Contrastes de Hipótesis para la Localización de una Población

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DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA Estadística II Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en ADE+DCHO y FICO+ADE Bloque II: Contraste de hipótesis TEMA 4: CONTRASTES DE HIPÓTESIS. LOCALIZACIÓN DE UNA POBLACIÓN A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 4.1. Introducción 4.2. Conceptos básicos 4.3. Región crítica óptima 4.4. Nivel de significación empírico (p-valor) y región crítica 4.5. Contrastes paramétricos 4.5.1. Contraste sobre la media en poblaciones normales 4.5.2. Contraste sobre la proporción 4.6. Contrastes no paramétricos basados en la mediana 4.6.1. Contraste del signo o de la mediana 4.6.2.

Contraste del rango signado (Wilcoxon) 4.7. Resolución de casos prácticos con ordenador 4.1. Introducción A partir de este tema vamos a desarrollar el segundo gran bloque de la asignatura y de la inferencia estadística clásica: el contraste de hipótesis. Se trata de un tema de gran interés en el campo económico-empresarial, ya que en numerosas ocasiones los problemas a los que nos enfrentamos no están referidos a la estimación de un parámetro poblacional (ya sea de forma puntual o mediante intervalos), sino a la toma de decisiones acerca de la validez de una hipótesis formulada sobre la población, a partir de los datos obtenidos en una muestra.

Una hipótesis estadística es cualquier afirmación o supuesto acerca de alguna característica desconocida de una variable aleatoria. Dicha afirmación puede hacer referencia a los valores de los parámetros de una función de densidad (θ) o a otras características distintas como, por ejemplo, el modelo de probabilidad que sigue dicha variable, f(x,θ), u otros supuestos teóricos. El primer tipo de hipótesis se denominan paramétricas. En ellas se supone conocida la función de densidad de la población. Las del segundo tipo se llaman hipótesis no paramétricas. Para aplicar un contraste paramétrico necesitamos conocer la distribución de la población de partida.

Sin embargo, en la práctica, difícilmente se conocerá la forma funcional de la distribución de la que proceden los datos, por lo que se hace necesario utilizar métodos alternativos que no requieran el conocimiento de esa distribución. Esta es la característica fundamental de los contrastes no paramétricos o de libre distribución, ya que utilizan estadísticos cuya distribución se puede obtener con independencia de la que siga la población. Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B.

Díaz 2 En general, la mayoría de los test no paramétricos son válidos aunque las muestras sean pequeñas, ya que la distribución muestral de los estadísticos utilizados para hacer el contraste de hipótesis puede encontrarse aún con pocas observaciones. Además, se pueden aplicar frecuentemente a variables ordinales, usadas con mucha frecuencia en el mundo de la empresa y de la economía, cosa que no es posible realizar siempre con los contrastes paramétricos.

Supongamos, por ejemplo, que una compañía aérea hace las siguientes afirmaciones: a) el retraso de los vuelos sigue una distribución normal con 10 minutos de media; b) el porcentaje de clientes que efectúa una reclamación es inferior al 5%; c) el retraso de los vuelos es una variable con una distribución normal; d) existe relación entre el retraso de los vuelos y el día de la semana. Las dos primeras afirmaciones (a y b) plantean hipótesis paramétricas sobre la media y la proporción, respectivamente, mientras que las últimas (c y d) se refieren a hipótesis no paramétricas.

El planteamiento general en el contraste de hipótesis consiste en utilizar la información contenida en una muestra aleatoria extraída de la población, para confirmar o rechazar la hipótesis formulada. Puede intuirse que la decisión final respecto al problema planteado podría ser diferente para distintas muestras observadas. Sin embargo, en la práctica, sólo se toma una muestra. De ahí que, cuando aceptemos (o rechacemos) una hipótesis no podamos afirmar con total certeza que nuestra decisión sea correcta, de manera que a toda respuesta irá asociado un riesgo, que mide la probabilidad que tenemos de equivocarnos en nuestra respuesta.

El tema se ha dividido en seis epígrafes, además de esta introducción. Para empezar, expondremos los conceptos básicos que aparecen en la teoría general de la verificación de hipótesis (4.2), deteniéndonos en la definición de Región Crítica Óptima (4.3) y del nivel de significación empírico (4.4). A continuación, veremos los contrastes de hipótesis para la localización de la tendencia central de una población, que en el caso de normalidad se realizarán mediante la media (epígrafe 4.5). Finalmente, en el epígrafe 4.6, trataremos con el mismo fin los contrastes no paramétricos basados en la mediana. 4.2.

Conceptos básicos Hipótesis Una hipótesis estadística es un enunciado sobre alguna característica desconocida de una variable aleatoria. En todo contraste hablaremos de una hipótesis nula frente a una hipótesis alternativa. En un problema dado, la hipótesis nula es aquella que se considera provisionalmente correcta mientras no se encuentre evidencia contraria a partir de la información suministrada por una muestra. Se designa por H0. La hipótesis que entra en competencia con ella es la hipótesis alternativa, H1, y recoge las otras posibilidades complementarias, que ofrece el problema de decisión. A su vez, las hipótesis pueden ser simples o compuestas.

Una hipótesis simple asigna un único valor al parámetro (θ=θ0) y por lo tanto, la distribución de probabilidad de la población queda perfectamente especificada. Sin embargo, una hipótesis compuesta establece un intervalo de valores para el parámetro, de manera que la población no está totalmente determinada. Una Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 3 hipótesis compuesta puede ser bilateral (θ θ0), unilateral a la derecha (θ > θ0), o unilateral a la izquierda (θ < θ0).

Tanto la hipótesis nula como la hipótesis alternativa pueden ser simples o compuestas. Así, por ejemplo, en las pruebas de hipótesis para la media μ, podríamos establecer la hipótesis nula 0 0 : H , frente a alguna de las siguientes alternativas (bilateral, unilateral a la derecha y unilateral a la izquierda, respectivamente): 0 1 0 0 : : H H 0 1 0 0 : : H H 0 1 0 0 : : H H Siguiendo con el ejemplo de la compañía aérea, supongamos que se pregunta si el retraso medio de los vuelos es de 10 minutos o superior.

Para responder a esta pregunta, se deben establecer las siguientes hipótesis: H0: μ = 10 H1: μ > 10 Formalmente, en general, siendo el espacio paramétrico (es decir, el conjunto de todos los posibles valores que puede tomar el parámetro θ) y 0 y 1 dos subconjuntos de dicho espacio, podemos escribir: H0 : θ 0 H1 : θ 1 En un problema concreto, la especificación apropiada de H0 y H1 depende de la naturaleza de dicho problema, pero ambas hipótesis siempre deben ser complementarias y mutuamente excluyentes: 0 1 = 0 1 = Sin embargo, es muy frecuente que, tanto por razones prácticas como teóricas, la hipótesis nula sea formulada como hipótesis simple.

