Guía de Estudio: Cálculo de Hormigón Pretensado

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Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 1. Introducción En este tema, se pretende que el alumno se familiarice con los conceptos básicos del cálculo de hormigón pretensado, fundamental en la industria del prefabricado tanto en edificación como en obra civil. Hoy en día, no se conciben la mayor parte de las construcciones de hormigón sin la utilización de esta técnica que permite el control tanto de fisuración como de deformación del hormigón.

Es decir, permite alcanzar grandes luces, como es el caso de forjados y puentes con elementos prefabricados, así como la utilización del hormigón como elemento de contención de fluidos, gases, etc… en los que se garantizan deformaciones de compresión que impiden la formación de fisuras. Los primeros estudios de hormigón pretensado se deben a Eugène Freyssinet a comienzos del siglo XX, logrando su primera patente en este campo en 1920. Asimismo, es preciso mencionar a los ingenieros Fritz Leondhart (Alemania) y Eduardo Torroja (España), que a partir de mitad del siglo XX dan un impulso notable al uso de la técnica de pretensado sobre todo en la construcción de puentes.

En sí, la idea del sistema es sencilla: "dado que el hormigón fisura fácilmente a tracción y es capaz de resistir tensiones de compresión notables, se plantea introducir tensiones de compresión previas a las que se derivan de las cargas de servicio en aquellas zonas donde se espera que el hormigón pueda traccionar". Para ello, se plantea un sistema autoequilibrado (Principio de Acción-Reacción). Esto es, se utiliza un material elástico previamente deformado mediante estiramiento, de tal forma que al quedar libre dicho material e intentar recuperar su forma sea, el hormigón fraguado el que le impida tal efecto.

En hormigón pretensado se utiliza como material de tesado el acero denominándose acero activo mientras que el utilizado en barra corrugado se denomina acero pasivo. Es decir, mediante el pretensado se transfieren tensiones del acero pretensado al hormigón.

Dependiendo de la técnica empleada para transmitir la carga de pretensado del acero al hormigón, surgen varios sistemas: (i) pretensado con armadura pretesa (sistema preteso), en el que una vez tesada la armadura se vierte el hormigón, quedando ambos materiales adheridos en todo momento; (ii) pretensado con armadura postesa (sistema posteso), en el que el acero de pretensado se coloca a posteriori cuando ha fraguado el hormigón, en el que se dejan vainas o tubos huecos por donde discurre el trazado del acero a estirar; ambos materiales quedan adheridos una vez colocado y estirado el acero mediante inyección de lechada de mortero; y (iii) pretensado exterior, en el que el acero a estirar y el hormigón no quedan adheridos en ninguna fase, pudiendo llevarse a cabo labores de retesado o sustitución de la armadura activa por deterioro.

Si la prefabricación es un campo donde el ingeniero puede desarrollar toda su creatividad, cuando se le une la técnica del pretensado, las posibilidades de resolución del problema ingenieril se multiplican. Por tanto, debe el alumno despertar su curiosidad y poner toda su atención en este tema de crucial importancia tanto en la ingeniería actual como en la futura. Sistemas estructurales controlados por lógica difusa, construidos con un mínimo de recursos pueden adaptarse a las necesidades de carga que exija en el momento, variando la tensión de los tendones de pretensado para garantizar las condiciones de seguridad y servicio.

De esta forma, será posible construir de forma óptima, no solo desde el punto de visto económico sino también técnico, aprovechando al máxima las capacidades de los materiales, lo que sin duda redundará en un desarrollo sostenible con respeto al medio ambiente, tema crucial no solo en el futuro sino ya en el presente. Siéntase el alumno como un ingeniero del Siglo XXI, capaz de aprovechar la técnica de grandes maestros del siglo XX para innovar y ser creativo. Si este tema logra despertar ese sentimiento en el alumno, habrá cumplido con creces su objetivo. Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 2.

Materiales en el Hormigón Pretensado 2.1. Acero activo Uno de los principales problemas que se encontraban los ingenieros al utilizar la técnica del pretensado en sus inicios, era que la tensión que se le podía aplicar al acero de resistencia normal era limitada. Por tanto, ante un leve acortamiento del hormigón producto de la deformación elástica propia de un elemento comprimido o debido a otros efectos (montaje, reológicos, etc.), la tensión de pretensado se reducía de manera drástica.

Por ejemplo, si tomamos un elemento prismático de hormigón (tirante) y le colocamos una barra de acero B400S pretensado al 75% de su límite elástico, resulta la siguiente tensión inicial en el acero: 2 0.75 0.75·400 300N/mm s yk f Si la barra de acero está colocada en el centro de gravedad de la sección del elemento de hormigón, éste último experimentará una compresión pura.

Si la deformación por acortamiento en el hormigón, c, debido a esta compresión más otros factores alcanza el 1 por mil (0.001), el acero que está apoyado en el hormigón (sistema autoequilibrado) se acortará también en dicho valor, s = c = -0.001, produciéndose el siguiente incremento de tensión: 2 · 210.000·( 0.001) 210N/mm s s s E Se pierde por tanto un 70% de la tensión de pretensado. Por tanto, se requería de mucho acero para garantizar unos kN determinados de fuerza de pretensado sobre un elemento determinado. Este problema quedó resuelto mediante la aparición de los aceros de alto límite elástico o alta resistencia.

Estos aceros presentan el mismo módulo de deformación que el acero normal, Es = 210.000 N/mm2 , sin embargo el límite elástico, fp0.1k puede llegar a valores de 1700, 1800 o 1900 N/mm2 . Por tanto, si aplicamos el mismo porcentaje de tensión inicial en este tipo de aceros, por ejemplo al de fp0.1k = 1800, resulta: 2 0.1 0.75 0.75·1800 1350N/mm s p k f Por tanto, para el mismo acortamiento del hormigón y, por tanto, del acero, s = c = -0.001, resulta el mismo incremento de tensión s = -210 N/mm2 . Sin embargo, con el acero de alto límite elástico el porcentaje de pérdida de tesado es de un 15%.

De esta forma, la cantidad de acero a colocar será mucho menor debido tanto a la tensión remanente que queda como al valor de dicha tensión, que sería de 1140 N/mm2 . La norma Código Estructural (CE, 2021) presenta diferentes tipos de aceros de alto límite elástico. Las características fundamentales que se utilizan para definir el comportamiento del acero como armadura activa son: a) Carga unitaria máxima a tracción (fp). b) Límite elástico o de fluencia (fp0.1 y fp0.2, donde 0.1 y 0.2 indican el porcentaje de deformación remanente una vez finalizada la carga sobre el acero). Si no se conoce información más precisa, 0.1 / = 0.9.

