1. Oscilaciones Libres
Flashcards
- ¿Qué es la Ley de Hooke?
- La Ley de Hooke describe la fuerza de restitución de un resorte, proporcional al desplazamiento desde su posición de equilibrio: F = -kx.
- ¿De qué depende la frecuencia angular en un MAS?
- La frecuencia angular (ω) en un MAS depende de la masa (m) y la constante de restitución (k): ω = √(k/m).
- ¿Qué representa la amplitud en un MAS?
- La amplitud (A) es el máximo desplazamiento del objeto desde su posición de equilibrio.
- ¿Cómo se define el período en un MAS?
- El período (T) es el tiempo necesario para completar un ciclo completo de oscilación: T = 2π√(m/k).
Preguntas tipo test
- ¿Qué condición debe cumplirse en un punto de equilibrio estable en 1D?
- a) La primera derivada de la fuerza con respecto a la posición debe ser positiva.
- b) La primera derivada de la energía potencial con respecto a la posición debe ser cero.
- c) La segunda derivada de la energía potencial con respecto a la posición debe ser negativa.
- d) La fuerza debe ser máxima.
Respuesta: b) La primera derivada de la energía potencial con respecto a la posición debe ser cero.. En un punto de equilibrio estable, la primera derivada de la energía potencial con respecto a la posición debe ser cero, lo que indica un punto crítico (mínimo, máximo o punto de inflexión).
- ¿Qué representa 'k' en la ley de Hooke F(x) = -k(x - x₀)?
- a) La energía cinética del sistema.
- b) La constante de restitución del muelle.
- c) La amplitud del movimiento.
- d) El periodo de oscilación.
Respuesta: b) La constante de restitución del muelle.. En la ley de Hooke, 'k' representa la constante de restitución del muelle, que indica la rigidez del muelle y la fuerza necesaria para deformarlo.
- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre la energía potencial en un MAS?
- a) Es constante en todo momento.
- b) Es máxima en el punto de equilibrio.
- c) Es proporcional a la velocidad.
- d) Es máxima en los puntos de retorno (amplitud máxima).
Respuesta: d) Es máxima en los puntos de retorno (amplitud máxima).. En un MAS, la energía potencial es máxima en los puntos de retorno, donde la velocidad es cero y la energía total es puramente potencial.
2. Solución General del Movimiento Armónico Simple (MAS)
Flashcards
- ¿Qué es la amplitud en el MAS?
- Es el máximo desplazamiento desde la posición de equilibrio.
- ¿Qué representa ω en el MAS?
- Velocidad angular (frecuencia angular).
- ¿Qué es el desfase en el MAS?
- Es un parámetro que indica la posición inicial del oscilador.
- ¿De qué depende la frecuencia propia de oscilación en un oscilador?
- De la masa y la constante de restitución del muelle.
Preguntas tipo test
- ¿Qué parámetro del MAS depende de las condiciones específicas a las que se somete el dispositivo?
- a) La frecuencia angular.
- b) El desfase.
- c) La masa del oscilador.
- d) La constante de restitución del muelle.
Respuesta: b) El desfase.. El desfase (φ) depende de las condiciones específicas, mientras que la frecuencia angular depende de la masa y la constante de restitución del muelle.
- En el contexto del Movimiento Armónico Simple (MAS), ¿qué representa la 'A' en la ecuación x(t) = Acos(ωt + φ)?
- a) La aceleración del movimiento.
- b) La amplitud del movimiento.
- c) La frecuencia angular.
- d) El desfase inicial.
Respuesta: b) La amplitud del movimiento.. En la ecuación x(t) = Acos(ωt + φ), 'A' representa la amplitud del movimiento, que es el máximo desplazamiento desde la posición de equilibrio.
- ¿Cuál es la relación entre el período (T) y la frecuencia (f) en el Movimiento Armónico Simple (MAS)?
- a) T = 1/f
- b) T = f^2
- c) T = 2πf
- d) T = √(f)
Respuesta: a) T = 1/f. El período (T) y la frecuencia (f) son inversamente proporcionales, es decir, T = 1/f. Esto significa que el período es el tiempo que tarda en completarse un ciclo, mientras que la frecuencia es el número de ciclos por unidad de tiempo.
3. Parámetros del MAS
Flashcards
- ¿Qué representa 'A' en la ecuación x(t) = A cos(ωt + φ) del MAS?
