Apunts de Física UAB: per a Biologia UAB: apunts del 2n…

Electromagnetisme, ones i so, òptica, quàntica i nuclear amb aplicacions a biologia (ull, oïda, dosimetria). Esquemes, 52 preguntes de test i formulari.

Electromagnetisme — Camp elèctric, potencial i capacitat

L'electromagnetisme constitueix un dels pilars fonamentals de la física moderna. La interacció electrostàtica descriu com s'atreuen o es repel·leixen els cossos dotats de càrrega elèctrica en repòs i és responsable de la immensa majoria dels fenòmens macroscòpics de contacte, des de les tensions mecàniques i la fricció fins a l'estabilitat dels enllaços químics i el transport d'ions en membranes biològiques.

Esquema

Estructura del tema: Camp elèctric, potencial i capacitat

⚡Interacció i CampLlei de Coulomb i camp vectorial E

📐Llei de CoulombForça inversament proporcional a r²

↗️Línies de campVector E tangent i densitat de línies

🔋Energia i PotencialTreball conservatiu, voltatge i plaques planes

📈Potencial elèctricRelació W = -q ΔV

⏸️Camp uniformeE = |ΔV| / d entre plaques

🧪Dispositius i AplicacionsCondensadors, dipols i electroforesi

📦CondensadorsC = Q / ΔV i efecte del dielèctric

🔄Dipols elèctricsMoment de gir i alineació

🔬ElectroforesiEquilibri elèctric i Stokes

1. Fonaments de la interacció electrostàtica: Llei de Coulomb

A la natura existeixen quatre forces fonamentals: gravitatòria, electromagnètica, nuclear forta i nuclear feble. A escala atòmica i cel·lular, la força elèctrica domina completament sobre la gravitatòria, que resulta menyspreable a causa de la petitesa de les masses implicades. A diferència de la massa (sempre positiva i estrictament atractiva), la càrrega elèctrica es presenta en dos signes oposats: positiva ( $+$ ) i negativa ( $-$ ).

La llei experimental que descriu la interacció mútua entre dues càrregues puntuals en repòs és la llei de Coulomb. Si dues càrregues puntuals $q_a$ i $q_b$ estan separades per una distància $r$ en un medi determinat, el mòdul de la força que s'exerceixen mútuament ve donat per:

F_e = k \frac{|q_a q_b|}{r^2}

On la constant de proporcionalitat $k$ s'expressa en funció de la permitivitat elèctrica del medi:

k = \frac{1}{4\pi \varepsilon}

Al buit (o en l'aire amb una precisió excel·lent), la permitivitat val $\varepsilon_0 \approx 8{,}85 \times 10^{-12} \text{ C}^2\text{/(N}\cdot\text{m}^2\text{)}$ , de manera que $k \approx 8{,}99 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2\text{/C}^2$ (habitualment arrodonit a $9 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2\text{/C}^2$ ). La unitat de càrrega elèctrica al Sistema Internacional és el Coulomb (C).

Signe relatiu	Naturalesa del vector força	Comportament cinemàtic
Càrregues del mateix signe ( $+ +$ o $- -$ )	Sentits oposats cap a l'exterior de la línia d'unió	Repulsió mútua
Càrregues de signe contrari ( $+ -$ )	Sentits oposats dirigits cap a l'interior	Atracció mútua

Exemple

Calculem la força electrostàtica entre un protó ( $q_1 = +1{,}60 \times 10^{-19} \text{ C}$ ) i un electró ( $q_2 = -1{,}60 \times 10^{-19} \text{ C}$ ) separats una distància típica d'un enllaç atòmic $r = 1{,}0 \times 10^{-9} \text{ m}$ (1 nm) en el buit:

F_e = (8{,}99 \times 10^9) \frac{(1{,}60 \times 10^{-19})^2}{(1{,}0 \times 10^{-9})^2} = 2{,}30 \times 10^{-10} \text{ N} = 0{,}23 \text{ nN} = 230 \text{ pN}

En tractar-se de signes oposats, es tracta d'una força neta d'atracció al llarg de l'eix que els uneix.

Si reduïm a la meitat la distància entre dues càrregues puntuals idèntiques, què li passa a la intensitat de la força repulsiva?