Este será el criterio que se seguirá, en general, a lo largo del programa. En el ejemplo anterior, se supone que lo realmente importante en la decisión es que el retraso medio no supere los 10 minutos H0: μ 10, porque en realidad lo que preocupa al decisor es que se demore en más de ese tiempo, es decir, que se rechace la hipótesis nula y, por tanto, tenga que ser aceptada la hipótesis alternativa. Sin embargo, se considera aceptable un retraso por debajo de 10 minutos. Regla de decisión o test Una vez formuladas las hipótesis, la siguiente etapa consiste en decidirse por una de ellas.

A la regla o criterio de decisión que nos permite, a partir de una muestra aleatoria, decir cuál de las dos hipótesis es más acertada se le denomina test, prueba, contraste o verificación. Esta regla de decisión se fundamenta en dos cuestiones: Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 4 a) El valor que toma una función de los datos de la muestra al que llamaremos estadístico de prueba o estadístico de contraste (por ejemplo, la media muestral X para realizar contrastes acerca de la media poblacional µ).

b) La definición de una Región Crítica, que es un subconjunto del espacio muestral, denotado por C, tal que si la muestra observada pertenece a él rechazamos la hipótesis nula bajo consideración. Por ejemplo, C: k X . El subconjunto complementario de la Región Crítica, denotado por C , es la Región de Aceptación, que conduce a la aceptación de la hipótesis nula. El valor (o valores) que separa la región crítica de la región de aceptación se denomina valor o punto crítico. Errores en un contraste de hipótesis. Potencia del contraste Al realizar un contraste se pueden cometer dos tipos de errores: Error de tipo I: es el que se comete al rechazar la hipótesis nula, cuando es cierta.

Error de tipo II: es el que se comete al aceptar la hipótesis nula, cuando es falsa. Lógicamente, al tomar una decisión, sólo se puede cometer uno de estos tipos de error. Veámoslo a partir de la Tabla 4.1: Tabla 4.1: Resultados posibles en un contraste de hipótesis Decisión Rechazar H0 Aceptar H0 Situación real H0 cierta Error tipo I Decisión correcta H0 falsa Decisión correcta Error tipo II El riesgo de cometer cada uno de estos errores se valora en términos de probabilidad. Estas probabilidades se denotan por (probabilidad del error tipo I) y (probabilidad del error tipo II). La Tabla 4.2 recoge las probabilidades asociadas a cada decisión.

=tamaño del error tipo I=P(error tipo I)=P(rechazar H0 /H0 cierta)=P ( X1, X2 ...,Xn) C/H0 = tamaño del error tipo II=P(error tipo II)=P(aceptar H0/H1 cierta)=P ( X1, X2 ..., Xn) C /H1 Tabla 4.2: Probabilidades condicionadas asociadas a cada decisión Decisión Rechazar H0 Aceptar H0 Situación real H0 cierta 1- H0 falsa 1- El tamaño del error tipo I, , también se conoce como nivel de significación o tamaño de la región crítica del test. Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B.

Díaz 5 Por otra parte, también podemos definir la potencia del contraste (1- ), como la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa. Es la probabilidad de detectar que la hipótesis nula es falsa y, por tanto, tomar una decisión correcta. Podemos comprobar que es la probabilidad complementaria de , y se denota por K: K = P(rechazar H0 / H0 falsa)=1 – P(aceptar H0 / H0 falsa)=1- Relación entre los errores tipo I y II De la anterior definición de y se desprende que: 1) No es necesario que y sumen la unidad, puesto que estas dos probabilidades no son complementarias. 2) Las probabilidades y no son independientes entre sí.

Dado un tamaño muestral n, no podemos reducir a la vez las probabilidades de cometer el error tipo I y II, ya que si disminuye aumenta , y viceversa. Es decir, los tamaños de los errores de tipo I y II están relacionados de forma inversa (véase un ejemplo en la Figura 4.1). Fig. 4.1. Tamaños de los errores Tipo I y Tipo II para la verificación de la media en una población normal 5 H 3 H 1 0 : : a) C: 3'5 X b) C: 5 ' 4 X 3) Las probabilidades y no son independientes del tamaño muestral n: Si n aumenta, y disminuyen porque el error de muestreo disminuye al aumentar el tamaño de la muestra (véase la Figura 4.2).

Pero un aumento en el tamaño de la muestra produce un incremento en coste de la investigación. Por ello, el investigador tendrá que decidir qué coste está dispuesto a asumir incrementando el tamaño de la muestra para reducir los errores y . Dado un nivel de significación , cuando aumenta el tamaño de la muestra, disminuye la probabilidad de error de tipo II, es decir, . Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 6 Fig. 4.2.

Tamaños de los errores Tipo I y Tipo II para la verificación de la media en una población normal ante cambios en el tamaño muestral 5 H 3 H 1 0 : : a) Tamaño muestral n b) Tamaño muestral n'>n Dada la interrelación de y , un criterio para discriminar entre contrastes alternativos consiste en fijar una de estas probabilidades y elegir como mejor contraste aquel para el cual la otra sea mínima. Ejemplo 4.1. El tiempo necesario para producir una unidad de un determinado producto (en minutos) es una variable normal con =1,4. Para verificar H0: =10 frente a H1: =10,4 se seleccionan aleatoriamente 25 unidades y se recoge el tiempo de producción de las mismas.

Compare las siguientes regiones críticas, si el tamaño máximo del error tipo I que estamos dispuestos a asumir es del 6%. a) 1: ̅ 10,65 b) 2: ̅ 10,45 c) 3: ̅ 10,25 Datos: X: Tiempo necesario para producir una unidad de producto ) 4 , 1 , N( ~ X n = 25 0'06 asumible 4 , 10 : 10 : 1 0 H H Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B.

