Problemes i pràctiques de càlcul (Part 1)

Pràctica 1 - Problema 1. Suma de distàncies mínima

Determineu les coordenades del punt $(x, 0)$ de l'eix $OX$ que fa mínima la suma de distàncies als punts $(1, 1)$ i $(2, 3)$.

Pràctica 1 - Problema 2. Punts de Fermat de triangles

Calculeu les coordenades del punt de Fermat per a cadascun dels següents triangles:

a)

$A = (0, 0), B = (1, 0), C = (0, 1)$

$x =$

$y =$

b)

$A = (0, 0), B = (1, 1), C = (2, 1)$

$x =$

$y =$

Pràctica 1 - Problema 3. Mesura indirecta d'un edifici

Proposeu un procediment basat en la proporcionalitat geomètrica (triangles semblants) que permeti mesurar l'alçada d'un edifici rodejat per un canal impenetrable que impedeix accedir directament a la seva base.

Pràctica 1 - Problema 4. Xut de futbol i angle màxim

Un jugador de futbol corre conduint la pilota per sobre de la prolongació rectilínia de la línia lateral de l'àrea gran del camp contrari. Des de quin punt d'aquesta línia veu la porteria sota un angle màxim per efectuar el llançament a porta?

Dades del camp

amplada de la porteria: 8 iardes; distància des del pal més proper fins al lateral de l'àrea gran: 18 iardes.

Pràctica 1 - Problema 5. Camí mínim tocant eixos coordenats

Trobeu la trajectòria més curta que, sortint del punt $A = (5, 1)$, toqui primer un punt de l'eix $OX$, després un punt de l'eix $OY$ i finalitzi en el punt $B = (1, 7)$.

a)

b)

c)

Pràctica 1 - Problema 6. Camí mínim tocant una recta

Calculeu el camí de longitud mínima que parteix del punt $A = (1, 1)$, passa per un punt de la recta $x - 2y + 3 = 0$ i finalitza al punt $B = (4, 3)$.

a)

b)

Pràctica 1 - Problema 7. Angle de visió d'estàtua

Dos estudiants d'arquitectura d'alçades diferents es troben l'un al costat de l'altre davant d'una estàtua situada damunt d'un pedestal de 3 m d'alçària. Quin dels dos tindrà un angle de visió de l'estàtua més gran? Raoneu la resposta.

Pràctica 1 - Problema 8. Rotació d'un tap troncocònic

El tap de determinades ampolles té forma de tronc de con. Si es col·loca de cantell sobre una taula plana i se li dóna un lleuger impuls de manera que rodi sense lliscar, descriu una trajectòria en forma d'arc de circumferència. Si $r_1$ i $r_2$ són els radis de les dues bases del tronc ($r_1 < r_2$) i $h$ és la seva alçada, calculeu el radi de la circumferència que descriu el tap en rodar.

a)

b)

Pràctica 1 - Problema 9. Teorema de Pitàgores i Fermat

a.

Quin és el punt de Fermat d'un triangle equilàter?

b.

A partir del següent dibuix, demostreu geomètricament el teorema de Pitàgores.

Pràctica 1 - Problema 10. Fermat i façana d'una casa

a.

Calculeu les coordenades del punt de Fermat del triangle de vèrtexs $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, 1)$ i $(1, \sqrt{3})$.

b.

Un arquitecte passeja per un camí i va mirant la façana d'una casa. En quin punt tindrà un angle de visió de la façana màxim?

Dades: amplada de la façana: 20 m; distància des de la façana fins al camí: 5 m; amplada del camí: 2 m. Se suposa que la façana de la casa queda perpendicular al camí i que l'arquitecte camina en línia recta just pel centre del camí.

Pràctica 1 - Problema 11. Amplària de carrer amb aparcament

En un carrer s'hi permet aparcar en bateria amb un angle de $45^\circ$ a la dreta i a l'esquerra, deixant un carril central lliure de circulació. Quina amplària mínima pot tenir el carrer?

Nota: Considereu les dimensions estàndard d'una plaça de cotxe ($L \approx 4{,}5\text{ m}$ de llarg i $A \approx 2{,}2\text{ m}$ d'ample) i un carril mínim de pas de $C \approx 3\text{ m}$.

