Recull de Problemes d'Àlgebra Lineal

Exercici 1 (Segon Parcial 2021). Aplicació lineal, nucli, imatge i subespais

Es considera l'aplicació $\mathbb{R}$-lineal $f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ definida per:

$$f(x, y, z, t) = (x - y + 2z - 3t,\; y + 6t,\; 2x - y + 4z)$$

a)

Trobeu la dimensió i una base tant de $\mathrm{im}(f)$ com de $\ker(f)$.

b)

Raoneu si $f$ és injectiva i si és exhaustiva.

L'aplicació $f$ és injectiva:

Sí

No

L'aplicació $f$ és exhaustiva:

Sí

No

c)

Comproveu la inclusió $\ker(f) \subseteq G$, on $G = \langle(-1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 1)\rangle$, i amplieu la base obtinguda de $\ker(f)$ fins a completar una base de l'espai $G$.

Exercici 2 (Segon Parcial 2021). Subespais vectorials de R3, base i dimensió

Determineu si els subconjunts de $\mathbb{R}^3$ següents són subespais vectorials. En cas afirmatiu, trobeu-ne una base i la dimensió corresponent:

$$V_1 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2z = -y,\; z = y + 4z\}$$

$$V_2 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid 2x = y + 1,\; y = 4z\}$$

a)

Subconjunt $V_1$: És subespai vectorial de $\mathbb{R}^3$?

Sí

No

b)

Subconjunt $V_2$: És subespai vectorial de $\mathbb{R}^3$?

Sí

No

Exercici 3 (Segon Parcial 2021). Valors propis, diagonalització i potència de matriu

Considereu la matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$

a)

Trobeu els valors propis de $A$.

b)

Justifiqueu si $A$ és diagonalitzable i determineu una matriu de pas $P$ i una matriu diagonal $D$ tals que $A = PDP^{-1}$.

És la matriu $A$ diagonalitzable?

Sí

No

c)

Calculeu el vector $A^{99}v$ per a $v = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Exercici 1 (Primer Parcial 2020). Nombres complexos i factorització polinòmica

a.

Trobeu la forma polar i cartesiana de $z$ i $z^{12}$ per a $z = -1 - i$.

b.

Determineu tots els nombres complexos $w \in \mathbb{C}$ que satisfan l'equació $w^3 = -8$.

c.

Factoritzeu el polinomi $p(x) = x^3 + 8$ a $\mathbb{C}[x]$ i a $\mathbb{R}[x]$.

Exercici 2 (Primer Parcial 2020). Mètode de Gauss-Jordan, matriu inversible i sistemes d'equacions

Es considera la matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 4 & 1 & -1 \\ 2 & -8 & 4 & 6 \end{pmatrix}$$

a.

Trobeu la forma esglaonada reduïda de Gauss-Jordan de la matriu $A$ i determineu el rang de $A$.

b.

Trobeu una matriu invertible $P$ d'ordre $3 \times 3$ tal que $PA = R$, on $R$ és la forma de Gauss-Jordan obtinguda.

c.

Resoleu el sistema d'equacions lineals $AX = B$ amb $B = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$. Discutiu a més si existeix alguna solució amb $t = 2$, i trobeu la solució que satisfà $x = 3$.