El CE propone utilizar fp0.1k como valor de referencia para el cálculo. c) Alargamiento bajo carga máxima ( uk y ud). El valor de cálculo, , propuesto por el CE será igual a 0.02, siendo el valor característico superior. Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 d) Módulo de elasticidad para acero de pretensado (Ep) igual a 205.000 N/mm2 para alambres y barras. Para cordones, Ep puede suponerse igual a 195.000 N/mm2 . El valor real puede variar, lo que debe ser indicado en los certificados que acompañen al suministro. e) Estricción ( ), expresada en porcentaje. f) Aptitud al doblado alternativo (solo para alambres).

g) Relajación de tensiones. Este es un concepto que entra del campo de la Reología, es decir, la variación del estado tenso-deformacional de un elemento con el tiempo. Si la armadura activa presenta una deformación que permanece en el tiempo, esto genera unas tensiones que no son constantes en el tiempo, sino que van disminuyendo. Esta disminución de la tensión con el tiempo cuando un material se somete a deformación constante se denomina Relajación de Tensiones. De alguna forma, las fibras de acero se siguen readaptando ocupando distintas posiciones, que producen menores tensiones con el tiempo.

En el caso extremo, un acero estirado que sabemos que genera una tensión calculada por la ley de Hooke ( E ), con el tiempo podría llegar a quedar con tensión nula debido a este efecto. De ahí que sea muy importante estimarlo con precisión. Para ello, el CE indica procedimientos de cálculo para estimar esta pérdida de tensión del acero con el tiempo, así como valores esperables en función del tipo de armadura activa que se considere de acuerdo al valor de tensión inicial que se aplique. h) Resistencia a la fatiga. i) Susceptibilidad a la corrosión bajo tensión. j) Resistencia a la tracción esviada (solo para cordones de diámetro nominal igual o superior a 13 mm).

Los fabricantes deberán garantizar, como mínimo, las características indicadas en a), b), c), d), g), h) e i). El diagrama de cálculo que se indica en la norma CE es el siguiente: Fig. 1. Diagrama Tensión-deformación de cálculo en las armaduras activas En este diagrama, el valor y,k es la deformación de fluencia característica que corresponde al límite de fluencia característico fp0.1,k que provoca una deformación remanente p0.01k = 0.001. Asimismo, en la Fig.

1 se ha incluido tanto el diagrama característico como el correspondiente al de cálculo para el estado límite último obtenido a partir del primero utilizando el coeficiente de reducción s que suele ser 1.15 salvo que el acero o el producto tengan un DCOR y a la vez la ejecución de la estructura tenga un control intenso, en cuyo caso puede llegar hasta 1.10. Por tanto, el valor de cálculo será: Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 = 0.1, (1) El valor de cálculo de la deformación última se estima como = 0.9 . Si no se conoce información más precisa, el valor = 0.02 y 0.1, / = 0.9.

Según el CE, el cálculo también podrá basarse en un diagrama tensión-deformación real, si es conocido, con una tensión por encima del límite elástico reducido, o una rama horizontal superior sin límite de deformación. El acero activo se denomina con la letra "Y", seguido de un número que indica la carga máxima de rotura, fp,k. Distingue los siguientes productos de acero para las armaduras activas: a) Alambres: producto de sección maciza, liso o grafilado (con muescas), que normalmente se suministra en rollo. Los alambres disponibles van desde Y 1570 C al Y 1860 C. Los diámetros alcanzan valores entre 3 y 10 mm. El valor del límite elástico estará en un rango de 0.2 0.85 0.95 pk p k pk f f f .

b) Barra: producto de sección maciza que se suministra solamente en forma de elementos rectilíneos. Son barras de acero natural, en los que, si la carga de tesado es igual al 70% de fpk, la relajación de tensiones a 1000 horas a una temperatura de 20º C 1º C no excederá del 3%. Se exige que fp,k 980 N/mm2 . El límite elástico estará comprendido entre los valores 0.2 0.75 0.90 pk p k pk f f f , exigible al fabricante. c) Cordón: producto formado por un número de alambres arrollados helicoidalmente, con el mismo paso y el mismo sentido de torsión, sobre un eje ideal común. A la denominación "Y" más el fp,k se le añade una "S" con un número que indica el número de alambres que forman el cordón.

Suele ser usual el Y 1860 S7 de 0.6" de diámetro norminal (0.6 pulgadas que equivalen a 15.24 mm). El diámetro nominal es el de la circunferencia que circunscribe al conjunto de alambres. Por tanto, el área de acero no se puede calcular con este diámetro. Debe ser proporcionada por el fabricante del cordón o calculada en función del área de los alambres que componen el mismo. El límite elástico deberá estar comprendido entre los valores , 0.2, , 0.88 0.95 p k p k p k f f f , siendo exigible por la Dirección Facultativa a cualquier fabricante. En todos los casos, para valores de tesado inicial menores al 60% de fmax, la relajación de tensiones a 1000 horas debe ser despreciable.

Para ese valor, se producen relajaciones en torno al 1% para alambres y cordones o 2% para barras. Para tiempo superior a 1000 horas, se puede tomar como valor de relajación final en torno a 2.9 veces la relajación a 1000 horas. 2.2. Acero Pasivo Es el mismo tipo de acero corrugado en barra que se utiliza en hormigón armado. Puede ser del tipo B400 o B500, donde la magnitud numérica hace referencia en este caso al límite elástico del acero. 2.3. Hormigón El hormigón se denomina según el CE con las siglas "HP" correspondientes a Hormigón Pretensado.

De acuerdo a esta instrucción, los hormigones con resistencia característica a 28 días, fck, superior a 50 N/mm2 se consideran de alta resistencia, llegando según la norma hasta el valor de 100. En la técnica del hormigón pretensado, suele ser habitual emplear hormigones de resistencia elevada, necesaria para soportar las compresiones adicionales derivadas de la carga de pretensado que se considera.

Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 El hormigón se denomina según la siguiente estructura: HP-R/C/TM/A, donde R es la resistencia característica del hormigón, C es la consistencia, TM es el tamaño máximo del árido y A es el ambiente. Ejemplo: HP-50/B/15/XC4-XD3. La novedad del CE para determinar el tipo de ambiente, es que se pueden incluir varias catalogaciones para definirlo.

El CE establece un valor de la resistencia característica en función del tiempo: ( ) = ( ) 8 ( N mm2 ) 3 < < 28 días ( ) = ( N mm2 ) 28 días (2) donde fcm (t) es la resistencia media del hormigón a t días, evaluada mediante la siguiente expresión: ( ) = = ( + 8) ( N mm2 ) ( ) = { [1 ( 28 ) 1/2 ]} (3) donde s es un coeficiente que depende del tipo de cemento (=0.20 para cementos resistentes CEM 42.5 R, CEM 52.5 N y CEM 52.5 R (Clase R); =0.25 para cementos de clases resistentes CEM 32.5 R, CEM 42.5 N (Clase N); =0.38 para cementos de clase resistente CEM 32.5 N (Clase S).

La resistencia a tracción se puede calcular de manera simplificada, como propone el CE en la Tabla A19.3.1: ,0.05 = 0.70 , = 0.70 · 0.30 2 3 = 0.21 2 3 50 N mm2 ,0.05 = 2.12 ln (1 + ( 10 )) = 2.12 ln (1 + ( + 8 10 )) > 50 N mm2 (4) Hay que aclarar, que en la Ec. (4) se ha utilizado la expresión de fct,m a tracción. El CE proporciona una expresión para el cálculo resistencia media a flexotracción, fct,m,fl, que utiliza para calcular el momento de fisuración en los estados límite de servicio de fisuración y deformación. Se define como sigue: , , , , max 1.6 /1000 ; ct m fl ct m ct m f h f f (5) donde h es el canto del elemento en mm.

