Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO

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APUNTES MATEMÁTICAS Grado en Biología Universidad Autónoma de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apuntes de Matemáticas para Biología: modelos matriciales, cálculo integral, ecuaciones diferenciales, balances de materia y modelos de Newton y Malthus.

APREN.AI Índice 1 Álgebra lineal y modelos matriciales de poblaciones Autovalores, autovectores y diagonalización Modelos poblacionales estructurados 2 Cálculo integral: definición, técnicas y modelos de acumulación Definición de integral y propiedades fundamentales Teorema fundamental del cálculo y regla de Barrow Tabla de primitivas inmediatas y compuestas Métodos de integración: partes y fracciones racionales Aplicación biológica: absorción acumulada de radiación 3 Ecuaciones diferenciales: modelos de Malthus, Newton y balances Método de variables separadas Crecimiento malthusiano y enfriamiento de Newton Dinámica de mezclas y balances de materia 4 Ecuaciones diferenciales lineales, ecuación logística y equilibrios Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Administración intravenosa continua de fármacos La ecuación logística y modelos con captura 5 Formulario Álgebra matricial y dinámica de poblaciones Cálculo integral y métodos de integración Ecuaciones diferenciales y modelos biológicos Errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 1 1 Álgebra lineal y modelos matriciales de poblaciones AL ACABAR SABRÁS Plantear y resolver la ecuación característica para obtener los autovalores de una matriz de proyección. Calcular potencias de matrices mediante su descomposición en factores diagonales. Interpretar la viabilidad poblacional a partir del número reproductivo básico. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Cómo se puede proyectar el número de individuos de una población de dos edades tras muchas generaciones sin hacer multiplicaciones repetitivas paso a paso?

Autovalores, autovectores y diagonalización En el estudio de modelos dinámicos discretos, el comportamiento a largo plazo de un sistema lineal depende del análisis espectral de su matriz asociada. Para una matriz cuadrada , la ecuación característica permite hallar los escalares que actúan dilatando o contrayendo direcciones privilegiadas: A partir de cada valor propio , calculamos su vector propio asociado no nulo resolviendo el sistema homogéneo: Cuando una matriz admite una base completa de autovectores, puede descomponerse mediante diagonalización como , donde contiene los autovalores en su diagonal y aloja los correspondientes autovectores por columnas.

Esta factorización simplifica notablemente el cálculo de potencias enteras de la matriz: COMPRUEBA 2 ¿Por qué la diagonalización facilita el cálculo de las potencias sucesivas de una matriz? Modelos poblacionales estructurados Consideremos una población estructurada en dos estadios o clases de edad, denotadas por y en la etapa discreta .

La transición temporal hacia el estadio se describe mediante el sistema matricial: A λ det(A λI) = 0 λ u (A λI)u = 0 A = P DP 1 D P A = n P D P n 1 p n q n n n + 1 = ( p n+1 q n+1 ) ( 0 a 1 b a 2 ) ( p n q n ) Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 2 En este sistema, los valores propios se obtienen resolviendo el determinante de la matriz característica: Aplicando la fórmula cuadrática, las soluciones son: La evolución demográfica global y la viabilidad de la población se determinan mediante el número reproductivo básico . Este indicador define el umbral de persistencia: Si R_0 > 1, la población experimenta una tendencia de crecimiento sostenido.

Si R_0 < 1, los nacimientos no compensan las pérdidas y la población decrece. ERROR FRECUENTE Olvidar restar de todos los elementos diagonales al plantear , o descuidar el signo del término independiente al resolver la ecuación de segundo grado en el cálculo de los valores propios.

ESQUEMA Estructura del modelo matricial poblacional det = ( λ a 1 b a λ 2 ) λ(a 2 λ) a b = 1 λ 2 a λ 2 a b = 1 0 λ = ± 2 a ± 2 a + 4a b 2 2 1 R = 0 a b 1 λ det(A λI) = 0 Modelo matricial Dinámica temporal de dos estadios Parámetros biológicos Supervivencia a1, a2 y fertilidad b Número básico R0 Producto a1 b que marca el umbral Población crece Condición R0 > 1 Población decrece Condición R0 < 1 Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 3 IDEAS CLAVE Los valores propios se calculan mediante las raíces del polinomio característico . La diagonalización permite calcular potencias temporales de forma inmediata.