Pràctica 1 - Problema 12. Angle de visió d'un cartell

Un cartell publicitari té els seus costats inferior i superior situats respectivament a $2\text{ m}$ i $3\text{ m}$ d'alçària respecte a terra. A quina distància del cartell s'ha de col·locar una persona d'$1{,}60\text{ m}$ d'alçada per tenir un angle de visió màxim?

Pràctica 2 - Problema 1. Àrea de polígon per coordenades

Calculeu l'àrea d'un polígon del qual coneixem les coordenades dels seus vèrtexs: $A(10, 12)$, $B(13, 15)$, $C(17, 20)$, $D(25, 12)$, $E(15, 8)$.

14 Pràctica 2 - Problema 2. Distància i pendent topogràfic

En un plànol a escala 1:5000 la distància mesurada entre dos punts $A$ i $B$ és de $6\text{ cm}$. L'alçada topogràfica dels punts és de $200\text{ m}$ i $300\text{ m}$ respectivament. Calculeu la distància real en l'espai entre els dos punts i el pendent de la recta que els uneix.

a)

b)

%

Pràctica 2 - Problema 3. Triangles formats per bisectriu

Donat el triangle de la figura, calculeu l'àrea de cadascun dels dos triangles formats en traçar la bisectriu de l'angle $A$ (segment $AE$). Les longituds dels costats estan en metres: $c = 83{,}300\text{ m}$, $b = 130{,}500\text{ m}$ i $a = 81{,}800\text{ m}$.

a)

b)

Pràctica 2 - Problema 4. Segment BN i superfície FABN

A partir de les dades del diagrama, calculeu la distància $BN$ i la superfície de la regió $FABN$.

a)

b)

Pràctica 2 - Problema 5. Trapezi circumscrit a circumferència

Calculeu l'àrea d'un trapezi rectangle $ABCD$ amb $\hat{A} = \hat{B} = 90^\circ$ i base menor $\overline{AD} = 25\text{ m}$, que està circumscrit a una circumferència de $15\text{ m}$ de radi.

a)

Trobeu l'àrea del recinte de la figura sabent que els angles en $O$, $A$ i $C$ són rectes i que tant $AB$ com $BC$ són arcs de circumferència.

Donat el quadrilàter de vèrtexs $A = (200, 100)$, $B = (850, 150)$, $C = (900, 600)$ i $D = (400, 750)$, calculeu la longitud de tots els seus costats, els seus angles interiors i la seva àrea.

1.

2.

Dividiu un triangle mitjançant un segment rectilini en un triangle i un quadrilàter de manera que l'àrea del triangle resultant sigui exactament $1/5$ de l'àrea total.

Si es traça una recta paral·lela a la base $BC$ que talla els costats $AB$ i $AC$ en $B'$ i $C'$, quina fracció del costat $AB$ ha de mesurar la distància $AB'$?

A la figura següent, calculeu la longitud de la corda $FG$ i la superfície ombrejada $S$, sabent que el radi de la circumferència és $R = 19\text{ m}$ i que $AB = 8\text{ m}$.

1.

2.

22 Pràctica 3 - Problema 1. Domini, recorregut i corbes de nivell

Determineu el domini i el recorregut de les funcions següents i descriviu geomètricament les seves corbes de nivell:

a)

$f(x, y) = x^2 + y^2$

b)

$f(x, y) = \frac{6}{9x^2 - y^2}$

c)

$f(x, y) = \frac{x^2}{x^2 + y^2}$

d)

$f(x, y) = x^2 y^2$

23 Pràctica 3 - Problema 2. Límits en dues variables

Calculeu els límits següents o demostreu que no existeixen:

a)

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1+x^2+y^2}{y}\sin y$$

b)

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1+x+y}{x^2-y^2}$$

c)

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{(x+y)^2}{x^2+y^2}$$

d)

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$$

24 Pràctica 3 - Problema 3. Continuïtat de funcions multivariable

Estudieu la continuïtat de les següents funcions:

a)

$$f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & \text{altrament} \end{cases}$$

b)

$$g(x, y) = \begin{cases} \frac{xy^2}{x^2+y^4} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & \text{altrament} \end{cases}$$

Pràctica 3 - Problema 4. Pla horitzontal i derivades direccionals

a.

