Exercicis de repàs: Estadística Descriptiva Univariant i Bivariant

Exercici 1. Distribució de televisors per llar

Es disposa d'un conjunt de dades corresponent al nombre d'aparells de televisió presents a les llars d'un grup de famílies vinculades a la Facultat:

2, 1, 1, 2, 2, 3, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 4

a)

Elaboreu la taula estadística completa que inclogui les freqüències absolutes ($n_i$), relatives ($f_i$), absolutes acumulades ($N_i$) i relatives acumulades ($F_i$):

Valors ($x_i$)

$n_i$

$f_i$

$N_i$

$F_i$

0

1

2

3

4

Total

—

—

b)

Determineu la mitjana aritmètica, la mediana i la moda d'aquest conjunt mostral:

Exercici 2. Distribució d'accidents de conductors d'autobús

S'ha registrat el volum d'accidents soferts al llarg de 4 anys per un grup de 705 xofers d'autobús, obtenint la taula parcial següent:

Nombre d'accidents

$n_i$

$f_i$ (%)

$N_i$

$F_i$ (%)

0 · 114 · 16,17% · 114 · 16,17%

1 · 157 · 22,27% · 271 · 38,44%

2 · 158 · 22,41% · 429 · 60,85%

3 · 115 · 16,31% · 544 · 77,16%

4 · 78 · 11,06% · 622 · 88,23%

5

6.24%

666

94,47%

6 · 21 · 2,98% · 687 · 97,45%

7 · 7 · 0,99% · 694 · 98,44%

8

0,85%

700

99,29%

9 · 1 · 0,14% · 701 · 99,43%

10 · 3 · 0,43% · 704 · 99,86%

11 · 1 · 0,14% · 705 · 100,00%

Total

705

100%

-

-

a)

Indiqueu quina és la variable analitzada, com se sol simbolitzar, de quina tipologia és i quin és el volum total d'observacions ($N$).

b)

Quins valors concrets pren la variable i quant val el paràmetre $k$ (nombre de categories o valors diferents)? Què representen $x_1$ i $x_4$?

c)

Completeu les caselles buides de la taula (valors de $n_5$ i $n_8$ a la taula superior). Justifiqueu si és possible calcular totes les columnes:

d)

Interpreteu de forma contextualitzada els valors $n_3$, $f_4$, $N_6$ i $F_9$:

e)

Descriviu com s'ha de dibuixar el diagrama de barres de les freqüències relatives:

f)

Calculeu la moda, la mitjana i la mediana mostrals:

Exercici 3. Mesures estadístiques i agrupació en classes

A partir de la següent sèrie de mesures (expressades en centímetres):

28, 22, 35, 42, 44, 53, 58, 41, 40, 32, 31, 38, 37, 61, 25, 35

a)

Calculeu el rang, la mitjana aritmètica, la mediana, la variància i la desviació típica mostral sense agrupar.

b)

Agrupeu les dades en 5 intervals d'amplitud 10 cm: $(20, 30]$, $(30, 40]$, $(40, 50]$, $(50, 60]$ i $(60, 70]$. Avalueu la mitjana mostral de les dades agrupades mitjançant la fórmula:

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^k n_i c_i}{n}$$

on $c_i$ representa la marca de classe, i comenteu la diferència amb la mitjana directa.

c)

Descriviu la construcció de l'histograma resultant.

Exercici 4. Propietat de minimització de la mitjana

Trobeu el valor real del paràmetre $a \in \mathbb{R}$ que fa mínima l'expressió quadràtica:

$$S(a) = \sum_{i=1}^n (x_i - a)^2$$

Comenteu el significat estadístic de la solució obtinguda.

a)

b)

Exercici 5. Experiments històrics de la velocitat de la llum

L'any 1879, Michelson va obtenir els següents valors mesurats de la velocitat de la llum en l'aire (s'ha restat $299.000$ a les observacions originals per simplicitat, en km/s):

850, 740, 900, 1070, 930, 850, 950, 980, 880, 1000, 980, 930, 650, 760

Posteriorment, el 1882, Newcomb va utilitzar un procediment diferent i va registrar els resultats següents (restant igualment $299.000$):

883, 816, 778, 796, 682, 711, 611, 599, 1051, 781, 578, 796, 774, 820, 772

a)