Sin embargo, el CE no proporciona un valor característico de cálculo a flexotracción (menor que el medio, pues corresponde al percentil 5%). Por tanto, salvo prescripción en contra, se utilizará como resistencia característica de cálculo a tracción el valor proporcionado por la Ec. (4). Además, el CE establece que la resistencia a tracción del hormigón se puede estimarse a partir de la resistencia a tracción indirecta, fct,sp, obtenida en el ensayo brasileño, mediante la expresión = 0.9 , .

Los valores de deformación última de cálculo a compresión simple son los siguientes: Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 2 = 0.002 si 50 / 2 2 = 2.0 + 0.85( 50)0.53 si > 50 / 2 (6) Los valores de deformación última a flexo-compresión son los siguientes: 2 = 0.0035 si 50 / 2 2 = 2.6 + 35[(90 )/100]4 si > 50 / 2 (7) El valor de cálculo de la resistencia a compresión (fcd) y tracción (fctd) del hormigón se calcularán mediante las siguientes expresiones: = = ,0.05 (8) donde cc es el coeficiente de cansancio del hormigón que toma valores entre 0.85 y 1.00 y c es el coeficiente de minoración del hormigón que toma valor normal de 1.50, pudiendo llegar a 1.35 si tiene DCOR y existe control intenso en la puesta en obra.

El módulo de deformación longitudinal del hormigón a 28 días que se considera en el cálculo, es el secante Ecm , definido por el CE como sigue: = 22000 ( + 8 10 ) 0.3 (MPa) (9) La variación del módulo de elasticidad en función del tiempo, se puede estimar según el CE mediante la expresión ( ) = (( ( ))/ )0.3 , donde fcm (t) se calcula con la Ec. (3). El CE indica que el módulo de deformación tangente, Ec, puede estimarse como 1.05Ecm. 3. Sistemas de Pretensado En hormigón prefabricado, se puede utilizar cualquiera de los sistemas de pretensado mencionados anteriormente, esto es, sistema preteso, sistema posteso o pretensado exterior.

El último de los mencionados, se ha analizado en las uniones viga-pilar de estructuras porticadas prefabricadas. Es muy importante, que el alumno asimile todas las fases y características particulares de cada sistema pues tiene influencia directa en el procedimiento de cálculo del hormigón pretensado. 3.1. Pretensado con sistema preteso En este sistema es el típico que se utiliza en la producción de prefabricados de manera industrializada en una instalación fija con la maquinaria necesaria para lograr una producción en cadena. Sobre bancadas o moldes la armadura de trazado recto (Fig.

2) es estirada mediante gatos hidráulicos, colocándose a su Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 vez el armazón o jaula de armadura pasiva. A continuación, se procede al hormigonado de la remesa de elementos de la bancada en la que la armadura permanece tesada. Una vez se ha producido el hormigonado, se procede al vibrado usualmente mediante mesa vibrante para su correcta compactación. A continuación, se procede a realizar un curado intenso mediante riego periódico y, cuando es factible, introducción de los elementos hormigonados en cámaras con estufas para tratamiento higrométrico y de temperatura.

En general, a las 24-48 horas se suele producir el destesado de los gatos, transmitiéndose la tensión al hormigón mediante adherencia. Por lo tanto, las características principales a destacar de este sistema son las siguientes: a) El acero y el hormigón están adheridos desde el principio. b) Cuando cesa la tensión proveniente de los gatos de tesado, se transmite la carga de pretensado al hormigón y, por tanto, si el trazado del cable no está centrado en la sección se moviliza el peso propio como carga que actúa junto al pretensado. El peso propio actúa sobre el elemento estando la armadura activa adherida al hormigón. Es decir, el peso propio actúa con el elemento macizado sin hueco alguno.

c) El trazado de la armadura activa es recto. Ejemplos de elementos pretensados realizados con este sistema: traviesas pretensados de ferrocarril, placas para falso túnel y revestimiento de túnel con tuneladora, placas alveolares, viguetas pretensadas, vigas para puentes etc. Fig. 2. Bancada de hormigonado con armadura activa en viguetas pretensadas 3.2. Pretensado con sistema posteso Este sistema es más utilizado en la propia obra. No obstante, también puede ser utilizado tanto en parques de prefabricación fijos (Fig. 3) como los provisionales (Fig. 4) que se montan en obras de envergadura como es el caso de una autovía con numerosos puentes de vigas prefabricadas.

Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 Fig. 3. Viga postesada en parque de prefabricados fija Fig. 4. Viga postesada en parque de prefabricados provisional En este caso, el trazado de la armadura activa no tiene por qué ser recto, siendo usual realizar trazados parabólicos para compensar total o parcialmente las leyes de momento flector que producen las cargas externas. Siguiendo dicho trazado, se colocan vainas o tubos de tal forma que cuando se hormigona el elemento quedan huecos (Fig. 5).

Una vez que el hormigón adquiere la resistencia requerida, se enfilan los cordones de acero activo por las vainas y se tesan con gatos hidráulicos desde los extremos. Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 Fig. 5. Trazado parabólico de vainas para pretensado con sistema posteso Para poder realizar el tesado con los gatos, es necesario utilizar piezas especiales troncocónicas denominadas trompetas de tesado por donde los cordones se enfilan (Fig. 6). En ese instante, si el trazado de la armadura no está centrado en la sección transversal, se moviliza el peso propio. Fig. 6.

Trompeta de tesado en sistema posteso Una vez que se ha realizado el tesado a la tensión requerida, se sueltan los cables los cuales intentan retraer. Sin embargo, gracias a la acción de las cuñas de anclaje cada cordón queda aprisionado en la corona de las trompetas de tesado, imposibilitando el retroceso de los cordones. A continuación, se procede a inyectar las vainas con morteros de cemento especiales para ello, de tal forma que la armadura quede envuelta en pasta de mortero con el hueco de la vaina macizado. De esta forma, en este sistema hay que destacar lo siguiente: a) El acero y el hormigón no están adheridos en todas las fases. Solo cuando se inyectan las vainas.

b) Cuando se realiza el tesado, las vainas no están inyectadas y por tanto el peso propio se moviliza cuando existen huecos formados por las propias vainas. Es decir, el peso propio actúa sobre la sección hueca (denominada también neta). Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 c) El resto de carga permanente y sobrecargas de uso actúan sobre sección macizada, puesto que al finalizar el tesado las vainas se inyectan con mortero de cemento. 3 d) El trazado de la armadura activa puede ser recto o curvo (en general parabólico). En caso de realizar trazados curvas, es muy importante realizar un replanteo muy preciso del mismo.

e) Son necesarias piezas auxiliares como cuñas de anclaje, trompetas de tesado y tubos para inyectado de mortero. 4. Objetivos de Proyecto con Hormigón Pretensado Una vez analizadas las técnicas de tesado que se pueden aplicar, es posible imaginar e ingeniar como se pueden utilizar éstas para la resolución del problema ingenieril. A diferencia del hormigón armado, mediante el hormigón pretensado es posible controlar: a) El grado de fisuración del hormigón. Se puede fijar en proyecto el tamaño de fisura que se produzca, dependiendo del tipo de ambiente donde se sitúa la obra.

