1. Integrales Indefinidas
Flashcards
- ¿Qué es una integral indefinida?
- Es el conjunto de todas las primitivas de una función.
- ¿Cuál es la técnica de integración utilizada para resolver ∫ ln(x) / x³ dx?
- Integración por partes.
- ¿Qué representa la 'k' en el resultado de una integral indefinida?
- La constante de integración.
- ¿Qué método se utiliza para integrar funciones racionales?
- Descomposición en fracciones parciales.
Preguntas tipo test
- ¿Cuál es el objetivo principal de calcular una integral indefinida?
- a) Encontrar la derivada de una función.
- b) Encontrar una función cuya derivada es la función dada.
- c) Calcular el área bajo una curva.
- d) Resolver ecuaciones diferenciales.
Respuesta: b) Encontrar una función cuya derivada es la función dada.. El objetivo principal de calcular una integral indefinida es encontrar una función (primitiva) cuya derivada sea la función dada en la integral. Es el proceso inverso a la derivación.
- ¿Qué representa la constante de integración 'k' en una integral indefinida?
- a) El valor de la integral en x=0.
- b) Un número que siempre es igual a 1.
- c) Una constante arbitraria que puede tomar cualquier valor real.
- d) El límite superior de la integración.
Respuesta: c) Una constante arbitraria que puede tomar cualquier valor real.. La constante de integración 'k' representa una constante arbitraria que puede tomar cualquier valor real. Esto se debe a que la derivada de una constante es cero, por lo que al integrar, se añade esta constante para representar todas las posibles primitivas.
- ¿Cuál de las siguientes opciones es una técnica común para resolver integrales que involucran productos de funciones, como ∫x ln(x) dx?
- a) Sustitución trigonométrica.
- b) Integración por partes.
- c) Fracciones parciales.
- d) Sustitución simple.
Respuesta: b) Integración por partes.. La integración por partes es una técnica utilizada para integrar productos de funciones. Se basa en la fórmula ∫u dv = uv - ∫v du, donde se elige una parte de la integral como 'u' y otra como 'dv'.
2. Integrales Racionales
Flashcards
- ¿Qué método se utiliza para integrar funciones racionales complejas?
- Descomposición en fracciones parciales
- ¿Qué paso es necesario si el grado del numerador es mayor o igual al del denominador?
- Realizar la división polinómica
- ¿Qué tipo de funciones resultan después de aplicar la descomposición en fracciones parciales?
- Racionales simples y logarítmicas
- ¿Qué se debe hacer si el denominador tiene raíces complejas?
- Usar fracciones parciales con términos lineales y cuadráticos
Preguntas tipo test
- ¿Qué técnica se utiliza para simplificar la integración de funciones racionales complejas?
- a) Descomposición en fracciones parciales
- b) Integración por sustitución trigonométrica
- c) Integración directa mediante tablas
- d) Aplicación de la regla de la cadena
Respuesta: a) Descomposición en fracciones parciales. La descomposición en fracciones parciales permite expresar una función racional compleja como una suma de fracciones más simples, facilitando su integración individual.
- ¿Qué tipo de funciones se pueden integrar directamente después de aplicar la descomposición en fracciones parciales?
- a) Polinómicas y exponenciales
- b) Logarítmicas y trigonométricas
- c) Racionales simples y logarítmicas
- d) Exponenciales y racionales simples
Respuesta: c) Racionales simples y logarítmicas. Después de la descomposición, generalmente se obtienen integrales de funciones racionales simples (como 1/x) que dan lugar a logaritmos, o integrales directas.
- Al integrar una función racional donde el grado del numerador es mayor o igual al del denominador, ¿qué paso previo es necesario?
- a) Multiplicar por el conjugado del denominador
- b) Realizar la división polinómica
- c) Completar el cuadrado en el denominador
- d) Aplicar la sustitución trigonométrica
Respuesta: b) Realizar la división polinómica. Es necesario realizar la división polinómica para reducir la función a una forma donde el grado del numerador sea menor que el del denominador, facilitando la descomposición en fracciones parciales.
3. Integrales Definidas
Flashcards
- ¿Qué representa la integral definida?
- El área bajo la curva de una función entre dos límites.
- ¿Qué indica el Teorema Fundamental del Cálculo?
- La relación inversa entre derivación e integración.
- ¿Qué se debe hacer con los límites de integración al usar el método de sustitución en integrales definidas?
- Transformarlos según el cambio de variable.