- Amplitud
- ¿Cuál es la fórmula para calcular el período (T) en el MAS?
- T = 2π√(m/k)
- ¿De qué depende la frecuencia propia de oscilación (ω₀) en un MAS?
- De la masa (m) y la constante de restitución (k)
- ¿Qué indica el desfase (φ) en la ecuación del MAS?
- La posición inicial del oscilador
Preguntas tipo test
- ¿Qué parámetro del MAS depende de cómo esté construido el oscilador (masa y constante de restitución)?
- a) Amplitud (A)
- b) Desfase (φ)
- c) Frecuencia propia (ω₀)
- d) Posición inicial (x₀)
Respuesta: c) Frecuencia propia (ω₀). La frecuencia propia (ω₀) es un parámetro intrínseco que depende de la masa (m) y la constante de restitución (k) del oscilador. La amplitud (A) y el desfase (φ) dependen de las condiciones iniciales.
- En el MAS, ¿qué representa la 'A' en la ecuación x(t) = A cos(ωt + φ)?
- a) La aceleración máxima
- b) La amplitud del movimiento
- c) La frecuencia angular
- d) El desfase inicial
Respuesta: b) La amplitud del movimiento. En la ecuación del MAS, 'A' representa la amplitud del movimiento, es decir, el máximo desplazamiento desde la posición de equilibrio.
- ¿Cuál de las siguientes opciones define correctamente el período (T) en el Movimiento Armónico Simple (MAS)?
- a) T = √(m/k)
- b) T = 2π√(k/m)
- c) T = 1 / f
- d) T = √(k*m)
Respuesta: c) T = 1 / f. El período (T) se define como el inverso de la frecuencia (f), es decir, T = 1 / f. También se puede calcular como T = 2π√(m/k).
4. Amplitud y fase de la velocidad y aceleración
Flashcards
- ¿Qué es la amplitud en el MAS?
- El máximo desplazamiento desde la posición de equilibrio.
- ¿Qué es la velocidad angular (ω) en el MAS?
- Una medida de la rapidez con la que oscila el sistema.
- ¿Qué representa el desfase (φ) en el MAS?
- La posición inicial del oscilador en t=0.
- ¿Cómo se calcula el periodo (T) en el MAS?
- T = 2π/ω, donde ω es la velocidad angular.
Preguntas tipo test
- ¿Qué representa 'A' en la ecuación general del Movimiento Armónico Simple (MAS) cos(ωt + φ)?
- a) La velocidad angular
- b) El desfase
- c) La amplitud
- d) El periodo
Respuesta: c) La amplitud. En la ecuación general del MAS, x(t) = A cos(ωt + φ), 'A' representa la amplitud del movimiento, que es el máximo desplazamiento desde la posición de equilibrio.
- ¿De qué parámetros depende la frecuencia propia de oscilación (ω₀) en un oscilador?
- a) De la amplitud y el desfase inicial
- b) De las condiciones iniciales del movimiento
- c) De la masa del oscilador y la constante de restitución del muelle
- d) Del periodo y la amplitud
Respuesta: c) De la masa del oscilador y la constante de restitución del muelle. La frecuencia propia de oscilación (ω₀) depende intrínsecamente de cómo está construido el oscilador, es decir, de su masa (m) y la constante de restitución del muelle (k).
- Si la velocidad angular (ω) aumenta, ¿cómo se ve afectado el periodo (T) de un oscilador?
- a) El periodo aumenta
- b) El periodo disminuye
- c) El periodo no se ve afectado
- d) El periodo se duplica
Respuesta: b) El periodo disminuye. El periodo (T) y la velocidad angular (ω) están inversamente relacionados por la fórmula T = 2π/ω. Por lo tanto, si ω aumenta, T disminuye.
5. Ejemplo de Oscilaciones
Flashcards
- ¿Qué representa la Ley de Hooke en el contexto de oscilaciones?
- La Ley de Hooke (F = -kx) describe la fuerza de restitución proporcional al desplazamiento desde el equilibrio.
- ¿Qué es la frecuencia angular (ω) en el Movimiento Armónico Simple (MAS)?
- La frecuencia angular (ω) es una medida de la rapidez de la oscilación, relacionada con el período (T) como ω = 2π/T.
- ¿Cómo se define la energía potencial en un sistema que sigue la Ley de Hooke?
