Exercice 3 - Partie III · Bac Mathématiques Sujets zéro et spécimens sujet 2024 (sujet 1)

Exercice 3

Dans un examen, une épreuve notée sur dix points est constituée de deux exercices: le premier est noté sur deux points, le deuxième sur huit points.

Partie I

Le premier exercice est constitué de deux questions Q1 et Q2.

Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point; une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point.

On considère que:

Un candidat pris au hasard a une probabilité $0{,}8$ de répondre correctement à la question Q1.

Si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité $0{,}6$ de répondre correctement à Q2; s'il ne répond pas correctement à Q1, il a une probabilité $0{,}1$ de répondre correctement à Q2.

On prend un candidat au hasard et on note:

$A$ l'événement: « le candidat répond correctement à la question Q1 »;

$B$ l'événement: « le candidat répond correctement à la question Q2 ».

On note $\overline{A}$ et $\overline{B}$ les événements contraires de $A$ et de $B$.

Partie III

On suppose que les deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes. On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note totale à l'examen: $Z = X + Y$.

1.

Calculer l’espérance et la variance de $Z$.

2. Soit $n$ un nombre entier strictement positif.

Pour $i$ entier variant de $1$ à $n$, on note $Z_i$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $n$ élèves, associe la note de l’élève numéro $i$ à l’examen.

On admet que les variables aléatoires $Z_1, Z_2, \dots, Z_n$ sont identiques à $Z$ et indépendantes.

On note $M_n$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $n$ élèves, associe la moyenne de leurs $n$ notes, c’est-à-dire

$$M_n = \frac{Z_1 + Z_2 + \dots + Z_n}{n}$$

a.

Quelle est l’espérance de $M_n$ ?

b.

Quelles sont les valeurs de $n$ telles que l’écart type de $M_n$ soit inférieur ou égal à $0{,}5$ ?

c.

Pour les valeurs trouvées en b., montrer que la probabilité que $6{,}3 \le M_n \le 8{,}3$ est supérieure ou égale à $0{,}75$.