Si se toma como referencia el CE, en la Tabla 27.2 se definen los anchos de fisura permitidos para cada clase de exposición o ambiente. Se definen los siguientes estados: i. Descompresión: no existen tensiones de tracción normal a la sección de cálculo del elemento pretensado. La tensión alcanzada puede ser cero o de compresión en cualquier punto de la sección. ii. Apertura de Fisuras: la tensión máxima de tracción alcanzada no supera la resistencia a tracción del hormigón. iii. Fisuración controlada: la tensión máxima de tracción supera a la resistencia a tracción del hormigón.

Se forma por tanto una fisura, cuya apertura se fija en función del tipo de ambiente a considerar en proyecto, por ejemplo, siguiendo la Tabla 27.2 del CE. Tabla 1. Ancho de fisura en función de la clase de exposición del elemento según Tabla 27.2 del CE b) La flecha que experimenta el elemento pretensado cuando es sometido a la combinación de cargas de proyecto. Se puede llegar incluso a estados de flecha nula para ciertos estados de carga.

Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 Por lo tanto, si la técnica del pretensado se utiliza para cumplir con los requerimientos de fisuración y/o deformación, es preceptivo proyectar en Estado Límite de Servicio (ELS). Por lo tanto, el alumno debe asimilar esta importante característica que la diferencia claramente del cálculo en hormigón armado: en hormigón pretensado se calcula en Estado Límite de Servicio y se verifica el Estado Límite Último mientras que en hormigón armado es justo al contrario. De esta forma, en hormigón pretensado se procede como sigue: 1.

Cálculo en Estado Límite de Servicio: las propiedades mecánicas de los materiales se definen según su valor característico, es decir, sin minoración de sus resistencias. Para los valores de las acciones cálculo y sus posibles combinaciones, se usará la formulación Fd = f iFk, donde f es el coeficiente de seguridad en servicio, i es el coeficiente de valor representativo y Fk es el valor característico de la carga. Para definir cada coeficiente se atenderá a lo siguiente: i. Coeficientes de valor representativo, i. El valor de este factor se define en la norma correspondiente del tipo de estructura que se calcule.

Se considera 0 para combinaciones poco probables o característica, 1 para valores frecuentes en la que la acción ( 1·Qk) es sólo superada en períodos de corta duración y 2 para valores cuasipermanentes en la que la acción ( 2·Qk) es sobrepasada en gran parte de la vida útil de la estructura. Los elementos prefabricados presentan estados de carga especiales transitorios debido a los procesos de fabricación, manipulación, acopio, transporte y montaje. Por tanto, las acciones derivadas de estos procesos se deberían tratar como poco probables con coeficientes 0 cuando se considere la combinación de carga oportuna. ii. Coeficientes parciales de mayoración/minoración de acciones, f.

Para el pretensado, se estiman dos posibles valores, según la acción sea favorable o desfavorable. Para las acciones desfavorables, , = ( ) y para situaciones favorables , = ( ), donde Pmt(x) es el valor medio de la fuerza de pretensado a la distancia x del punto de aplicación de la carga de pretensado, transcurridos t días desde la aplicación del pretensado al elemento estructural. Los valores de rsup y rinf propuestos en el CE se recogen en la Tabla 2. Tabla 2.

Coeficientes de seguridad Estado Límite de Servicio para pretensado (CE) Tipo Pretensado Preteso Posteso rsup 1.05 1.10 rinf 0.95 0.90 El CE en los apéndices A y B del Anejo 18 establece que los valores de los coeficientes representativos y de los coeficientes parciales de mayoración/minoración de acciones serán determinados por el Código Técnico de Edificación, en el caso de edificios, y por la instrucción de puentes vigente, en el caso de los puentes.

Es muy importante destacar el hecho de que, al proyectar en Estado Límite de Servicio, se considera que el comportamiento de los materiales frente a las distintas combinaciones de Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 carga de servicio será lineal y elástico1 . Así pues, una vez cesada dicha combinación de carga, se considera que el elemento de hormigón pretensado mantiene íntegras las propiedades mecánicas de sección que le permiten soportar, al menos en teoría, una nueva combinación de carga independientemente de las que haya sufrido previamente.

De nuevo, esto exactamente no es así, pues las estructuras reales sufren fenómenos de fatiga, en los que la carga repetida de valor menor al límite elástico puede llevar al colapso del elemento. Por tanto, en elementos susceptibles de soportar cargas repetitivas como las vigas de puentes sometidas al paso de tráfico rodado o ferrocarril, este efecto debe ser tenido en cuenta durante la vida útil de la estructura, realizando análisis específicos a fatiga.

Por tanto, si se obvian los efectos de fatiga, para realizar los cálculos en Estado Límite de Servicio, se podrá utilizar toda la formulación de teoría de vigas de Navier-Bernoulli (siempre que no se considere una región tipo D), asumiendo como ciertas y aplicables las hipótesis en las que se basa como son: i. Al ser un estado lineal y elástico, se cumple la Ley de Hooke generalizada que relaciona de manera lineal las tensiones y las deformaciones normales a la sección considerada. ii. Las secciones originalmente planas permanecen planas después de la aplicación de la carga. iii.

Las secciones originalmente ortogonales a la directriz permanecen ortogonales a la directriz deformada tras la aplicación de la carga. iv. La ley de tensión normal a la sección transversal sigue una ley lineal para elementos de curvatura reducida en su directriz2 dada por la expresión: · · y x z x y z M z N M y A I I (10) donde Nx es el axil según el eje X que contiene a la directriz de la pieza, My e Iy son el momento flector y el momento de inercia del eje perpendicular al eje X en la dirección del canto de la pieza y Mz e Iz son el momento flector y momento de inercia perpendicular a los ejes X e Y, en la dirección del ancho de la pieza.

Esta ley no se puede aplicar en Estado Límite Último, puesto que éste es un estado de rotura en el que se considera que los materiales han plastificado y en el que no se producen relaciones lineales entre tensiones y deformaciones normales. En análisis de pretensado, consideraremos las tensiones positivas de compresión y las negativas de tracción, dado el predominio de compresiones en este sistema. Obviamente esto es un convenio y se puede establecer el clásico en Resistencia de Materiales que considera un criterio de signos contrario al propuesto.

1 Esto es una aproximación, puesto que en los casos en los que se permita la fisuración se está experimentando un cambio en las propiedades mecánicas de la sección, es decir, está plastificando. No obstante, dado que está armado, es la armadura la que absorbe el bloque de tracciones que cede el hormigón y, por tanto, se mantiene un comportamiento pseudo-lineal de la sección total de hormigón armado, siempre que la armadura no llegue a plastificar. De ahí la importancia de cumplir la cuantía mecánica que indica el CE, es decir se cuenta con una armadura mínima para evitar en este proceso de trasvase de carga hormigón-acero la plastificación de la armadura.

