Càlcul d'Integrals: Primitives, Àrees i Mètodes

I 0 flashcards i 3 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS MATEMÀTIQUES I Grau en Economia Universitat Autònoma de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apunts complets d'integrals per a Matemàtiques I: taula d'integrals immediates, regla de Barrow, àrees per trams, integració per parts i canvi de variable.

APREN.AI Índex 1 Concepte d'integral i primitives bàsiques Taula d'integrals immediates Propietats algebraiques fonamentals 2 Integrals definides i càlcul d'àrees Trams situats sota l'eix d'abscisses 3 Mètodes d'integració: per parts i per substitució Integració per parts Integració per substitució (canvi de variable) 4 Formulari Primitives immediates i propietats Integral definida i àrees Mètodes d'integració Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions. Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important.

Càlcul d'Integrals: Primitives, Àrees i Mètodes 1 1 Concepte d'integral i primitives bàsiques EN ACABAR SABRÀS Identificar la relació inversa entre derivació i integració. Calcular integrals immediates de tipus polinòmic, exponencial i trigonomètric. Aplicar correctament les propietats de linealitat d'una integral. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Per què cal sumar sempre una lletra c en resoldre una integral indefinida? La integració és l'operació inversa a la derivació. S'utilitza de forma fonamental per al càlcul d'àrees sota corbes, com ara l'excedent del consumidor (EC) i del productor (Ep) en economia, on les funcions no lineals impedeixen aplicar simples fórmules geomètriques de triangles.

Gràfica de l'excedent del consumidor i productor lineal Esquema del càlcul d'àrees mitjançant integrals per a corbes Càlcul d'Integrals: Primitives, Àrees i Mètodes 2 DEFINICIÓ Si tenim una funció , la seva antiderivada o primitiva compleix que . La integral indefinida es denota pel símbol i s'expressa com , on representa una constant d'integració arbitrària. Trobar una primitiva requereix determinar quina funció, en ser derivada, retorna l'expressió que es troba dins del signe d'integració.

Taula d'integrals immediates Funció a integrar Primitiva Condicions o observacions és una constant Cas particular de potència amb exponent 1 Vàlid per a qualsevol exponent real Només per a elevada a 1; requereix valor absolut L'exponencial base roman invariable Quan l'exponent està multiplicat per la constant Exponencial de base qualsevol Primitiva del logaritme neperià Funció trigonomètrica elemental Compte amb el signe negatiu resultant Propietats algebraiques fonamentals La integral d'una suma o resta equival a la suma o resta d'integrals independents: Les constants multiplicatives poden extreure's fora del signe d'integració: ERROR FREQÜENT La integral d'un producte NO és el producte de les integrals: .

Per exemple, integrar fent és un greu error, ja que la derivada d'aquest resultat produiria termes addicionals per la regla del producte. f(x) F (x) F (x) = f(x) f(x)dx = F (x) + c c F (x) + c adx ax + c a x dx + 2 x2 c x dx a + a+1 x a+1 c a = 1 dx x 1 ln x + c x e dx x e + x c e e dx ax + a eax c a a dx x + ln a a x c a > 0 ln x dx x ln x x + c cos x dx sin x + c sin x dx cos x + c [f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx a f(x)dx = a f(x)dx [f(x) g(x)]dx = f(x)dx g(x)dx x cos x sinx 2 x2 Càlcul d'Integrals: Primitives, Àrees i Mètodes 3 COMPROVA-HO 2 Per què la integral de 1/x produeix ln"x" i no s'hi pot aplicar la regla de la potència general x^(a+1)/(a+1)?

PROCÉS Passos per integrar potències algebraiques 1 Expressar com a potència Reescriure arrels o denominadors com x^a 2 Sumar una unitat Calcular el nou exponent a + 1 3 Dividir pel resultat Dividir el terme pel valor a + 1 4 Afegir la constant Sumar sempre el terme constant + c IDEES CLAU La integració és l'operació recíproca a la derivació i calcula àrees sota corbes. La regla general de potències suma 1 a l'exponent i divideix pel mateix valor, excepte si l'exponent val -1. La funció té per primitiva amb valor absolut obligatori. La integral del producte de dues funcions mai equival a multiplicar les seves respectives integrals. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 3.