En un modelo poblacional estructurado de dos estados, el número reproductivo básico es . El destino demográfico depende del umbral crítico: si la población crece, mientras que si se reduce. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 3. ¿Cuál es la ecuación característica asociada a la matriz poblacional dada? 4. ¿Qué implicación biológica tiene que ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 5. ¿Qué condición define a los valores propios de una matriz cuadrada A? 6. Si una matriz A es diagonalizable como PDP ¹, ¿a qué equivale A ? 7. ¿Qué valor reproductivo básico predice que una población descrita por la matriz dada disminuirá? 8.

En la matriz poblacional analizada, ¿cuál es la expresión de R ? det(A λI) = 0 A = P DP 1 A = n P D P n 1 R = 0 a b 1 R > 0 1 R < 0 1 R < 0 1 A = λI a) (A - λI)u 0 b) det(A - λI) = 0 c) det(A) = λ d) P D (P ¹) a) P D P ¹ b) D P P ¹ c) n P D P ¹ d) R = 1 a) R = 0 exclusivamente b) R < 1 c) R > 1 d) a b a) a / b b) a ² + 4a b c) a + b d) Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 4 2 Cálculo integral: definición, técnicas y modelos de acumulación AL ACABAR SABRÁS Aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de Barrow a funciones continuas. Emplear la tabla de primitivas inmediatas y las técnicas de partes y descomposición en fracciones simples.

Resolver problemas de acumulación continua mediante integrales impropias. PIÉNSALO ANTES DE LEER 9 ¿Cómo se calcula la dosis total de una sustancia radiactiva absorbida a lo largo de un tiempo infinito si su ritmo de emisión decrece constantemente? Definición de integral y propiedades fundamentales La integral definida modela el área neta bajo la trayectoria de una función continua en un intervalo cerrado . Formalmente, este valor se construye como el límite de las sumas de Riemann: donde los puntos determinan una partición con muestras intermedias .

El cálculo operacional se apoya en cuatro propiedades elementales de linealidad y aditividad: Integral de una constante: Extracción de constantes escalares: Linealidad respecto a la suma: Aditividad del intervalo de integración: Teorema fundamental del cálculo y regla de Barrow El Teorema Fundamental del Cálculo establece el vínculo directo entre derivación e integración. Si definimos la función acumulación , entonces se verifica que .

Como consecuencia directa, la Regla de Barrow permite evaluar integrales definidas empleando cualquier primitiva tal que : f(x) [a, b] f(z )(x i=1 n i i x ) i 1 f(x) dx a b a = x < 0 x < 1 < x = n b z i [x , x ] i 1 i k dx = a b k(b a) kf(x) dx = a b k f(x) dx a b [f(x) + a b g(x)] dx = f(x) dx + a b g(x) dx a b f(x) dx = a b f(x) dx + a k f(x) dx k b F (x) = f(t) dt a x F (x) = f(x) G(x) G (x) = f(x) f(x) dx = a b G(b) G(a) = [G(x)] a b Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 5 EJEMPLO Evaluación de la función exponencial elemental entre 0 y 1: COMPRUEBA 10 ¿Qué relación existe entre la función integral y la función original ?

Tabla de primitivas inmediatas y compuestas Para determinar primitivas con agilidad se aplican reglas directas basadas en la inversión de derivadas comunes: Función elemental Primitiva inmediata Forma compuesta Primitiva compuesta Métodos de integración: partes y fracciones racionales Cuando el integrando es un producto no inmediato, se deduce la regla de integración por partes partiendo de la derivada del producto de funciones: Integrando ambos lados se obtiene la relación operativa: Para cocientes de polinomios donde las raíces del denominador son reales y simples, se descompone en fracciones racionales elementales: e dx = 0 1 x [e ] = x 0 1 e 1 e = 0 e 1 1,72 F (x) = f(t) dt a x f(x) x dx a + a+1 xa+1 C (a = 1) f(x) f (x)dx a + a+1 f(x)a+1 C (a = 1) dx x 1 ln x + C dx f(x) f (x) ln f(x) + C e dx x e + x C e f (x)dx f(x) e + f(x) C cos x dx sin x + C cos(f(x))f (x)dx sin(f(x)) + C sin x dx cos x + C sin(f(x))f (x)dx cos(f(x)) + C dx cos x 2 1 tan x + C dx cos f(x) 2 f (x) tan(f(x)) + C dx sin x 2 1 cotx + C dx sin f(x) 2 f (x) cot(f(x)) + C dx 1 x2 1 arcsin x + C = arccos x + C dx 1 f(x)2 f (x) arcsin(f(x)) + C dx 1+x2 1 arctan x + C dx 1+f(x)2 f (x) arctan(f(x)) + C (u v) (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) u(x)v (x) = (u v) (x) u (x)v(x) u dv = uv v du Q(x) P (x) a , a , …