2 Para elementos de curvatura original pronunciada, como los arcos, se debe utilizar la ley general de Navier- Bernoulli que tienen en cuenta factores de corrección debido a la curvatura de la directriz original. Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 Asimismo, dado que se considera linealidad entre las cargas y la respuesta de la estructura, es posible aplicar el Principio de Superposición de cargas. Se pueden aplicar a su vez los teoremas de Mohr para el cálculo de desplazamientos y giros. Para poder aplicar la Ec. (10), es necesario conocer las características de la sección como son el área y el momento de inercia.

Ahora bien, en función del estado de adherencia del acero con el hormigón se considerarán distintos tipos de secciones: i. Sección bruta. Es la sección de hormigón completa sin descontar el hueco de las armaduras activa y pasiva. ii. Sección neta. Aquella en la que se descuentan los huecos de la armadura en el sistema preteso y los huecos que dejan las vainas en el posteso. Esto tanto para el cálculo de áreas como de inercias. iii. Sección homogeneizada. Es la que tiene en cuenta que el acero de las armaduras y del hormigón están adheridos. En este caso, es preciso homogeneizar la sección para poder aplicar la Ec.

(10), dado que esta ecuación está definida para material homogéneo, es decir, con un módulo de deformación E determinado. Para el cálculo de la homogeneización, es necesario conocer tanto el módulo de deformación del acero, Es, como del hormigón, Ec (Ec.(9)).

Por tanto, considerando que el acero y el hormigón están adheridos, la deformación normal de la sección en la fibra donde está el acero en dirección X (eje longitudinal), será la misma para ambos materiales: s c aplicando la relación lineal entre tensiones y deformaciones para cada material, resulta: de donde s c s s c s c c E E E E Denominaremos / s c n E E , definido como el cociente entre el módulo de deformación del acero y el hormigón. Por tanto, si n es del orden de 8, esto implica que para el mismo estado de deformación, las tensiones en el acero serán 8 veces superiores a las del hormigón.

Ahora, consideremos un fibra de acero con un área dAs, tal que la dimensión en la dirección del canto (eje Y) es pequeña en comparación con el canto (como ocurre con los redondos de acero normal o tendones de pretensado). La fuerza resultante que actúa sobre dicha fibra será s s dF dA para un momento flector, Mz, según el eje Z, es decir, tal que la ley de tensiones normales varía según el canto de la pieza (eje Y). Sustituyendo el valor de s calculado anteriormente, resulta: , s s s c s c s c s h c E dF dA dA ndA dA E Es decir, la fuerza actuante sobre el acero dF sería la misma que la que actuase sobre un elemento de hormigón cuya área fuese dAs,h = n dAs.

Es decir, homogeneizar significa considerar un área equivalente de un material (en este caso hormigón) de tal forma que la resultante, dF, sea la misma que sobre el material original (en este caso acero). Por tanto, a partir del área original del hormigón más el área de acero homogeneizado a hormigón, resultará una sección equivalente de un solo material, en este caso hormigón. También es posible aplicar el procedimiento para Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 homogeneizar todo a acero, utilizando en este caso la relación 1/n para homogeneizar. De esta forma, podremos aplicar la Ec.

(10), utilizando un área y una inercia homogeneizada. Un tema muy importante es como se manifiesta en la geometría de la sección esa homogeneización, es decir, ese incremento o decremento de área (en función si utilizamos n o 1/n). Como se ha comentado anteriormente, el momento está contenido en el eje Z perpendicular al del canto (eje Y). Por tanto, para homogeneizar (por ejemplo el acero a hormigón, utilizando el factor n) se incrementa el área en anchura en dirección Z, conservando de esta manera el valor de deformación que habíamos fijado en un principio en la cota donde estaba el acero "ys", es decir, ( ) ( ) s s c s y y .

Si incrementase en la dirección del canto, es decir según el eje Y, el valor de la deformación cambia (al ser variable en Y) y no se cumple que el valor de la deformación es el misma en la fibra antes de homogeneizar. Por tanto, para homogeneizar de acero a hormigón, se colocan tantas áreas a una cota "ys" determinada como indique el factor n, es decir, dAc,h = n dAs. Una vez homogeneizada la sección, se pueden calcular tanto su área Ac,h = Ab + (n- 1)As como la inercia, Iz,h denominándose ambas homogeneizadas, es decir teniendo en cuenta el exceso de área que se produce a la cota "ys" donde estaba el acero. Estos valores homogeneizados, son los que se utilizarían en la Ec. (10).

Finalmente, una vez calculadas las tensiones homogeneizadas en este caso en hormigón, es posible calcular las tensiones reales del acero a la cota "ys", aplicando la ecuación s s c c c E n E , en la cota donde "ys". Verificación Estado Límite Último: en este caso, la resistencia de los materiales se minora por los coeficientes establecidos para el hormigón y el acero. Por otro lado, las acciones siguen el mismo patrón definido para el estado límite de servicio, mediante la expresión de cálculo Fd = f iFk, en la que los coeficientes f y i presentan idéntica definición aunque presentan valores diferentes.

El CE en los apéndices A y B del Anejo 18 establece que los valores de los coeficientes representativos y de los coeficientes parciales de mayoración/minoración de acciones serán determinados por el Código Técnico de Edificación, en el caso de edificios, y por la instrucción de puentes vigente, en el caso de los puentes. Los modelos de cálculo en rotura que se pueden aplicar son el de parábola-rectángulo o el simple de rectángulo, exactamente los mismos que los de hormigón armado. En este caso NO es posible aplicar la Ec. (10) ni el Principio de Superposición de cargas así como los teoremas de Mohr. 5.

Trazado de la Armadura Activa Con la técnica del hormigón pretensado, se puede llegar a controlar el comportamiento tanto en servicio como en rotura del elemento estructural. Para ello, es muy importante determinar el tipo de trazado que debe adoptar la armadura activa a tesar de cara a lograr de manera óptima el objetivo a alcanzar. Para entender el beneficio de la técnica del pretensado, el alumno debe tener en mente el concepto de sistema autoequilibrado.

Es decir, el acero ejerce inicialmente una carga sobre el hormigón y éste a su vez reacciona respondiendo con un sistema de carga de igual valor pero signo Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 opuesto como corresponde a la tercera ley de Newton (Principio de acción-reacción). Si la posición de la armadura de tesado está en el centro de gravedad de la sección transversal de la pieza, al tesar la misma con un valor P, ésta introducirá en el hormigón un esfuerzo axil puro, Nx = P .

Si el trazado está separado del centro de gravedad una cantidad e (excentricidad del cordón), además del axil Nx = P, el hormigón experimentará un momento flector de valor P·e. Asimismo, dado que en hormigón pretensado se proyecta inicialmente en Estado Límite de Servicio, esto quiere decir que se puede aplicar tanto la ley de Navier-Bernuolli (Ec. (10)) como el Principio de Superposición de cargas, por considerar estados lineales y elásticos. Por lo tanto, el estado general de cargas que incluye el pretensado, se puede descomponer en sucesivos estados de cargas de tal forma que el resultado será la suma de los que se producen en los estados individuales considerados.