Díaz 7 Solución: Vamos a calcular el tamaño del error tipo I (α), el tamaño del error tipo II (β) y la potencia (k) para cada una de las Regiones Críticas propuestas: a) 1: ̅ 10,65 0 0 10,65-10 rechazar H 10,65 Z ( 2,32) 0,0102 es cierta 10 1,4 5 X P P P P Z H 0 1 10,65 10,4 aceptar H 10,65 = 0,89 0,8133 H es cierta 10,4 1,4 5 X P P P Z P Z Potencia del contraste: 1867 , 0 8133 , 0 1 1 k b) 2: ̅ 10,45 0 0 10,45-10 rechazar H 10,45 Z ( 1,61) 0,0537 es cierta 10 1,4 5 X P P P P Z H 0 1 10,45 10,4 aceptar H 10,45 0,18 0,5714 H es cierta 10,4 1,4 5 X P P P Z P Z Potencia del contraste: k= 4286 , 0 5714 , 0 1 1 c) 3: ̅ 10,25 1867 , 0 ) 89 , 0 ( 5 1,4 10 - 25 , 10 P 10 25 , 10 P cierta es H H rechazar P 0 0 Z P Z X 0 1 10,25 10,4 aceptar H 10,25 0,54 0,2946 H es cierta 10,4 1,4 5 X P P P Z P Z Potencia del contraste: 7054 , 0 2946 , 0 1 1 K Solución: Elegiríamos la segunda región crítica propuesta, ya que satisface la condición impuesta para el tamaño del error tipo I ( =0,0537<0,06) y, a su vez, tiene un tamaño del error tipo II ( ) menor (o una mayor potencia).

Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 8 Ejemplo 4.1 (resuelto con Statgraphics) Los tamaños de los errores Tipo I y Tipo II son probabilidades que se obtienen en la distribución de probabilidad del estadístico utilizado en el contraste de hipótesis, suponiendo que se cumple la hipótesis nula establecida sobre el parámetro desconocido. Por tanto, hay que hacer uso de las Distribuciones en el Muestreo utilizadas en el Tema 1.

En este ejemplo, al tratarse de un contraste sobre la media de la población, se utiliza como estadístico la distribución de la media en el muestreo: ̅/ 0~ (10; 0,28) ̅/ 1~ (10,4; 0,28) a) 1: ̅ 10,65 Dentro de Distribuciones en el Muestreo, ya visto en el Tema 1, se elige Normal-Media y se introducen los datos correspondientes. De acuerdo con la definición de esta región crítica, para calcular se elegirá Área límite superior y se tomará Área límite inferior, para obtener . Si se desea calcular la potencia del contraste (k) directamente, se tomará Área límite superior, puesto que el suceso es rechazar la hipótesis nula, siendo falsa ( = 10,4). Procedimiento para Estadística II.

Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 9 Procedimiento para Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 10 Procedimiento para Repitiendo este mismo proceso para los apartados b) y c) se obtienen los siguientes resultados: Estadística II.

Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 11 b): , Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 12 c): , Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 13 4.3.

Región crítica óptima Hemos visto en el apartado anterior que podemos definir más de una región crítica para un contraste, pero no todas son iguales en términos de los tamaños de los errores que se pueden cometer en cada una de ellas. Por esta razón, a continuación vamos a definir el concepto de Región Crítica Óptima (RCO) para un nivel de significación y un tamaño muestral dados. Sea C un subconjunto del espacio muestral n.

Diremos que C es una Región Crítica Óptima de tamaño para verificar la hipótesis 0: = 0 frente a la hipótesis alternativa 1: = 1 si, para cualquier subconjunto A del espacio muestral n, tal que P (X1, X2, ..., Xn) A / H0 = , se cumple que: 1) P (X1, X2, ..., Xn) C / H0 = 2) P (X1, X2, ..., Xn) C / H1 P (X1, X2, ..., Xn) A / H1 Esta definición nos dice que si es posible definir más de una región crítica de igual tamaño, entonces será preferible aquella para la cual la potencia del contraste sea mayor.

Como consecuencia, el investigador fija de antemano el nivel de significación o tamaño de error de tipo I que está dispuesto a asumir (normalmente, se toma =0,05 o inferior) y elige el test que minimiza el tamaño del error tipo II. Como vemos, el enfoque de Neyman-Pearson trata a las hipótesis nula y alternativa de forma asimétrica, dando un trato privilegiado a H0, puesto que se construye el test en función de que (probabilidad de rechazar H0 cuando sea cierta) sea pequeña. Es decir, se considera que el error de tipo I es más grave que el error de tipo II.

Esto se justifica por el principio de simplicidad científica, según el cual no abandonamos un modelo (en nuestro caso, la hipótesis de partida, H0) por otro distinto, si no existe una fuerte evidencia empírica a favor del nuevo (recogido en la hipótesis alternativa, H1)1 . La selección del nivel de significación conduce a dividir en dos regiones el conjunto de posibles valores del estadístico de contraste: La Región Crítica (RC) o Región de Rechazo, con probabilidad bajo H0.

La Región de Aceptación (RA), con probabilidad 1- bajo H0 Si el estadístico de contraste toma un valor perteneciente a la región crítica, entonces se asume que los datos no son compatibles con la hipótesis nula y ésta se rechaza a un nivel de significación . Por el contrario, si el estadístico cae en la región de aceptación, no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula. 1 Algunos autores ilustran este criterio con el principio judicial de inocencia, según el cual es más grave condenar a un inocente que dejar libre a un culpable.

Si la hipótesis nula es la inocencia del acusado, sólo se rechazará cuando haya pruebas suficientes que apoyen el veredicto de culpabilidad (hipótesis alternativa). Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 14 Los procedimientos desarrollados para obtener la Región Crítica Óptima son: Si tanto la hipótesis nula como la hipótesis alternativa son simples: Teorema de Neyman-Pearson. Si la hipótesis nula es simple y la hipótesis alternativa es compuesta unilateral: Región Crítica Uniformemente más Potente.

Si la hipótesis nula es simple y la hipótesis alternativa es compuesta bilateral: Razón de Verosimilitudes. En este curso, no entraremos en detalles teóricos sobre la aplicación de procedimientos, sino que ofreceremos directamente las regiones críticas que resultan de su aplicación a cada contraste concreto.

En cualquier caso, podemos adelantar que en todos los contrastes paramétricos se confirma la solución intuitiva de que, según la forma de la hipótesis alternativa, la región crítica del test estará formada por una cola de la distribución del estadístico de contraste (si el contraste que se plantea es unilateral a la derecha o a la izquierda) o por dos colas (si el contraste es bilateral o de dos colas), tal como se muestra en la Fig. 4.3. Fig. 4.3: Tipo de contraste y Región Crítica Óptima Veamos, para finalizar esta breve introducción teórica del tema, un ejemplo en el que se describen detalladamente los pasos o etapas a seguir en un contraste de hipótesis. Ejemplo 4.2.

Una compañía se dedica a la producción de equipamiento de oficina. La producción semanal del modelo de mesa A20 en una de sus múltiples fábricas sigue una distribución normal de media 200 y desviación estándar 16. Recientemente, la empresa introduce nuevos métodos de producción y recicla la formación de sus empleados con intención de mejorar su funcionamiento. La Junta Directiva de la empresa desea saber si estos cambios han sido útiles para incrementar la producción. Para verificarlo, selecciona una muestra aleatoria de 50 semanas en las que la producción media fue de 203,5 unidades. ¿Cuál sería la conclusión con un nivel de significación del 5%?