Quina és la primitiva de la funció ? 4. Com s'integra una expressió amb arrel com ? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 5. Com s'integra la funció exponencial ? 6. Per què cal escriure ln"x" en comptes de ln(x)? x 1 \bigln x + c f(x) = x3 1 \bigsqrtx eax ln(a) · + c a) eax / a + c b) eax a · + c c) eax / (ax+1) + c d) eax+1 El logaritme només admet arguments positius a) Perquè la derivada canvia de signe b) Per indicar que és una funció periòdica c) Perquè l'exponent de x és parell d) Càlcul d'Integrals: Primitives, Àrees i Mètodes 4 7. Quin és el valor de la integral indefinida de sin(x)? 8. Quina propietat és completament incorrecta en el càlcul d'integrals?

2 Integrals definides i càlcul d'àrees EN ACABAR SABRÀS Avaluar integrals definides mitjançant la regla d'avaluació de primitives. Reconèixer per què s'omet la constant d'integració en càlculs definits. Calcular l'àrea geomètrica total d'una funció que creua l'eix d'abscisses dividint per trams. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 9 Si una funció té una àrea de 3 unitats per sobre de l'eix i 3 per sota, quant val la seva integral definida completa? Quan es vol avaluar l'àrea delimitada per una funció entre dos valors concrets de l'eix d'abscisses, des de fins a , s'empra la integral definida.

Àrea sota una corba compresa entre els límits a i b -cos(x) + c a) -sin(x) + c b) sec(x) + c c) cos(x) + c d) Extreure constants multiplicatives fora del símbol a) Separar la integral d'un producte com a producte d'integrals b) Separar integrals davant de restes de funcions c) Separar integrals davant sumes de termes d) a b Càlcul d'Integrals: Primitives, Àrees i Mètodes 5 Regió delimitada sota el traçat d'una funció genèrica DEFINICIÓ La regla d'avaluació d'una integral definida estableix que si és una primitiva de , aleshores: En fer la diferència, la constant queda anul·lada, motiu pel qual no és necessari escriure-la.

Gràfica de la funció lineal f(x)=3-x i la seva àrea Àrea compresa entre els punts x=1 i x=3 Trams situats sota l'eix d'abscisses Les àrees geomètriques són per definició magnituds estrictament positives. Quan la funció cau per sota de l'eix horitzontal, la integral definida produeix un resultat negatiu. Si s'integra de forma contínua sense separar els intervals, les zones negatives resten valor a les positives en lloc de sumar-se.

F (x) f(x) f(x)dx = a b [F (x)] = a b F (b) F (a) c Càlcul d'Integrals: Primitives, Àrees i Mètodes 6 Funció que creua l'eix generant trams positius i negatius Divisió per trams per calcular l'àrea amb canvis de signe Càlcul d'Integrals: Primitives, Àrees i Mètodes 7 ERROR FREQÜENT Per trobar l'àrea real total que creua l'eix d'abscisses en punts intermedis , cal dividir el càlcul per trams i col·locar un signe negatiu davant de la integral de la part que queda per sota: Calcular directament provocaria una cancel·lació algebraica d'àrees i un resultat geomètric erroni.

Àrea avaluada per a la recta en un interval negatiu COMPROVA-HO 10 Què passa amb la constant c d'integració en calcular una integral definida entre dos límits? PROCÉS Càlcul d'àrees amb canvi de signe a l'eix X 1 Trobar talls Determinar on f(x) creua l'eix d'abscisses 2 Dividir intervals Separar la integral en cada tram d'intersecció 3 Ajustar signes Restar els trams que queden sota l'eix X 4 Sumar superfícies Obtenir l'àrea geomètrica total estrictament positiva c , c 1 2 rea total = A ˋ f(x)dx a c 1 f(x)dx + c 1 c 2 f(x)dx c 2 b f(x)dx a b Càlcul d'Integrals: Primitives, Àrees i Mètodes 8 IDEES CLAU La integral definida calcula el valor numèric delimitat per una corba entre dos límits.

