Fonaments Matemàtics: Funcions, Límits i Càlcul Diferencial

I 0 flashcards i 3 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS FONAMENTS MATEMÀTICS Grau en Enginyeria Civil Universitat Politècnica de Catalunya AprenAI 2026-2027 Resum complet de càlcul: propietats de funcions, asímptotes, resolució de límits, continuïtat, teoremes fonamentals, regles de derivació i polinomi de Taylor.

APREN.AI Índex 1 Funcions, límits i asímptotes Definició i tipologia de funcions Simetria i transformacions gràfiques Límits, indeterminacions i asímptotes 2 Continuïtat i teoremes fonamentals Condició de continuïtat puntual Classificació de discontinuïtats Teoremes fonamentals de funcions contínues 3 Càlcul diferencial i aproximació de Taylor Definició i interpretació de la derivada Regles de derivació i derivades bàsiques Monotonia i extrems relatius Polinomi de Taylor 4 Formulari Funcions, transformacions i límits Continuïtat i teoremes Derivades, extrems i polinomi de Taylor Derivades elementals i errors freqüents Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Fonaments Matemàtics: Funcions, Límits i Càlcul Diferencial 1 1 Funcions, límits i asímptotes EN ACABAR SABRÀS Identificar el domini, tipus i simetries d'una funció donada. Aplicar desplaçaments i transformacions a gràfiques de funcions. Calcular límits indeterminats mitjançant la regla d'Hôpital i detectar asímptotes. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Què passa amb el gràfic d'una funció quan sumem una constant positiva directament a la variable independent? Definició i tipologia de funcions Una funció és una correspondència matemàtica que assigna a cada element un valor únic .

El conjunt de valors de per als quals està definida s'anomena domini. Segons la seva expressió algebraica, es classifiquen en diversos tipus principals: Lineals i quadràtiques (polinòmiques de primer i segon grau). Exponencials i logarítmiques. Trigonomètriques. Simetria i transformacions gràfiques La relació entre i el valor canviat de signe determina la simetria de la corba: Simetria parell: es compleix quan . La gràfica és simètrica respecte a l'eix d'ordenades. Simetria senar: es compleix si . La gràfica presenta simetria respecte a l'origen.

Les gràfiques es poden desplaçar mitjançant transformacions elementals en la variable o en la imatge: Operació Efecte sobre la gràfica Desplaçament horitzontal cap a la dreta unitats Desplaçament horitzontal cap a l'esquerra unitats Desplaçament vertical cap amunt unitats Desplaçament vertical cap avall unitats D'altra banda, la composició de funcions consisteix a aplicar una funció sobre el resultat d'una altra: . x y = f(x) x f(x) f(x) f( x) f( x) = f(x) f( x) = f(x) f(x a) a f(x + a) a f(x) + b b f(x) b b (f g)(x) = f(g(x)) Fonaments Matemàtics: Funcions, Límits i Càlcul Diferencial 2 COMPROVA-HO 2 Quina transformació geomètrica experimenta la gràfica de f(x) en passar a f(x + 3) - 2?

Límits, indeterminacions i asímptotes El comportament d'una funció en apropar-se a un punt s'estudia mitjançant els límits laterals per la dreta ( ) i per l'esquerra ( ). Quan el càlcul directe dona expressions no definides directament, apareixen les indeterminacions: Per resoldre límits indeterminats del tipus o , s'aplica la regla d'Hôpital, que consisteix a derivar de manera independent el numerador i el denominador. Els límits determinen la presència de rectes a les quals s'aproxima la funció: Asímptota vertical: la recta ho és si o quan . Asímptota horitzontal: la recta ho és si quan .

