Fonaments de Probabilitat i les seves Aplicacions en Economia

I 6 flashcards i 4 preguntes més al document.

Text del document

1 Economia i Instruments Analítics (2a part) TEMA 16 Distribucions i Probabilitat Natàlia Pascual (G1 i G2), Joan Faner (G3) natalia.pascual@upf.edu ; joan.faner@upf.edu Departament d'Economia i Empresa Universitat Pompeu Fabra Despatx 40.173 (Roger de Llúria) 2 Objectius Analitzar i calcular la possibilitat (probabilitat) que puguin ocórrer determinats resultats, quan es realitza un experiment aleatori Determinar quins valors pren una variable aleatòria i amb quina freqüència ocorren aquests valors: distribucions de probabilitat 2 3 Estructura del Tema 3 1. Concepte de probabilitat 2. Distribucions de probabilitat Variables aleatòries discretes Variables aleatòries contínues 3.

Distribucions normals de probabilitat 4. Aplicacions Assegurament sanitari 1. Concepte de Probabilitat 3 Concepte de probabilitat Probabilitat: mesura d'incertesa dels esdeveniments Té les mateixes propietats que les mesures de longitud, d'àrea, etc. Terminologia: Paràmetre: nombre que descriu la població. A la pràctica el valor del paràmetre no és conegut p : proporció poblacional => És un paràmetre Estadístic: nombre que es pot calcular a partir de les dades de la mostra sense utilitzar cap paràmetre desconegut.

A la pràctica, utilitzem un estadístic per estimar un paràmetre desconegut : proporció mostral => És un estadístic 5 p % Distribució mostral Generalment, utilitzem un estadístic per estimar el paràmetre poblacional desconegut p Però... tindrem Variabilitat mostral El valor d'un estadístic varia en un mostreig aleatori repetit Ens caldrà obtenir la Distribució mostral d'un estadístic: Distribució dels valors presos per l'estadístic en totes les mostres d'igual tamany de la mateixa població 6 p % 4 Distribució mostral 7 Distribució mostral Descripció de les distribucions mostrals. Quina és la fiabilitat de la proporció mostral per estimar la proporció poblacional p en cada cas?

Depèn de l'aspecte general de la distribució mostral: Si la distribució és simètrica i aproximadament normal, no existeixen observacions atípiques ni desviacions, etc., llavors la situació del centre de la distribució mostral és un bon estimador del paràmetre Dispersió dels valors NOTA: en les mostres grans hi ha molta més fiabilitat que una estimació es trobi a prop del verdader valor del paràmetre, ja que la variabilitat es redueix (la llei del grans nombres) 8 p % p % 5 Aleatorietat i Probabilitat Un fenomen és aleatori si els resultats individuals són incerts i, no obstant, existeix una distribució regular dels resultats després d'un gran nombre de repeticions La probabilitat de qualsevol resultat d'un fenomen aleatori és la proporció de vegades que el resultat es dóna després d'una llarga sèrie de repeticions (la proporció s'estabilitza) 9 Exemple: - La proporció de llançaments d'una moneda que donen cara canvia a mesura que fem més llançaments - A mesura que fem més llançaments, el valor d'aquesta proporció s'aproxima a 0,5 (que és la probabilitat de cara) Models de Probabilitat L'espai mostral S d'un fenomen aleatori és el conjunt de tots els seus resultats possibles Un succés és qualsevol resultat o conjunt de resultats d'un fenomen aleatori.

És a dir, un succés és un subconjunt de l'espai mostral Un model de probabilitat és una descripció matemàtica d'un fenomen aleatori. Consta de dues parts: un espai mostral S i un procediment d'assignació de probabilitats als successos 10 6 Propietats de la Probabilitat 1. Qualsevol probabilitat és un nombre entre 0 i 1 2. Tots els resultats possibles junts han de tenir una probabilitat d'1 3. La probabilitat de que un fet no passi és igual a 1 menys la probabilitat de que passi 4. Si dos fets no tenen resultats en comú, la probabilitat de que passi qualsevol d'ells és igual a la suma de les seves probabilitats individuals 11 2.