S'avalua calculant la diferència entre la primitiva al límit superior menys la del límit inferior: . La constant d'integració s'anul·la durant la resta. Per a calcular superfícies físiques, els intervals negatius s'han de canviar de signe restant la seva integral. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 11. Com es calcula l'àrea entre x = 0 i x = 3 per a la recta f(x) = 3 - x? 12. Si una funció és negativa a l'interval [3, 5], quina operació permet sumar aquesta superfície com a positiva? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 13. Com s'expressa la regla d'avaluació d'una integral definida entre a i b? 14. Per què s'omet la constant + c en resoldre una integral definida? 15.

Quin problema sorgeix en calcular una àrea si la corba baixa sota l'eix x? 16. Com es garanteix que una regió situada sota l'eix x sumi com a àrea geomètrica?

F (b) F (a) F(b) + F(a) a) F'(b) - F'(a) b) F(b) - F(a) c) F(a) - F(b) d) Perquè val zero per definició a) Perquè representa el límit superior b) Perquè només s'usa en funcions trigonomètriques c) Perquè s'anul·la en restar F(b) - F(a) d) Aquest tram resta àrea en comptes de sumar a) La derivada s'anul·la automàticament b) La integral definida dóna un valor infinit c) No es pot calcular cap primitiva d) Multiplicant l'expressió per zero a) Canviant els límits per nombres imaginaris b) Anteposant un signe negatiu a la integral c) Integrant respecte de la variable y d) Càlcul d'Integrals: Primitives, Àrees i Mètodes 9 3 Mètodes d'integració: per parts i per substitució EN ACABAR SABRÀS Aplicar el mètode d'integració per parts identificant correctament f(x) i g'(x).

Resoldre integrals mitjançant la tècnica de canvi de variable o substitució. Aïllar el diferencial i reorganitzar variables algebraiques sobrants en el canvi de variable. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 17 Com es pot integrar una multiplicació com x · si la integral d'un producte no és directa? Quan una integral no és immediata, es recorre a tècniques estructurades de resolució: el mètode d'integració per parts i el mètode d'integració per canvi de variable o substitució. Integració per parts S'utilitza per a productes de funcions de distinta naturalesa (com polinomis combinats amb exponencials o funcions trigonomètriques).

Es basa en la regla de derivació del producte: L'estratègia general consisteix a triar com a el terme algebraic o polinòmic que es simplifica en derivar-se ( ), i com a el factor fàcilment integrable ( ). En determinats casos amb potències superiors, cal aplicar aquesta fórmula reiteradament fins a fer desaparèixer les variables algebraiques de la integral restant. Integració per substitució (canvi de variable) S'aplica quan dins de la integral s'identifica una funció composta i, multiplicant, la derivada de la part interior (o una expressió que només difereix d'aquesta per un factor constant).

PER RECORDAR-HO En una funció composta , normalment la variable auxiliar s'assigna a la part interior: . e2x f(x) g (x)dx = f(x) g(x) f (x) g(x)dx f(x) x, x ... 2 g (x) e , sinx, cos x... x (f g)(x) u u = g(x) Triar : assignar la nova variable a la part interna de la funció composta o del radical. 1 u Calcular el diferencial: derivar per obtenir . 2 u du = u (x)dx Ajustar el diferencial: si els coeficients numèrics no coincideixen amb el terme present a la integral, aïllar les variables i passar les constants dividint (per exemple, ). Si queden termes sobrants de , aïllar en funció de (per exemple, ) i aplicar la propietat distributiva.