La força es quadruplica, ja que segons la llei de Coulomb la força és inversament proporcional al quadrat de la distància: si

r' = r/2

, aleshores

F' = F / (1/2)^2 = 4F

2. Concepte de camp elèctric i línies de força

Per evitar haver de fer servir parelles de càrregues en tot moment, introduïm el concepte de camp elèctric ( $\vec{E}$ ). El camp elèctric és una pertorbació vectorial de l'espai generada per una distribució de càrrega. Defineix la força que experimentaria una càrrega de prova positiva unitària ( $+1 \text{ C}$ ) col·locada en qualsevol coordenada:

\vec{E} = \frac{\vec{F}_e}{q} \implies \vec{F}_e = q\vec{E}

Per a una càrrega puntual única $Q$ a l'origen, el camp a una distància $r$ té mòdul:

E = k \frac{|Q|}{r^2}

Si hi ha diverses càrregues en el medi, el camp total en qualsevol punt resulta de la suma vectorial de cada camp individual, seguint el principi de superposició ( $\vec{E}_{\text{tot}} = \sum \vec{E}_i$ ).

Les línies de camp elèctric permeten visualitzar aquest vector de manera intuïtiva:

Són tangents en cada punt al vector camp elèctric $\vec{E}$ .
Neixen a les càrregues positives (manantials) i moren a les càrregues negatives (embornals).
La seva densitat espacial és proporcional a la intensitat del mòdul del camp elèctric.
No es poden creuar mai, ja que en un mateix punt l'espai només té un únic vector camp elèctric resultant.

3. Treball electrostàtic, energia potencial i potencial elèctric

La força electrostàtica és una força conservativa, la qual cosa implica que el treball efectuat sobre una càrrega quan es mou d'un punt $A$ a un punt $B$ no depèn del camí seguit, sinó exclusivament de les posicions inicial i final:

W_{A \to B} = \int_A^B \vec{F}_e \cdot d\vec{r} = -\Delta U = -(U_B - U_A)

Per a dues càrregues puntuals $q_1$ i $q_2$ , l'energia potencial elèctrica ( $U$ ) fixant el zero a l'infinit ( $U(\infty) = 0$ ) s'expressa com:

U = k \frac{q_1 q_2}{r}

D'aquí podem definir el potencial elèctric ( $V$ ) com l'energia potencial per unitat de càrrega positiva:

V = \frac{U}{q} = k \frac{Q}{r}

La seva unitat al Sistema Internacional és el Volt ( $1 \text{ V} = 1 \text{ J/C}$ ). El canvi d'energia potencial que experimenta una càrrega $q$ en moure's entre dos punts amb una diferència de potencial $\Delta V = V_f - V_i$ és:

\Delta U = q \Delta V \implies W_{\text{camp}} = -q \Delta V

Tipus de càrrega	Tendència espontània d'evolució	Objectiu físic fonamental
Càrrega positiva ( $q > 0$ )	Es desplaça cap a potencials menors ( $\Delta V < 0$ )	Minimitzar la seva energia potencial ( $\Delta U < 0$ )
Càrrega negativa ( $q < 0$ )	Es desplaça cap a potencials més alts ( $\Delta V > 0$ )	Minimitzar la seva energia potencial ( $\Delta U < 0$ )

Exemple

A la membrana interna d'un mitocondri, la diferència de potencial elèctric transmembrana és d' $-80 \text{ mV}$ ( $\Delta V = V_{\text{int}} - V_{\text{ext}} = -80 \times 10^{-3} \text{ V}$ ). Quina energia s'allibera quan un protó ( $q = +1{,}60 \times 10^{-19} \text{ C}$ ) passa espontàniament de l'exterior a l'interior?

L'energia alliberada correspon a la disminució d'energia potencial ( $-\Delta U$ ):

-\Delta U = -q \Delta V = -(1{,}60 \times 10^{-19} \text{ C}) \cdot (-0{,}080 \text{ V}) = 1{,}28 \times 10^{-20} \text{ J}

Error freqüent

Un error greu i recurrent a l'examen és oblidar el signe negatiu a la relació de forces conservatives: $W_{\text{camp}} = -\Delta U = -q\Delta V$ . Si el camp elèctric empeny espontàniament una càrrega positiva de major a menor potencial ( $\Delta V < 0$ ), el treball fet pel camp és positiu ( $W > 0$ ) i l'energia potencial del sistema disminueix ( $\Delta U < 0$ ). No confongueu mai el treball del camp amb el treball que hauria de fer un agent extern per frenar o moure la càrrega contra les forces del camp ( $W_{\text{ext}} = +\Delta U$ ).

