Exercice 4 · Bac Mathématiques Asie 2026 (jour 1)

1. a. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 2π], on a g'(x) = -x sin(x).

Réponse : $g'(x) = -x\sin(x)$

1. b. Justifier chacun des éléments qui figurent dans ce tableau de variations.

Réponse : Signe de $g'(x) \le 0$ sur $[0\,;\,\pi]$ donc $g$ décroissante, $g'(x) \ge 0$ sur $[\pi\,;\,2\pi]$ donc $g$ croissante, avec $g(0) = 0$, $g(\pi) = -\pi$ et $g(2\pi) = 2\pi$.

1. c. Montrer qu'il existe une unique valeur réelle α dans l'intervalle [π ; 2π] telle que g(α) = 0.

Réponse : Application du théorème des valeurs intermédiaires / corollaire (bijection) sur $[\pi\,;\,2\pi]$.

1. d. En déduire le tableau de signes de la fonction g sur l'intervalle [0 ; 2π].

Réponse : $g(0) = 0$, $g(x) < 0$ sur $]0\,;\,\alpha[$, $g(\alpha) = 0$, et $g(x) > 0$ sur $]\alpha\,;\,2\pi]$.

2. a. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; 2π] on a : f'(x) = g(x)/x².

Réponse : $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$

2. b. Étudier le signe de la fonction f' sur l'intervalle ]0 ; 2π].

Réponse : $f'(x) < 0$ sur $]0\,;\,\alpha[$, $f'(\alpha) = 0$, et $f'(x) > 0$ sur $]\alpha\,;\,2\pi]$.

2. c. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; 2π].

Réponse : La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;\,\alpha]$ puis strictement croissante sur $[\alpha\,;\,2\pi]$.

2. d. Déterminer la limite de f en 0. On pourra utiliser le taux d'accroissement de la fonction sinus en 0.

Réponse : $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$

3. Montrer que : r/s < sin(r)/sin(s).

Réponse : $\frac{r}{s} < \frac{\sin(r)}{\sin(s)}$