Distribucions de Probabilitat Variables aleatòries discretes Variables aleatòries contínues 7 Variables Aleatòries i Distribucions de probabilitat Una variable aleatòria és una variable els valors de la qual són resultats numèrics d'un fenomen aleatori És habitual representar les variables aleatòries com X i Y La distribució de probabilitat d'una variable aleatòria X ens indica quins són els possibles valors de la variable i com s'assignen probabilitats a aquests valors L'aleatorietat requereix que els resultats siguin independents, és a dir, un resultat no ha d'influir sobre un altre resultat 13 Variables Aleatòries Discretes Una variable aleatòria discreta X pren un nombre finit de valors possibles.

La distribució de probabilitat d' X llista aquests valors i les seves probabilitats: Valor d' X: x1 , x2 , x3 , … , xk Probabilitat: p1 , p2 , p3 , … , pk Les probabilitats pi han de satisfer dos requisits: Cada probabilitat pi és un nombre entre 0 i 1 p1 + p2 + …

+ pk = 1 Es pot trobar la probabilitat de qualsevol fet sumant les probabilitats pi dels valors particulars xi que configuren el fet 14 8 Variables Aleatòries Discretes Representació gràfica Histograma de probabilitat: mostra gràficament la distribució d'una variable aleatòria discreta L'eix d'abscisses mostra els possibles valors de la variable L'altura de cada barra és la probabilitat del valor que és troba a la base 15 Variables Aleatòries Discretes Càlcul de probabilitats quan els resultats són igualment probables: Si un fenomen aleatori té k resultats possibles, tots igualment probables, llavors cada un d'ells té una probabilitat igual a 1/k La probabilitat de qualsevol succés A és: Així, les probabilitat, en el cas de resultats igualment probables, es troben mitjançant un recompte dels resultats recompte de resultats en A recompte de resultats en A P(A) recompte de tots els resultats possibles k = = 16 9 Variables Aleatòries Discretes Mitjana d'una variable aleatòria discreta: mesura de centre que representa el promig de tots els valors de la variable.

Cal tenir en compte que no tots els valors de la variable tenen que ser igualment probables La mitjana d' X és el resultat de multiplicar cada valor possible de X per la seva probabilitat i de sumar tots els productes: µ = x1p1 + x2 p2 + … + xkpk La mitjana d'una variable aleatòria X és un nombre fix µ.

Ens dóna el valor promig d' X en diversos sentits: La mitjana µ és el promig dels possibles valors de X, cada un ponderat per la seva probabilitat La mitjana µ seria el punt d'equilibri de l'histograma de probabilitat de la distribució d' X, si estigues fet d'un material sòlid Llei dels grans nombres: si repetim el fenomen aleatori moltes vegades, el promig dels valors d' X s'aproximarà cada cop més a µ a mesura que fem més repeticions 17 Variables Aleatòries Discretes Desviació típica d'una variable aleatòria discreta: mesura de dispersió o de variabilitat La variança d' X és: σ 2 = (x1 – µ)2 p1 + (x2 – µ)2 p2 + …

+ (xk – µ)2 pk La desviació típica σ és l'arrel quadrada positiva de la variança La desviació típica d'una variable aleatòria comparteix les propietat de la desviació típica d'una distribució de dades 18 2 1 ( ) k i i i x p σ µ = = 10 Variables Aleatòries Discretes Exemple 1: El nombre de persones que viuen en una llar escollit a l'atzar és una variable aleatòria X. La distribució d'X és: El promig del tamany de les llars no és la mitjana aritmètica dels tamanys des de l'1 fins al 7.