Calculeu el punt de la superfície $z = 3x^2 + 2y^2 - 3x + 4y - 5$ que té pla tangent horitzontal:

$x =$ $y =$ $z =$

b.

Si $f(x, y) = \frac{\sqrt{\sin^2(y) + 4x^4}}{\ln(x^2 + y^2)} - 1$ i $\vec{v}$ és un vector unitari ortogonal a $\nabla f(2, 3)$, calculeu $D_{\vec{v}} f(2, 3)$:

c.

És diferenciable en $(0, 0)$ la següent funció?$$f(x, y) = \begin{cases} \frac{4x^2y^2}{x^2 + y^2} & \text{si } (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & \text{si } (x, y) = (0, 0) \end{cases}$$

Sí

No

Pràctica 3 - Problema 5. Qüestions de continuïtat i diferenciabilitat

Indiqueu raonadament si les següents afirmacions són certes o falses:

a.

Si $f(x, y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$, aleshores totes les derivades direccionals de $f$ en el punt $(0, 0)$ valen zero.

Cert

Fals

b.

En el punt $(1, 0, 2)$ el pla tangent a la superfície $z = 3 - x^2 - y^2 + 6y$ és horitzontal.

Cert

Fals

c.

Si $\lim_{x \to 0} f(x, ax) = 0$ per a tot $a \in \mathbb{R}$, aleshores $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0$.

Cert

Fals

Pràctica 3 - Problema 6. Derivada direccional màxima

a.

Determineu els valors de $a$, $b$ i $c$ tals que la derivada direccional de $f(x, y, z) = axy^2 + byz + cz^2x^3$ en el punt $(1, 2, -1)$ tingui un valor màxim de $64$ en una direcció paral·lela a l'eix $OZ$.

Indiqueu una de les dues solucions possibles (per exemple amb $a > 0$):

$a =$ $b =$ $c =$

b.

Amb els valors trobats a l'apartat anterior ($a = 6, b = 24, c = -8$), determineu l'equació del pla tangent a la superfície $f(x, y, z) = 0$ en el punt $(0, 0, 1)$.

Pràctica 3 - Problema 7. Plans tangents i rectes normals

Trobeu l'equació del pla tangent i de la recta normal a cadascuna de les superfícies següents en el punt indicat:

a.

$x^2 + xy^2 + y^3 + z + 1 = 0$ en $(2, -3, 4)$ (observació: corregit al punt pertanyent a la superfície).

$($ $,$ $,$ $)$

b.

$z = f(x, y) = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ en $(3, -4, \frac{3}{5})$.

$($ $,$ $,$ $)$

Donada la funció $z = x^2 + y^2$, calculeu les derivades parcials en el punt $P = (2,3)$, l'equació del pla tangent en aquest punt, i la derivada direccional en $P$ segons la direcció del vector $\vec{v} = (3, 4)$.

1.

$\dfrac{\partial z}{\partial x}(2,3) =$

$\dfrac{\partial z}{\partial y}(2,3) =$

2.

3.

Estudieu el domini, la continuïtat i la diferenciabilitat de les funcions:

a.

$f(x, y) = \dfrac{xy(x-y)}{x^2+y^2}$

b.

$f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{xy(x-y)}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{si } (x,y) = (0,0) \end{cases}$

Sí

No

Sí

No

Donada la funció $f(x, y) = e^{-(x^2+y^2)}$, es demana:

a.

Domini i imatge.

b.

Corbes de nivell. Descriviu la família de corbes de nivell segons els valors de la constant $c$.

Donada la funció $f(x, y) = e^{-(x^2+y^2)}$, es demana:

c.

Derivades direccionals en el punt $(0,0)$. Quin és el valor de qualsevol derivada direccional $D_{\vec{u}} f(0,0)$ per a qualsevol vector unitari $\vec{u}$?

d.

