es verdadera y la conclusión es falsa; en cualquier otro caso es verdadero. 12. c) ¬q ¬p. El contrarrecíproco (¬q ¬p) comparte idénticos valores de verdad con el condicional de partida. 13. a) Únicamente cuando ambas son verdaderas. La conjunción exige que todas sus componentes sean verdaderas simultáneamente para resultar verdadera. 14. a) Proposición que siempre es falsa. Una contradicción es una proposición compuesta cuyo valor de verdad es invariablemente falso en todas sus combinaciones. 15. c) ¬p ¬q. La negación de una conjunción equivale lógicamente a la disyunción de las componentes negadas. 16. a) p q y ¬q.

El Modus Tollens infiere la negación del antecedente a partir del condicional y la negación del consecuente. 17. b) Premisas verdaderas con conclusión falsa. Un razonamiento deductivo no es válido (es una falacia) si las premisas pueden ser verdaderas y la conclusión falsa. 18. b) ¬q ¬p. El contrarrecíproco invierte y niega ambos términos del condicional original de forma equivalente. 19. Sí, ocurre por ejemplo en el conjunto potencia, donde cada elemento de la familia es en sí mismo un subconjunto del conjunto original. 20. Porque la condición x x A es una implicación lógica con antecedente falso, lo que la convierte automáticamente en una proposición verdadera para todo x. 21.

Se formula como la intersección de A con el complementario de B, es decir, A B^c. 22. Debe demostrarse la inclusión bidireccional, es decir, que y simultáneamente que . p q ¬q ¬p ¬Q ¬P P ¬Q p q ¬p q A B B A Fonaments Matemàtics: Lógica y Conjuntos 15 23. La unión contiene los elementos que pertenecen a cualquiera de los conjuntos (incluyendo la intersección), mientras que la diferencia simétrica excluye expresamente a los elementos comunes. 24. b) X pertenece a P(A). Por definición de conjunto potencia, X A equivale a que X pertenezca como elemento a P(A). 25. d) El conjunto vacío. Por la ley de dominación del álgebra de conjuntos, A = . 26. d) Su intersección es vacía.

Dos conjuntos son disjuntos cuando no comparten elementos, es decir, su intersección da el conjunto vacío. 27. c) A U = U. La ley de dominación establece que la unión de cualquier conjunto con el universal produce el propio universal. Fonaments Matemàtics: Lógica y Conjuntos 16