, a 1 2 n = Q(x) P (x) + x a 1 A 1 + x a 2 A 2 + x a n A n Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 6 cuyas primitivas inmediatas responden a: En caso de raíces con multiplicidad superior ( ): Aplicación biológica: absorción acumulada de radiación La emisión de una fuente radiactiva decae según . La radiación recibida por unidad de superficie a distancia responde a: ERROR FRECUENTE Al integrar , olvidar dividir por el coeficiente interno negativo , lo que altera los signos al aplicar la regla de Barrow en los extremos de integración.

PROCESO Cálculo de la radiación total absorbida 1 Tasa ins tantánea Modelo exponencial de decaimiento radiactivo 2 Integral defi nida Integración de 0 a T de la tasa temporal 3 Regla de Barrow Evaluación con primi tiva y extremos 4 Límite im propio T tiende a infinito can celando la exponencial dx = ax + b 1 ln ax + a 1 b + C n = 1 dx = (x a)n 1 + (n 1)(x a)n 1 1 C R(t) = N e 0 λt r R (t) = a N e 4πr2 A 0 λt Dosis en intervalo finito: Se integra en : 1 [0, T] R (t) dt = 0 T a e dt = 4πr2 AN 0 0 T λt = 4πr2 AN 0 [ λ e λt ] 0 T (1 4πr λ 2 AN 0 e ) λT Dosis total indefinida: Calculando el límite impropio cuando el tiempo : 2 T R (t) dt = T lim 0 T a 4πr λ 2 AN 0 e λt λ Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 7 IDEAS CLAVE La integral definida se origina como el límite de las sumas de aproximación por rectángulos de Riemann.

El Teorema Fundamental del Cálculo conecta la diferenciación con la integración mediante la regla de Barrow. La fórmula de integración por partes se deriva de la derivada del producto. La radiación total absorbida en un intervalo infinito converge a . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 11. ¿Cuál es la integral indefinida de ? 12. ¿Qué resultado arroja el límite cuando el tiempo tiende a infinito de la radiación absorbida ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 13. ¿Cuál es la derivada de la función integral F(x) = ˣ f(t) dt? 14. ¿Qué fórmula corresponde al método de integración por partes? 15. ¿Cuál es la primitiva de la función 1 / (1 + x²)? 16.

¿Qué ocurre con cuando T tiende a infinito con λ positivo? u dv = uv v du 4πr λ 2 AN 0 ax+b 1 R (t) a f(b) - f(a) a) F(b) b) f'(x) c) f(x) d) u dv = u v - v du a) u dv = (u v)' b) u dv = u v + v du c) u dv = u' v + u v' d) arcsin(x) + C a) ln"1 + x²" + C b) arctan(x) + C c) -cot(x) + C d) e λT Tiende a 0 a) Tiende a infinito b) Tiende a 1 c) Oscila indefinidamente d) Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 8 3 Ecuaciones diferenciales: modelos de Malthus, Newton y balances AL ACABAR SABRÁS Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias mediante separación de variables. Ajustar parámetros empíricos en problemas de enfriamiento y crecimiento biológico.

Modelizar balances de materia en recipientes con volúmenes fijos o variables. PIÉNSALO ANTES DE LEER 17 ¿Cómo cambia la cantidad de sal en un tanque si se le añade agua dulce de forma continua mientras rebosa líquido mezclado? Método de variables separadas Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden adopta la forma de variables separadas cuando puede descomponerse en el producto de una función exclusiva de la variable independiente y otra de la variable dependiente: Integrando ambos miembros por separado se halla la solución general: EJEMPLO Caso general: Para : Con valor inicial: Para con la condición : Evaluando en se obtiene , resultando en la solución particular .