- La energía potencial (U) en un sistema Hookeano se define como U = (1/2)kx^2, donde k es la constante de restitución y x es el desplazamiento.
- ¿Qué es el principio de equipartición de la energía?
- El principio de equipartición de la energía establece que, en promedio, la energía se distribuye por igual entre las formas cinética y potencial en un oscilador armónico.
Preguntas tipo test
- ¿Qué condición debe cumplirse para que un punto sea considerado un punto de equilibrio estable en un sistema unidimensional?
- a) La derivada primera de la fuerza con respecto a la posición debe ser positiva.
- b) La derivada primera de la energía potencial con respecto a la posición debe ser cero.
- c) La derivada segunda de la energía potencial con respecto a la posición debe ser negativa.
- d) La fuerza en ese punto debe ser máxima.
Respuesta: b) La derivada primera de la energía potencial con respecto a la posición debe ser cero.. En un punto de equilibrio estable, la derivada primera de la energía potencial con respecto a la posición debe ser cero, indicando un punto donde la fuerza es nula y la partícula está en equilibrio. Adicionalmente, la derivada segunda debe ser positiva, indicando un mínimo en la energía potencial.
- ¿Qué representa la constante 'k' en la ley de Hooke (F = -kx) en el contexto de pequeñas oscilaciones alrededor de un punto de equilibrio estable?
- a) La energía cinética del sistema.
- b) La constante de restitución del oscilador.
- c) La amplitud del movimiento.
- d) La frecuencia angular del oscilador.
Respuesta: b) La constante de restitución del oscilador.. En la ley de Hooke, la constante 'k' representa la constante de restitución, que indica la rigidez del sistema y la fuerza necesaria para desplazar la partícula de su posición de equilibrio.
- ¿Cuál es la relación entre el período (T) y la frecuencia (f) en un Movimiento Armónico Simple (MAS)?
- a) T = 1/f
- b) T = f^2
- c) T = 2πf
- d) T = √f
Respuesta: a) T = 1/f. El período (T) es el tiempo que tarda una oscilación completa, y la frecuencia (f) es el número de oscilaciones por unidad de tiempo. Por lo tanto, son inversamente proporcionales: T = 1/f.
6. Notación Compleja o de Euler
Flashcards
- ¿Qué representa la notación compleja o de Euler?
- Una forma de expresar números complejos utilizando la función exponencial.
- ¿Cuál es la fórmula de Euler?
- e^(jθ) = cos(θ) + j sen(θ)
- ¿Cómo se expresa un número complejo Z en notación de Euler?
- Z = |Z|e^(jθ), donde |Z| es la magnitud y θ es el ángulo.
- ¿Qué ventajas ofrece la notación de Euler en el análisis de circuitos de corriente alterna?
- Simplifica los cálculos al convertir funciones trigonométricas en exponenciales.
Preguntas tipo test
- ¿Cuál es la relación fundamental que define la notación compleja o de Euler?
- a) Z = a + bj = |Z|e^(jθ)
- b) Z = a - bj = |Z|e^(jθ)
- c) Z = a + bj = |Z|^2 e^(jθ)
- d) Z = a - bj = |Z|^2 e^(jθ)
Respuesta: a) Z = a + bj = |Z|e^(jθ). La notación compleja de Euler define un número complejo Z como la suma de una parte real 'a' y una parte imaginaria 'b', y lo relaciona con su magnitud |Z| y su ángulo θ mediante la expresión Z = a + bj = |Z|e^(jθ).
- ¿Qué representa |Z| en la notación compleja o de Euler?
- a) La parte real del número complejo.
- b) La parte imaginaria del número complejo.
- c) La magnitud o módulo del número complejo.
- d) El conjugado del número complejo.
Respuesta: c) La magnitud o módulo del número complejo.. |Z| representa la magnitud o módulo del número complejo, calculado como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de su parte real e imaginaria.
- ¿Cuál es la utilidad de la notación compleja en el contexto del movimiento armónico simple (MAS)?
- a) Simplificar la representación de la energía potencial.
- b) Facilitar la descripción de la velocidad y aceleración.
- c) Complicar el análisis del periodo y la frecuencia.
- d) Impedir la solución de la ecuación diferencial del MAS.
Respuesta: b) Facilitar la descripción de la velocidad y aceleración.. La notación compleja simplifica la descripción de la velocidad y la aceleración en el MAS, permitiendo expresarlas como derivadas de la posición en forma exponencial compleja.