Calculeu la mitjana i la desviació típica mostral per a cadascuna de les dues sèries de mesures (expressades respecte a la variable original sumant $299.000$, o respecte a les dades transformades):

b)

Exercici 6. Comparació de la durada de bombetes

Un supermercat analitza la vida útil de dues marques diferents de bombetes (expressada en milers d'hores):

Marca A: 3, 4, 6, 5, 5, 6, 6, 5, 6, 6, 7, 4, 5

Marca B: 3, 8, 5, 6, 4, 9, 2, 3, 6, 7, 7, 8, 9

a)

Determineu quin fabricant produeix bombetes amb una vida mitjana superior.

b)

Indiqueu quin fabricant ofereix una qualitat més uniforme (és a dir, menor dispersió en la vida útil).

Exercici 7. Demostració de la mitjana combinada

Demostreu que si es crea una variable conjunta $Z$ unint les dades de dues submostres de mides $n_1$ (amb mitjana $\bar{x}$) i $n_2$ (amb mitjana $\bar{y}$), la mitjana global $\bar{z}$ és la mitjana ponderada:

$$\bar{z} = \left(\frac{n_1}{n_1 + n_2}\right)\bar{x} + \left(\frac{n_2}{n_1 + n_2}\right)\bar{y}$$

Exercici 8. Anàlisi censal de dades de rendes

A partir del cens recollit a l'arxiu DT1_exercici_8.xls, es disposa de dades sobre gènere (1: femení, 0: masculí), edat (1: adult, 0: jove), origen geogràfic (1: sud, 0: nord) i nivell de renda mensual. Es demana realitzar un estudi complet de la variable renda:

a.

Construcció d'una taula de freqüències amb intervals de classe adients.

b.

Elaboració de l'histograma de freqüències relatives.

c.

Avaluació de la centralitat de la distribució (mitjana, mediana, moda).

d.

Estudi de la variabilitat (rang interquartílic, variància, desviació típica i coeficient de variació).

e.

Construcció i interpretació del diagrama de caixa (box-plot).

Exercici 9. Distribució bidimensional d'edat i pes

Es considera la distribució de freqüències absolutes conjuntes $n_{ij}$ entre les variables $X$ (edat en anys) i $Y$ (pes en kg, agrupats en intervals amb marques de classe 40, 50 i 60 kg) per a un grup de 42 alumnes de 2n d'ESO:

a)

Trobeu les distribucions de freqüències relatives marginals de l'edat ($f_{i\cdot}$) i del pes ($f_{\cdot j}$).

b)

Calculeu les mitjanes marginals $\bar{x}$ i $\bar{y}$.

c)

Calculeu les variàncies marginals $S_X^2$ i $S_Y^2$ (sense corregir).

d)

Determineu la covariància $S_{XY}$ i el coeficient de correlació lineal de Pearson $r_{XY}$.

e)

Obtingueu la distribució de freqüències relatives de l'edat condicionada al fet que el pes sigui de 60 kg ($Y = 60$).

Exercici 10. Assistència conjunta a cinema i teatre

Siguin $X$ el nombre d'assistències mensuals al cinema i $Y$ el nombre d'assistències mensuals al teatre d'una mostra de persones jubilades. La distribució de freqüències relatives conjuntes és la següent:

a)

Calculeu la distribució marginal de freqüències relatives de l'assistència al cinema ($X$).

b)

Determineu la distribució de freqüències relatives condicionades de les assistències al cinema per a aquelles persones que no han anat mai al teatre ($Y = 0$).

c)

Trobeu les mitjanes i les desviacions típiques marginals de $X$ i de $Y$.

d)

Calculeu la covariància entre $X$ i $Y$.

Exercici 11. Càlcul de covariància i correlació lineal

A partir de les 5 parelles d'observacions següents:

Observació

1

2

3

4

5

$X$

2

1

2

1

4

$Y$

8

9

8

5

10

Calculeu la covariància mostral $S_{XY}$ i el coeficient de correlació lineal de Pearson $r_{XY}$.

Exercici 12. Relació entre notes parcial i final

Es vol avaluar si a l'assignatura d'Econometria d'un grup determinat hi ha associació lineal entre la qualificació de la prova parcial i la de l'examen final a partir del fitxer DT1_exercici_12.xls. Emprant el programari R o mètodes analítics, analitzeu la relació existent i interpreteu els resultats.