Si anomenem $C_k$ a la corba obtinguda en tallar la superfície $z = f(x,y)$ amb el pla $y = kx$, calculeu el pendent de la recta tangent a $C_k$ en el punt $(0,0)$.

e.

Hi ha alguna relació entre els apartats c) i d)? Raoneu la resposta.

Pràctica 3 - Problema 11. Corbes de nivell rectilínies

a.

Construïu una funció de dues variables les corbes de nivell de la qual siguin rectes que passin per l'origen.

Pràctica 3 - Problema 11. Corbes de nivell rectilínies

b.

Sigui $f$ una funció diferenciable en $(0,0)$ tal que $f(0,0) = c$ i el pla tangent a la gràfica de $f$ en el punt corresponent a $(0,0)$ és $z = c$. Calculeu $\nabla f(0,0)$ i $\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(0,0)$ per a cada vector unitari $\vec{v}$.

Pràctica 3 - Problema 12. Continuïtat, tangent i gradient

a. Doneu el valor de $f(0,0)$ per tal que la funció $f(x,y) = \frac{y^3 \sin x}{x^2 + y^2}$ sigui contínua a tot $\mathbb{R}^2$.

Pràctica 3 - Problema 12. Continuïtat, tangent i gradient

b. Sigui $F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ definida per $F(x,y,z) = z - e^x \sin(yz)$. Doneu l'equació del pla tangent a la superfície $F(x,y,z) = 0$ en el punt $P = \left(\ln 3, -\frac{\pi}{2}, -3\right)$.

Pràctica 3 - Problema 12. Continuïtat, tangent i gradient

c. Sigui $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definida per $f(x,y) = e^x + \sin y$. Doneu la direcció en què la derivada direccional és màxima i calculeu aquest valor màxim.

Pràctica 4 - Problema 1. Desenvolupaments de Taylor elementals

Trobeu el desenvolupament de Taylor de les funcions següents en el punt i amb l'ordre que s'indica:

a.

$f(x) = (1 + e^x)^2$; $a = 1$, $n = 3$.

b.

$f(x) = \frac{1}{1+x}$; $a = 0$, $n = 100$.

35. Pràctica 4 - Problema 2. Aproximacions numèriques amb fita d'error

Calculeu amb un error menor que $10^{-4}$ els valors de:

a)

$\cos\left(\frac{\pi + 1}{3}\right)$

b)

$e^{0.2}$

c)

$\ln(1.05)$

36. Pràctica 4 - Problema 3. Termes de MacLaurin per a sin(1) amb precisió

Quants termes del desenvolupament de MacLaurin de la funció $\sin(x)$ cal considerar per tal de calcular el sinus d'1 radiant amb un error més petit que una milionèsima ($10^{-6}$)? Justifiqueu la resposta.

a)

b)

Pràctica 4 - Problema 4. Polinomi de Taylor d'arrel cúbica

a.

Calculeu el polinomi de Taylor de grau 2 en el punt 0 de la funció $f(x) = \sqrt[3]{1+x}$.

b.

Feu ús del polinomi calculat a l'apartat anterior per tal de calcular un valor aproximat de $\sqrt[3]{1.1}$ i doneu una fita de l'error comès en l'aproximació.

Pràctica 4 - Problema 5. Polinomi de dues variables centrat

Sigui $f(x, y) = 2xy + y^2 + x + 3y + 2$.

a.

Quin és el grau màxim dels polinomis de Taylor de $f$?

b.

Escriviu tots els polinomis de Taylor de $f$ al voltant del punt $(0,0)$.

c.

Expresseu $f(x, y)$ en potències de $(x-1)$ i $(y-2)$.

Pràctica 4 - Problema 6. Taylor d'ordre 3 d'exponencial trigonomètrica

En la fórmula de Taylor en el punt $(0,0)$, trobeu tots els termes fins a l'ordre 3 per a la funció $f(x, y) = e^x \cos y$.

Pràctica 4 - Problema 7. Termes d'ordre alt en Taylor

Quin és el terme de grau 7 en la fórmula de Taylor al punt $(0,0)$ per a la funció $f(x, y) = x^3 - 2xy^4 + (x - 1)^2 y^{10}$?