- ¿Cómo se calcula el área entre dos curvas usando integrales definidas?
- Integrando la diferencia entre las dos funciones en el intervalo deseado.
Preguntas tipo test
- ¿Cuál de las siguientes opciones representa la integral definida de una función entre dos límites?
- a) El área bajo la curva de la función entre esos límites.
- b) La pendiente de la función en un punto específico.
- c) El valor de la función en un punto arbitrario.
- d) La integral indefinida de la función.
Respuesta: a) El área bajo la curva de la función entre esos límites.. La integral definida de una función entre dos límites representa el área neta entre la curva de la función y el eje x, dentro de esos límites.
- Al calcular la integral definida ∫ab f(x) dx, ¿qué representa el resultado?
- a) Una función.
- b) Un número.
- c) Una familia de funciones.
- d) Una variable.
Respuesta: b) Un número.. La integral definida, al evaluarse entre límites específicos, produce un valor numérico que representa el área bajo la curva.
- ¿Qué método se utiliza comúnmente para simplificar el cálculo de integrales definidas complejas?
- a) Derivación implícita.
- b) Sustitución o cambio de variable.
- c) Integración por partes.
- d) Factorización.
Respuesta: b) Sustitución o cambio de variable.. El método de sustitución o cambio de variable permite transformar una integral compleja en una más sencilla mediante la introducción de una nueva variable.
4. Cálculo del Área de una Región Limitada
Flashcards
- ¿Cómo se calcula el área entre dos curvas?
- Mediante la integral definida de la diferencia de las funciones.
- ¿Qué significa que el área entre dos curvas sea negativa?
- La curva inferior está por encima de la superior en el intervalo.
- ¿Qué paso es esencial antes de integrar para hallar el área entre y² = 4x y x² = 4y?
- Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar los puntos de intersección.
- ¿Qué representa la integral definida en el cálculo del área entre y = e^x, y = e^(-x) y la recta x = 1?
- El área entre las curvas desde x = 0 hasta x = 1.
Preguntas tipo test
- ¿Qué representa el cálculo del área entre dos curvas?
- a) La diferencia entre sus longitudes.
- b) La integral definida de la diferencia de las funciones.
- c) La suma de sus integrales indefinidas.
- d) El producto de sus derivadas.
Respuesta: b) La integral definida de la diferencia de las funciones.. El cálculo del área entre dos curvas se obtiene mediante la integral definida de la diferencia entre las dos funciones que definen las curvas en un intervalo dado.
- Para calcular el área entre y = x³ e y = x, ¿qué integral se debe resolver?
- a) ∫ (x³ + x) dx
- b) ∫ (x³ - x) dx
- c) ∫ |x³ - x| dx
- d) ∫ (x - x³) dx
Respuesta: c) ∫ |x³ - x| dx. Para hallar el área entre las curvas y = x³ e y = x, se debe calcular la integral del valor absoluto de la diferencia entre las funciones, ∫ |x³ - x| dx, para asegurar que el área sea positiva.
- Si el área entre dos curvas es negativa, ¿qué indica esto?
- a) Que hay un error en el cálculo.
- b) Que la curva inferior está por encima de la superior en el intervalo de integración.
- c) Que el área es cero.
- d) Que las curvas no se intersectan.
Respuesta: b) Que la curva inferior está por encima de la superior en el intervalo de integración.. Si el área entre dos curvas resulta negativa, indica que la curva que se consideró como inferior está, de hecho, por encima de la curva superior en el intervalo de integración. Para obtener el área correcta, se debe invertir el orden de las funciones en la integral o tomar el valor absoluto del resultado.
5. Cálculo de la Derivada de Funciones
Flashcards
- ¿Qué establece el Teorema Fundamental del Cálculo?
- Relaciona la derivación y la integración, permitiendo calcular integrales definidas mediante primitivas.
- ¿Cómo se calcula el área entre dos curvas?
- Integrando la diferencia absoluta entre las dos funciones en el intervalo dado.
- ¿Qué es una primitiva de una función?
- Una función cuya derivada es la función original.
- ¿Cuál es la fórmula de integración por partes?
- ∫u dv = uv - ∫v du
Preguntas tipo test
- ¿Cuál es el primer paso para calcular la derivada de una función definida por una integral?
- a) Integrar la función dentro de la integral.
- b) Aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo.
- c) Derivar los límites de integración.
- d) Simplificar la integral utilizando propiedades algebraicas.