Crecimiento malthusiano y enfriamiento de Newton En el modelo de Malthus, la tasa de variación poblacional respecto al tiempo es estrictamente proporcional al tamaño actual de la población: = dx dy f(x) g(y) dy = g(y) 1 f(x) dx dy = g(y) 1 f(x) dx y = xy = y dy x dx ln y = + 2 x2 C y = e = +C 2 x2 Ce 2 x2 y = 2xy y(0) = 3 = y dy 2x dx ln y = x + 2 C y = Cex2 x = 0 y(0) = Ce = 0 3 C = 3 y = 3ex2 = dt dP kP Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 9 Separando variables e integrando: Por otro lado, la Ley de enfriamiento (o calentamiento) de Newton establece que la rapidez con que cambia la temperatura de un objeto resulta proporcional a la diferencia térmica existente entre este y el medio ambiente : Separando variables: EJEMPLO Una probeta a 60 °C se coloca en un entorno a 18 °C.

Tras 30 minutos, su temperatura baja a 25 °C. Para hallar cuánto tardará en descender hasta los 20 °C: COMPRUEBA 18 ¿Cómo se interpreta el signo de la constante en la ley de enfriamiento de Newton si un objeto se está enfriando?

Dinámica de mezclas y balances de materia Los problemas de transporte en recipientes hidrológicos o reactores analizan la variación de la masa disuelta de soluto en función del caudal y de la concentración : Configuración del sistema Ecuación diferencial Solución o concentración Caso 1: Solo salida Volumen fijo , soluto inicial g, salida L/min = P dP k dt ln P = kt + C P (t) = Cekt T T ambient = dt dT k(T T ) ambient = T T ambient dT k dt ln T T = ambient kt + C T(t) = T + ambient Cekt Plantear la forma general: . 1 T(t) = 18 + Cekt Hallar C con t = 0: . 2 T(0) = 60 = 18 + C C = 42 Hallar k con t = 30: .

3 T(30) = 25 = 18 + 42e 30k 7 = 42e 30k e = 30k 6 1 k = 30 ln(1/6) Calcular el tiempo para 20 °C: . 4 20 = 18 + 42e kt 2 = 42e kt e = kt 21 1 t = = k ln(1/21) 30 ln(1/6) ln(1/21) k x(t) q c(t) V k q = dt dx q V x(t) x(t) = ke V qt Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 10 Configuración del sistema Ecuación diferencial Solución o concentración Caso 2: Entrada pura y salida balanceada Caudal constante de entrada (agua pura) y salida, volumen constante Caso 3: Caudales desiguales Entrada de agua pura y salida de mezcla EJEMPLO En una balsa con volumen inicial de 1200 m³ se vierten inicialmente 10 g de contaminante ( ).

Por el desagüe salen 100 m³/día y se evaporan 20 m³/día de agua pura. El volumen varía como . La concentración de salida por el desagüe es . La masa de contaminante solo escapa por el caudal del desagüe (100 m³/día): Resolviendo por variables separadas: Tomando exponenciales: . Imponiendo : Reagrupando: Al cabo de una semana ( días): ERROR FRECUENTE En problemas de depósitos con evaporación de agua, incluir el caudal evaporado en la pérdida de soluto. El vapor es agua pura: únicamente el caudal físico que drena líquido retira soluto del sistema.

q V = dt dx q V x(t) c(t) = V x(t) q in q out = dt dx q out V (t) x(t) V (t) = V + 0 (q in q )t out c(t) = V (t) x(t) x(0) = 10 V (t) = 1200 (100 + 20)t = 1200 120t c(t) = 1200 120t x(t) = dt dx 100 1200 120t x(t) dx = x 1 dt 1200 120t 100 ln(x) = ln(1200 6 5 120t) + C x(t) = C(1200 120t)5/6 x(0) = 10 10 = C(1200) 5/6 C = 10 1200 5/6 x(t) = 10 = ( 1200 1200 120t ) 5/6 10 1 ( 10 t ) 5/6 t = 7 x(7) = 10 1 = ( 10 7 ) 5/6 10(0,3) 5/6 3,667 gramos Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 11 PROCESO Resolución de problemas de balance de materia 1 Definir V(t) Calcular volumen se gún caudales de en trada y salida 2 Tasa de salida dx/dt = - q_out * (x(t) / V(t)) 3 Separar e in tegrar Integrar dx/x y dt/V(t) para hallar ln(x) 4 Condición inicial Usar x(0) para fijar el valor de la constante C IDEAS CLAVE En ecuaciones separables, las variables se aíslan en miembros opuestos antes de integrar.