Un electró és alliberat des del repòs en una regió amb camp elèctric. Es mourà cap a regions de major o de menor potencial elèctric? Què passarà amb la seva energia potencial?

Es mourà cap a regions de major potencial elèctric (

V_f > V_i

), perquè la força

\vec{F} = q\vec{E}

té sentit contrari al camp. En conseqüència, la seva energia potencial elèctrica disminuirà (

\Delta U = q\Delta V < 0

), transformant-se en energia cinètica.

4. Camp uniforme entre plaques paral·leles i relació amb el potencial

Si considerem dues plaques conductores planes, paral·leles i molt grans comparades amb la distància que les separa $\Delta x$ , amb càrregues oposades $+Q$ i $-Q$ distribuïdes homogèniament en una superfície $S$ , la densitat superficial de càrrega val $\sigma = Q/S$ .

A l'interior de les plaques, els components transversals del camp es cancel·len mútuament i s'obté un camp elèctric uniforme (constant en mòdul, direcció i sentit):

E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0 S}

Com que la força és constant ( $F_e = qE$ ), el treball per desplaçar una càrrega en paral·lel al camp al llarg d'una distància $\Delta x$ és $W = qE\Delta x$ . Igualant-ho a $W = -q\Delta V$ , deduïm la relació fonamental:

E = -\frac{\Delta V}{\Delta x} \implies |\Delta V| = E \cdot \Delta x

El signe negatiu recorda que el vector camp elèctric apunta sempre en el sentit en què el potencial elèctric decreix amb major rapidesa.

5. Capacitat elèctrica i condensadors

Un condensador és un dispositiu format per dos conductors separats per un aïllant (o buit) dissenyat per acumular càrrega elèctrica i emmagatzemar energia potencial electrostàtica. La relació entre la càrrega acumulada $Q$ a les armadures i la diferència de potencial $\Delta V$ entre elles s'anomena capacitat ( $C$ ):

C = \frac{Q}{\Delta V}

La seva unitat al SI és el Farad ( $1 \text{ F} = 1 \text{ C/V}$ ). Per a un condensador pla format per plaques d'àrea $S$ separades per una distància $d$ :

C = \frac{Q}{E \cdot d} = \frac{\sigma S}{\left(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\right) d} = \varepsilon_0 \frac{S}{d}

Esquema d'un condensador pla amb plaques paral·leles carregades amb +Q i -Q.

Si s'introdueix entre les armadures un material aïllant (dielèctric) de permitivitat relativa $\varepsilon_r > 1$ , les molècules del medi es polaritzen i generen un camp intern que s'oposa al camp extern. Com a resultat, la capacitat del dispositiu augmenta proporcionalment:

C = \varepsilon_r C_0 = \varepsilon \frac{S}{d}

L'energia emmagatzemada ( $U$ ) al camp elèctric d'un condensador carregat es pot expressar indistintament mitjançant:

U = \frac{1}{2} C (\Delta V)^2 = \frac{1}{2} Q \Delta V = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}

Exemple resolt: Energia de formació d'un parell iònic en medi aquós

Enunciat: Considerem la formació d'un parell iònic entre un ió $\text{Na}^+$ ( $q_1 = +1{,}60 \times 10^{-19} \text{ C}$ ) i un ió $\text{Cl}^-$ ( $q_2 = -1{,}60 \times 10^{-19} \text{ C}$ ) separats a una distància d'equilibri de $0{,}28 \text{ nm}$ . Calculeu l'energia potencial electrostàtica del sistema i el treball necessari per separar-los fins a l'infinit: a) al buit ( $\varepsilon_r = 1$ ), b) en aigua pura a temperatura ambient ( $\varepsilon_r = 80$ ).

Resolució pas a pas:

L'energia potencial electrostàtica ve donada per $U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \frac{q_1 q_2}{r} = \frac{k_e}{\varepsilon_r} \frac{q_1 q_2}{r}$ .
Al buit ( $\varepsilon_r = 1$ ):

$U_{\text{buit}} = (8{,}99 \times 10^9) \frac{(1{,}60 \times 10^{-19})(-1{,}60 \times 10^{-19})}{0{,}28 \times 10^{-9}} = -8{,}22 \times 10^{-19} \text{ J} \approx -5{,}14 \text{ eV}$

El treball extern per separar-los és $W_{\text{ext}} = U_\infty - U_{\text{buit}} = 0 - (-8{,}22 \times 10^{-19}) = +8{,}22 \times 10^{-19} \text{ J}$ .
En aigua pura ( $\varepsilon_r = 80$ ):

$U_{\text{aigua}} = \frac{U_{\text{buit}}}{80} = \frac{-8{,}22 \times 10^{-19} \text{ J}}{80} = -1{,}03 \times 10^{-20} \text{ J} \approx -0{,}064 \text{ eV}$

Aquest càlcul explica per què l'aigua és un solvent tan excel·lent per dissoldre sals: redueix la força i l'energia d'atracció electrostàtica 80 vegades, permetent que l'agitació tèrmica separi els ions amb facilitat.