Respuesta: b) Aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo.. El Teorema Fundamental del Cálculo establece que la derivada de una integral definida con respecto a su límite superior es igual a la función evaluada en ese límite, lo cual permite eliminar la integral y facilita el cálculo de la derivada.
- Al calcular la derivada de una función integral donde los límites de integración son funciones de x, ¿qué regla se debe aplicar?
- a) Regla del producto.
- b) Regla de la cadena.
- c) Regla del cociente.
- d) Regla de la potencia.
Respuesta: b) Regla de la cadena.. Cuando los límites de integración son funciones de x, se debe aplicar la regla de la cadena para derivar correctamente la función integral. Esto implica derivar la función evaluada en los límites y multiplicar por la derivada de los límites mismos.
- Si F(x) es una primitiva de f(x), ¿cómo se expresa la integral indefinida de f(x)F(x)?
- a) (F(x))^2 + C
- b) F(x) + C
- c) ln|F(x)| + C
- d) 0.5 * (F(x))^2 + C
Respuesta: d) 0.5 * (F(x))^2 + C. La integral de f(x)F(x) es 0.5 * (F(x))^2 + C, ya que la derivada de (F(x))^2 es 2 * F(x) * f(x). Por lo tanto, la integral indefinida de f(x)F(x) es la mitad del cuadrado de la primitiva más una constante.
6. Integrales con Primitivas
Flashcards
- ¿Qué es una primitiva de una función?
- Una función cuya derivada es la función original.
- ¿Cómo se calcula el área entre dos curvas?
- Integrando la diferencia entre las dos funciones en el intervalo dado.
- ¿Qué representa la integral definida?
- El área bajo la curva de una función en un intervalo específico.
- ¿Qué es el método de sustitución en integración?
- Una técnica para simplificar integrales cambiando la variable de integración.
Preguntas tipo test
- ¿Cuál es el objetivo principal al calcular el área entre curvas?
- a) Encontrar la pendiente de una función.
- b) Determinar el valor máximo de una función.
- c) Calcular el área de la región delimitada por las curvas dadas.
- d) Hallar los puntos de inflexión de una función.
Respuesta: c) Calcular el área de la región delimitada por las curvas dadas.. El objetivo principal al calcular el área entre curvas es determinar el área de la región que está encerrada por las curvas especificadas.
- ¿Qué representa geométricamente la integral definida de una función entre dos límites?
- a) La longitud de la curva.
- b) El área bajo la curva.
- c) La pendiente de la tangente a la curva.
- d) El volumen del sólido de revolución.
Respuesta: b) El área bajo la curva.. La integral definida de una función entre dos límites representa geométricamente el área bajo la curva de la función entre esos límites.
- ¿Qué se debe hacer si el área entre dos curvas se encuentra por debajo del eje x?
- a) Ignorar el área negativa y tomar el valor absoluto.
- b) Sumar el área negativa directamente al área total.
- c) Restar el área negativa del área total.
- d) Elevar al cuadrado el área negativa para obtener un valor positivo.
Respuesta: a) Ignorar el área negativa y tomar el valor absoluto.. Si el área se encuentra por debajo del eje x, la integral definida dará un valor negativo. Para obtener el área real, se debe tomar el valor absoluto de la integral.
7. Cuestiones sobre Integrales
Flashcards
- ¿Qué representa la integral definida de una función?
- El área neta entre la función y el eje x en un intervalo dado.
- ¿Cuál es el Teorema Fundamental del Cálculo?
- Relaciona la derivación y la integración, mostrando que son operaciones inversas.
- ¿En qué consiste el método de sustitución en la integración?
- Cambiar la variable de integración para simplificar la integral.
- ¿Qué dice el criterio de convergencia de series?
- Si una serie converge, el límite de su término general debe ser cero.
Preguntas tipo test
- Si F es una primitiva de f, ¿qué representa la integral Z b a f(x) F(x) dx?
- a) La diferencia de F(b) y F(a)
- b) El logaritmo natural de la razón F(b)/F(a)
- c) La mitad de la diferencia de los cuadrados de F(b) y F(a)
- d) El producto de F(b) y F(a)
Respuesta: c) La mitad de la diferencia de los cuadrados de F(b) y F(a). La integral de f(x)F(x) es (1/2)F(x)^2. Evaluando en los límites b y a, obtenemos (1/2)(F(b)^2 - F(a)^2), que es la mitad de la diferencia de los cuadrados de F(b) y F(a).
- Si se sabe que la integral definida de f(x) entre 1 y 9 es igual a 7, ¿cuál es el valor de la integral de xf(x²) entre 1 y 3?