Trobeu els termes fins a l'ordre 2 a la fórmula de Taylor per a les funcions i punts indicats:

a)

$\sin(xy)$ en $(0,0)$ i en $(1,\pi)$:

b)

$\cos(x^2 + y)$ en $(0,0)$ i en $(0,\pi)$:

c)

$(\sin x)(\cos y)$ en $(0,0)$ ($P_2(x,y)$):

d)

$x + xy + 2y^2$ en $(0,0)$ i en $(1,1)$:

Trobeu el polinomi de Taylor de la funció $f(x) = e^{\sin x}$ en $a = 0$ per a $n = 3$.

Calculeu el valor aproximat d'$\arctan(1.05)$ garantint un error absolut estrictament inferior a $10^{-4}$.

Calculeu els valors de les constants $a$, $b$ i $c$ per tal que el polinomi $ay^2 + bxy + bx - by + c$ sigui el polinomi de Taylor d'ordre 2 de la funció $f(x,y) = xe^y - y\sin x$ en el punt $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

$a$:

$b$:

$c$:

Pràctica 4 - Problema 12. Estimació del sinus amb fita d'error

Calculeu $\sin\left(\pi + \frac{\pi}{8}\right)$ amb un error estrictament inferior a $10^{-2}$.

Pràctica 5. Exercici 1. Corbes de nivell i extrems

Traceu un esquema de les línies de nivell corresponents a les formes quadràtiques indicades a continuació i indiqueu si el punt origen $(0,0)$ constitueix un màxim local, un mínim local o un punt de sella:

a)

$q(x,y) = 2x^2 - y^2$

b)

$q(x,y) = 3x^2 + 4y^2$

c)

$q(x,y) = -(4x^2 + 5y^2)$

d)

$q(x,y) = y^2 - x^2$

Pràctica 5. Exercici 2. Punts crítics i extrems de polinomi

Es considera la funció escalar definida a $\mathbb{R}^2$: $$f(x,y) = (3 - x)(3 - y)(x + y - 3)$$

a)

Dibuixeu la regió de punts del pla $P = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: f(x,y) \ge 0\}$.

= 0">

b)

Calculeu tots els punts estacionaris de $f$ i determineu la seva tipologia.

c)

Té la funció $f$ algun extrem absolut en tot el pla $\mathbb{R}^2$?

No

Sí

Es vol instal·lar una canalització d'aigua per connectar el punt $P$ amb el punt $S$. El traçat travessa diferents zones segons l'esquema següent:

Els costos per unitat de longitud depenen del terreny: el tram comprès entre $P$ i $Q$ té un cost de $3000$ €/km; el tram entre $Q$ i $R$ costa $2000$ €/km; i el tram de $R$ a $S$ té un cost de $1000$ €/km. Trobeu els valors de $x$, $y$ i $z$ que minimitzen la despesa global.

a)

b)

c)

Trobeu quins són els punts pertanyents a la corba que resulta de la intersecció de les dues superfícies:

$$x^2 + y^2 - xy - z^2 = 1 \qquad x^2 + y^2 = 1$$

que es troben a distància mínima respecte a l'origen de coordenades.

Punts a distància mínima:

Punt 1:

Punt 2:

Punt 3:

Punt 4:

Distància mínima $d$:

Es pretén dissenyar un dipòsit tancat d'un volum de 1000 litres, format per un cos central cilíndric de longitud $l$ i radi $r$, tancat als dos extrems per dues semiesferes del mateix radi $r$. Determineu les dimensions $l$ i $r$ requerides per tal que la quantitat de material emprada en la seva construcció (àrea total) sigui mínima.

La resistència a la flexió d'una biga de secció transversal rectangular és directament proporcional a la seva amplada i al cub de la seva alçada. Quina és l'amplada de la biga de màxima resistència que es pot extreure d'un tronc cilíndric de $16\text{ cm}$ de diàmetre?