Datos: X: Producción semanal del modelo de mesa A20 en una fábrica ~ ( = 200, = 16) n = 50 203,5 x 05 , 0 Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 15 Solución: 1) Planteamiento: se definen o enuncian las hipótesis 0 H y 1 H .

0 1 : 200 : 200 H H se incrementa la producción media semanal Con este planteamiento, consideramos como hipótesis nula la opción más conservadora (no se incrementa la producción media a pesar de las mejoras introducidas en el proceso) y como alternativa, la opción más favorable, que indica que sí se incrementa la producción (sólo se aceptará si encontramos evidencia a favor estadísticamente significativa). 2) Determinar el estadístico de prueba apropiado como una medida de la discrepancia entre los datos muestrales y la 0 H . En el epígrafe 4.5 estudiaremos este punto con más detalle, pero resulta lógico trabajar con la media muestral para verificar hipótesis sobre la media poblacional.

Como sabemos, en poblaciones normales: 0 0 X - X- X ~ ~N(0,1) ; Bajo H ~ (0,1) N , Z N n n n 3) En función del nivel de significación prefijado, determinar la región crítica. El contraste es unilateral a la derecha, por lo que la región crítica o de rechazo de la hipótesis nula estaría en la cola derecha de la distribución del estadístico, y el valor crítico del test, para el nivel de significación dado (5%), sería z1- = z0,95 =1, 645. Fig. 4.4: Región crítica y valor crítico del test Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E.

Cruces; B. Díaz 16 4) Calcular el valor observado del estadístico de prueba a partir de los datos de la muestra obtenida. 55 , 1 50 16 00 2 - 203,5 00 2 - x n zobs 5) Tomar la decisión e interpretarla. En este caso, el valor observado del estadístico de prueba = 1,55 es inferior a 1,645, es decir, no pertenece a la región crítica, sino a la de aceptación. Por tanto, con un nivel de significación del 5%, debemos tomar la decisión de aceptar la hipótesis nula planteada. Esto significa que la producción media no se ha incrementado a pesar de las mejoras introducidas en el proceso productivo. Fig. 4.5: Región crítica y valor observado 4.4.

Nivel de significación empírico (p-valor) y región crítica Una pregunta que con frecuencia realizan los alumnos en sus primeros contactos con la verificación de hipótesis es: ¿qué nivel de significación debemos utilizar? Si consultamos publicaciones científicas, observaremos que los niveles de significación más habituales son α=0,05 (es decir, tamaño del error tipo I del 5%) o α=0,01 y en algunos casos, α=0,10. De hecho, estos son los niveles utilizados en muchos textos elementales de Estadística.

Y esto se explica porque antes de la universalización del empleo de los ordenadores, los cálculos estadísticos se basaban en el uso de diferentes tablas para hallar las fronteras de la región crítica (valores críticos) y decidir qué hipótesis aceptar. Los valores 5%, 1% y 10% fueron elegidos como los más representativos en las colecciones de tablas habituales, ya que no resultaba práctico publicar tablas para cualquier valor de α. De esta forma, con el paso del tiempo, estos valores se admitieron convencionalmente como deseables. Sin embargo, no hay ninguna razón científica que justifique que estos valores sean forzosamente los más adecuados.

Además, hoy en día extraer conclusiones de cualquier estudio Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 17 a partir de un nivel de significación fijo es un procedimiento estadístico demasiado rudimentario, ya que el uso generalizado del ordenador permite, una vez obtenida la muestra, definir una metodología alternativa más razonable, basada en el cálculo del p-valor o nivel de significación empírico del contraste.

El p-valor se obtiene a partir del valor observado para el estadístico de prueba en la muestra extraída de la población. En concreto, se define como la probabilidad de obtener un valor igual o más extremo al observado dado que la hipótesis nula es cierta (es decir, el área de la cola correspondiente a la región crítica a partir del valor observado, o de las colas si el contraste es bilateral). Obviamente, al ser una probabilidad, se cumple que: 0 p-valor 1 El p-valor es una medida de lo verosímil que resulta obtener una muestra como la actual si H0 es cierta.

Los valores pequeños indican que es poco frecuente obtener esta muestra bajo la hipótesis nula, lo que nos indica que dicha hipótesis es poco creíble y no debe aceptarse. Por el contrario, los valores altos nos dicen que la muestra obtenida es muy probable bajo la hipótesis nula, lo que refuerza su credibilidad y, por tanto, la posibilidad de ser aceptada. De esta forma, el p-valor puede interpretarse como el nivel de significación del test obtenido empíricamente a partir del valor muestral del estadístico.

Con todo esto, vemos que proporcionar el nivel de significación empírico del contraste presenta la ventaja de permitir a cualquier investigador decidir por sí mismo qué hipótesis acepta en función del nivel de riesgo α que está dispuesto a asumir. Esto no es posible si, como ha sido tradicional, sólo se indica el resultado de la decisión (si se acepta o se rechaza H0) con un nivel de significación α fijo. Por eso, los paquetes estadísticos incluyen entre los resultados del contraste el p-valor.

Si el α estuviese previamente definido, la decisión se tomará de acuerdo con la siguiente regla: si p-valor α, se rechaza H0 (poco verosímil) si p-valor > α, se acepta H0 Para finalizar, vamos a ilustrar el cálculo del p-valor en un contraste básico sobre la media de una población normal con varianza conocida, en la que planteamos las siguientes hipótesis: 0 1 0 0 : : H H 0 1 0 0 : : H H 0 1 0 0 : : H H Como hemos visto, en el estadístico de prueba para verificar estas hipótesis es la media muestral, que sigue una distribución normal de media μ y desviación típica n σ/ . Tipificando, bajo H0 , n X / 0 se distribuye como una normal (0,1). Estadística II.

Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 18 Las Regiones Críticas difieren en cada uno de los contrastes considerados (bilateral, unilateral a la derecha o unilateral a la izquierda), de manera que el p-valor para cada uno de estos casos vendría dado por las siguientes probabilidades2 : Ejemplo 4.3. Una compañía se dedica a la producción de equipamiento de oficina. La producción semanal del modelo de mesa A20 en una de sus múltiples fábricas sigue una distribución normal de media 200 y desviación estándar 16.

Recientemente, la empresa introduce nuevos métodos de producción y recicla la formación de sus empleados con intención de mejorar su funcionamiento. La Junta Directiva de la empresa desea saber si estos cambios han sido útiles para incrementar la producción. Para verificarlo, selecciona una muestra aleatoria de 50 semanas en las que la producción media fue de 203,5 unidades. Calcule el nivel de significación empírico del contraste y extraiga conclusiones.