Esto tiene una importancia notable en el caso del cálculo de estructuras hiperestáticas de hormigón pretensado. Por lo tanto, la forma de operar en hormigón pretensado será la siguiente: a) Sustituyendo la acción interna del pretensado por cargas equivalentes exteriores. Es decir, el acero activo queda embebido en el hormigón sin tensión inicial, pues la acción que produce la tensión previa del mismo se considera que actúa de manera externa. Se aplica la ley de Navier- Bernuolli, considerando la carga de pretensado como acción externa, homogenizando el acero activo a hormigón para realizar los cálculos (siempre que esté adherido al hormigón; en caso contrario, sección neta).

Se suele utilizar para los estados de descompresión y apertura de fisuras, en los que la sección de hormigón está íntegra sin fisurar, en los que se desprecia el incremento de la armadura activa debido a la deformación. También se podría utilizar con sección fisurada comportamiento lineal de la ley de tensiones, siempre que se conozcan las propiedades geométricas de centro de gravedad y momento de inercia de dicha sección. En este caso, no sería despreciable el incremento de tensión en la armadura activa debido a la deformación de la sección de hormigón. b) Sección mixta de hormigón y acero activo. Es decir, tal y como se opera en hormigón armado.

El hormigón presenta un estado de tensión y el acero activo el propio de la historia de deformación que haya tenido hasta el instante de aplicación de la carga. NO se trata el pretensado como acción exterior. Suele utilizarse en aquellos estados en los que el hormigón fisura, como el estado límite de servicio de fisuración controlada y el estado límite último a flexión simple o compuesta. 5.1. Trazado recto y centrado en la sección Este tipo de trazado es el más básico. Correspondería al tipo idóneo para un tirante de hormigón, en el que la carga se caracteriza por un axil de tracción. La tensión de compresión pura introducida al hormigón debería compensar la tensión de tracción de la carga.

En este caso no hay flexión debido a la carga de pretensado. Cuando se aplica la carga externa que intenta alargar el tirante ya pretensado, el área que hay que tener en cuenta sería la homogeneizada ya que tanto el acero de pretensado como el hormigón estarán adheridos (es decir, se considera armadura adherente y no libre, como en las uniones empotradas de los pórticos prefabricados). Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 Fig. 7. Diagrama de cargas equivalente para trazado recto y centrado en la sección Aparte del uso en tirantes de hormigón pretensado, también se podría utilizar en pilares y vigas.

En ambos casos, se compensarían parcialmente las tracciones que se generan debido al momento flector producido por las cargas externas. Sin embargo, no es la manera más efectiva como veremos a continuación. Para ello, se va a analizar una viga isostática con carga uniforme variando el trazado, para ver cómo influye en la capacidad de carga para que se produzca un estado de descompresión, es decir, con tensiones normales mayores o iguales a cero. Si se considera una carga uniforme q sobre la viga con pretensado centrado, P, la tensión en la fibra inferior (y = h/2) de la sección central será: · / 2 z x z M h P A I (a) (b) Fig. 8.

Detalles del esquema de esfuerzos interiores normales a la sección debido a las cargas: (a) Pretensado; (b) Uniforme exterior En dicha sección central, el momento flector de una viga isostática sometida a carga uniforme es Mz = qL2 /8. Dependiendo del valor de q las tensiones en dicha fibra inferior serán de compresión (>0), tracción (<0) o un estado neutro de descompresión (=0).

Sin embargo, en la fibra superior de la sección central, la tensión que se alcanza será: Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 2 16 x z P qL h A I Es decir, la tensión siempre es de compresión, sumándose la que proporciona el pretensado junto a la que se produce debido a la carga q. El CE indica que en estado límite de servicio, la tensión de compresión del hormigón no debe ser superior al 60% de fck. Por tanto, con este sistema es necesario proyectar con grandes secciones para reducir este valor de compresión en la fibra superior.

Para luces elevadas, resulta prohibitivo, debido a la carga de peso propio que se alcanza. 5.2. Trazado recto y desplazado del eje de la sección Para obviar los efectos del pretensado centrado cuando existen esfuerzos de flexión, existe la posibilidad de desplazar la posición de la armadura de pretensado respecto al centro de gravedad de la sección un valor ys. Si dicho desplazamiento es hacia la fibra inferior, ys-, la acción de pretensado produce una compresión uniforme debido a Nx = P más una flexión, P·ys- que comprime la fibra inferior y tracciona la superior.

Cuando se utilizan valores de excentricidad hacia la fibra superior, ys+, se produce el fenómeno contrario, es decir, la flexión del pretensado produce una compresión de la fibra superior. Fig. 9. Diagrama de cargas equivalente para trazado recto y desplazado en la sección Aplicando la Ec. (10), se suman los efectos de ambas acciones debido al pretensado, resultando una tensión para la fibra inferior, i: · · / 2 s i z P y h P A I (11) Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 (a) (b) Fig. 10.

Detalles del esquema de esfuerzos interiores normales a la sección debido a las cargas: (a) Pretensado; (b) Uniforme exterior Se observa que se producen esfuerzos de compresión en la fibra inferior. Si la armadura de pretensado se desplaza hacia la parte superior del centro de gravedad de la sección transversal, ys+, el valor de i puede adoptar cualquier signo, debido a la componente de tracción que introduce el término de flexión del pretensado. En la fibra superior se obtendría el siguiente valor de tensión: · · / 2 s s z P y h P A I (12) Si se analiza la Ec. (12), es posible preguntarse cuál sería el valor de ys- tal que la tensión sea nula.

O lo que es lo mismo, si una sección tiene momento y axil, cuál será el valor límite de la excentricidad del axil para que no existan tracciones. En resistencia de materiales, a la región en la que se aplica el axil desplazado del centro de gravedad de la sección, tal que solo se producen compresiones se le conoce con el nombre de Núcleo Central. Si consideramos la sección transversal rectangular, el cálculo del borde inferior del núcleo central será el siguiente: 3 · · / 2 · · / 2 0 0 1/12 s s s z P y h P y h P P A I bh bh de donde: 6 s h y (13) Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 Fig. 11.

Núcleo central de una sección rectangular El mismo resultado se obtiene cuando la excentricidad del cordón de pretensado se desplaza hacia la fibra superior, ys+= h /6. Es decir, en una sección rectangular, si el axil desplazado está situado a h/3 del borde superior o inferior, la sección no presentará tensiones de tracción. Por lo tanto, si evaluamos en una viga solamente la acción de la carga de pretensado con la armadura desplazada respecto al centro de gravedad, el pretensado producirá tracciones en una sección rectangular solamente cuando la posición de la armadura está a menos de h/3 de los bordes superior o inferior de la sección.