Exercici 13. Anàlisi de l'índex de gestió de recursos humans (Apartats a, b i c)

Exercici 13. Anàlisi de l'índex de gestió de recursos humans

A l'estudi de l'AQU sobre l'ocupabilitat i competències dels graduats recents (2015), s'analitza una mostra de 1.325 empreses i institucions a Catalunya. S'hi recull l'índex de gestió de recursos humans (RRHH) en els últims 3 anys, on 0 indica absència total de pràctiques de gestió de RRHH i 4 representa pràctiques plenament flexibles i promotores de la contractació.

El gràfic següent exposa la freqüència d'empreses que han contractat recents graduats segons el nivell d'aquest índex:

a.

Obtingueu la distribució de freqüències relatives de la variable 'índex de gestió de RRHH'. Completeu les freqüències relatives ($f_i$) i relatives acumulades ($F_i$) per a cada valor de l'índex ($n = 1.325$):

Índex ($x_i$)

Empreses ($n_i$)

Freqüència relativa ($f_i$)

Freq. rel. acumulada ($F_i$)

0

110

1

198

2

290

3

385

4

342

b.

Calculeu la mitjana i la variància corregida d'aquest índex. Comenteu els resultats.

c.

Si es pren el 50% de les empreses amb menor índex de RRHH, quin és el valor màxim de l'índex en aquest grup?

Exercici 13. Anàlisi de l'índex de gestió de recursos humans

A l'estudi de l'AQU sobre l'ocupabilitat i competències dels graduats recents (2015), s'analitza una mostra de 1.325 empreses i institucions a Catalunya. S'hi recull l'índex de gestió de recursos humans (RRHH) en els últims 3 anys, on 0 indica absència total de pràctiques de gestió de RRHH i 4 representa pràctiques plenament flexibles i promotores de la contractació.

El gràfic següent exposa la freqüència d'empreses que han contractat recents graduats segons el nivell d'aquest índex:

d)

L'estudi indica que la mitjana de graduats contractats per les empreses és d'11,66 i la seva desviació típica és 46,45. Sabent que la covariància entre el nombre de graduats contractats i l'índex de RRHH és de 40,3, calculeu el coeficient de correlació lineal i interpreteu el seu resultat.

e)

Quina de les dues variables presenta una dispersió relativa més gran? Raoneu la resposta.

Exercici de síntesi. Anàlisi del mercat immobiliari a Denver

A partir del conjunt de dades contingut a l'arxiu Real Estate.xls, que recull informació de vendes d'habitatges a Denver durant el 2005 (preu de venda, nombre d'habitacions i distància al centre), es demana respondre justificadament:

A partir del conjunt de dades contingut a l'arxiu Real Estate.xls, que recull informació de vendes d'habitatges a Denver durant el 2005 (preu de venda, nombre d'habitacions i distància al centre), es demana respondre justificadament:

a.

Calculeu per a cadascuna de les tres variables les mesures de posició, dispersió i forma. Interpreteu els resums numèrics.

b.

Elaboreu la taula de freqüències del nombre d'habitacions. Quin és el nombre típic d'habitacions i quins en són el mínim i el màxim? Representeu-ho gràficament.

c.

Construïu una distribució agrupada en intervals pel preu de venda. Dibuixeu el seu histograma i determineu el primer i el tercer quartil.

d.

Construïu i interpreteu el diagrama de caixa (box-plot) del preu de venda. Hi ha presència de valors anòmals o extrems?

Exercici de síntesi. Anàlisi del mercat immobiliari a Denver

A partir del conjunt de dades contingut a l'arxiu Real Estate.xls, que recull informació de vendes d'habitatges a Denver durant el 2005 (preu de venda, nombre d'habitacions i distància al centre), es demana respondre justificadament:

A partir del conjunt de dades contingut a l'arxiu Real Estate.xls, que recull informació de vendes d'habitatges a Denver durant el 2005 (preu de venda, nombre d'habitacions i distància al centre), es demana respondre justificadament:

e.

Dibuixeu el núvol de punts (diagrama de dispersió) entre el preu (eix vertical) i el nombre d'habitacions (eix horitzontal). La relació és directa o inversa? Calculeu i interpreteu el coeficient de correlació de Pearson.

Directa

Inversa

f.

Repetiu l'estudi bivariant situant el preu a l'eix vertical i la distància al centre a l'eix horitzontal.

Directa

Inversa