Datos: X: Producción semanal del modelo de mesa A20 en una fábrica ~ ( = 200, = 16) n = 50 203,5 x Solución: 0 1 : 200 : 200 H H se incrementa la producción media semanal Estadístico de prueba y valor observado: 0 0 X - X- X ~ ~N(0,1) ; Bajo H ~ (0,1) N , Z N n n n 2 En los contrastes bilaterales, si la distribución del estadístico de prueba no es simétrica, para calcular el p-valor se multiplica por 2 el área de la cola menor a partir del valor observado. Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B.

Díaz 19 55 , 1 50 16 00 2 - 203,5 00 2 - x n zobs Cálculo del nivel de significación empírico (p-valor) del test: 0606 , 0 ) 55 , 1 ( ) / 5 , 203 ( 0 Z P H X P valor p derecha la a unilateral es crítica región la que Dado Fig. 4.6: Región crítica, valor crítico y p-valor Según este resultado, para niveles de significación superiores al 6,06% (por ejemplo, α=0,10) se rechazaría la hipótesis nula, ya que el valor observado pertenecería a la Región Crítica, mientras que para valores inferiores (por ejemplo, α=0,05) se aceptaría. En definitiva, es el investigador el que debe decidir qué tamaño del error tipo I está dispuesto a asumir.

Ejemplos 4.2 y 4.3 (resueltos con Statgraphics) Paso 1: Se selecciona la pestaña Describir/Datos Numéricos/Pruebas de Hipótesis y procedemos a rellenar la información. Primero, se elige la prueba para la media bajo supuesto de normalidad y se introduce la información del ejemplo; es decir, el valor de la hipótesis nula, el tamaño de la muestra y su media. En la casilla para la sigma muestral (desviación típica de la muestra) se pondrá la poblacional, conocida en este ejemplo (16), teniendo en cuenta que, para estas situaciones, en la ventana de opciones que se abrirá a continuación se ha de señalar la de Usar Prueba Z.

En caso de no hacerlo, el programa tomará por defecto la t de Student como estadístico de prueba, entendiendo que la desviación típica es la observada en la muestra. Z Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 20 Paso 2: Se abre la ventana Opciones Prueba de Hipótesis, que se cumplimentará de acuerdo a los datos del ejemplo. Así, se elegirá como hipótesis alternativa Mayor que y como nivel de significación del test (Alpha) el 5%.

Como se dijo anteriormente, en este ejemplo se da por conocida la desviación típica de la población, por lo que optaremos por Usar Prueba Z. Paso 3: Una vez aceptadas las opciones anteriores, se obtiene el resultado del ejemplo. En la parte izquierda de la ventana se resumen los datos introducidos y se dan los resultados más relevantes para el contraste de la hipótesis en cuestión: valor del estadístico de prueba bajo la hipótesis nula (Estadístico Z calculado), p-valor (Valor-P) y decisión para el alfa considerado.

También, se obtiene un intervalo de confianza para la media poblacional y se da la cota de confianza para la misma (límite inferior del intervalo, en este caso, ya que H1 es unilateral a la derecha). Utilizando el valor del estadístico de prueba, como < 0,95 (1,5468 < 1,96), no se rechaza H0. Alternativamente, como > , no se rechaza H0. En la ventana de la derecha aparece la función de potencia del test. Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 21 4.5. Contrastes paramétricos 4.5.1.

Contraste sobre la media en poblaciones normales Supongamos una variable X que se distribuye como una ) , ( N . Mediante una muestra aleatoria simple de tamaño n, n 2 1 X X X ,..., , y con un nivel de significación dado queremos realizar uno de los siguientes contrastes (Tabla 4.3): Tabla 4.3. Contrastes sobre la media poblacional Contraste bilateral Contraste unilateral a la derecha Contraste unilateral a la izquierda 0 1 0 0 : : H H 0 1 0 0 : : H H 0 1 0 0 : : H H Para llevar a cabo estos contrastes, se debe tener en cuenta si la varianza poblacional es o no conocida, ya que de ello depende el estadístico de prueba a partir del cual se van a definir las correspondientes regiones críticas.

a) Verificación de la media, con variancia poblacional σ2 conocida Bajo H0, se cumple que ) , ( ~ 0 N X , de manera que la distribución de la media muestral es: n N X / , ~ 0 El estadístico de prueba es: ) , ( / 1 0 N ~ n X Z 0 En una muestra concreta, este estadístico toma el valor: n x zobs / 0 En la tabla 4.4 se recogen las regiones críticas para cada uno de los contrastes señalados anteriormente. Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 22 Tabla 4.4.

Regiones críticas para la verificación de la media poblacional (población normal y varianza conocida) H1 R. C. O. Rechazar H0 si Representación gráfica 0 Dos colas / o / 0 Cola derecha 0 Cola izquierda Ejemplo 4.4 En un proceso de producción de varillas metálicas, la longitud sigue un modelo normal de media μ. Por experiencia acerca del proceso, se cuantifica su desviación típica en 1cm. En condiciones de funcionamiento correcto, se espera que la longitud media de los artículos sea de 50 cm. Para comprobar la calidad se decide tomar una muestra de 10 artículos que resultan tener una longitud media de 51 cm.

Basándonos en esta muestra: a) ¿qué podemos decir acerca del funcionamiento del proceso con un nivel de significación del 5%? b) ¿cuál sería el nivel de significación empírico del contraste? Datos X: Longitud de una pieza producida (cm.) X ~ N( μ , σ=1) n = 10 x = 51 α = 0,05 Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B.

Díaz 23 Solución: Planteamos las hipótesis: El estadístico de prueba es: 0 ~ ( 0,1) / X Z N n Y el valor observado: 162 , 3 10 / 1 50 51 / 0 n x zobs Región crítica bilateral: zobs z1- /2 ó zobs z /2 zα/2 = -1,96 zcrítica z1-α/2 = 1,96 En el ejercicio 3,162 > 1,96. Como zobs pertenece a la región crítica, rechazamos H0 y afirmamos con un nivel de significación del 5% que el proceso está desajustado. b) Vamos a calcular ahora el nivel de significación empírico del contraste: = 2 ( " ") = 2 ( 3,162) = 2 0,0008 = 0,0016 Dado que p-valor=0,0016 < α = 0,05 (y en general, inferior a los niveles de significación habituales), se rechaza H0. 50 : 50 : 1 0 H H Estadística II.

Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 24 Ejemplo 4.4 (resuelto con Statgraphics) Siguiendo los mismos pasos que en el ejemplo anterior se obtiene el siguiente resultado: b) Verificación de la media, con variancia poblacional σ2 desconocida. Supongamos ahora que la variable X se distribuye ) , ( N con σ desconocida.