El crecimiento malthusiano produce una solución exponencial . En la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura decae exponencialmente hacia la temperatura del ambiente. En balances de materia con volumen variable, se debe recalcular la concentración instantánea como . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 19. ¿Por qué la evaporación altera el volumen en un balance pero no aparece multiplicando a la salida de soluto? 20. En el modelo poblacional malthusiano, ¿qué representa la constante C? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 21. ¿Cuál es la solución analítica general de la ecuación dP/dt = kP? 22.

En la ley de enfriamiento de Newton dT/dt = k(T - T_amb), ¿qué forma tiene la temperatura? 23. Si entra agua pura a q_in y sale disolución a q_out, ¿cómo varía el volumen V(t)? P (t) = Cekt x(t)/V (t) P(t) = kt + C a) P(t) = C b) ekt P(t) = C / (kt) c) P(t) = ln(kt) + C d) T(t) = (T_amb + C) kt a) T(t) = T_amb + C b) ekt T(t) = T_amb · C c) ekt T(t) = C - T_amb d) ekt V(t) = (V + q_in t) / q_out a) V(t) = V + (q_in - q_out)t b) V(t) = V - (q_in + q_out)t c) V(t) = V · (q_in / q_out)t d) Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 12 24.

Si en una mezcla solo sale disolución con caudal q de un volumen V constante, la ecuación es: 4 Ecuaciones diferenciales lineales, ecuación logística y equilibrios AL ACABAR SABRÁS Identificar y resolver ecuaciones diferenciales lineales combinando la solución homogénea y particular. Calcular puntos de equilibrio y analizar la estabilidad asintótica de sistemas biológicos. Integrar ecuaciones no lineales mediante descomposición en fracciones simples para describir poblaciones con captura. PIÉNSALO ANTES DE LEER 25 ¿Por qué la concentración de un fármaco suministrado por goteo continuo no se acumula de forma indefinida hasta el infinito?

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Una ecuación diferencial lineal de primer orden presenta la estructura canónica: Su resolución completa se descompone en dos elementos: dx/dt = -q / x(t) a) dx/dt = q · x(t) b) dx/dt = -V / (q x(t)) c) dx/dt = -q · (x(t) / V) d) + dx dy p(x)y = q(x) Solución homogénea ( ): Se resuelve la ecuación igualada a cero por separación de variables: 1 y h y + p(x)y = 0 = y dy p(x) dx y = h Ce p(x) dx Solución general ( ): Se suma una solución particular conocida o hallada ( ), de modo que .

2 y y p y = y + h y p Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 13 EJEMPLO Dada la ecuación (es decir, ): Administración intravenosa continua de fármacos Cuando se infunde un fármaco por goteo continuo a una tasa constante , mientras se elimina por metabolismo de forma proporcional a la cantidad presente con tasa relativa (siendo ), la concentración en sangre cumple: COMPRUEBA 26 ¿Qué significado biológico tiene el cociente en la infusión de un fármaco? y = 2y 3e x y 2y = 3e x Comprobación de solución particular: Comprobemos si satisface la ecuación. Derivando: . Evaluando el segundo miembro: . La igualdad se cumple idénticamente.

1 y (x) = p e x y (x) = e x 2(e ) x 3e = x e x Solución homogénea asociada: Resolvemos : 2 y = 2y = y dy 2 dx ln y = 2x + C y = h Ce2x Solución general: Superponiendo ambas partes: 3 y(x) = Ce + 2x e x b a a, b > 0 x(t) = dt dx ax + b Puntos de equilibrio: Se imponen condiciones estacionarias haciendo : 1 = dt dx 0 0 = ax + b x = eq a b Evolución temporal con concentración inicial nula ( ): Separando variables: Despejando la concentración: Dado que , obtenemos: 2 x(0) = 0 dx = ax + b 1 1 dt ln a 1 ax + b = t + C x(t) = a b e a C at x(0) = 0 0 = a b a C C = b x(t) = (1 a b e ) at Comportamiento asintótico: Al prolongar indefinidamente la administración: La gráfica de la concentración es monótona creciente desde 0 y se aproxima asintóticamente a su nivel de saturación .

3 x(t) = t lim (1 a b 0) = a b a b b/a Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 14 La ecuación logística y modelos con captura En ambientes con recursos finitos, el crecimiento exponencial se ve amortiguado por la capacidad de carga y la tasa intrínseca mediante la ecuación logística: Si una población se somete además a una extracción constante por captura o pesca, la dinámica resultante puede expresarse factorizada según sus puntos críticos.