- a) 3.5
- b) 7
- c) 14
- d) 49
Respuesta: a) 3.5. Usando la sustitución u = x², du = 2x dx, la integral se transforma en (1/2) la integral de f(u) du entre 1 y 9, que es (1/2) * 7 = 3.5.
- Si se sabe que la integral definida de f(x) entre -1 y +1 es igual a 6, ¿cuál es el valor de la integral de f(3x) entre -1 y +1?
- a) 2
- b) 6
- c) 18
- d) 1/2
Respuesta: b) 6. La integral de f(3x) entre -1 y 1 es igual a 1/3 de la integral de f(x) entre -3 y 3. Sin embargo, sin conocer la simetría de f(x), no podemos determinar el valor exacto. Si asumimos que la integral de -1 a 1 representa toda el área relevante, entonces la integral de f(3x) entre -1 y 1 es 2.
8. Series Numéricas
Flashcards
- ¿Qué es una serie numérica convergente?
- Una serie donde la suma de sus términos se aproxima a un valor finito.
- ¿Cuál es una condición necesaria para que una serie converja?
- Que el límite de sus términos individuales tienda a cero.
- ¿Qué es una serie alternante?
- Una serie donde los términos cambian de signo de forma alterna.
- ¿Qué indica el criterio de D'Alembert?
- Si el límite del cociente de dos términos consecutivos es menor que 1, la serie converge.
Preguntas tipo test
- ¿Qué indica que una serie numérica es convergente?
- a) Que la suma de sus términos tiende a infinito.
- b) Que la suma de sus términos oscila sin límite.
- c) Que la suma de sus términos se aproxima a un valor finito.
- d) Que la diferencia entre sus términos aumenta constantemente.
Respuesta: c) Que la suma de sus términos se aproxima a un valor finito.. Una serie numérica es convergente si la secuencia de sus sumas parciales tiende a un límite finito. Esto significa que a medida que se suman más términos, la suma se acerca a un valor específico.
- ¿Cuál de las siguientes series es un ejemplo de serie divergente?
- a) Una serie geométrica con razón menor que 1.
- b) La serie armónica.
- c) Una serie telescópica.
- d) Una serie alternante que cumple el criterio de Leibniz.
Respuesta: b) La serie armónica.. La serie armónica (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...) es un ejemplo clásico de serie divergente. Aunque sus términos individuales tienden a cero, la suma de los términos crece sin límite.
- ¿Qué criterio se utiliza para determinar la convergencia de una serie alternante?
- a) Criterio de la razón.
- b) Criterio de la raíz.
- c) Criterio de Leibniz.
- d) Criterio de comparación.
Respuesta: c) Criterio de Leibniz.. El criterio de Leibniz se aplica a series alternantes (donde los términos cambian de signo). Establece que si los términos disminuyen en valor absoluto y tienden a cero, la serie converge.
Soluciones
Flashcards
- ¿Cuál es el resultado de ∫ x² sen(x³) dx?
- -1/3 cos(x³) + k
- ¿Cuál es el resultado de ∫ 1 / (x ln x) dx?
- ln |ln x| + k
- ¿Cuál es el resultado de ∫ (sen x) / (³√cos x) dx?
- -3/4 (cos x)^(4/3) + k
- ¿Cuál es el resultado de ∫ x / √(2x + 1) dx?
- 1/10 (2x + 1)^(5/2) - 1/6 (2x + 1)^(3/2) + k
Preguntas tipo test
- ¿Cuál es el resultado de la integral ∫ x² sen(x³) dx?
- a) -1/3 cos(x³) + k
- b) 1/3 sen(x³) + k
- c) cos(x³) + k
- d) -sen(x³) + k
Respuesta: a) -1/3 cos(x³) + k. La integral de x² sen(x³) se resuelve utilizando la sustitución u = x³, du = 3x² dx. Esto transforma la integral en 1/3 ∫ sen(u) du, cuyo resultado es -1/3 cos(u) + k, y sustituyendo de vuelta, obtenemos -1/3 cos(x³) + k.
- ¿Cuál es la forma correcta de la integral ∫ 1 / (x ln x) dx?
- a) ln |ln x| + k
- b) ln |x| / ln |ln x| + k
- c) ln |x ln x| + k
- d) 1 / ln |x| + k
Respuesta: a) ln |ln x| + k. La integral ∫ 1 / (x ln x) dx se resuelve mediante la sustitución u = ln x, du = dx/x. Esto transforma la integral en ∫ 1/u du, cuyo resultado es ln |u| + k. Sustituyendo de vuelta, obtenemos ln |ln x| + k.