Este resultado es muy importante, sobre todo en extremos de vigas isostáticas, en los que si no existen momentos flectores externos aplicados en los apoyos, la única carga será la de pretensado, pudiendo llegar a dañar la viga si la posición del cordón de pretensado está fuera del núcleo central. Como se puede entender, no tiene sentido que como ingenieros introduzcamos una carga que pueda llegar a dañar alguna zona de la pieza que estamos proyectando. Por tanto, habrá que tener en cuenta este resultado del núcleo central u otras consideraciones. Siempre hay varias formas de resolver un problema. Si a la Ecs.

(11) y (12) se les añade el término correspondiente a la carga que soporta la viga de análisis, se obtienen las siguientes expresiones: · · / 2 · / 2 p z i z z P y h M h P A I I (14) · · / 2 · / 2 p z s z z P y h M h P A I I (15) Como se puede apreciar en la Ec. (14), el segundo y tercer término del segundo miembro tienen diferente signo. Por tanto, tienden a compensarse. En la sección central de la viga, Mz = qL2 /8 y será el máximo. Sin embargo, en los extremos Mz = 0, permaneciendo intacto el primer y segundo término, correspondientes a la carga de pretensado.

Es decir, en los extremos no hay compensación y, por tanto, el pretensado puede llegar a dañar la viga por exceso de tracciones o compresiones. 5.3. Trazado poligonal Cuando el trazado de la armadura de pretensado deja de ser rectilíneo (la armadura será un cordón o un conjunto de cordones que constituye un tendón), además de la carga en la dirección de la directriz se Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 desarrollan otras que son perpendiculares a la misma. Al producirse el tesado del cordón o tendón, éste intenta recuperar la posición rectilínea pero el hormigón que lo envuelve se lo impide.

El cordón ejerce una carga sobre el hormigón y este reacciona sobre el acero con otra de igual resultante en módulo y posición. Es la conocida 3ª Ley de Newton o principio de acción-reacción. Se establece una situación de equilibrio entre el cordón de acero y el hormigón, de nuevo en un sistema autoestable. Es decir, si no hay restricciones superabundantes (sistema isostático) no existirán reacciones exteriores, puesto que se producen solo cargas internas. Si el sistema es hiperestático, existirán coacciones que pueden dar lugar a reacciones exteriores, aunque siempre de resultante nula.

Analizando el equilibrio aislado del cordón de pretensado, éste presentará un estado semejante al de un hilo sometido a cargas puntuales o repartidas. Por tanto, es fundamental que el alumno tenga presente la mecánica de hilos para entender el sistema de cargas que se generan en un elemento de hormigón pretensado cuando el trazado del cordón no es recto. Sirva como ejemplo el hilo tensado de un arco. Antes de colocar la flecha, el hilo presenta solo tensión axil. Cuando se coloca la flecha y el arquero tensa el arco, se produce una variación en la forma del hilo que origina una resultante con una dirección que depende de la posición en la que el arquero tense el hilo.

Si el arquero tensa en dirección perpendicular a la del hilo en reposo, la resultante tendrá un valor que será la suma vectorial de los axiles que se generan en ese punto del hilo a cada lado del mismo. Mientras el arquero sujete el hilo, el sistema está en reposo pues la carga que introduce él mismo se ve compensada por la resultante que ejerce el hilo. Cuando suelta el hilo, éste tiende a recuperar su forma convirtiendo la energía de deformación elástica en energía mecánica que lanza la flecha. Cuando el trazado de un cordón de pretensado es poligonal, el esquema de cargas sobre el mismo es semejante a un hilo sometido a cargas puntuales.

En este caso, las cargas puntuales son la reacción del hormigón en los puntos donde se produce un cambio de dirección del cordón de pretensado. Tal y como se ha comentado, el cordón ejercerá sobre el hormigón una carga puntual del mismo módulo y sentido contrario.

De acuerdo con la Mecánica de Hilos, si en un cable sometido a N cargas puntuales verticales, Qi, se establece el equilibrio de momentos global de todo el cable y el parcial desde el apoyo (denominado A) hasta una sección genérica situada a x=xm, donde la flecha3 es f=fm, se obtiene un sistema de dos ecuaciones del cual se puede extraer la siguiente ecuación: , , 1 1 j N N m H m i i B i i m i i x N f Q r Q r L (16) donde NH es la componente horizontal de la tensión del cable, ri,B y ri,m son las distancias de las cargas Qi tanto al apoyo B (opuesto del A) como a la sección m, respectivamente, y j corresponde al número de cargas Qi situadas antes de la sección m (es decir, las que se contemplan en el equilibrio parcial).

Dado que no existen cargas horizontales, el valor de NH se considera constante, correspondiendo a la carga de pretensado, es decir, NH = P (si el ángulo que forma el trazado con la horizontal, , es pequeño; en caso contrario, NH = Pcos ). Como se puede comprobar, el segundo miembro de la Ec. (16) corresponde a la ley de momento flector de una viga biapoyada sometida al conjunto de cargas puntuales Qi. Dado que en una viga de hormigón pretensado, dicho conjunto Qi con signo contrario (por la ley de acción-reacción) 3 La flecha es la distancia vertical que hay entre el arco y la cuerda en un punto determinado del hilo, siendo la cuerda la línea recta que conecta los apoyos.

Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 será el conjunto de cargas que actúa sobre el hormigón cuya ley de momentos flectores será el segundo miembro de la Ec. (16). Se llega, por tanto, a un resultado muy importante: el producto -Pfm (es decir, con signo cambiado pues ahora se considera la carga en el hormigón) constituye el valor de la ley de momentos flectores en cada sección x=xm que el cordón de pretensado introduce en la viga debido a la forma poligonal que presenta dicho cordón.

Considerando la carga de pretensado P de compresión con valor positivo, se consideran valores de fm positivos los que corresponden a trazados cóncavos, que a su vez implican valores de momento flector negativos en el hormigón (fibra superior de la viga traccionada). Por tanto, donde se produzca el mayor valor de flecha en el trazado del cordón, se producirá a su vez el mayor valor de momento flector introducido en la viga por el cordón de pretensado debido a su forma poligonal. La forma de la ley de momento flector será una poligonal cuyos cambios de pendiente se producirán justo donde se producen los del trazado del cordón de pretensado. Fig. 12.

Diagrama de cargas equivalente para trazado poligonal en hormigón (1er sumando) y acero (2º sumando) De esta forma, la ley de momentos flectores de una viga sometida a fuertes cargas puntuales verticales se puede compensar con cordones de pretensado. Para ello, deben presentar un trazado poligonal tal, que los picos de la ley de flectores que generen, Pfm,i compensen al de las acciones exteriores, Myk,i. De esta forma, fijado el valor de P es posible calcular la posición de los cordones de pretensado bajo las cargas puntuales mediante la expresión fm,i = Myk.i / P.

Finalmente para el cálculo de tensiones normales se procede considerando la ley de momentos flectores que introducen los cordones de pretensado obtenida como suma de: (a) la ley de momento flector que introducen las cargas de pretensado (cargas puntuales) en las secciones extremas de la viga debido al anclaje de los cordones (siempre que presenten excentricidad respecto al centro de gravedad de la sección neta), MPextr(x) que como se puede observar no tiene por qué ser constante a lo largo de la viga.