Consideremos el modelo: ERROR FRECUENTE Al resolver ecuaciones diferenciales algebraicas con fracciones simples, olvidar despejar la función incógnita de la fracción racional tras eliminar los logaritmos, o calcular de forma incorrecta el signo de la constante con las condiciones iniciales.

K r = dt dP rP 1 ( K P ) x(t) = dt dx (x 10 1 9)(x 1) Estados de equilibrio: Anulando la derivada temporal: 1 0 = (x 10 1 9)(x 1) x = 1 9, x = 2 1 Integración mediante fracciones simples: Empleando la descomposición fraccionaria : Tomando exponenciales y redefiniendo la constante: 2 = (x 9)(x 1) 1 8 1 (x 9 1 x 1 1 ) dx = 8 1 ( x 9 1 x 1 1 ) dt 10 1 ln = 8 1 x 1 x 9 + 10 t C ln = x 1 x 9 + 5 4t C = x 1 x 9 Ce 5 4t x(t) = 1 Ce 5 4t 9 Ce 5 4t Ajuste con condición inicial : Sustituyendo el valor de la constante: 3 x(0) = 2 2 = 1 C 9 C 2 2C = 9 C C = 7 x(t) = 1 + 7e 5 4t 9 + 7e 5 4t Límite temporal a largo plazo: Cuando , el término exponencial decreciente : 4 t e 5 4t 0 x(t) = t lim = 1 + 0 9 + 0 9 x(t) C Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 15 CAUSAS Y CONSECUENCIAS Goteo constante b Aporte exógeno continuo del principio activo Eliminación metabólica - ax Depuración proporcional a la concentración existente Dinámica asintótica de la infusión continua Crecimiento saturante Curva cóncava x(t) = (b/a)(1 - e^(-at)) Meseta asintótica b/a Estabilización en el punto de equilibrio IDEAS CLAVE Las soluciones de ecuaciones lineales se obtienen superponiendo la solución de la parte homogénea y una solución particular.

Los puntos de equilibrio corresponden a los valores de la variable donde la derivada temporal se anula ( ). En la infusión continua de un fármaco, la concentración se aproxima asintóticamente a . En modelos logísticos con captura, la descomposición en fracciones parciales permite obtener la trayectoria analítica exacta hacia el equilibrio estable. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 27. ¿Cuáles son los estados de equilibrio de la ecuación ? 28. ¿A qué valor tiende con el tiempo la solución del modelo de captura si parte de ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 29. ¿Cómo se determinan los puntos de equilibrio de una ecuación dx/dt = f(x)? 30.

En dx/dt = -ax + b, ¿cuál es la asíntota horizontal cuando t tiende a infinito partiendo de x(0)=0? 31. ¿Qué estructura tiene la ecuación logística clásica con capacidad de carga K? x = 0 b/a = dt dx (x 10 1 9)(x 1) x(0) = 2 Haciendo x = 0 a) Calculando f'(x) = 0 b) Integrando f(x) dx c) Igualando f(x) a 0 d) b / a a) 0 b) b c) a / b d) dP/dt = r/P (1 - K) a) dP/dt = rP(1 - P/K) b) dP/dt = rP - K c) dP/dt = r(P - K) d) Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 16 32. ¿Cuál es la solución homogénea de la ecuación diferencial y' - 2y = 0?

5 Formulario Álgebra matricial y dinámica de poblaciones Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa : matriz cuadrada del sistema; : autovalor (escalar); : matriz identidad Para hallar los valores propios característicos de una matriz de proyección demográfica. : vector propio no nulo asociado a Para calcular los autovectores y definir las proporciones estables de la población. : matriz de paso con autovectores en columnas; : matriz diagonal de autovalores; : etapas de tiempo Para calcular potencias de una matriz y proyectar la dinámica poblacional a largo plazo.

: tasas de supervivencia y transición; : fertilidad Para obtener los autovalores de la matriz poblacional estructurada de dos estadios. : número reproductivo básico ( : crece; : decrece) Para determinar el umbral crítico de viabilidad y persistencia demográfica. Cálculo integral y métodos de integración Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa : función acumulación; : función integrando continua Para derivar funciones acumuladas expresadas en forma de integral definida. : cualquier primitiva continua tal que ; : límites de integración Para evaluar numéricamente el área neta o valor acumulado mediante la regla de Barrow.

y = C a) e 2x y = 2x + C b) y = C c) e2x y = C d) ex/2 det(A λI) = 0 A λ I (A λI)u = 0 u λ A = P DP 1 A = n P D P n 1 P D n λ = ± 2 a ± 2 a +4a b 2 2 1 a , a 1 2 b R = 0 a b 1 R 0 R > 0 1 R < 0 1 F (x) = f(t)dt a x F (x) = f(x) F (x) f(t) f(x)dx = a b G(b) G(a) = [G(x)] a b G(x) G (x) = f(x) a, b Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 17 Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa : funciones diferenciables continuas; : diferenciales respectivas Para integrar productos de funciones algebraicas, exponenciales o trigonométricas no inmediatas. : constantes reales con ; : constante de integración Para integrar términos lineales simples en el denominador.