6. El dipol elèctric en un camp uniforme

Un dipol elèctric és un sistema constituït per dues càrregues d'igual magnitud i signe oposat ( $+q$ i $-q$ ) separades per una distància fixa $\vec{d}$ . Es defineix el moment dipolar elèctric ( $\vec{p}$ ) com:

\vec{p} = q \vec{d}

Per conveni en física, el vector $\vec{d}$ apunta de la càrrega negativa cap a la càrrega positiva. Si introduïm el dipol dins d'un camp elèctric extern uniforme $\vec{E}$ :

Força neta nul·la: $\vec{F}_{\text{tot}} = q\vec{E} + (-q)\vec{E} = \vec{0}$ . El centre de masses del dipol no s'accelera.
Moment de forces o parell de gir ( $\vec{M}$ o $\vec{\tau}$ ): Com que les dues forces actuen sobre línies d'acció diferents, generen un moment que tendeix a girar el dipol fins a alinear-lo paral·lelament al camp:

\vec{M} = \vec{p} \times \vec{E} \implies |\vec{M}| = p E \sin\theta

Esquema del gir d'un dipol elèctric fins a alinear-se amb el camp.

L'energia potencial d'orientació del dipol respecte del camp s'obté mitjançant el producte escalar:

U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -p E \cos\theta

Orientació ( $\theta$ )	Moment de forces ( $M$ )	Energia potencial ( $U$ )	Estat d'equilibri
$\theta = 0^\circ$ (paral·lel)	0	$-pE$ (mínima)	Equilibri estable
$\theta = 90^\circ$ (perpendicular)	$pE$ (màxim)	0	Gir cap a l'alineament
$\theta = 180^\circ$ (antiparal·lel)	0	$+pE$ (màxima)	Equilibri inestable

Per què una molècula polar d'aigua o d'òxid nítric (NO) no surt disparada linealment quan s'aplica un camp elèctric uniforme, però sí que es reorienta?

Perquè en ser el camp uniforme, les forces sobre la càrrega positiva i la negativa tenen el mateix mòdul i sentits oposats, donant una força neta nul·la (

\vec{F}_{\text{tot}} = \vec{0}

). En canvi, el parell de forces

\vec{M} = \vec{p} \times \vec{E}

és no nul quan estan desalineats, provocant una rotació pura.

7. Aplicació biofísica: Electroforesi

L'electroforesi és una tècnica de laboratori fonamental per a la separació i anàlisi de biomolècules carregades (proteïnes, fragments d'ADN i ARN) suspeses en un fluid conductor en aplicar un camp elèctric extern.

Diagrama de forces sobre una partícula durant l'electroforesi en un fluid.

Quan una partícula esfèrica de radi hidrodinàmic $R$ i càrrega neta $q$ es troba sotmesa a un camp $E$ en un fluid de viscositat $\eta$ , sobre ella actuen dues forces en la direcció del moviment:

Força elèctrica motriu: $F_e = qE$ , que accelera la partícula.
Força de fregament fluid (Llei de Stokes): $F_f = 6\pi \eta R v$ (vàlida per a nombre de Reynolds baix, règim laminar).

Molt ràpidament, les dues forces s'equilibren ( $F_e = F_f$ ), assolint un estat estacionari amb una velocitat límit o de deriva constant:

q E = 6\pi \eta R v \implies v = \frac{q E}{6\pi \eta R}

Es defineix la mobilitat electroforètica com la velocitat assolida per unitat de camp elèctric aplicat: $\mu_e = \frac{v}{E} = \frac{q}{6\pi \eta R}$ . Això permet separar molècules segons la seva relació càrrega/mida.