Es vol fabricar una caixa oberta (sense tapa superior). El material utilitzat per a la base té un preu de $5\text{ €/m}^2$, mentre que el dels quatre laterals costa $3\text{ €/m}^2$. Trobeu les dimensions de la caixa de capacitat màxima que es pot construir disposant d'un pressupost total de $540\text{ euros}$.

Sigui la funció de dues variables definida per:

$$f(x, y) = ax^3 + x^2y + bxy + c\cos y$$

a)

Determineu els coeficients $a$, $b$ i $c$ sabent que el punt $(1,0)$ és un punt crític de $f$ i que el seu polinomi de Taylor d'ordre 2 centrat a $(1,0)$ val $3/4$ al punt $(2,1)$.

b)

Fent servir els coeficients trobats a l'apartat anterior, localitzeu i classifiqueu els extrems relatius de la funció en el semiplà superior $y > 0$.

54 Pràctica 5. Exercici 9. Extrems relatius de diverses funcions

Calculeu els punts estacionaris i classifiqueu els extrems relatius de cadascuna de les funcions següents:

a.

$f(x, y) = e^x \sin y$

b.

$f(x, y) = e^{-(3x^2 + 2xy + 3y^2)}$

c.

$f(x, y) = x^2 y^2$

Trobeu quines han de ser les dimensions en planta d'una habitació rectangular d'alçada constant $h$ per tal que, tenint una àrea de sòl de $25\text{ m}^2$, la superfície total de les quatre parets sigui mínima.

Trobeu els punts de la corba $x^2 + y^2 + 6xy = 1$ per als quals la distància al punt $(1,1)$ assoleix un valor extrem (màxim o mínim local).

$P_1 = ($

$,$

$)$

$P_2 = ($

$,$

$)$

Determineu el tetràedre de volum mínim limitat pels tres plans coordenats i un pla tangent a l'el·lipsoide d'equació:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$$

en un punt situat al primer octant ($x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$).

$V_{\text{mín}} =$

Calculeu l'àrea de la regió comuna delimitada per l'interior dels dos cercles següents:

$$x^2 + y^2 = 4 \qquad \text{i} \qquad x^2 + y^2 = 4x$$

$A =$

Pràctica 6. Exercici 2. Volum per seccions de triangles equilàters

Trobeu el volum del sòlid que té per base un disc circular de radi 3, sabent que totes les seccions planes perpendiculars a un diàmetre fixat són triangles equilàters.

Calculeu l'àrea de la regió del pla compresa entre la gràfica de la corba $y = \sqrt{1 - x^2} \arcsin x$ i l'eix d'abscisses $OX$ (per a $x \ge 0$).

Trobeu l'àrea tancada per la corba cardioide expressada en coordenades polars per l'equació:

$$r = a(1 + \cos\theta) \qquad (a > 0)$$

Trobeu el volum del sòlid de revolució generat per l'àrea del primer quadrant limitada per la paràbola $y^2 = 8x$ i la recta vertical $x = 2$ en girar entorn de:

a)

b)

c)

Calculeu el volum d'una tremuja de 120 cm d'alçada, la base inferior de la qual és un quadrat de 25 cm de costat i la base superior és un rectangle de mides 70 cm per 120 cm.

Pràctica 6. Exercici 7. Volum del tor de revolució

Trobeu el volum del tor sòlid generat per la rotació del cercle $x^2 + y^2 = 4$ al voltant de l'eix vertical definit per la recta $x = 3$.

Pràctica 6. Exercici 8. Longitud de corbes planes

Calculeu la longitud d'arc corresponent a cadascuna de les següents corbes planes:

a)

Una circumferència completa de radi $r$.

b)

Una volta completa de l'espiral d'Arquimedes: $r(\theta) = a\theta$ per a $\theta \in [0, 2\pi]$.

c)

Un arc complet de la cicloide parametritzada per $x(t) = a(t - \sin t)$, $y(t) = a(1 - \cos t)$ amb $t \in [0, 2\pi]$.

Pràctica 6. Exercici 9. Volum de revolució de lemniscata

Considereu la lemniscata de Bernoulli donada en el primer quadrant per l'equació:$$y = \sqrt{2\sqrt{1 + 2x^2} - (x^2 + 2)}$$

Calculeu el volum del sòlid de revolució obtingut en fer girar aquesta corba al voltant de l'eix $OX$.