Per exemple, un 32% de les llars tenen 2 persones i només un 1,4% tenen 7 persones El promig correcte (mitjana) és troba ponderant els diferents tamanys possibles de llar per la probabilitat de què passi El nombre mitjà de persones en una llar és: µ = (1)(0,251)+(2)(0,321)+(3)(0,171)+(4)(0,154)+(5)(0,067)+(6)(0,022)+(7)(0,014) = = 2,587 19 7 6 5 4 3 2 1 Tamany de la llar 0,014 0,022 0,067 0,154 0,171 0,321 0,251 Probabilitat Variables Aleatòries Discretes Exemple 2: Suposem que tenim el següent espai mostral: S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Cada un dels resultats té la mateixa probabilitat de sortir escollit.

Degut a que la probabilitat global ha de ser 1, la probabilitat de cada un dels 10 resultats possibles ha de ser 1/10 La probabilitat del succés que hagi sortit un nombre imparell és: P (nombre imparell) = P(1)+ P(3)+ P(5)+ P(7)+ P(9) = 0,5 L'assignació de probabilitats compleix totes les propietats de la probabilitat. Per exemple, podem trobar la probabilitat de que surti un nombre parell: P (nombre parell) = P (no sigui un nombre imparell) = = 1-P (nombre imparell) = 1 – 0,5 = 0,5 20 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Resultat 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 Probabilitat 11 Variables Aleatòries Contínues Una variable aleatòria continua X pren qualsevol valor en un interval numèric.

La distribució de probabilitat d' X es descriu mitjançant una corba de densitat La probabilitat de qualsevol succés és l'àrea per sota de la corba de densitat i al llarg dels valors d' X que defineixen el fet L'àrea total per sota de qualsevol corba de densitat és 1 Qualsevol probabilitat és un nombre entre 0 i 1 La probabilitat total assignada a tots els possibles valors d' X és 1 21 Variables Aleatòries Contínues Mitjana d'una variable aleatòria continua µ és un promig de tots els possibles valors de la variable, ponderats per les seves probabilitats.

Degut a que una variable aleatòria continua pren una infinitat de valors, no podem seguir expressant aquesta idea com una suma En aquest cas, µ és la mitjana de la corba de densitat, el punt d'equilibri de l'àrea delimitada per la corba si estigués feta d'un material sòlid La llei dels grans nombres segueix complint-se: a mesura que tenim més observacions d' X, el promig dels resultats que observem s'aproximarà cada cop més a µ 22 12 Variables Aleatòries Contínues Desviació típica d'una variable aleatòria continua La variança σ 2 és el promig de les desviacions al quadrat dels possibles valors de la variable respecte de la seva mitjana La desviació típica σ és l'arrel quadrada positiva de la variança La desviació típica d'una corba de densitat no és fàcil d'interpretar, excepte per a les distribucions normals 23 Variables Aleatòries Contínues Exemple 3: Un generador de nombres aleatoris genera nombres de forma uniforme al llarg de tot l'interval que va de 0 a 1, si permetem que generi una llarga seqüència de nombres El resultat de moltes repeticions ve donat per la següent corba de densitat uniforme Aquesta corba de densitat té una altura d'1 en tot l'interval de 0 a 1 L'àrea per sota de la corba és 1 i la probabilitat de qualsevol succés és l'àrea per sota de la corba delimitada pel succés en qüestió 24 13 Variables Aleatòries Contínues La probabilitat de què un generador de nombres aleatoris doni un nombre entre 0,3 i 0,7 és P(0,3 Y 0,7) = 0,4 ja que l'àrea per sota de la corba delimitada per l'interval de 0,3 i 0,7 és 0,4.

L'altura de la corba de densitat és 1 i l'àrea d'un rectangle és el producte de l'altura per la seva base, per tant, la probabilitat de qualsevol interval de resultats és directament la longitud de l'interval P(Y 0,5) = 0,5 P(Y>0,8) = 0,2 P(Y 0,5 o Y>0,8) = 0,7 Aquest darrer succés està format per dos intervals que no se solapen, per tant l'àrea total del succés es troba sumant dos àrees. Aquesta assignació de probabilitats també compleix les propietats de la probabilitat 25 3.