7. Solución General MAS y Velocidad y Aceleración en Notación de Euler
Flashcards
- ¿Qué tipo de notación simplifica la representación de oscilaciones armónicas mediante números complejos?
- Notación de Euler
- En la notación compleja, ¿qué representa el término 'jω'?
- Un desfase de π/2 radianes
- ¿Qué componente de un circuito eléctrico es análogo a la masa en un sistema mecánico?
- Inductancia (L)
- En la notación de Euler, ¿cómo se relaciona la velocidad con la posición en el MAS?
- La velocidad es la derivada temporal de la posición, desfasada π/2 radianes.
Preguntas tipo test
- ¿Qué representa la notación compleja o de Euler en el contexto del MAS?
- a) Una forma de simplificar la representación de las oscilaciones mediante números complejos.
- b) Una manera de complicar el análisis de las oscilaciones armónicas.
- c) Un método para eliminar la dependencia del tiempo en las ecuaciones del movimiento.
- d) Una técnica para calcular la energía potencial del sistema.
Respuesta: a) Una forma de simplificar la representación de las oscilaciones mediante números complejos.. La notación compleja o de Euler permite representar las oscilaciones armónicas de forma más compacta y facilita el análisis matemático al utilizar las propiedades de los números complejos.
- ¿Cuál es la relación entre la velocidad y la aceleración en la notación de Euler en el MAS?
- a) La velocidad y la aceleración son directamente proporcionales y están en fase.
- b) La aceleración es la derivada temporal de la velocidad y está desfasada π/2 radianes.
- c) La velocidad es la derivada temporal de la aceleración y está desfasada π/2 radianes.
- d) La velocidad y la aceleración son independientes entre sí.
Respuesta: b) La aceleración es la derivada temporal de la velocidad y está desfasada π/2 radianes.. En la notación de Euler, la aceleración se obtiene derivando la velocidad con respecto al tiempo, lo que introduce un factor 'jω' que representa un desfase de π/2 radianes.
- En el equivalente electromecánico, ¿qué magnitud física es análoga a la masa (m) en un oscilador mecánico?
- a) La capacitancia (C)
- b) La carga (q)
- c) La inductancia (L)
- d) La corriente (I)
Respuesta: c) La inductancia (L). En la analogía electromecánica, la inductancia (L) en un circuito eléctrico se corresponde con la masa (m) en un sistema mecánico, ambos representando la inercia del sistema.
8. Energía en un MAS
Flashcards
- ¿Qué tipo de fuerza está presente en un MAS?
- Una fuerza conservativa.
- ¿Cómo se define la energía potencial en un MAS?
- U(x) = 1/2 * kx^2, donde k es la constante de restitución y x es el desplazamiento.
- ¿Cuándo la energía potencial es máxima en un MAS?
- En los puntos de retorno que definen la amplitud del movimiento.
- ¿Cómo se relaciona la energía cinética máxima con la energía potencial máxima en un MAS?
- Son iguales: E_k,max = U_max
Preguntas tipo test
- ¿En qué punto del MAS la energía potencial es máxima?
- a) En el punto de equilibrio
- b) En los puntos de retorno que definen la amplitud del movimiento
- c) Cuando la velocidad es máxima
- d) En un punto intermedio entre el equilibrio y la amplitud
Respuesta: b) En los puntos de retorno que definen la amplitud del movimiento. La energía potencial en un MAS es máxima en los puntos de retorno, que corresponden a los extremos de la amplitud del movimiento. En estos puntos, la energía cinética es cero y toda la energía mecánica se encuentra en forma de energía potencial.
- ¿En qué punto del MAS la energía cinética es máxima?
- a) En los puntos de retorno que definen la amplitud del movimiento
- b) En el punto donde la energía potencial es máxima
- c) En el punto de equilibrio
- d) En un punto intermedio entre el equilibrio y la amplitud
Respuesta: c) En el punto de equilibrio. La energía cinética en un MAS es máxima en el punto de equilibrio, donde la velocidad del objeto es máxima. En este punto, la energía potencial es cero y toda la energía mecánica se encuentra en forma de energía cinética.
- ¿Cuál es la relación entre la energía cinética media y la energía potencial media en un MAS?
- a) La energía cinética media es el doble de la energía potencial media.
- b) La energía potencial media es el doble de la energía cinética media.
- c) La energía cinética media y la energía potencial media son iguales.