Esquema

Efectes de camps elèctrics sobre càrregues i dipols

🔴Càrrega puntual lliureForça neta no nul·la

🚀Acceleració en buita = qE / m (moviment rectilini)

💧Deriva en fluid viscósVelocitat constant en electroforesi

↔️Dipol elèctricForça neta nul·la en camp uniforme

🔄Parell de gir (torque)M = p x E fins a l'alineació

🎯Energia potencial mínimaEstat estable amb U = -p·E

Examen · 2023 · Pregunta 8 (0.5 punts)

En el espacio comprendido entre las placas de un condensador plano que posee inicialmente una capacidad $C$ , se introduce un material dieléctrico polarizable con una permitividad relativa $\varepsilon_r = 3$ . ¿A qué valor pasa a ser igual la nueva capacidad del dispositivo?

Resolució

La capacitat d'un condensador pla d'àrea $S$ i separació $d$ sense dielèctric ve donada per $C_0 = \varepsilon_0 \frac{S}{d}$ .

Quan s'omple l'espai entre armadures amb un medi dielèctric d'índex o permitivitat relativa $\varepsilon_r$ , la permitivitat absoluta del medi passa a ser $\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$ . Per tant, la nova capacitat $C'$ és:

C' = \varepsilon \frac{S}{d} = \varepsilon_r \left(\varepsilon_0 \frac{S}{d}\right) = \varepsilon_r C_0

Com que l'enunciat especifica $\varepsilon_r = 3$ , la nova capacitat és exactament el triple de la inicial:

C' = 3C

La resposta correcta és que la capacitat s'incrementa fins a tres vegades la capacitat original.

Ara tu

Un condensador pla de capacitat inicial $C_0 = 12 \text{ pF}$ es carrega connectat a una bateria de $10 \text{ V}$ . Posteriorment, es desconnecta de la bateria i s'omple l'espai entre plaques amb un dielèctric de permitivitat relativa $\varepsilon_r = 4$ . Trobeu la càrrega final $Q'$ , la nova diferència de potencial entre plaques $\Delta V'$ i la nova energia acumulada $U'$ .

Passos inicials: Com que el condensador s'ha desconnectat de la font d'alimentació abans d'introduir el dielèctric, la càrrega acumulada no té cap via per escapar-se, de manera que es manté constant ( $Q' = Q_0$ ). Calculeu primer $Q_0 = C_0 \Delta V_0$ .

Què us toca fer: Calculeu la nova capacitat $C'$ , aïlleu el nou voltatge $\Delta V' = Q'/C'$ i calculeu l'energia emmagatzemada $U'$ .

Resolució completa:

1. Càrrega inicial conservada:

Q' = Q_0 = C_0 \Delta V_0 = (12 \times 10^{-12} \text{ F}) \cdot (10 \text{ V}) = 120 \text{ pC} = 1{,}20 \times 10^{-10} \text{ C}

2. Nova capacitat amb el dielèctric:

C' = \varepsilon_r C_0 = 4 \cdot (12 \text{ pF}) = 48 \text{ pF}

3. Nova diferència de potencial:

\Delta V' = \frac{Q'}{C'} = \frac{120 \text{ pC}}{48 \text{ pF}} = 2{,}5 \text{ V}

(El voltatge s'ha reduït a una quarta part: $\Delta V_0 / \varepsilon_r$ ).

4. Nova energia acumulada:

U' = \frac{1}{2} C' (\Delta V')^2 = \frac{1}{2} (48 \times 10^{-12} \text{ F}) \cdot (2{,}5 \text{ V})^2 = 1{,}50 \times 10^{-10} \text{ J} = 150 \text{ pJ}

Comprovació amb l'energia inicial: $U_0 = \frac{1}{2}(12 \text{ pF})(10 \text{ V})^2 = 600 \text{ pJ}$ . L'energia ha disminuït a $U_0 / \varepsilon_r$ pel treball mecànic d'atracció que el camp ha fet per absorbir el dielèctric a l'interior.

Idees clau

La força electrostàtica entre càrregues puntuals compleix la llei de Coulomb i és inversament proporcional al quadrat de la distància.
El camp elèctric representa la força per unitat de càrrega positiva de prova, i el seu sentit sempre s'allunya de les càrregues positives i apunta cap a les negatives.
Com que el camp elèctric és conservatiu, el treball efectuat pel camp compleix $W = -\Delta U = -q \Delta V$ , i les càrregues sempre tendeixen a moure's per reduir la seva energia potencial.
Entre dues plaques paral·leles infinites amb càrregues oposades, el camp elèctric és uniforme ( $E = \sigma / \varepsilon_0$ ) i es relaciona amb la tensió mitjançant $E = |\Delta V| / d$ .
La capacitat d'un condensador ( $C = Q / \Delta V$ ) depèn només de la geometria i del medi dielèctric ( $C = \varepsilon_r \varepsilon_0 S/d$ ).
Un dipol en un camp elèctric uniforme experimenta una força neta nul·la però un parell de rotació $\vec{M} = \vec{p} \times \vec{E}$ que tendeix a alinear-lo amb el camp.
En electroforesi, l'equilibri entre la força electrostàtica i la fricció viscosa de Stokes determina la velocitat constant de deriva de les biomolècules.