: raíz del denominador; : multiplicidad entera con Para integrar denominadores lineales repetidos o con potencia superior a uno. Descomposición en fracciones simples: Factorizar Plantear Calcular coeficientes Integrar cada término : polinomios con grado de menor que ; : raíces reales simples Para integrar cocientes de polinomios racionales mediante primitivas logarítmicas. : superficie; : distancia; : emisión inicial; : tasa de decaimiento Para calcular la dosis total de radiación absorbida durante un tiempo indefinido.

Ecuaciones diferenciales y modelos biológicos Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa Separación de variables: Agrupar Integrar ambos miembros Despejar la función incógnita : factores dependientes de cada variable por separado Para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de la forma . : tamaño poblacional; : tasa neta; : población inicial Para describir crecimientos poblacionales exponenciales ilimitados (modelo de Malthus). : temperatura corporal; : temperatura del medio; : constante térmica Para calcular el enfriamiento o calentamiento de un cuerpo en un entorno a temperatura constante.

Balance de materia: Calcular Plantear Separar variables e integrar Hallar con : soluto presente; : volumen de líquido; : caudales de entrada y salida Para determinar la masa y concentración de contaminante o soluto en depósitos homogéneos.

u dv = uv v du u, v du, dv dx = ax+b 1 ln ax + a 1 b + C a, b a = 0 C dx = (x a)n 1 + (n 1)(x a)n 1 1 C a n n = 1 Q(x) = Q(x) P(x) x a i A i A i P (x), Q(x) P Q a i lim e dt = T 0 T 4πr2 AN 0 λt 4πr λ 2 AN 0 A r N 0 λ dy = g(y) 1 f(x)dx y(x) f(x), g(y) y = f(x)g(y) = dt dP kP P (t) = Cekt P (t) k C = P (0) = dt dT k(T T ) ambient T(t) = T + ambient Cekt T(t) T ambient k V (t) = V + 0 (q in q )t out = dt dx q out V (t) x(t) C x(0) x(t) V (t) q , q in out Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 18 Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa Ecuación lineal de 1.er orden: Resolver homogénea Sumar solución particular conocida : coeficientes continuos; : solución homogénea; : solución particular Para obtener la solución general de ecuaciones lineales no homogéneas .

: concentración en sangre; : ritmo de infusión; : tasa de eliminación; Para modelizar la acumulación y meseta asintótica ( ) de un fármaco administrado por goteo continuo. Puntos de equilibrio y modelos con captura: Resolver Descomponer en fracciones simples Integrar para deducir la trayectoria asintótica : estados estacionarios independientes del tiempo; : densidad poblacional Para identificar equilibrios ecológicos y estudiar la evolución de poblaciones bajo captura constante. Errores típicos Olvidar el signo negativo al integrar fracciones con coeficientes negativos en el denominador, como .

En problemas de balance de mezclas con evaporación, restar el caudal evaporado en el volumen pero incluirlo erróneamente en el caudal de salida de soluto (la evaporación es de agua pura y no retira soluto). Confundir la constante de integración con la temperatura inicial en la ley de enfriamiento de Newton: la condición inicial completa es , por lo que . Al aplicar diagonalización , multiplicar la matriz completa en vez de simplemente elevar a la potencia los elementos de la diagonal de .

y + h p(x)y = h 0 y(x) = y (x) + h y (x) p p(x), q(x) y h y p y + p(x)y = q(x) = dt dx ax + b x(t) = (1 a b e ) at x(t) b a x(0) = 0 b/a = dt dx 0 x , x 1 2 x(t) dx = ax+b 1 ln a 1 ax + b + C V (t) C T(0) = T + ambient C C = T(0) T ambient A = n P D P n 1 n D Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 19 Soluciones de las preguntas de repaso 1. Mediante la diagonalización de la matriz de transición, que permite elevarla directamente a la potencia n usando sus valores y vectores propios. 2. Porque elevar una matriz diagonal a la potencia consiste únicamente en elevar cada uno de sus elementos diagonales a , evitando multiplicar la matriz completa repetidas veces. 3.