ESQUEMA Tipus d'asímptotes d'una funció ERROR FREQÜENT Confondre l'aplicació de la regla d'Hôpital amb la regla del quocient d'una derivada. A la regla d'Hôpital es deriva el numerador per una banda i el denominador per l'altra ( ); no s'ha d'aplicar la fórmula de derivada d'una fracció. IDEES CLAU Una funció és parell si i senar si . Sumar una constant a la variable desplaça a l'esquerra; restar-la desplaça a la dreta. Les asímptotes verticals es troben on la funció tendeix a infinit per a un valor finit de . La regla d'Hôpital només s'aplica directament a quocients indeterminats de la forma o .

x a+ x a , , 0 × 0 0 , , 1 0/0 / x = b f(x) f(x) x b y = a f(x) a x Asímptotes Comportament límit de la funció Verticals x = b quan el límit és infinit Horitzontals y = a quan x tendeix a infinit f /g f( x) = f(x) f( x) = f(x) x 0/0 / Fonaments Matemàtics: Funcions, Límits i Càlcul Diferencial 3 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 3. Quina condició algebraica ha de complir una funció per presentar simetria senar? 4. Com es defineix formalment una asímptota horitzontal? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 5. Quin tipus de simetria té una funció que compleix f(-x) = f(x)? 6. Cap a on es mou la gràfica de f(x) si considerem f(x - 4)? 7.

Quan es pot aplicar directament la regla d'Hôpital? 8. Quina recta descriu una asímptota vertical en x = b? 2 Continuïtat i teoremes fonamentals EN ACABAR SABRÀS Verificar la continuïtat d'una funció en un punt determinat. Distingir i classificar els tres tipus de discontinuïtats. Aplicar els teoremes de Bolzano i de Weierstrass justificant-ne les hipòtesis. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 9 Pot una funció passar d'un valor negatiu a un de positiu sense creuar per zero?

No té simetria a) Simetria senar b) Simetria parell c) Simetria puntual d) 4 unitats a la dreta a) 4 unitats a l'esquerra b) 4 unitats cap amunt c) 4 unitats cap avall d) En qualsevol quocient de funcions a) En indeterminacions de la forma 1^ b) Només quan el límit dona zero c) En indeterminacions 0/0 o / d) f(x) tendeix a infinit en apropar-se a b a) El límit a l'infinit val b b) La derivada en el punt b és nul·la c) f(b) pren el valor zero d) Fonaments Matemàtics: Funcions, Límits i Càlcul Diferencial 4 Condició de continuïtat puntual Una funció és contínua en un punt si es compleix la condició bàsica d'igualtat: Això exigeix simultàniament que existeixi la imatge del punt, que existeixin els límits laterals, que coincideixin entre ells i que el seu valor sigui exactament el valor de la funció.

Classificació de discontinuïtats Quan la condició anterior falla en un punt, es distingeixen tres categories fonamentals de discontinuïtat: Evitable: el límit en el punt existeix, però (o la funció no està definida en aquell valor). De salt: els límits laterals per l'esquerra i per la dreta existeixen com a nombres finits però tenen valors diferents. Asímptotica: com a mínim un dels límits laterals tendeix a o a . ESQUEMA Tipus de discontinuïtat COMPROVA-HO 10 Quina mena de discontinuïtat apareix si el límit lateral per l'esquerra és 2 i pel de la dreta és 5?

Teoremes fonamentals de funcions contínues Les funcions amb continuïtat sobre intervals tancats verifiquen propietats globals d'existència: TEOREMA DE BOLZANO Si és contínua a l'interval i pren valors de signe oposat als extrems ( ), llavors existeix com a mínim una arrel a l'interior de l'interval , és a dir, un punt on la funció val zero.

f x = a f(x) = x a lim f(a) lim f(x) = x a f(a) + Discontinuïtat Falla la condició de continuïtat Evitable El límit existeix però no val f(a) De salt Límits laterals finits diferents Asimptòtica Un límit lateral va a infinit [a, b] f [a, b] f(a) × f(b) < 0 (a, b) Fonaments Matemàtics: Funcions, Límits i Càlcul Diferencial 5 TEOREMA DE WEIERSTRASS Tota funció contínua en un interval tancat i fitat assoleix un màxim absolut i un mínim absolut en aquest interval. ERROR FREQÜENT Oblidar comprovar la continuïtat abans d'aplicar el teorema de Bolzano. Si la funció presenta una discontinuïtat dins de l'interval , no es pot garantir l'existència d'una arrel encara que .