3 = 4 du x dx 3 x x u x = u 2 Integrar en termes de : resoldre la integral immediata obtinguda. 4 u Càlcul d'Integrals: Primitives, Àrees i Mètodes 10 ERROR FREQÜENT Oblidar desfer el canvi de variable al final de l'exercici és un error típic que costa punts. El resultat d'una integral indefinida d'una funció dependent de sempre ha d'acabar expressat en termes de la mateixa variable inicial , mai deixant termes en . COMPROVA-HO 18 Quina expressió se sol escollir com a variable u en una integració per substitució? PROCÉS Procediment de la integració per substitució IDEES CLAU La integració per parts prové de la regla del producte: .

En la integració per parts se sol assignar a la funció que redueix el seu grau en derivar-se. La integració per substitució identifica la part interior d'una funció composta com a nova variable . És obligatori transformar tot el diferencial a i desfer el canvi al resultat final. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 19. En integrar per substitució x·sqrt(x+2) dx fent u = x+2, com s'elimina la x restant? 20. Si per al canvi de variable du = - dx la integral només conté dx, com s'ajusta? Desfer el canvi: substituir novament la variable per l'expressió original en per donar el resultat final amb la constant .

5 u x +c x x u Definir u Triar la part interior de la funció composta 1 Diferenciar Calcular du derivant u respecte de x 2 Ajustar termes Passar constants dividint o aïllar x si cal 3 Integrar Calcular la primitiva immediata en variable u 4 Desfer el canvi Reemplaçar u per la seva expressió original en x 5 \bigintf g = f g \bigintf g f(x) u dx du 4x3 x3 Càlcul d'Integrals: Primitives, Àrees i Mètodes 11 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 21. Quin és l'objectiu principal en triar f(x) en la integració per parts? 22. Quina és la fórmula d'integració per parts? 23. A quin element s'assigna habitualment la nova variable u en el mètode de substitució? 24.

Quin és el darrer pas ineludible en el mètode de substitució per a integrals indefinides?

4 Formulari Primitives immediates i propietats Tipus / Propietat Fórmula Observacions Constant Potència general Vàlid per a tot Invers de Requereix valor absolut obligatori Exponencial base Si , la primitiva és Exponencial general Base positiva Logaritme neperià Primitiva immediata tabulada Que no es pugui derivar a) Que la seva derivada sigui més senzilla b) Que es transformi en una constant zero immediatament c) Mantenir invariable el seu grau algebraic d) f · g' dx = (f · g) / f' dx a) f · g' dx = f · g + f' · g dx b) f · g' dx = f · g - f' · g dx c) f · g' dx = f' · g - f · g' dx d) Al terme de major grau del denominador a) A la constant d'integració c b) Al diferencial dx exclusivament c) A la part interior d'una funció composta d) Eliminar la constant d'integració c a) Desfer el canvi tornant a la variable x b) Derivar el resultat final obtingut c) Igualar la integral a zero d) adx = ax + c a R x dx = a + a+1 xa+1 c a = 1 x dx = x 1 ln x + c e e dx = ax + a eax c a = 1 e + x c a dx = x + ln a ax c a > 0, a = 1 ln x dx = x ln x x + c Càlcul d'Integrals: Primitives, Àrees i Mètodes 12 Tipus / Propietat Fórmula Observacions Trigonomètriques Atenció al signe negatiu del sinus Linealitat Mai separar com a producte d'integrals Integral definida i àrees Concepte / Procediment Fórmula o passos Quan s'aplica Regla de Barrow Càlcul d'integrals definides (la constant s'anul·la) Àrees amb canvi de signe Trobar talls amb l'eix X ( ) Dividir en trams Restar els trams sota l'eix: Quan la funció creua l'eix d'abscisses i es demana l'àrea geomètrica total Mètodes d'integració Mètode Procediment / Fórmula Quan s'aplica Integració per parts Productes de funcions; triar la part algebraica que es simplifica en derivar i la part fàcilment integrable Substitució (canvi de variable) Identificar funció composta Assignar Calcular Ajustar constants o aïllar Integrar en Desfer el canvi a Integrals amb una funció composta i la seva derivada interna multiplicant cos x dx = sin x + c sin x dx = cos x + c [kf(x) ± g(x)]dx = k f(x)dx ± g(x)dx f(x)dx = a b [F (x)] = a b F (b) F (a) c f(x) = 0 rea = A ˋ f(x)dx a c 1 f(x)dx + c 1 c 2 f(x)dx c 2 b f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx f(x) g (x) u = g(x) du = g (x)dx x u x Càlcul d'Integrals: Primitives, Àrees i Mètodes 13 Solucions de les preguntes de repàs 1.