- ¿Cuál es el resultado de la integral ∫ (sen x) / (³√cos x) dx?
- a) -3/4 (cos x)^(4/3) + k
- b) 3/4 (cos x)^(4/3) + k
- c) -4/3 (cos x)^(4/3) + k
- d) 4/3 (cos x)^(4/3) + k
Respuesta: a) -3/4 (cos x)^(4/3) + k. Para resolver la integral ∫ (sen x) / (³√cos x) dx, podemos usar la sustitución u = cos x, entonces du = -sen x dx. La integral se transforma en -∫ u^(-1/3) du, que es igual a -3/2 u^(2/3) + k. Sustituyendo de vuelta, obtenemos -3/2 (cos x)^(2/3) + k.
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Texto del documento
MATEMÁTICAS EMPRESARIALES I Integrales 1.- Calcular las siguientes integrales inde…nidas: a) Z 3 p x(x5 + 3x2 + 2)dx b) Z p ln x x dx c) Z x2 sen(x3 )dx d) Z ln x x3 dx e) Z (x2 + 1)e 2x dx f) Z (x + 3) ln x dx g) Z 1 x ln x dx h) Z e1=x x2 dx i) Z p x ln x dx j) Z x2 + 1 x3 + 3x dx k) Z sen x 3 p cos xdx l) Z x p 2x + 1dx (cambio t = 2x + 1) 2.- Calcular las siguientes integrales racionales a) Z 3x + 1 x3 + 2x2 + x dx b) Z x 6 x3 4x2 + 4x dx c) Z ex + e x 1 + e x dx d) Z cos x 4 sen2 x dx e) R 1 ex + 9 dx f) Z cos x sen x sen3 x dx g) Z ex + 2 e2x ex dx h) Z 2e2x ex e2x 1 dx i) Z p x x 4 dx (cambio t = p x) j) Z 1 1 1 x p x2 + 1 dx (cambio t = p x2 + 1) 3.- Calcular las siguientes integrales de…nidas: a) Z 2 1 1 x 1 x2 dx b) Z =2 0 cos x p 1 sen x dx c) Z 2 1 x p x 1 dx (cambio t = x 1) d) Z 1 0 ln x p x dx e) Z 1 0 ln( p x) dx f) Z +1 3 x3 e x2 dx (cambio t = x2 ) g) Z 1 1 x2x dx h) Z +1 1 ln x x3 dx i) Z 1 4 e p x dx (cambio t = p x) j) Z =2 0 cos x ln(sen x)dx k) Z 1 0 p x ln( p x)dx l) Z 1 2 (x + 1)e 2x dx 1 4) Calcular el área de la región limitada por las siguientes curvas: a) y = ex , y = e x y la recta x = 1.
b) y = x3 3x + 3, y = x + 3: c) xy = 12 y las rectas y = 0, x = 1 y x = e. d) las rectas y = 0, y = 2x 3, x + y = 1: e) y = x3 y la recta y = x: f) y = ex , y = e x y la recta y = 0: g) y2 = 4x, x2 = 4y.
5) Calcular la derivada de las siguientes funciones a) Z cos x x3 et2 dt b) Z p x ln x et t dt c) Z e2x 3x+1 p ln tdt 6) Si F es una primitiva de f, calcular las siguientes integrales: a) Z b a f( p x) p x dx b) Z b a f(x) F(x) dx c) Z b a f(x)F(x)dx d) Z b a xf0 (x)dx e) Z b a f0 ( p x)dx f) Z b a f(x)F(x)eF(x) dx 7) Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones a) Si sabemos que Z 9 1 f(x)dx = 7, calcular Z 3 1 xf(x2 )dx: b) Si sabemos que Z +1 0 f(x)dx = 5, calcular Z +1 0 f(3x)dx: c) Si sabemos que Z +1 1 f(x)dx = 6, calcular las siguientes integrales c1) Z +1 1 f(3x)dx c2) Z +1 0 f(ln x) x dx: d) Si sabemos que Z 3 1 f(x)dx = 6, f(3) = 2, f(1) = 4, calcular las siguientes integrales d1) Z 9 1 f( p x) p x dx, d2) Z 3 1 xf0 (x)dx 8) Determinar el carácter (convergente o divergente) de las siguientes series numéricas 2 a) 1 X n=1 3n + 2 p 2n5 + 3n + 1 b) 1 X n=1 p n2 + 2n (2n2 + 3n)(3 + Ln) c) 1 X n=1 Ln + 2 p 3n4 + 2n3 d) 1 X n=1 Ln 3n + 2 e) 1 X n=1 1 n 1 n + 2 f) 1 X n=1 n!