IDEES CLAU La continuïtat en un punt requereix que el límit coincideixi amb el valor de la funció: . Una discontinuïtat és evitable si el límit existeix però difereix de . La discontinuïtat és de salt si els dos límits laterals són finits i diferents. El teorema de Bolzano assegura una arrel si hi ha continuïtat i canvi de signe als extrems. El teorema de Weierstrass garanteix extrems absoluts per a funcions contínues en intervals tancats. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 11. Quina és la hipòtesi principal comuna als teoremes de Bolzano i Weierstrass? 12. En què es diferencia una discontinuïtat evitable d'una asimptòtica? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 13.

Quan diem que una discontinuïtat és evitable en x = a? 14. Què garanteix el teorema de Bolzano quan f(a) · f(b) < 0? f [a, b] [a, b] f(a) × f(b) < 0 lim f(x) = x a f(a) f(a) Quan el límit per la dreta és infinit a) Quan la funció no té derivada segona b) Quan els límits laterals donen valors distints c) Quan el límit existeix però difereix de f(a) d) L'existència d'almenys una arrel a l'interval a) Que la derivada segona s'anul·la al centre b) Que la funció és estrictament creixent c) L'existència d'un extrem relatiu a l'interval d) Fonaments Matemàtics: Funcions, Límits i Càlcul Diferencial 6 15. Què afirma el teorema de Weierstrass per a una funció contínua en [a, b]? 16.

Com s'anomena la discontinuïtat on un límit lateral val infinit? 3 Càlcul diferencial i aproximació de Taylor EN ACABAR SABRÀS Calcular derivades emprant regles algebraiques i la regla de la cadena. Determinar intervals de monotonia i classificar extrems mitjançant la segona derivada. Construir l'aproximació per polinomi de Taylor al voltant d'un punt donat. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 17 Si coneixem el valor i les derivades d'una funció en un únic punt, podem aproximar la funció en punts propers?

Definició i interpretació de la derivada La derivada d'una funció en un punt es defineix mitjançant el límit del quocient incremental: El seu significat geomètric principal és el pendent de la recta tangent a la corba de la funció en el punt considerat.

Regles de derivació i derivades bàsiques Per al càlcul operatiu s'empren les regles algebraiques fonamentals: Combinació lineal: Producte: Quocient: Regla de la cadena (composició): Les derivades de les funcions elementals més comunes són: Garanteix que la funció té arrels reals a) Demostra que la funció és derivable a l'interval b) Assenyala l'existència de màxim i mínim absoluts c) Assegura que els límits laterals són nuls d) Asimptòtica a) De salt finit b) Evitable c) Discontinuïtat contínua d) x = a f (a) = x a lim x a f(x) f(a) (af + bg) = af + bg (f g) = f g + fg = (g f ) g2 f g fg f(g(x)) = ( ) f (g(x)) g (x) Fonaments Matemàtics: Funcions, Límits i Càlcul Diferencial 7 Funció Derivada Monotonia i extrems relatius El signe de la primera derivada determina el creixement o decreixement: Si , la funció és creixent.

Si , la funció és decreixent. Els extrems relatius requereixen que i que la derivada canviï de signe. La seva naturalesa es comprova mitjançant la regla de la segona derivada en el punt crític : Si , la funció té un mínim relatiu. Si , la funció té un màxim relatiu. COMPROVA-HO 18 Si una funció compleix f'(3) = 0 i f''(3) = -4, quin tipus de punt crític és x = 3? Polinomi de Taylor El polinomi de Taylor permet aproximar localment funcions complicades al voltant d'un punt mitjançant polinomis senzills: Aquesta expressió permet estimar el valor de funcions complexes a partir de les seves derivades successives en un punt conegut.