Perquè qualsevol constant té derivada zero, de manera que infinites funcions que només difereixen en una constant tenen la mateixa derivada. 2. Perquè si apliquéssim l'exponent -1 a la fórmula general, el denominador seria -1 + 1 = 0, provocant una divisió per zero impossible. Per tant, requereix la funció logaritme neperià. 3. S'expressa com , per tant la seva integral és . 4. Es converteix en potència fraccionària , donant . 5. b) / a + c. En derivar /a, la regla de la cadena cancel·la el coeficient a del denominador. 6. a) El logaritme només admet arguments positius. El logaritme neperià no existeix per a nombres negatius, per la qual cosa s'usa el valor absolut. 7. a) -cos(x) + c.

Com que la derivada de cos(x) és -sin(x), la integral de sin(x) és -cos(x) + c. 8. b) Separar la integral d'un producte com a producte d'integrals. La integral d'un producte mai és igual a la multiplicació de les integrals individuals. 9. Valdrà exactament 0, ja que la part negativa anul·la la positiva, tot i que l'àrea geomètrica real sigui de 6 unitats. 10. La constant c s'anul·la automàticament en calcular la resta F(b) + c - (F(a) + c), fent innecessari escriure-la. 11. La primitiva és . Avaluant en 3 dona , i en 0 dona 0. L'àrea és <mark class='hl- pink'>4,5</mark>. 12. S'ha de restar aquesta integral específica: . 13. c) F(b) - F(a).

La regla avalua la primitiva al límit superior b i li resta el valor obtingut al límit inferior a. 14. d) Perquè s'anul·la en restar F(b) - F(a). En fer la diferència (F(b)+c) - (F(a)+c), les constants c tenen signes oposats i es cancel·len. 15. a) Aquest tram resta àrea en comptes de sumar. Les regions per sota de l'eix d'abscisses produeixen integrals negatives que resten àrea total si no es corregeixen. 16. c) Anteposant un signe negatiu a la integral. En restar una quantitat negativa (-), aquesta es transforma en positiva i s'afegeix correctament a l'àrea total. 17. S'utilitza la integració per parts, assignant una part a derivar per reduir la x i l'altra a integrar. 18.

Se sol triar la part interna de la composició de funcions o l'expressió que es troba a l'interior d'una potència o arrel. 19. S'aïlla x de la relació inicial obtenint , substituint-la per poder aplicar la propietat distributiva. 20. La constant -4 passa dividint a l'altre costat, quedant . 21. b) Que la seva derivada sigui més senzilla. Triem el terme que en derivar-se simplifica la integral restant f' · g. 22. c) f · g' dx = f · g - f' · g dx. La fórmula correcta dedueix el producte menys la integral creuada: f · g - f' · g dx. 23. d) A la part interior d'una funció composta. En una composició f(g(x)), la variable u s'assigna a la funció interior g(x).

x 3 + 2 x 2 c = + 2x2 1 c x1/2 + 3/2 x3/2 c = + 3 2\bigsqrtx3 c eax eax 3x 2 x2 9 4,5 = 4,5 \bigint f(x)dx 3 5 x = u 2 = 4 du x dx 3 Càlcul d'Integrals: Primitives, Àrees i Mètodes 14 24. b) Desfer el canvi tornant a la variable x. Cal reescriure la solució en funció de la variable original x abans de finalitzar l'exercici. Càlcul d'Integrals: Primitives, Àrees i Mètodes 15