- d) No existe una relación definida entre ellas.
Respuesta: c) La energía cinética media y la energía potencial media son iguales.. En un MAS, la energía se reparte por igual, en promedio, entre la energía cinética y la energía potencial. Esto significa que la energía cinética media es igual a la energía potencial media.
9. Ejemplo de Cálculo de Energía en MAS
Flashcards
- ¿Qué representa la energía potencial en un MAS?
- La energía almacenada debido a la posición del objeto respecto a su punto de equilibrio.
- ¿Dónde es máxima la energía cinética en un MAS?
- En el punto de equilibrio.
- ¿Qué es la amplitud en un MAS?
- El máximo desplazamiento desde el punto de equilibrio.
- ¿Cómo se calcula la frecuencia angular (ω) en un MAS?
- ω = √(k/m), donde k es la constante de restitución y m es la masa.
Preguntas tipo test
- ¿Qué representa la amplitud (A) en la ecuación del Movimiento Armónico Simple (MAS)?
- a) La velocidad máxima del objeto.
- b) La aceleración máxima del objeto.
- c) El desplazamiento máximo del objeto desde su posición de equilibrio.
- d) La energía total del sistema.
Respuesta: c) El desplazamiento máximo del objeto desde su posición de equilibrio.. La amplitud (A) en el MAS representa el máximo desplazamiento del objeto desde su posición de equilibrio.
- ¿Cuál es la relación entre la energía cinética máxima y la energía potencial máxima en un MAS?
- a) La energía cinética máxima es siempre mayor que la energía potencial máxima.
- b) La energía potencial máxima es siempre mayor que la energía cinética máxima.
- c) Son iguales.
- d) No hay relación directa entre ellas.
Respuesta: c) Son iguales.. En un MAS, la energía mecánica total se conserva, y en los puntos extremos del movimiento, toda la energía es potencial, mientras que en el punto de equilibrio, toda la energía es cinética. Por lo tanto, la energía cinética máxima es igual a la energía potencial máxima.
- Si la energía cinética de un oscilador armónico es igual a su energía potencial, ¿en qué punto de su trayectoria se encuentra?
- a) En el punto de equilibrio.
- b) En el punto de máxima elongación.
- c) En un punto intermedio entre el equilibrio y la máxima elongación.
- d) En cualquier punto, siempre que la velocidad sea constante.
Respuesta: c) En un punto intermedio entre el equilibrio y la máxima elongación.. Cuando la energía cinética es igual a la energía potencial, el oscilador se encuentra en un punto intermedio entre el equilibrio y la máxima elongación, ya que ni toda la energía es cinética (como en el equilibrio) ni toda la energía es potencial (como en la máxima elongación).
10. Apéndice I: Ley de Hooke
Flashcards
- ¿Qué describe la Ley de Hooke en el contexto de pequeñas oscilaciones?
- La fuerza necesaria para deformar un objeto es directamente proporcional a la deformación.
- ¿Qué tipo de equilibrio se requiere para aplicar la Ley de Hooke?
- Equilibrio estable.
- ¿Qué representa el desarrollo de Taylor en el contexto de la Ley de Hooke?
- Una aproximación de una función en serie de potencias alrededor de un punto.
- ¿Qué condición matemática define un punto de equilibrio estable en términos de energía potencial?
- Un mínimo de la energía potencial.
Preguntas tipo test
- ¿Qué condición debe cumplirse para que un punto sea considerado un punto de equilibrio estable?
- a) La primera derivada de la función de energía potencial debe ser cero.
- b) La segunda derivada de la función de energía potencial debe ser cero.
- c) La primera derivada de la función de energía potencial debe ser máxima.
- d) La segunda derivada de la función de energía potencial debe ser negativa.
Respuesta: a) La primera derivada de la función de energía potencial debe ser cero.. Para que un punto sea de equilibrio, la primera derivada de la energía potencial debe ser cero. Si además es estable, la segunda derivada debe ser positiva (mínimo).
- ¿Qué representa la constante 'k' en la Ley de Hooke?
- a) La energía potencial del sistema.
- b) La constante de restitución del muelle.
- c) La fuerza aplicada al sistema.
- d) La amplitud del movimiento.
Respuesta: b) La constante de restitución del muelle.. En la Ley de Hooke, 'k' es la constante de restitución, que indica la rigidez del muelle o sistema elástico.