PROCÉS Passos per classificar un extrem relatiu 1 Punt crític Resoldre f'(x) = 0 2 Segona derivada Avaluar f''(a) en el punt crític 3 Signe de f''(a) Positiu és mínim i negatiu és màxim f(x) f (x) xn n xn 1 ex ex ln(x) x 1 sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) f > 0 f < 0 f = 0 a f (a) > 0 f (a) < 0 a f(x) f(a) + f (a)(x a) + (x 2! f (a) a) + 2 … Fonaments Matemàtics: Funcions, Límits i Càlcul Diferencial 8 ERROR FREQÜENT Invertir el criteri de la segona derivada: pensar erròniament que una segona derivada positiva indica un màxim. Recorda sempre que correspon a curvatura convexa i, per tant, a un mínim.

IDEES CLAU La derivada mesura la taxa de canvi instantània i equival al pendent de la recta tangent. La derivada d'un producte és i la del quocient requereix restar el terme amb el denominador derivat. Un punt crític amb és un mínim relatiu; amb és un màxim relatiu. El desenvolupament de Taylor aproxima una funció utilitzant potències de ponderades per derivades dividides pel factorial. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 19. Com s'expressa la regla de la cadena per a la funció composta f(g(x))? 20. Quina és la derivada de la funció cosinus? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 21. Quina interpretació geomètrica té f'(a)? 22.

Quin tipus d'extrem té la funció si f'(a) = 0 i f''(a) > 0? 23. Quina és la derivada de ln(x)? 24. Per a què s'utilitza principalment el polinomi de Taylor?

f (a) > 0 f g + fg f (a) > 0 f (a) < 0 x a Àrea sota la corba en el punt a) Pendent de la recta tangent en a b) Punt de tall amb l'eix vertical c) Curvatura total de la funció d) Una discontinuïtat a) Un mínim relatiu b) Un màxim relatiu c) Un punt de tall d) -1/x² a) 1/x b) x c) d) ex Invertir matrius associades no nulles a) Trobar la continuïtat d'una asímptota b) Resoldre integrals indefinides directes c) Aproximar funcions complexes amb polinomis d) Fonaments Matemàtics: Funcions, Límits i Càlcul Diferencial 9 4 Formulari Funcions, transformacions i límits Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza / : funció; simetria parell / senar Per determinar simetries respecte a l'eix Y o l'origen , : unitats de desplaçament horitzontal / vertical Per aplicar translacions gràfiques de funcions : recta vertical; límit infinit Per calcular asímptotes verticals : recta horitzontal; límit a l'infinit Per calcular asímptotes horitzontals Regla d'Hôpital: calcular límit comprovar o : derivades independents de numerador i denominador Per resoldre límits indeterminats del tipus 0/0 o / Continuïtat i teoremes Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : punt d'estudi; existeixen imatge i límits laterals coincidents Condició necessària i suficient de continuïtat en un punt Classificar discontinuïtat: calcular límits laterals comparar amb classificar en evitable, salt o asimptòtica Límits iguals ( ): evitable; laterals finits distints: salt; infinit: asimptòtica Per analitzar punts on falla la continuïtat Teorema de Bolzano: comprovar comprovar concloure : interval tancat; : arrel o zero Per demostrar l'existència d'arrels d'una funció Teorema de Weierstrass: comprovar continuïtat en garantir existència de màxim i mínim absoluts : conjunt tancat i fitat Per assegurar extrems absoluts globals Derivades, extrems i polinomi de Taylor Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : derivada; pendent de la recta tangent en Definició bàsica i interpretació geomètrica de la derivada f( x) = f(x) f( x) = f(x) f(x) f(x ± a) f(x) ± b a, b > 0 lim f(x) = x b ± x = b x = b lim f(x) = x ± a y = a y = a 0 0 lim g (x) f (x) f , g lim f(x) = x a f(a) a f(a) = f(a) f C[a, b] f(a) f(b) < 0 c (a, b) : f(c) = 0 [a, b] c [a, b] [a, b] f (a) = lim x a x a f(x) f(a) f (a) a Fonaments Matemàtics: Funcions, Límits i Càlcul Diferencial 10 Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : funcions diferenciables Derivada d'un producte de funcions Derivada d'un quocient de funcions Regla de la cadena per a funció composta Derivació de composició de funcions Classificació d'extrems: resoldre avaluar si mínim, si màxim : segona derivada en el punt crític Per determinar la posició i el tipus d'extrems relatius Polinomi d'aproximació local al voltant de Per aproximar valors de funcions complicades Derivades elementals i errors freqüents Fórmula bàsica Derivada Error típic a evitar Oblidar restar 1 a l'exponent Confondre amb derivades de base qualsevol Oblidar que el domini requereix / / Oblidar el signe negatiu a la derivada del cosinus Hôpital vs.