Si se plantean los mismos contrastes anteriores sobre la media poblacional, el estadístico de prueba correspondiente bajo H0 será: 1 n 0 0 t ~ n S X 1 n S X / ˆ / Una vez seleccionada la muestra concreta: n s x 1 n s x t 0 0 obs / ˆ / Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 25 La tabla 4.5 muestra la región crítica de cada uno de los contrastes que pueden plantearse: Tabla 4.5. Regiones críticas para la verificación de la media poblacional (población normal y varianza desconocida) H1 R. C. O.

Rechazar H0 si Representación gráfica 0 Dos colas / o / 0 Cola derecha 0 Cola izquierda Ejemplo 4.5 Supóngase que compramos unos paquetes de galletas en cuyos envoltorios figura un valor de 300 gramos y que, por su volumen, nos da la sensación de que el peso es inferior al que se indica. Para salir de dudas se toman 32 de estos paquetes y se pesan. Los resultados obtenidos han sido gr x 299 y ˆ 10 s gr . La distribución de la variable peso de los paquetes es normal. ¿Existen motivos para pensar que el contenido medio de este producto es inferior al valor indicado, a un nivel de significación de 5%?

Datos X: Peso de paquetes de galletas (gr.) X ~ N(μ , σ) n = 32 x = 299 ŝ = 10 α = 0,05 Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B.

Díaz 26 Solución: Planteamos las hipótesis: 300 : 300 : 1 0 H H El estadístico de prueba es: 31 1 n 0 t t ~ n S X / ˆ Y el valor observado: = ̅ 0 ̂ = 299 300 10 32 = 0,5657 Región crítica: t tobs 697 1 tobs , Nótese que el valor crítico correspondiente a una t de Student con 31 grados de libertad no viene en las tablas que utilizamos, de manera que aproximamos por el de una t con 30 grados de libertad (t30,0,05= -1,697) En este caso, el valor observado (-0,5657) es superior al valor crítico (- 1,697), de manera que pertenece a la región de aceptación (RA).

De esta forma, con un nivel de significación del 5% se acepta H0, es decir, no podemos afirmar que el contenido de los paquetes sea inferior al que figura en las etiquetas. También podríamos haber optado por calcular el nivel de significación empírico del contraste3: = ( 31 0,5657) = 0,2878 Dado que 0,2878 es superior a los niveles de significación habituales, se acepta H0, es decir, no podemos afirmar que el contenido de los paquetes sea inferior al que figura en las etiquetas. 3 Hemos obtenido esta probabilidad mediante un programa estadístico.

Si usamos las tablas, debemos aproximar a 30 grados de libertad y al valor más cercano a -0,5657, que en este caso está bastante alejado (-0,854), de manera que hubiéramos obtenido un p-valor de 0,2. Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 27 Ejemplo 4.5 (resuelto con Statgraphics) En este ejemplo no se conoce la varianza de la población, por lo que el estadístico adecuado es la t de Student. Por lo tanto, seguiremos el mismo procedimiento del caso anterior, pero sin señalar la casilla Usar Prueba Z.

Destacar además, que en la casilla Sigma Muestral debe introducirse el valor de la desviación típica corregida ( ̂, y no s)4 . 4 Ya hemos dicho en temas anteriores que la mayoría de los programas estadísticos usan ̂2 y ̂ como estimadores de la varianza y la desviación estándar, respectivamente, aunque omitan el término "corregida" al referirse a ellos. Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 28 4.5.2.

Contraste sobre la proporción En muchas ocasiones prácticas nos encontramos con poblaciones que siguen una distribución binomial. Así, por ejemplo, si en un proceso de producción estamos interesados en conocer la proporción de artículos defectuosos, utilizamos como modelo para la ocurrencia de artículos defectuosos la distribución binomial, en donde el parámetro p recoge dicha proporción. En este contexto, vamos a considerar una población de partida que sigue una distribución binomial, X ) , ( p n B , y nos interesa contrastar una hipótesis sobre la proporción de elementos poblacionales que poseen cierto atributo (p). Podemos formular los siguientes contrastes (Tabla 4.6): Tabla 4.6.

Contrastes sobre la proporción poblacional Contraste bilateral Contraste unilateral a la derecha Contraste unilateral a la izquierda 0 1 0 0 p p H p p H : : 0 1 0 0 p p H p p H : : 0 1 0 0 p p H p p H : : Para definir los correspondientes test (reglas de decisión), recordemos que el estimador máximo verosímil del parámetro p es la proporción muestral: muestra la de Tamaño n tamaño de muestra una en éxitos de Número ˆ n X p En donde: p p E ˆ y n q p n p p p Var ) 1 ( ˆ De manera que bajo H0: n q p p N p 0 0 0 n , ˆ Y tipificando, definimos el siguiente estadístico de prueba: N(0,1) n q p p p Z n 0 0 0 ˆ Estadística II.

Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 29 Analicemos la región crítica de cada uno de los contrastes (Tabla 4.7): Tabla 4.7. Regiones críticas para la verificación de la proporción poblacional H1 R. C. O. Rechazar H0 si Representación gráfica 0 p p Dos colas / o / 0 p p Cola derecha 0 p p Cola izquierda Ejemplo 4.6 Un partido político afirma en su campaña electoral que el 70% de los votantes tienen intención de votarle en las próximas elecciones.

¿Estará de acuerdo en aceptar esa afirmación al nivel de significación del 10%, si cuando se selecciona una muestra aleatoria de 800 votantes se manifiestan a favor de ese partido 496? Datos X: número de votantes a favor X ~ B(n=800, p) α =0,10 62 , 0 800 496 ˆ p Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B.

Díaz 30 Solución: Planteamos las hipótesis 7 , 0 : 7 , 0 : 1 0 p H p H Recordemos que el estadístico de prueba viene dado por: N(0,1) n n q p p p Z 0 0 0 ˆ Siendo el valor observado en la muestra seleccionada: 938 , 4 800 3 , 0 · 7 , 0 7 , 0 62 , 0 obs z Región crítica bilateral: zobs z /2 o zobs z1- /2 zα/2 = -1,645 zcrítica z1-α/2 = 1,645 En este ejercicio, el valor observado pertenece a la región crítica, ya que -4,938 < -1,645, de manera que con un nivel de significación del 10% rechazamos H0, es decir, podemos afirmar que el porcentaje de votantes que tiene intención de votar a ese partido político no es del 70%.

También podríamos haber optado por calcular el nivel de significación empírico del contraste. En este caso: = 2 ( " ") = 2 ( 4,94) 0 Dado que este valor es prácticamente 0, debemos rechazar H0. Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 31 Ejemplo 4.6 (resuelto con Statgraphics) Este ejemplo se refiere a la proporción. Por tanto, siguiendo el procedimiento habitual, se elegirá en la ventana Pruebas de Hipótesis la opción Proporción Binomial y se cumplimentarán el resto de casillas con los datos suministrados.