- ¿Qué tipo de función describe la energía potencial en la aproximación armónica?
- a) Una función lineal.
- b) Una función exponencial.
- c) Una función parabólica.
- d) Una función sinusoidal.
Respuesta: c) Una función parabólica.. En la aproximación armónica, la energía potencial se describe como una parábola en el entorno del punto de equilibrio.
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Texto del documento
Apuntes V.Gomis 1 Curso 2019/20 5. OSCILACIONES 5.1 Oscilaciones libres: Equilibrio estable. Recordando las condiciones de equilibrio estable en 1D: * 0 0 0 0 x dU F x dx * 0 0 2 2 0 x x dF d U k k dx dx (condición de mínimo en U) * 0 F x k x x (Ley de Hooke). siendo 0 x x dx un punto muy cercano a la posición de equilibrio 0 x . Así pues, la dinámica en un entorno de un punto de equilibrio estable cualquiera vendrá determinada por la presencia de una fuerza del tipo 0 F x k x x para movimientos lo suficientemente próximos a 0 x ()ver Apéndice I). Planteando la segunda ley de Newton para una partícula de masa m : 2 0 2 ma F x d x m k x x dt * Podemos solucionar el problema para 0 0 x .
En el caso que no sea así, siempre podremos hacer un cambio de variable 0 ' x x x una vez solucionada la ecuación. Resolución ecuación diferencial: * Ecuación diferencial lineal a coeficientes constantes de 2º orden: 2 2 0 d x k x dt m Apuntes V.Gomis 2 Curso 2019/20 * Si encontramos dos soluciones 1 x t f t y 2 x t f t , linealmente independientes ( 1 f t y 2 f t no son proporcionales) entonces cualquier solución de la ecuación diferencial se puede expresar como: 1 1 2 2 x t f t f t Donde 1 y 2 son constantes a determinar por las condiciones de contorno.
* Ensayo de la solución cos x t t (alternativamente sen x t t ) 2 cos cos 0 k t t m k m * Solución general de la ecuación diferencial: 1 2 cos sen x t t t con k m . Condiciones de contorno.
* La fuerza F x kx es conservativa cuya función energía potencial es 2 1 2 U x kx Dada la conservación de la energía mecánica existen dos posiciones extremas (máxima y mínima) max min x x A que se alcanzarán en ciertos instantes m t tal que: 1 2 1 2 0 sen cos 0 cos sen m m m t m m m dx t t dt x t A t t A Llamando m t y utilizándolo como parámetro, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 1 2 1 2 1 2 sen cos 0 cos sen cos sen A A A La solución general se re-escribirá como: x min x m E U x max x Apuntes V.Gomis 3 Curso 2019/20 cos cos sen sen cos x t A t A t A t Donde hemos utilizado la relación cos cos cos sen sen Solución general del movimiento armónico simple (MAS) cos x t A t Donde: - A es la amplitud - k m es la velocidad angular (por abuso de lenguaje, frecuencia) - es el desfase , más adelante denominada 0 o frecuencia propia de oscilación, es un parámetro intrínseco del oscilador.
Es decir, sólo dependerá de cómo esté construido nuestro oscilador (su masa m y la constante de restitución del muelle k ) mientras que A y dependen de las condiciones específicas a las que sometemos nuestro dispositivo. Parámetros del MAS: Periodo 2 2 m T k Frecuencia 1 1 2 2 k f T m Desfase y retardo 2 t T * Amplitud y fase de la velocidad : 0 0 cos sen 2 v t v t dx v t A t dt v A Apuntes V.Gomis 4 Curso 2019/20 * Amplitud y fase de la aceleración : 0 2 2 0 0 cos cos a t a t dv a t A t dt a v A Ejemplo: 5.e1 En la figura se representa una ampliación de la energía potencial 2 2 ( ) 1 x U x x en el entorno de 1,0 m x .
La partícula, de masa 20 g m , está inicialmente en 1,0 m x moviéndose hacia la izquierda a 1,4 m/s v . Analice el tipo de movimiento que describe la partícula y determine su trayectoria. Resp: En 1,0 m x , ( ) U x presenta un mínimo.