Pràctica 6. Exercici 10. Àrea d'un arc de cicloide

Trobeu l'àrea compresa entre un arc de cicloide i l'eix $OX$, parametritzat per:$$x(t) = a(t - \sin t), \quad y(t) = a(1 - \cos t), \quad t \in [0, 2\pi]$$

Pràctica 6. Exercici 11. Àrea i volums de rotació

a.

Trobeu l'àrea delimitada per la corba $y = \sqrt{x}$, la recta $x + y = 2$ i l'eix $OX$.

b.

Calculeu el volum generat en fer rotar aquesta regió al voltant de l'eix $OX$.

c.

Calculeu el volum generat en fer rotar aquesta regió al voltant de l'eix $OY$.

Pràctica 6. Exercici 12. Geometria d'el·lipse i el·lipsoide

a.

Trobeu l'àrea tancada per una el·lipse de semieixos $a$ i $b$.

b.

Calculeu el volum d'un el·lipsoide de semieixos $a$, $b$ i $c$.

Pràctica 7. Exercici 1. Integral doble sobre triangle

Calculeu la integral doble següent:$$\iint_D \frac{x}{x + y} \, dx \, dy$$on $D$ és el triangle amb vèrtexs als punts $(a, 0)$, $(a, 2a)$ i $(0, a)$, essent $a > 0$.

Pràctica 7. Exercici 2. Integral doble sobre disc unitari

Sigui el disc $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \le 1\}$. Calculeu:$$\iint_D \frac{dx\,dy}{\sqrt{x^2 + y^2 + 1}}$$

Pràctica 7. Exercici 3. Canvi de variables en integral doble

Calculeu la integral doble:$$\iint_D (x + y)^2 \, dx dy$$sobre el recinte delimitat per les desigualtats $0 \le x - y \le 1$ i $0 \le x + 2y \le 2$, utilitzant un canvi de variable convenient.

Apliqueu el canvi de variables escaient per calcular el valor de la integral doble:

$$\iint_D \exp\left(\frac{y-x}{y+x}\right)dx\,dy$$

on $D$ és el triangle tancat de vèrtexs $(0,0)$, $(0,1)$ i $(1,0)$.

Expresseu en coordenades polars i calculeu la integral iterada:

$$\int_0^1 dx \int_{\sqrt{3}x}^{\sqrt{4-x^2}} \frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dy$$

Determineu el volum del sòlid limitat per les superfícies $z = x^2 + y^2$, $x^2 + y^2 = a$ i el pla $z = 0$, on $a > 0$.

Calculeu la integral següent:

$$\int_0^4 dx \int_0^x |x + y - 2|\,dy$$

Pràctica 7. Exercici 8. Volum d'intersecció de cilindres

Trobeu el volum del sòlid que resulta de la intersecció de dos cilindres del mateix radi $R$ els eixos dels quals són perpendiculars i es tallen.

Pràctica 7. Exercici 9. Integral sobre quadrat amb canvi de variable

Calculeu la següent integral doble:$$\iint_D 4(x + y)e^{x - y}\,dx\,dy$$on $D$ és el quadrat delimitat pels vèrtexs $(0,0)$, $(1,1)$, $(0,2)$ i $(-1,1)$.

Pràctica 7. Exercici 10. Integral sobre disc en polars

Calculeu la integral doble:$$\iint_D (x^2 + y^2 + 2xy)\,dx\,dy$$on $D$ és el cercle de centre $(0,0)$ i radi $1$.

Pràctica 7. Exercici 11. Volum de piràmide per integral doble

Determineu el volum d'una piràmide recta d'alçada $h$ i base rectangular de costats $a$ i $b$ mitjançant integració doble.

Pràctica 7. Exercici 12. Volum d'un cilindre per integració

Trobeu el volum d'un cilindre de radi de la base $R$ i alçada $h$ fent servir integració múltiple.