+ 1 (n + 1)!
g) 1 X n=0 2n + 2 n2 + p 3n4 + 3 Soluciones: 1)a) Z 3 p x(x5 + 3x2 + 2)dx = 3 2 x 4 3 + 9 10 x 10 3 + 3 19 x 19 3 + k b) Z p ln x x dx = 2 (ln x)3=2 3 + k c) Z x2 sen(x3 )dx = 1 3 cos(x3 ) + k d) Z ln x x3 dx = 1 4x2 (2 ln x + 1) + k e) Z (x2 + 1)e 2x dx = 1 4 e 2x (2x2 + 2x + 3) + k f) Z (x + 3) ln x dx = 1 2 x2 ln x 3x + 3x ln x 1 4 x2 + k g) Z 1 x ln x dx = ln (ln x) + k h) Z e1=x x2 dx = e 1 x + k i) Z p x ln x dx = 2 9 p x3 (3 ln x 2) + k j) Z x2 + 1 x3 + 3x dx = 1 3 ln jx3 + 3xj + k k) Z (sen x) 3 p cos xdx = 3 4 3 p cos4 x + k: l) Z x p 2x + 1dx = 1 10 (2x + 1) 5 2 5 30 (2x + 1) 3 2 + k 2) a) Z 3x + 1 x3 + 2x2 + x dx = ln jxj ln jx + 1j 2 x + 1 + k b) Z x 6 x3 4x2 + 4x dx= 3 2 ln jxj + 3 2 ln jx 2j + 2 (x 2) + k c) Z ex + e x 1 + e x dx = ex + x 2 ln (ex + 1) + k 3 d) Z cos x 4 sen2 x dx = 1 4 ln j sen x + 2j 1 4 ln j sen x 2j + k e) R 1 ex + 9 dx = 1 9 x 1 9 ln (ex + 9) : f) Z cos x sen x sen3 x dx = ln jsen xj 1 2 ln jsen x 1j 1 2 ln jsen x + 1j + k g) Z ex + 2 e2x ex dx = 2e x 3 ln (ex ) + 3 ln (ex 1) + k h) Z 2e2x ex e2x 1 dx = 1 2 ln (ex 1) + 3 2 ln (ex + 1) + k i) Z p x x 4 dx = 2 p x 2 ln ( p x + 2) + 2 ln ( p x 2) + k j) Z 1 1 1 x p x2 + 1 dx = 1 2 ln p 2 + 1 1 2 ln p 2 1 3) a) Z 2 1 1 x 1 x2 dx = ln 2 1 2 b) Z =2 0 cos x p 1 sen x dx = 2 c) Z 2 1 x p x 1 dx = 8 3 d) Z 1 0 ln x p x dx = 4 e) Z 1 0 ln( p x) dx = 1 2 : f) Z +1 3 x3 e x2 dx = 5 e9 : g) Z 1 1 x2x dx = 1 (ln 2)2 (2 ln 2 2) : h) Z +1 1 ln x x3 dx = 1 4 : i) Z 1 4 e p x dx = 6 e2 : j) Z =2 0 (cos x) ln(sen x)dx = 1: k) Z 1 0 p x ln( p x)dx = 2 9 : l) Z 1 2 (x + 1)e 2x dx = 7 4e4 : 4) a) e + 1=e 2; b) 8, c) 12; d) 1=12; e) 1=2; f) 2; g) 16=3: 4 5) a) ecos2 x sen x 3x2 ex6 b) 1 2x e p x 1 ln x : c) 2 p 2xe2x 3 p ln(3x + 1) 6) a) 2 F( p b) F( p a) , b) ln(F(b)) ln(F(a)), c) 1 2 (F(b)2 F(a)2 ), d) bf(b) af(a) F(b)+F(a); e) 2 p bf( p b) p af( p a) F( p b) + F( p a) ; f) eF(b) (F(b) 1) eF(a) (F(a) 1): 7) a) 7=2 b) 5=3, c1) 2, c2) 6, d1) 12, d2) -4.
8) a) convergente, b) convergente, c) convergente d) divergente e) conver- gente f) divergente g) divergente 5