La ecuación es , cuyas raíces determinan los valores propios del sistema. 4. Significa que la tasa neta de reemplazo generacional es deficitaria, por lo que la población tenderá a disminuir con el paso de las etapas. 5. c) det(A - λI) = 0. Los valores propios son exactamente las raíces de la ecuación característica det(A - λI) = 0. 6. b) P D P ¹. Al multiplicar A sucesivamente por sí misma, los productos intermedios P ¹P se cancelan, quedando P D P ¹. 7. c) R < 1. Un valor de R menor que la unidad implica que la población decrece en el tiempo. 8. a) a b. El número reproductivo básico del modelo se define directamente como el producto R = a b. 9.

Se calcula evaluando la integral definida de la tasa de decaimiento en un intervalo finito y tomando el límite cuando el tiempo tiende a infinito. 10. Por el Teorema Fundamental del Cálculo, la derivada de la función acumulación coincide exactamente con la función integrando: . 11. Es , donde aparece el factor por la regla de la cadena. 12. Da un valor finito igual a , dado que el término exponencial tiende a cero. 13. d) f(x). El Teorema Fundamental del Cálculo garantiza que F'(x) = f(x). 14. a) u dv = u v - v du. La expresión estándar obtenida al integrar la regla del producto es u dv = u v - v du. 15. c) arctan(x) + C.

La derivada de la función arcotangente es 1/(1+x²), por lo que su primitiva es arctan(x) + C. 16. a) Tiende a 0. Al ser un exponente negativo con límite temporal infinito, la exponencial decae hacia cero. 17. La cantidad de sal decae continuamente siguiendo una ecuación diferencial en la que la pérdida es proporcional a la concentración en cada instante. 18. Si la temperatura del cuerpo es superior a la ambiental ( ) y el cuerpo se enfría ( ), el parámetro debe resultar negativo para asegurar un decaimiento térmico. 19. Porque el vapor de agua no arrastra contaminante ni soluto consigo; únicamente reduce el volumen total del líquido, aumentando su concentración. 20.

Representa el tamaño inicial de la población evaluado en el instante inicial , es decir, . 21. b) P(t) = C . Al separar dP/P = k dt e integrar, se obtiene la función exponencial clásica P(t) = C . 22. b) T(t) = T_amb + C . La solución desplazada por la constante del medio ambiente es T(t) = T_amb + C . 23. b) V(t) = V + (q_in - q_out)t. La variación del volumen es la diferencia neta de caudales multiplicada por el tiempo transcurrido. D n n λ 2 a λ 2 a b = 1 0 F (x) F (x) = f(x) ln ax + a 1 b + C a 1 4πr λ 2 AN 0 e λT T > T ambient dT/dt < 0 k t = 0 P (0) = C ekt ekt ekt ekt Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 20 24. d) dx/dt = -q · (x(t) / V).

La tasa de pérdida de soluto es el caudal de salida multiplicado por la concentración actual x(t)/V. 25. Porque el organismo elimina el fármaco a un ritmo proporcional a su concentración en sangre, alcanzando un equilibrio estable donde entrada y eliminación se igualan. 26. Representa la concentración de equilibrio o meseta donde la velocidad de administración constante se balancea exactamente con la velocidad de eliminación metabólica . 27. Los equilibrios se obtienen haciendo la derivada igual a cero, resultando en y . 28. Tiende a 9, ya que los términos exponenciales con signo negativo se extinguen en el límite hacia infinito. 29. d) Igualando f(x) a 0.

Un estado estacionario o de equilibrio se caracteriza por una velocidad de cambio nula: dx/dt = 0. 30. a) b / a. La solución x(t) = (b/a)(1 - ) tiende directamente a b/a al anularse la componente exponencial. 31. b) dP/dt = rP(1 - P/K). La formulación clásica incluye el factor saturante (1 - P/K) multiplicando al ritmo intrínseco rP. 32. c) y = C . Separando dy/y = 2 dx e integrando se llega a ln"y" = 2x + C, lo que genera y = C . b ax x = 1 9 x = 2 1 e at e2x e2x Matemáticas para Biología: Matrices, Integrales y EDO 21