Quocient Hôpital: (límit) No aplicar la regla del quocient quan s'està calculant un límit amb Hôpital (f g) = f g + fg f, g = (g f ) g2 f g fg g = 0 f(g(x)) = ( ) f (g(x)) g (x) f (x) = 0 f (x) f > 0 f < 0 f f(x) f(a) + f (a)(x a) + (x 2! f (a) a) + 2 … a xn n xn 1 ex ex ln(x) x 1 x > 0 sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) f /g Fonaments Matemàtics: Funcions, Límits i Càlcul Diferencial 11 Solucions de les preguntes de repàs 1. La corba es desplaça horitzontalment cap a l'esquerra exactament el valor d'aquesta constant. 2. Es desplaça 3 unitats cap a l'esquerra en l'eix horitzontal i 2 unitats cap avall en l'eix vertical. 3. Ha de verificar que per a tots els punts del seu domini. 4.

És una recta d'equació tal que el límit de quan és igual a . 5. c) Simetria parell. La igualtat f(-x) = f(x) defineix una funció parell respecte a l'eix d'ordenades. 6. a) 4 unitats a la dreta. Restar una quantitat positiva a l'argument desplaça la gràfica horitzontalment cap a la dreta. 7. d) En indeterminacions 0/0 o / . La regla exigeix que el quocient present la forma indeterminada 0/0 o bé / . 8. a) f(x) tendeix a infinit en apropar-se a b. Una asímptota vertical s'estableix quan els valors de la funció divergeixen a infinit en acostar-se a b. 9. Només si la funció presenta alguna discontinuïtat en aquest trajecte, com indica el teorema de Bolzano. 10.

És una discontinuïtat de salt, ja que tots dos límits laterals existeixen però prenen valors finits distints. 11. Que la funció ha de ser contínua en l'interval tancat considerat . 12. A l'evitable el límit existeix i és finit, mentre que a l'asimptòtica com a mínim un límit lateral divergeix cap a infinit. 13. d) Quan el límit existeix però difereix de f(a). La discontinuïtat és evitable si existeix el límit però no coincideix amb el valor que pren la funció. 14. a) L'existència d'almenys una arrel a l'interval. El teorema assegura que la gràfica talla l'eix d'abscisses com a mínim una vegada. 15. c) Assenyala l'existència de màxim i mínim absoluts.

Weierstrass estableix que una funció contínua en un interval tancat assoleix tant el valor màxim com el mínim absolut. 16. a) Asimptòtica. Quan un o ambdós límits laterals tendeixen a infinit, la discontinuïtat és asimptòtica. 17. Sí, el polinomi de Taylor permet fer precisament aquesta aproximació polinòmica entorn del punt conegut. 18. És un màxim relatiu, ja que la primera derivada és nul·la i la segona és estrictament negativa. 19. La derivada s'obté multiplicant la derivada externa per la interna: . 20. La derivada de és . 21. b) Pendent de la recta tangent en a. La derivada en un punt representa formalment el pendent de la recta tangent a la funció en aquell punt. 22.

b) Un mínim relatiu. El criteri de la segona derivada determina que un valor positiu correspon a un mínim relatiu. 23. b) 1/x. La derivada de la funció logaritme natural és 1/x per a tot x del seu domini. 24. d) Aproximar funcions complexes amb polinomis. El polinomi de Taylor s'utilitza per estimar valors de funcions difícils mitjançant expressions polinòmiques simples. f( x) = f(x) y = a f(x) x a [a, b] f (g(x)) g (x) cos(x) sin(x) Fonaments Matemàtics: Funcions, Límits i Càlcul Diferencial 12