Distribucions Normals de Probabilitat 14 Distribucions Normals de Probabilitat Distribució d'un conjunt gran de dades Trobar la probabilitat estandarditzant i utilitzant la taula A (taula de les probabilitats normals estandarditzades Z: variable normal estandarditzada 27 Exemple 4: Quina és la probabilitat que l'altura d'una noia escollida a l'atzar estigui entre 1,73 i 1,78 m?

L'altura d'una noia és una variable aleatòria X amb una distribució N(1,64 , 6,3) Trobar la probabilitat estandarditzant i utilitzant la taula A, la taula de les probabilitats normals estandarditzades Z serà la variable normal estandarditzada 28 Distribucions Normals de Probabilitat 15 P(173 X 178) = P([(173-164)/6,3] [X-164/6,3] [(178-164)/6,3]) = P(1,4 Z 2,2) = 0,9861 – 0,9192 = 0,0669 29 Distribucions Normals de Probabilitat 4.

Aplicacions Assegurament Sanitari i Fallades de Mercat 16 Motius d'intervenció del SP Ens centrarem en el motius d'eficiència 31 Hi ha externalitats positives en certs consums d'assistència sanitària (vacunacions, malalties infeccioses, etc.) Hi ha FALLADES DE MERCAT al mercat sanitari: Externalitats positives Béns Públics Informació imperfecta Informació asimètrica (mercat d'assegurances) Part de la investigació que es realitza en sanitat no és patentable o ha de subministrar-se a un preu baix, per la qual cosa la investigació sanitària ha de considerar-se parcialment un bé públic - No existeix plena informació sobre la relació entre outputs intermitjos (tractament) i finals (salut) - Resolució d'ineficiències: regulacions - Entre el metge i el pacient: els pacients no tenen coneixements mèdics i no poden valorar i avaluar els consells dels metges - Entre l'assegurat i l'asseguradora La intervenció de l'Estat es justifica EQUITAT EFICIÈNCIA Assegurament sanitari 1.

Tots tenim un cert risc d'emmalaltir (p) 2. Si estem malalts: cost del tractament (L) 3. Tenim 2 opcions: a) Estalviar "L" per quan emmalaltim b) Comprar una assegurança Analitzarem com funcionen les assegurances en general i després veurem perquè no funcionen correctament en el cas de la sanitat 32 17 La lògica econòmica de les Assegurances Exemple d'una pèrdua potencialment assegurable: 1.000 cases Se'n crema 1 a l'any Probabilitat de pèrdua (p) = 1/1.000 Preu cases = 120.000€ Pèrdua si la casa es crema (L) = 120.000€ 33 I.

Perspectiva dels consumidors: Una assegurança permet eliminar el risc d'una pèrdua gran a canvi d'assumir una pèrdua petita segura (la prima: Π) Els consumidors adquireixen l'assegurança si: Disposició a pagar (D) Π En general, i donat que als individus no els hi agrada el risc (adversos): D VE del dany 34 La lògica econòmica de les Assegurances P Π Q D 18 I. Perspectiva dels consumidors: En el nostre exemple: (p) = 1/1000 = 0,001 (0,1%) (1 – p) = 999/1000 = 0,999 (99,9%) VE dany = p * L + (1 - p) * 0 = 0,001 * 120.000€ + 0,999 x 0 = = 120€ + 0 = 120€ Per què els individus, per estar assegurats, poden estar disposats a pagar quantitats superiors al VE del dany?

