Sujet du Bac ST2S Épreuve anticipée de mathématiques 2026 · Sujets zéro et spécimens Sujet 1

Jean consacre $25\,\%$ de sa journée de dimanche à faire ses devoirs.

$80\,\%$ du temps consacré aux devoirs est consacré à faire un exposé.

Le pourcentage du temps consacré à l'exposé par rapport à la journée de dimanche est égal à:

Un prix diminue de 50 %. Pour retrouver le prix initial, il faut une augmentation de:

Le prix d'une tablette a baissé: il est passé de 250 euros à 200 euros.

Cela signifie que ce prix a été multiplié par:

La seule égalité vraie est:

L'épaisseur d'une feuille de papier est égale à $70 \times 10^{-3}\text{ mm}$.

L'épaisseur d'une pile de 2 000 feuilles est égale à:

Voici quatre planètes et leur masse.

Terre

$5\,973 \times 10^{21}\text{ kg}$

Mercure

$33,02 \times 10^{22}\text{ kg}$

Vénus

$48\,685 \times 10^{20}\text{ kg}$

Mars

$6,4185 \times 10^{23}\text{ kg}$

La planète dont la masse est la plus importante est:

On additionne un nombre réel $x$, avec son triple et son carré. Le résultat est égal à:

Dans la figure ci-contre, les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ représentent respectivement les fonctions $f$ et $g$.

L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \le g(x)$ est:

On donne ci-contre la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3\,; 2]$. On s'intéresse à l'équation $f(x) = 0$.

Une seule de ces propositions est exacte:

On considère une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ dont le tableau de signes est donné ci-dessous.

$x$

$-\infty$

$2$

$+\infty$

$f(x)$

$+$

$0$

$-$

Parmi les quatre expressions proposées pour la fonction $f$, une seule est possible.

On considère la relation $C = (1 + t)^2$. On cherche à isoler la variable $t$. On a:

Le diagramme en barres ci-contre donne la production d'électricité, en Twh (térawatt-heure) selon son origine (source: INSEE).

L'année où la production d'électricité d'origine hydraulique était la plus importante est:

Une biologiste désire étudier l'évolution de la population de singes sur une île.

En 2025, elle estime qu'il y a $1\,000$ singes sur l'île.

A. Premier modèle

Chaque année, la population de singes baisse de $10\,\%$.

1.

Montrer qu'en 2026, il y aura 900 singes sur l'île.

2.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de singes sur l'île pour l'année $2025 + n$. On a donc $u_0 = 1\,000$.

a.

Indiquer ce que représente $u_2$ et calculer sa valeur.

b.

Déterminer la nature de la suite $(u_n)$ et préciser sa raison.

c.

Donner les variations de cette suite.

3.

Selon ce modèle, la population de singes est-elle menacée d'extinction ? Justifier.

B. Second modèle

On admet que l'évolution du nombre de singes est modélisée par la suite $(v_n)$ ainsi définie:

$$\begin{cases} v_{n+1} = 0{,}9v_n + 150 \;; \; n \in \mathbb{N} \\ v_0 = 1\,000 \end{cases}$$

où $v_n$ désigne le nombre de singes sur l'île pour l'année $2025 + n$.

1.

Avec ce modèle, quelle sera la population de singes en 2026 ? Détailler le calcul.

2.

La feuille de calcul ci-contre donne les valeurs arrondies à l'unité des premiers termes de la suite $(v_n)$.

Quelle formule, destinée à être étirée vers le bas, faut-il saisir dans la cellule B3 pour obtenir les termes de la suite $(v_n)$ ?

3.

Indiquer en quelle année, la population de singes dépassera pour la première fois $1\,400$ individus.

Exercice 2

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2\,;\,6]$.

Sa courbe représentative, notée $\mathcal{C}$ est donnée ci-contre.

On sait que la courbe $\mathcal{C}$ passe par les points de coordonnées $(0\,;\,8)$, $(2\,;\,0)$ et $(4\,;\,-8)$.

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x = 2$.

On sait que la tangente $T$ coupe l'axe des ordonnées en $y = 12$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

1.a)

Déterminer les valeurs de $f(2)$ et $f'(2)$.

b)

Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$.

c)

Recopier et compléter le tableau de variation ci-dessous en utilisant le graphique.

$x$

$-2$

$0$

$4$

$6$

Variations de $f$

Max:

Min:

3.

On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0; 2]$ on a $f(x) \le -6x + 12$.

Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $\mathcal{T}$ sur l'intervalle $[0; 2]$ ?

Exercice 2

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2\,;\,6]$.

Sa courbe représentative, notée $\mathcal{C}$ est donnée ci-contre.

On sait que la courbe $\mathcal{C}$ passe par les points de coordonnées $(0\,;\,8)$, $(2\,;\,0)$ et $(4\,;\,-8)$.

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x = 2$.

On sait que la tangente $T$ coupe l'axe des ordonnées en $y = 12$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

2. On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[-2; 6]$ par $f(x) = 0,5x^3 - 3x^2 + 8$.

a)

Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-2; 6]$, on a $f'(x) = 1,5x(x - 4)$.

b)

Étudier le signe de $f'(x)$ et retrouver le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2; 6]$.

Exercice 3

Indiquer, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1. Afin de lutter contre le dopage dans le sport, un test a été mis en place.

En principe, ce test est POSITIF lorsque le sportif est dopé, et NEGATIF lorsqu'il n'est pas dopé.

Toutefois, ce test peut commettre des erreurs: il peut être positif lorsque le sportif n'est pas dopé, et négatif lorsque le sportif est dopé.

Le tableau ci-dessous donne les résultats recueillis auprès de 200 coureurs ayant participé à un marathon.

Coureur non dopé

Coureur dopé

Total

Test positif

15

5

20

Test négatif

178

2

180

Total

193

7

200

a.

On choisit un coureur au hasard parmi les 200 coureurs testés.

Affirmation 1: La probabilité que le coureur ne soit pas dopé ou soit testé positif est égale à $\frac{213}{200}$.

b.

On choisit un coureur au hasard parmi ceux ayant eu un test positif.

Affirmation 2: Il y a 75 % de chances que le coureur ne soit pas dopé.

c.

On choisit un coureur au hasard parmi les 200 coureurs testés.

Affirmation 3: La probabilité que le coureur soit concerné par une erreur de test est égale à 8,5 %.

2. Au tennis, un SERVICE peut être réussi ou manqué. Une joueuse de tennis s'entraîne à faire des services. On admet que:

la probabilité que son service soit réussi est égale à 0,9.

les services sont indépendants les uns des autres.

La joueuse fait deux services.

Affirmation 4: La probabilité qu'exactement un service soit réussi sur les deux est égale à 0,09.