(b) la ley de momento flector obtenida por equilibrio del cordón debido a la forma poligonal, sobre la viga de hormigón de valor –Pfm(x) (es decir, valores positivos de flecha que se corresponden con trazados cóncavos, generan momentos flectores negativos en la viga de hormigón). Por tanto, en este caso las ecuaciones de cálculo de tensiones en las fibras extremas queda de la siguiente forma: ( ) · ( )· / 2 · / 2 cos Pextr p m z i z z z M x y P f x h M h P A I I I (17) ( ) · ( )· / 2 · / 2 cos Pextr p m z s z z z M x y P f x h M h P A I I I (18) Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 5.4.

Trazado curvo Cuando la carga sobre el elemento resistente es uniforme, la ley de momentos flectores adquiere una forma parabólica. Por tanto, en caso de querer compensar esta ley con la técnica del pretensado, es preceptivo establecer una forma curva pues la poligonal compensa un sistema de cargas puntuales. Para entender la interacción entre el hormigón y el cordón de pretensado cuando el trazado es curvo, hay que establecer previamente la ecuación de equilibrio del cordón de pretensado. Para ello, hay que recurrir a la teoría de hilos, considerando que la rigidez a flexión de los cordones o tendones va a ser despreciable.

Por tanto, la carga que se aplica sobre los mismos generará tan sólo esfuerzos axiles en su sección transversal. Es decir, ni momentos flectores ni esfuerzos cortantes. Se considera un elemento diferencial curvo de cordón, ds, de radio r, sometido tanto a esfuerzo axil, como a cargas uniformes ortogonal, n, y tangencial, t, a su directriz. La resultante de n en ds, Rn, será: · n R n ds nrd (19) siendo d el ángulo que forma el arco ds. En los extremos de ds solamente actúan los axiles de valor P y / · P P s ds en dirección tangente a ds en su punto de aplicación.

Equilibrio de ds en la dirección de Rn Para que ds esté en equilibrio, Rn debe compensarse con la que generan P y / · P P s ds en los extremos de ds resultando: 2 sen( / 2) / · ·sen( / 2) 2 / 2 / · · P d P s ds d Pd P s ds d Pd ya que d es pequeño y se desprecian infinitésimos de orden superior, de donde resulta: nrd Pd obteniéndose el valor de n para que exista equilibrio en ds: P n r (20) Por el principio de acción-reacción, este valor de n será el que actúa sobre el hormigón del mismo modulo pero de sentido contrario.

Por tanto si, por ejemplo, el cordón adopta la forma de una parábola cóncava simétrica (tipo y=ax2 +c) sobre una viga, la resultante de n sobre el hormigón será la misma que sobre el cordón pero de sentido contrario, es decir, -Rn. Si la curvatura del cordón de pretensado es pequeña, digamos fmax / L < 1/12, siendo fmax la flecha máxima del cordón y L la distancia horizontal entre los puntos de inflexión del mismo, podemos considerar que la componente horizontal de n en todo el trazado del cordón es despreciable. Por tanto, la componente horizontal del axil del cordón en cualquier punto del mismo será constante.

En este caso, el equilibrio en una sección genérica del cordón que cuenta con los apoyos situados al mismo nivel, tomando momentos respecto a dicha sección genérica situada a xm del apoyo en la que el valor de la flecha es fm, resulta: Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 2 2 2 H m m m m nL n N f Pf x x (21) donde se ha considerado de manera aproximada que NH = Pcos = P . Este resultado es muy importante, porque como se puede comprobar, el producto Pfm corresponde al momento que experimenta una viga biapoyada sometido a carga uniforme, n, en dicha sección.

Por lo tanto, una viga con un cordón de pretensado de trazado parabólico cóncavo producirá en el hormigón una ley de momentos negativa (fibra superior traccionada), justamente la que tendría una viga biapoyada sometida a la carga –n. El valor máximo se alcanza en xm = L/2 cuyo valor será nL2 /8 e igual a P fL/2 siendo fm = fL/2 la flecha en dicha sección. La expresión obtenida en la Ec.(21) también será válida si los extremos del cordón de pretensado no están al mismo nivel, (todo ello se deduce en mecánica de hilos, cuando un hilo está sometido a carga vertical y uniforme).

En este caso, será necesario introducir en el extremo de la viga el momento que genera la fuerza de pretensado en posición excéntrica respecto al centro de gravedad de la sección. Fig. 13. Diagrama de cargas equivalente para trazado parabólico en hormigón (1er sumando) y acero (2º sumando) Este resultado es muy utilizado en hormigón pretensado, al objeto de calcular la ley de momentos que produce la carga de pretensado debido exclusivamente a la curvatura del cordón. Por tanto, cuando la carga sobre la viga sea uniforme, la ley de momentos flectores de tipo parabólico se puede compensar con la generada por la acción del pretensado (sin excentricidad en los extremos).

A partir de la Ec.(21) se puede aproximar n mediante la expresión (con xm = L/2): /2 /2 2 2 8 8 L L H f f n N P L L (22) Cuando el trazado del cordón es parabólico, el valor de n que actúa sobre el elemento de hormigón pretensado se podrá calcular, por la Ec. (20). Teniendo en cuenta que 2 y ax la curvatura se puede calcular como 2 1/ / y a r n P , siendo por tanto 2 n aP , perpendicular a la traza del tendón. Si fmax / L < 1/12, es posible utilizar la Ec. (22) considerando n como una carga vertical y uniforme. Es decir, la Ec. (20) se puede utilizar en todos los casos, mientras que la Ec. (22) está restringida a casos de trazado suave del cordón de pretensado.

Considerando el caso en el que el trazado del cordón de pretensado es suave (fmax / L < 1/12), el cálculo de las tensiones debido a la acción de pretensado se puede realizar utilizando las Ecs. (17) y (18) obtenidas anteriormente para el trazado poligonal, con las mismas consideraciones. Es decir, que para un trazado cóncavo (fm>0), el momento que se introduce en la viga de hormigón debido a la curvatura del cordón de pretensado será negativo, –Pfm(x), además del producido por la excentricidad del pretensado justo en el extremo de la viga.

Tema 7: Cálculo de Hormigón Pretensado Profesor: Jesús Donaire Ávila Elementos Prefabricados.- Curso: 2022-2023 Cuando el trazado de cordón de pretensado no es suave (fmax / L > 1/12), la carga continua, n, determinada por la Ec. (20) no es vertical ni uniforme puesto que es perpendicular a la directriz del cordón.

En este caso, se puede calcular el equilibrio debido exclusivamente a la carga de pretensado para cada tramo de viga entre el apoyo y la sección de cálculo xm, teniendo en cuenta que actúa la carga axil P tangente a la directriz del cordón en la sección del apoyo y xm, más la resultante que genera el cordón en el hormigón del tramo de viga debido a la forma curva, ( ) 0 m s x m x R nds , donde Rxm, n y ds son vectores. De esta forma, los esfuerzos axiles, cortantes y flectores en la sección xm situados en el centro de gravedad de la misma debido a…