A continuación, en las Opciones de Prueba, se elige No igual y Alpha = 10. En el resultado no aparece el valor del estadístico calculado, pero sí el p-valor correspondiente. Como es usual, también aparece un intervalo de confianza para el parámetro. Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 32 4.6.

Contrastes no paramétricos basados en la mediana En el apartado anterior, se ha visto que es posible hacer inferencia acerca de la localización o tendencia central de una población, mediante el contraste de la media, bajo la hipótesis de distribución normal. Esta hipótesis era fundamental para deducir la distribución de probabilidad de la media a partir de la cual hemos establecido los correspondientes contrastes. Por otro lado, es evidente que para variables ordinales o estadísticas de rangos, no cuantitativas, sería inviable la aplicación de tales contrastes, por la sencilla razón de que no tiene sentido la utilización de la media aritmética.

Por el contrario, en tales casos, es necesario el uso de la mediana como medida de tendencia central, de localización, de la población. De cualquier forma, no debe contemplarse el uso de la mediana sólo como un recurso secundario. Al contrario, su utilización para la localización de una distribución cualquiera (ordinal o cuantitativa) es una medida a veces más idónea que la media aritmética. Recuérdese que, para distribuciones con pronunciada asimetría o ante la presencia de valores extremos (outliers) en la misma, la media deja de ser un promedio representativo.

La mediana, que no es sensible a estas circunstancias (es un estimador más robusto), tiene, por lo demás, una interesante propiedad: la probabilidad de que un valor muestral caiga por encima (debajo) de la mediana es siempre igual a 1/2, cualquiera que sea la forma de la distribución. Así pues, cuando la población no es normal (y no se puede aplicar el teorema central del límite porque la muestra no sea suficientemente grande) o se manejan datos ordinales, es necesario acudir a otras alternativas para llevar a cabo inferencia sobre la posición de una población. A este fin sirven una serie de contrastes no paramétricos que veremos seguidamente.

Es importante mencionar que estos contrastes no paramétricos sólo deben usarse cuando no se cumplan las condiciones necesarias para la utilización de los respectivos contrastes paramétricos, ya que estos últimos son más potentes que los primeros. Esto es, siempre que sea posible la utilización de un contraste paramétrico porque se cumplan las condiciones para ello, éste será preferible a la utilización de un contraste no paramétrico. 4.6.1. Contraste del signo o de la mediana Como se acaba de argumentar, para localizar la posición de una población, a veces, no sólo es conveniente sino indispensable, utilizar la mediana como referencia de la misma.

El contraste del signo puede ser utilizado para contrastar hipótesis acerca de la mediana de una población. Sea f(x) la función de densidad de la población, que supondremos continua. Su mediana, Me, por tanto, viene determinada por la expresión: 2 1 ) ( ) ( Me Me dx x f dx x f Sea X1, X2,..., Xn una muestra aleatoria de X y supongamos que se pretende contrastar la siguiente hipótesis nula: H0 : Me = Me0 Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B.

Díaz 33 Si esta propuesta fuese cierta, la probabilidad de obtener una observación en la muestra mayor a la mediana (Me0) sería: P(Xi > Me0 ) = P(Xi - Me0 > 0) = 1/2 i = 1, 2, ..., n Construyamos una variable auxiliar, D, tal que Di = + si (Xi - Me0 ) > 0 y Di = - si (Xi - Me0 ) < 0. Si algún valor muestral coincide con la mediana propuesta bajo H0, ese valor se elimina de la muestra y, en consecuencia, se reduce el tamaño de la misma. Obviamente, D es un experimento de Bernouilli con probabilidad de éxito = 1 2 .

Puesto que las observaciones muestrales y, por tanto, las diferencias Dson independientes, el resultado de realizar este experimento n veces (tamaño muestral) se corresponderá con una distribución binomial. Por tanto, si definimos como estadístico de prueba el número de signos o diferencias positivas, S+ : S+ : nº de signos positivos en la muestra Bajo H0, esta variable sigue la siguiente distribución: S+ B(n , = 1 2 ) E(S+ )= np = n/2 Var(S+ ) = npq = n/4 La elección de la región crítica dependerá de la hipótesis alternativa que se plantee: 1. Si H1: Me > Me0 se tomará como región crítica el extremo derecho de la distribución. Para aplicar el contraste, se calculará p-valor = P(S+ S+ obs).

Para un nivel de significación del contraste, , si se cumple que p-valor , se rechaza la hipótesis nula, ya que esto indicaría que S+ obs está dentro de la región crítica. p-valor =P(S+ S+ obs) Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 34 2. Si H1: Me < Me0 se tomará como región crítica el extremo izquierdo de la distribución. Para aplicar el contraste, se calculará p-valor = P(S+ S+ obs).

Para un nivel de significación del contraste, , si se cumple que p-valor , se rechaza la hipótesis nula, ya que esto indicaría que S+ obs está dentro de la región crítica. p-valor = P(S+ S+ obs) 3. Si H1: Me Me0 se tomará como región crítica los dos extremos de la distribución. El tamaño de la región elegido para el contraste, nivel de significación ( ), se repartirá entre las dos colas. Para aplicar el contraste, se comprobará si S+ obs es mayor o menor que n/2, valor esperado de la distribución de S+ , para así centrarnos en la cola correspondiente.

Si es menor, S+ obs < n/2, el rechazo de la hipótesis sólo puede producirse en la cola de la izquierda, por lo que calcularemos p-valor=2×P(S+ S+ obs). Para un nivel de significación del contraste, , si se cumple que p-valor , se rechaza la hipótesis nula, ya que esto indicaría que S+ obs está dentro de la región crítica. Si, por el contrario, S+ obs > n/2, se tomará la cola de la derecha para el contraste y calcularemos p-valor = 2×P(S+ S+ obs). Para un nivel de significación del contraste, , si se cumple que p-valor , se rechaza la hipótesis nula, ya que esto indicaría que S+ obs está dentro de la región crítica.

Hay que decir que en esta distribución, por ser discreta, no siempre será posible encontrar una región crítica de tamaño predeterminado. En cualquier caso, a veces no es necesario trabajar con una binomial para realizar el contraste en la forma que se acaba de explicar. Puesto que = 1 2 la aproximación de la binomial a una distribución normal es buena incluso para valores no muy altos de n (basta con que n 10).

