Exercice 1 - Partie B.1 · Bac Mathématiques Antilles-Guyane 2026 (jour 2)

Exercice 1 (6 points)

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.

On s'intéresse à un réseau de communication constitué d'une chaîne de relais (satellites, antennes, opérateurs...) pour transmettre des messages.

À chaque transmission entre deux relais successifs, des erreurs peuvent apparaître dans le message. Une étude statistique a permis d'établir que pour chaque relai:

si le message reçu est sans erreur, il a 94 % de chances d'être transmis sans erreur au relai suivant;

si le message reçu comporte des erreurs, il y a 35 % de chances que les erreurs soient corrigées et donc que le message soit transmis sans erreur au relai suivant.

On choisit au hasard un message envoyé au cours d'une journée.

Pour un événement $E$ quelconque, on désigne par $\overline{E}$ son événement contraire et par $P(E)$ sa probabilité.

Partie B

Pour vérifier le bon fonctionnement d'un relai, des tests indépendants les uns des autres sont effectués. Un test est positif si la présence d'au moins une erreur est détectée.

On admet que la probabilité qu'un test soit positif est égale à $0{,}04$.

On choisit au hasard un échantillon de 50 tests réalisés sur le relai. Le nombre de tests réalisés est suffisamment grand pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.

1. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 50 tests associe le nombre de tests positifs.

Ainsi la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = 0{,}04$.

a.

Déterminer la probabilité que 4 tests soient positifs dans cet échantillon. On arrondira le résultat à $10^{-2}$.

b.

Donner la probabilité qu'au moins un test soit positif dans cet échantillon. On arrondira le résultat à $10^{-2}$.

c.

Calculer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $X$.