Pràctica 8. Exercici 1. Mètode de Newton per arrels reals

Localitzeu gràficament intervals que continguin les arrels reals de cadascuna de les equacions següents i calculeu-les amb una precisió de 0.01 emprant el mètode de Newton-Raphson:

a)

$x^3 - 2x - 5 = 0$

b)

$2^x = 4x$

c)

$2x - \ln x - 4 = 0$

d)

$\ln x = \frac{1}{x}$

Pràctica 8. Exercici 2. Mètode d'iteració de punt fix

A partir d'una aproximació inicial trobada gràficament, determineu pel mètode d'iteració de punt fix ($x_{n+1} = g(x_n)$) les arrels de les equacions següents amb un error inferior a 0.01:

a)

$x^3 - 2x - 5 = 0$

b)

$4x - \cos x = 0$

Quin valor positiu de $x$ fa mínima la funció $f(x) = \dfrac{\tan x}{x^2}$ en l'interval $(0, \pi/2)$?

rad

Calculeu la integral definida: $$\int_2^3 \frac{1}{x} \, dx$$

a)

De forma exacta mitjançant una primitiva.

b)

Aproximant l'àrea amb una quadrícula de pas $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}$ mitjançant el teorema de Pick.

c)

Mitjançant la regla dels trapezis amb $n = 6$ subintervals i fitant l'error comès.

d)

Mitjançant la regla de Simpson amb $n = 6$ subintervals i fitant l'error comès.

Pràctica 8. Exercici 5. Aproximació de pi per trapezis

Avalueu aproximadament la integral: $$\int_0^{\sqrt{2}/2} \sqrt{1 - x^2}\,dx$$ mitjançant la regla dels trapezis prenent $n = 4$. Sabent que el seu valor exacte és $\frac{1}{4} + \frac{\pi}{8}$, utilitzeu el resultat obtingut per aproximar el nombre $\pi$ i fiteu l'error comès. Quin valor de $n$ caldria triar per tal que l'error en $\pi$ fos inferior a $10^{-6}$?

a)

b)

c)

Calculeu aproximadament el valor de la integral:$$\int_0^1 \frac{x}{1+x}\,dx$$fent servir la regla de Simpson:

a.

Amb una exactitud garantida de $10^{-4}$ (determinant el nombre de passos necessari).

b.

Prenent directament $n = 10$ subintervals i donant una fita de l'error absolut comès.

Determineu l'abscissa del punt d'inflexió de la corba $y = e^{-x} \ln x$ amb un error estrictament inferior a $10^{-6}$.

Aproximau els zeros reals de la funció polinòmica $y = 8x^3 - 2x - 1$ amb un error inferior a $10^{-4}$.

Calculeu amb una precisió de $0.01$ el valor de cadascuna de les integrals següents mitjançant algun mètode numèric adequat:

a.

$\int_0^1 \frac{dx}{1+x}$

b.

$\int_1^2 x \ln x\,dx$

c.

$\int_0^\pi \frac{\sin x}{x}\,dx$

d.

$\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{1+x}\,dx$

e.

$\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$

Exercici 1 (Avaluació). Extrems condicionats sobre el·lipsoide

Trobeu els extrems condicionats de la funció escalar:

$$f(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2$$

sabent que les variables estan sotmeses a la restricció:

$$x^2 + y^2 + 2z^2 = 1$$

a)

b)

c)

d)

Trobeu la longitud de l'arc de corba donat per les equacions paramètriques:

$$x(t) = e^t \cos t, \quad y(t) = e^t \sin t$$

des de $t = 0$ fins a $t = 4$.

Exercici 3 (Avaluació). Volum sota paraboloide el·líptic

Trobeu el volum comprès entre el paraboloide $z = 4 - x^2 - 2y^2$ i el pla $z = 0$.

Exercici 4 (Avaluació). Arrel única i mètode de Newton

Proveu que l'equació polinòmica $2x^3 + 6x - 1 = 0$ només té una única arrel real, i calculeu-la pel mètode de Newton-Raphson amb un error absolut inferior a $0.01$.

a)

Justifiqueu el nombre d'arrels reals mitjançant els teoremes de Bolzano i de Rolle:

b)