Esto se puede ver directamente en la gráfica o bien buscando los puntos extremos: 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 1 1 2 1 0 0 1 m 1 1 4 1,0 J/m 1,0 N/m 1 x x x dU x dx x d U x x x k dx x Las condiciones iniciales que se imponen en el problema son: 2 2 1,0 m 1 1,0 J 1 1,4 m/s 0,020 J 2 0,98 J k x U v E mv E La energía cinética k E que además será su valor máximo es mucho más pequeña que el valor absoluto de la energía potencial U lo que hace que esta sea muy próxima a la energía mecánica E . En el transcurso del movimiento E y U no variará mucho.
Podemos considerar que energéticamente hablando, el movimiento será de pequeñas oscilaciones alrededor del punto de equilibrio por lo que podemos hacer la aproximación harmónica según la cual, la fuerza es aproximadamente: 0 1 F x k x x x También hubiéramos podido llegar a esta conclusión considerando la fuerza calculada a partir del potencial: 2 2 2 2 1 1 x dU F x dx x -1,02 -1,00 -0,98 -0,96 -0,94 -0,92 -0,90 -0,88 -0,86 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 -1,02 -1,00 -0,98 -0,96 -0,94 -0,92 -0,90 -0,88 -0,86 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 E Apuntes V.Gomis 5 Curso 2019/20 Supongamos ahora que realizamos pequeños movimientos en el entorno de 0 1 m x de tal manera que 0 1 x x , donde como máximo valdrá unos 0,2 m (ver gráfico).
Entonces: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 F x x Donde asumimos que 2 0,2 0,04 . De esta manera, la ecuación de la trayectoria tiene que ser: 0 cos x t A t x Donde 7,1 rad/s k m y 0 1,0 m x Las condiciones de contorno o iniciales son: 0 0 0 cos 2 2 0 sen 1,4 m/s 1,4 0,20 m x A x x v A A La solución es entonces: 0,20 cos 1 m 2 x t t Notación compleja o de Euler.
* Notaciones de un número complejo Z : 2 2 arctg j Z a bj Z Z e Z a b b a j e tiene la misma álgebra que cos sen j Z a Im Re b Apuntes V.Gomis 6 Curso 2019/20 cos cos cos sen sen sen sen cos cos sen cos sen cos sen cos sen cos cos sen sen sen cos cos sen j j j j e e e j j j * 2 * j j j j Z a bj Z e Z a bj Z e Z Z Z Z e Z e * Solución general MAS: cos cos sen i t x t A t A t j t x t x t Ae * Velocidad y aceleración en notación de Euler: 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 0 i t i t i t j i t i t i t i t j i t i t x t Ae dx v t j Ae Ae e Ae v e dt dv a t j v e Ae e Ae a e dt Equivalente electromecánico.
2 2 1 0 d q q dt LC * Por analogía con el oscilador mecánico: 1 1 m L k k C m LC x q v I q I C L Apuntes V.Gomis 7 Curso 2019/20 Energía en un MAS. * F x kx es una fuerza conservativa. Tomando como referencia el punto de equilibrio (origen de coordenadas) 2 1 2 U x kx * m k E E U se tiene que conservar. La energía potencial será máxima en los puntos de retorno que definen la amplitud del movimiento: 2 max 1 2 m E U U x A kA La energía cinética máxima coincidirá con la energía potencial mínima definiendo la amplitud de la velocidad (velocidad máxima).
2 ,max 0 1 ( 0) 2 m k k E E E x mv Naturalmente, ,max max m k E E U ya que: 2 2 2 2 ,max 0 max 1 1 1 1 2 2 2 2 m k k E E mv m A m A kA U m Principio de la equipartición de la energía. Para un instante cualquiera se cumplirá que: 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 cos cos 2 2 2 2 2 m E mv t kx t mv t kA t * Energía cinética: Teniendo en cuenta que 2 1 cos 1 cos 2 2 : 2 2 2 0 0 1 1 1 cos 1 cos 2 2 2 2 2 2 k E t mv t mv t A U x x m E A Apuntes V.Gomis 8 Curso 2019/20 k E t es una función senosoidal de frecuencia doble. En cada periodo de la posición, k E t se hace cero dos veces por lo que la energía cinética se hace máxima en dos ocasiones habiendo hecho dos ciclos.