Posa a prova el que has après

Com varia la força electrostàtica entre dues càrregues si es triplica la distància que les separa? — Es divideix per nou
Quina trajectòria segueix espontàniament una càrrega negativa lliure en un camp elèctric? — Cap a potencials més alts
Què succeeix quan s'introdueix un dielèctric d'índex εr = 2 en un condensador aïllat? — La capacitat es duplica
De quins factors depèn la velocitat límit assolida per una proteïna esfèrica en una electroforesi? — De la càrrega, radi i viscositat

Electromagnetisme — Corrent elèctric, circuits i circuits RC

L'estudi dels circuits elèctrics constitueix el pont fonamental entre l'electrostàtica estàtica i els fenòmens dinàmics de transport de càrrega. En els sistemes biològics i tecnològics, el moviment ordenat de càrregues elèctriques no solament permet transmetre energia i informació, sinó que governa processos fisiològics essencials com la propagació de l'impuls nerviós i la comunicació cel·lular.

lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do

r adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris

or incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eius

na aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna

s nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostr

s nisi ut aliquip ex

quat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit

ctetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ip

tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur

e magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nost

aboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit

consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore

consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut

usmod tempor incididunt ut labore et dolore magna ali

dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum d

veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed d

mco laboris nisi ut aliquip ex ea

modo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim v

amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ull

do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua

e et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum

inim veniam quis nostrud exercitation ullamco la

ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam q

a commodo consequat

sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad mi

sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut

labore et dolore magna aliqua ut enim a

ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip e

ation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ips

ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consec

dolor sit amet consec

elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo c

t ut labore et dolore magna aliqua ut enim

enim ad minim veniam quis nostrud exercitation

ercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua

iquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit a

psum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna a

scing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut l

didunt ut labore et dol

ua ut enim ad minim v

ud exercitation ullamco laboris n

ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet conse

rem ipsum dolor sit amet

Secció completa amb Premium

Idees clau

na aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat
s nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing
s nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolo
quat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco la
ctetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco

Electromagnetisme — Camp magnètic i forces sobre càrregues

L'estudi del magnetisme analitza la interacció que s'estableix entre càrregues elèctriques en moviment i camps magnètics. A diferència de l'electrostàtica, on les càrregues en repòs generen i pateixen forces elèctriques (vegeu «Electromagnetisme — Camp elèctric, potencial i capacitat»), la força magnètica requereix necessàriament velocitat relativa i presenta una geometria tridimensional única dominada pel producte vectorial.

lorem ipsum dolor sit amet consectetur adi

s nostrud exercitation ullamco l

s nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim a

quat lorem ipsum dolor sit amet consec

ctetur adipiscing elit sed do eiusmod

tempor incididunt ut la

e magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipi

m quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolo

aboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor in

consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusm

usmod tempor incididunt ut labore et dolore magna a

dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit se

veniam quis nostrud exercitation ullamco labor

mco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum

modo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur

amet consectetur adipiscing elit sed do

Secció completa amb Premium

Idees clau

na aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolo
s nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adi
s nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et
quat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt
ctetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis no

Física per a Biologia UAB: apunts del 2n parcial

Índex

Electromagnetisme — Camp elèctric, potencial i capacitat

1. Fonaments de la interacció electrostàtica: Llei de Coulomb

2. Concepte de camp elèctric i línies de força

3. Treball electrostàtic, energia potencial i potencial elèctric

4. Camp uniforme entre plaques paral·leles i relació amb el potencial

5. Capacitat elèctrica i condensadors

6. El dipol elèctric en un camp uniforme

7. Aplicació biofísica: Electroforesi

Idees clau

Posa a prova el que has après

Electromagnetisme — Corrent elèctric, circuits i circuits RC

Idees clau

Electromagnetisme — Camp magnètic i forces sobre càrregues

Idees clau