Exercice 7 · Bac Mathématiques Sujets zéro et spécimens sujet 2024 (sujet 1)

Exercice 7

On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f_k(x) = x + k\mathrm{e}^{-x}$, où $k$ est un réel strictement positif.

1.

On s'intéresse dans cette question au cas $k = 0{,}5$, donc à la fonction $f_{0{,}5}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_{0{,}5}(x) = x + 0{,}5\mathrm{e}^{-x}$.

a.

Montrer que la dérivée de $f_{0{,}5}$ notée $f'_{0{,}5}$ vérifie $f'_{0{,}5}(x) = 1 - 0{,}5\mathrm{e}^{-x}$.

b.

Montrer que la fonction $f_{0{,}5}$ admet un minimum en $\ln(0{,}5)$.

Soit $k$ un réel strictement positif. On donne le tableau de variations de la fonction $f_k$.

2.

Montrer que pour tout réel positif $k$, $f_k(\ln k) = \ln k + 1$.

On note $\mathcal{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d'un repère orthonormé.

On note $A_k$ le point de la courbe $\mathcal{C}_k$ d'abscisse $\ln k$.

On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathcal{C}_k$ pour différentes valeurs de $k$.

3.

Indiquer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse. Justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation: « Pour tout réel $k$ strictement positif, les points $A_{0{,}5}$, $A_1$ et $A_k$ sont alignés. »

Vraie

Fausse