Las oscilaciones se hacen en torno al valor medio 2 0 1 4 mv . Si calculamos cuál debería ser la energía cinética equivalente de un objeto en un movimiento uniforme o energía cinética media: 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 cos 2 2 4 4 T T k k E E t dt mv t dt mv T T Podemos observar que 2 m k E E . * Energía potencial: 2 2 2 1 1 1 cos 1 cos 2 2 2 2 2 U t kA t kA t También es una función senosoidal de frecuencia doble por idénticas razones que en el caso anterior. Las oscilaciones se hacen en torno al valor medio 2 1 4 kA . De igual manera, la energía potencial media: 2 2 0 0 1 1 1 1 1 cos 2 2 4 4 T T U U t dt kA t dt kA T T Podemos observar que 2 m k E U E .
La energía se reparte por igual, en promedio, en forma de energía cinética y de energía potencial, tal y como ya habíamos anunciado en el correspondiente capítulo de termodinámica. Ejemplo: 5.e2 Una masa 0,300 kg m oscila armónicamente. Su velocidad máxima es de 0,808 m/s y su aceleración máxima de 2 6,53 m/s .
Calcule: a) la energía del oscilador b) las energías cinética y potencial cuando la elongación es la mitad de la amplitud c) el desplazamiento para el que son iguales sus energías cinética y potencial Apuntes V.Gomis 9 Curso 2019/20 a) Asumiendo que el origen de potenciales está situado en el punto de equilibrio, la energía mecánica será igual a la cinética máxima por lo que: 2 0 1 98 mJ 2 km E E mv b) Sea 2 A x .
La energía potencial en ese punto será igual a : 2 1 2 2 4 A A U x k Por otro lado, 2 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 a a k k m a v m v v v A v A a Sustituyendo: 2 4 2 0 0 0 2 2 0 0 1 1 1 1 1 24,5 mJ 2 2 4 8 4 4 km a v A U x m mv E E v a 3 73,5 mJ 2 2 4 k A A E x E U x E c) 2 2 2 2 2 ' ' 1 1 sen ' cos ' 2 2 ' cos ' k E x U x m A t kA t x A t Si definimos la fase ' t , la ecuación anterior se re-escribe como: 2 2 2 2 sen tan 1 cos 4 k m 2 0 0 2 2 ' cos 7,1 cm 4 2 2 v x A A a Apuntes V.Gomis 10 Curso 2019/20 Apéndice I: Ley de Hooke Cualquier función x infinitamente diferenciable se puede expresar como una serie de potencias en el entorno de un punto dado 0 x como: 0 0 0 2 3 2 3 0 0 0 0 2 3 1 1 1 .....
1! 2! 3! x x x d d d x x x x x x x x dx dx dx donde 0 n n x d dx es el valor de la derivada n-ésima en el punto 0 x . Sea F x una fuerza unidimensional conservativa. Dado que es conservativa, Se puede demostrar la existencia de al menos una función energía potencial U x tal que dU F x dx . Sea 0 x un punto de equilibrio. Por definición, 0 0 F x o equivalentemente 0 0 x dU dx . Si además se trata de un equilibrio estable, 0 x deberá ser un mínimo de la energía potencia por lo que: 0 0 2 2 0 x x dF d U k k dx dx El desarrollo de Taylor en puntos en el entorno del equilibrio 0 x x dx : 0 0 0 2 3 2 3 0 0 0 0 2 3 1 1 .....
2 6 x x x dF d F d F F x F x x x x x x x dx dx dx Si 0 dx x x es suficientemente pequeño, podemos considerar que la serie converge rápidamente considerando sólo los dos primeros términos: 0 0 0 x dF F x dx F x dx dx Esta aproximación es la que realizamos al calcular la derivada ya que: 0 0 0 x F x dx F x dF dx dx Apuntes V.Gomis 11 Curso 2019/20 Si aplicamos las características antes mencionadas anteriormente: 0 F x k x x La ley de Hooke es pues general.
Las únicas premisas necesarias son que nos encontremos en el entorno de un punto de equilibrio estable de una fuerza conservativa, a una distancia lo suficientemente pequeña del mismo como para considerar válido la denominada aproximación armónica. Una fuerza tipo Hooke también es conservativa (es un tipo de fuerza central). Tomando la expresión resultante de la aproximación armónica, podemos reconstruit una función potencial que tiene que ser del tipo: 2 0 0 1 2 H H H U x k x x U dU F x dx donde 0 H U es una constante que depende del origen de potenciales.
Es decir, la aproximación armónica también considera que en el intervalo de validez, la función energía potencial primitiva U x se puede aproximar a una de tipo parábola H U x en un entorno de 0 x x min x U x