Por consiguiente: 4 , 2 S n n N ) 1 , 0 ( 4 2 S N n n - Para corregir la aproximación de una variable discreta (binomial) por una continua (normal), suele sumarse al numerador de esta normal tipificada la cantidad 1/2, si la región crítica queda a la izquierda, y se le resta cuando la región crítica quede a la derecha, tanto para contrastes de una como de dos colas. En definitiva, el estadístico de contraste sería: Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 35 1.

izquierda la a crítica región para , ) 1 , 0 ( 4 2 2 1 S N n n - Z 2. derecha la a crítica región para , ) 1 , 0 ( 4 2 2 1 S N n n - Z Las regiones críticas serían las habituales en función del tipo de hipótesis alternativa. En el caso de tener un contraste bilateral, habría que comprobar en primer lugar si el valor observado está situado en la izquierda o en la derecha para, a continuación, aplicar el estadístico correspondiente.

Ejemplo 4.7 En una encuesta para estudiar el grado de confianza que los directivos de una empresa tienen sobre la información del EIS (Sistema de Información Ejecutiva) con una escala del 1 (en ningún grado) al 5 (en mayor grado) se han obtenido los siguientes resultados: 2, 2, 4, 2, 2, 3, 5, 5, 4, 5, 4, 4, 5, 5, 5 Realice el contraste con un nivel de significación del 1% para verificar si la valoración promedio supera los 3 puntos y extraiga conclusiones. Datos: X: Valoración sobre la información del IES n = 15 α=0,01 Solución: Planteamos las hipótesis: 3 Me H 3 Me H 1 0 : : xi signo di=xi -3 xi signo di=xi -3 2 - 4 + 2 - 5 + 4 + 4 + 2 - 4 + 2 - 5 + 3 5 + 5 + 5 + 5 + Estadística II.

Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 36 S+ obs = número de signos positivos = 10 Vamos a realizar el contraste tanto con la distribución binomial como con la aproximación a la normal: 1) A partir de la distribución binomial S+ ~ B (n´=14, p=1/2) Obsérvese que se ha eliminado un valor muestral que coincidía con la mediana propuesta bajo H0, de manera que quedan 14 observaciones.

En el caso en el que tuviéramos un contraste bilateral, habría que ver si S+obs es mayor o menor que n/2, para así centrarnos en la cola correspondiente. p-valor = p(S+ S+ obs)= p(S+ 10)= 0,0899 Como p-valor > =0,01, con este nivel de significación se acepta H0, de manera que no encontramos evidencia de que la valoración promedio supere los 3 puntos. 2) Aproximación a la normal 336 1 4 14 2 14 - 2 1 10 z 1 0 N 4 n 2 n - 2 1 Z obs , ) , ( S Región crítica: obs z z zcrítica = zα = 2,33 En este caso, 1,336 < 2,33, de manera que con un nivel de significación del 1% se acepta la hipótesis nula, con lo que no hay evidencia de que la valoración promedio supere los 3 puntos. Estadística II.

Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 37 Ejemplo 4.7 (resuelto con Statgraphics) En este ejemplo se ha observado una muestra de 15 elementos, cuyos valores hemos de introducir en la base de datos del programa antes de proceder a realizar la prueba requerida. Paso 1: Se hace clic con el ratón en la cabecera de la primera columna (casilla Col_1) y se observará como toda la columna se destaca. Ir, a continuación, a Editar/Modificar Columna para poner el nombre de la variable.

Le pondremos Confianza, por ejemplo, y señalaremos el tipo de variable. Dejaremos la que aparece por defecto: Numérico. Le daremos a Aceptar y procederemos a introducir los datos del ejemplo. Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 38 Paso 2: Una vez introducidos los datos, se accede al menú Describir/Datos Numéricos/Análisis de Una Variable. Se selecciona la variable Confianza y se le da a Aceptar: Paso 3: Aparecerá una ventana con el nombre de Tablas y Gráficos.

En ella hay un conjunto de opciones seleccionadas por defecto por el propio programa. Se elige la que nos interesa en este caso, Prueba de Hipótesis, y se omite el resto. Obsérvese que el programa obtiene Intervalos de Confianza (opción por encima de la seleccionada) con los datos observados en una muestra, además de los que calcula por defecto para el caso de pruebas de hipótesis paramétricas, como se vio anteriormente. Paso 4: Aparecerá la ventana Análisis de una variable con el nombre de la variable a la derecha; en este caso, Confianza: Estadística II.

Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 39 Paso 5: Esta ventana recoge los resultados correspondientes a todas las opciones por defecto del programa, pero hemos de adaptarla a las necesidades concretas del ejemplo. Para ello, accionaremos el botón derecho del ratón con objeto de modificar las Opciones de ventana. Paso 6: Aparecerá una nueva ventana, Opciones Pruebas de Hipótesis, en la que se elige la prueba deseada. En ese caso, se selecciona Prueba de los Signos y se omite el resto de pruebas.

Se introducen la hipótesis nula y alternativa para la mediana, así como el Alfa del test. Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 40 Paso 7: Al accionar Aceptar, se obtiene el resultado. En el mismo aparece un resumen de los datos y cálculos intermedios, así como el p-valor y el estadístico Z, para el caso de muestras grandes. Para un nivel de significación de 0,01 no se puede rechazar la hipótesis nula: El software siempre aproxima a una normal al aplicar este test.

Sin embargo, si la muestra no fuera suficientemente grande, se debe realizar el contraste mediante la distribución binomial. El valor observado del estadístico S+ , según esta salida, es 10 (Número de valores mayores a la mediana hipotética). Para calcular el correspondiente p-valor se acudirá al menú Graficar/Distribuciones de Probabilidad/Binomial. Estadística II. Tema 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho A. Morillas; M. Aguilar; E. Cruces; B. Díaz 41 4.4.2. Contraste del rango signado (Wilcoxon) Es una extensión lógica del contraste del signo.

Sólo puede utilizarse para variables medidas en una escala superior a la ordinal (cuantitativas). Se considera una alternativa más potente que el test del signo, por lo que es el test más adecuado para este tipo de variables. En el caso del contraste anterior, como sólo se consideran las diferencias en el signo entre cada dato muestral y la mediana, se pierde la información relevante que puede aportar la amplitud de esas diferencias. La prueba de Wilcoxon incorpora esta información. Sea X1, X2,..., Xn una muestra aleatoria de X y supongamos que se pretende contrastar la siguiente hipótesis nula: H0 : Me = Me0 Se supone que la población es continua y simétrica respecto a la mediana.

Partiendo de una muestra de tamaño n, el procedimiento para realizar el contraste es el siguiente: 1. Se obtienen las siguientes diferencias para los n valores muestrales: di =xi – Me0 2. Se ordenan estas diferencias, de menor a mayor, prescindiendo del signo, y se les asigna un rango. Posteriormente, el signo de cada diferencia se…