35 La lògica econòmica de les Assegurances Aversió al Risc II.

Perspectiva de les empreses asseguradores: Variables rellevants: probabilitat de que es produeixi el sinistre (p) i la quantitat dels danys que genera (L) Prima mínima que demanaran les empreses per a oferir l'assegurança: Πmin = p x L Benefici empresa = Ingressos – Costos Beneficis = (Π * n) – (p * L * n) Πmin Beneficis = 0 (Π * n) – (p *L * n) = 0 Πmin = p * L En el nostre exemple: Π min = p*L = 0,001 * 120.000 = 120 € = VE dany 36 La lògica econòmica de les Assegurances 19 III.Condició per a què el mercat d'assegurances existeixi: La disposició a pagar (D) ha de ser igual o superior a la prima mínima, si és superior, llavors serà possible tenir beneficis positius: D Πmin = p x L 37 La lògica econòmica de les Assegurances Πmin p*L D 0 IV.

Condicions per a què un mercat d'assegurances funcioni: 1. p independent entre individus 2. p < 1 (si és igual a 1, per a què una assegurança?) 3. p coneguda o estimable 4. Absència d'informació asimètrica Selecció Adversa Risc Moral Es satisfan aquestes condicions al mercat sanitari? 38 La lògica econòmica de les Assegurances 20 Problemes de les Assegurances Sanitàries 39 1. Independència en p 2. p < 1 3. p coneguda o estimable 4. Informació simètrica: a) No abús moral b) No selecció adversa 1. Epidèmies 2. Malalties cròniques 3. No problema 4.

Informació asimètrica: El malalt i el metge (o els dos) poden variar L Els individus tenen més informació sobre "p" que les asseguradores Abús Moral Els individus, si estan assegurats, no paguen per l'atenció que reben.

Els metges, que són els que decideixen sobre l'atenció, no es troben restringits per la capacitat de pagament dels pacients excés de consum Les asseguradores intenten que uns i altres interioritzin les implicacions en termes de despesa de la major atenció: Metges: pressupostos fixes per persona assignada Pacients: copagaments i franquícies 40 21 Selecció Adversa Suposem que existeixen 2 tipus d'individus: Individus amb una probabilitat alta d'emmalaltir (pA) Individus amb una probabilitat baixa d'emmalaltir (pB) El cost esperat de l'atenció que poden necessitar aquests tipus d'individus és diferent: CEA = pA x L CEB = pB x L Els individus saben si són individus de baix risc o alt, però les asseguradores no poden distingir a uns d'altres (informació asimètrica) 41 Selecció Adversa Les asseguradores, com no poden distingir a uns individus dels altres, fixen una prima mitjana, Π, basada en el cost esperat per al conjunt de la població: Conseqüència: Els individus d'alt risc compren l'assegurança (Π és relativament baixa) i els de baix risc no (Π és relativament alta) Conclusió: existeixen individus que, tot i que millorarien el seu benestar si estiguessin assegurats, no poden perquè una fallada en el funcionament del mercat (selecció adversa) els hi ho impedeix 42 Π = pAB x L, on A B AB A B T T N N p = p +p N N 22 Selecció Adversa i Intervenció del SP L'eliminació dels problemes de selecció adversa constitueix el principal motiu d'eficiència que justifica la intervenció del SP en matèria d'assegurament sanitari El SP pot adoptar dues estratègies: Obligar als individus a subscriure assegurances privades i finançar públicament les primes dels pobres Crear un mecanisme col·lectiu que proporcioni atenció sanitària a tothom i que es financi a través d'ingressos públics (obligatoris) 43 Motius d'Equitat L'atenció sanitària com a bé preferent: Existeix consens en que una societat desenvolupada no pot permetre que els seus integrants es vegin abocats a la pobresa pel cost d'una malaltia, o que la seva salut es vegi minvada o morin per falta de recursos econòmics 44 23 Motius d'Equitat JUDICI MORAL: qualsevol individu INDEPENDENTEMENT del seu nivell de RENDA ha de rebre una assistència sanitària adequada BÉ PREFERENT Per tant, no es pot deixar al mercat la provisió d'aquest bé perquè el seu consum dependria de la disponibilitat a pagar (renda) Despeses sanitàries: poc uniformes al llarg de la vida Gran part dels costos de la sanitat es concentren en menys del 10% de la població 45 Motius d'Equitat 46