Exercice 2 · Bac Épreuve anticipée de mathématiques (sans spécialité) Métropole Secours 2026

Exercice 2

[6 points]

Une entreprise produit et vend de l'eau florale. Elle veut faire une étude sur une production comprise entre $0$ et $50$ litres de cette eau florale. Chaque litre d'eau florale est vendu $70$ €. Le coût de production, en euros, de $x$ litres d'eau florale est modélisé par la fonction $C$ dont l'expression est $C(x) = x^2 + 20x + 400$ où $x$ appartient à l'intervalle $[0; 50]$.

1.

Déterminer le coût de production de $10$ litres d'eau florale.

2.

On note $R(x)$ la recette, en euros, correspondant au prix de vente de $x$ litres d'eau florale.

Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.

Le bénéfice, en euros, pour la production et la vente de $x$ litres d'eau florale est modélisé par la fonction $B$. Son expression est obtenue en soustrayant le coût de production de la recette:

$B(x) = R(x) - C(x)$ où $x$ appartient à l'intervalle $[0; 50]$.

3.

a.

Montrer que $B(x) = -x^2 + 50x - 400$ où $x$ appartient à l'intervalle $[0; 50]$.

b.

Calculer $B'(x)$ où $B'$ est la fonction dérivée de la fonction $B$.

c.

Déterminer le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle $[0; 50]$.

d.

Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle $[0; 50]$.

Le calcul de l'image des valeurs particulières du tableau n'est pas attendu.

e.

En déduire le nombre de litres d'eau florale que l'entreprise doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal.

4.

a.

Vérifier que $B(x) = (x - 10)(40 - x)$.

b.

Étudier le signe de $(x - 10)(40 - x)$ sur l'intervalle $[0; 50]$ (on pourra utiliser un tableau de signes).

c.

En déduire les quantités d'eau florale que l'entreprise doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice positif.