Exercice 2 · Bac Mathématiques Sujets zéro et spécimens sujet 2021 (sujet 1)

Thème : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Tiré du sujet Sujet 1 (2021)

Énoncé

EXERCICE 2 commun à tous les candidats (5 points)

On considère le cube ABCDEFGHABCDEFGH de côté 1, le milieu II de [EF][EF] et JJ le symétrique de EE par rapport à FF.

Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormé (A;AB⃗,AD⃗,AE⃗)(A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE}).

1. a.

Par lecture graphique, donner les coordonnées des points II et JJ.

1. b.

En déduire les coordonnées des vecteurs DJ⃗\vec{DJ}, BI⃗\vec{BI} et BG⃗\vec{BG}.

1. c.

Montrer que DJ⃗\vec{DJ} est un vecteur normal au plan (BGI)(BGI).

1. d.

Montrer qu'une équation cartésienne du plan (BGI)(BGI) est 2x−y+z−2=02x - y + z - 2 = 0.

2. a.

On note dd la droite passant par FF et orthogonale au plan (BGI)(BGI). Déterminer une représentation paramétrique de la droite dd.

2. b.

On considère le point LL de coordonnées (23;16;56)(\frac{2}{3}; \frac{1}{6}; \frac{5}{6}). Montrer que LL est le point d'intersection de la droite dd et du plan (BGI)(BGI).

3. a.

On rappelle que le volume VV d'une pyramide est donné par la formule V=13×B×hV = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h où B\mathcal{B} est l'aire d'une base et hh la hauteur associée à cette base.

Calculer le volume de la pyramide FBGIFBGI.

3. b.

En déduire l'aire du triangle BGIBGI.

Énoncé: Exercice 2 · Bac Mathématiques Sujets zéro et spécimens sujet 2021 (sujet 1)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. a. Coordonnées du point I

Réponse : I(0,5 ; 0 ; 1)I(0{,}5\,;\,0\,;\,1) ou I(12 ; 0 ; 1)I\left(\frac{1}{2}\,;\,0\,;\,1\right)

1. a. Coordonnées du point J

Réponse : J(2 ; 0 ; 1)J(2\,;\,0\,;\,1)

1. b. Coordonnées du vecteur \vec{DJ}

Réponse : DJ⃗(2 ; −1 ; 1)\vec{DJ}(2\,;\,-1\,;\,1)

1. b. Coordonnées du vecteur \vec{BI}

Réponse : BI⃗(−0,5 ; 0 ; 1)\vec{BI}(-0{,}5\,;\,0\,;\,1) ou BI⃗(−12 ; 0 ; 1)\vec{BI}\left(-\frac{1}{2}\,;\,0\,;\,1\right)

1. b. Coordonnées du vecteur \vec{BG}

Réponse : BG⃗(0 ; 1 ; 1)\vec{BG}(0\,;\,1\,;\,1)

1. c. Montrer que \vec{DJ} est un vecteur normal au plan (BGI)

Réponse : DJ⃗⋅BI⃗=0\vec{DJ} \cdot \vec{BI} = 0 et DJ⃗⋅BG⃗=0\vec{DJ} \cdot \vec{BG} = 0, avec BI⃗\vec{BI} et BG⃗\vec{BG} non colinéaires

1. d. Montrer qu'une équation cartésienne du plan (BGI) est 2x - y + z - 2 = 0

Réponse : 2x−y+z−2=02x - y + z - 2 = 0

2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite d

Réponse : {x=1+2ty=−tz=1+t,t∈R\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -t \\ z = 1 + t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}

2. b. Montrer que L est le point d'intersection de la droite d et du plan (BGI)

Réponse : t=−16t = -\frac{1}{6}, ce qui donne x=23x = \frac{2}{3}, y=16y = \frac{1}{6}, z=56z = \frac{5}{6}

3. a. Calculer le volume de la pyramide FBGI

Réponse : 112\frac{1}{12}

3. b. En déduire l'aire du triangle BGI

Réponse : 64\frac{\sqrt{6}}{4} ou 3612\frac{3\sqrt{6}}{12}

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