Exercice 3 - Probabilités conditionnelles · Bac Mathématiques Sujets zéro et spécimens sujet 2021 (sujet 1)

Thème : Probabilités conditionnelles et indépendance · Tiré du sujet Sujet 1 (2021)

Énoncé

Pour préparer l'examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation:

la formation avec conduite accompagnée;

la formation traditionnelle.

On considère un groupe de 300 personnes venant de réussir l'examen du permis de conduire. Dans ce groupe:

75 personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée; parmi elles, 50 ont réussi l'examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.

225 personnes se sont présentées à l'examen suite à une formation traditionnelle; parmi elles, 100 ont réussi l'examen à la première présentation, 75 à la deuxième et 50 à la troisième présentation.

On interroge au hasard une personne du groupe considéré.

On considère les événements suivants:

AA: « la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée »;

R1R_1: « la personne a réussi l'examen à la première présentation »;

R2R_2: « la personne a réussi l'examen à la deuxième présentation »;

R3R_3: « la personne a réussi l'examen à la troisième présentation ».

1.

Modéliser la situation par un arbre pondéré.

Dans les questions suivantes, les probabilités demandées seront données sous forme d'une fraction irréductible.

2. a.

Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l'examen à sa deuxième présentation.

2. b.

Montrer que la probabilité que la personne interrogée ait réussi l'examen à sa deuxième présentation est égale à 13\frac{1}{3}.

2. c.

La personne interrogée a réussi l'examen à sa deuxième présentation. Quelle est la probabilité qu'elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée ?

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Modéliser la situation par un arbre pondéré.

Réponse :

2. a. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l'examen à sa deuxième présentation.

Réponse : 112\frac{1}{12}

2. b. Montrer que la probabilité que la personne interrogée ait réussi l'examen à sa deuxième présentation est égale à 1/3.

Réponse : On utilise la formule des probabilités totales : P(R2)=P(A∩R2)+P(A‾∩R2)=112+34×13=112+14=412=13P(R_2) = P(A \cap R_2) + P(\overline{A} \cap R_2) = \frac{1}{12} + \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

2. c. La personne interrogée a réussi l'examen à sa deuxième présentation. Quelle est la probabilité qu'elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée ?

Réponse : 14\frac{1}{4}

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