Exercice 1 - Partie B (questions 1 et 2.a) · Bac Mathématiques Antilles-Guyane 2026 (jour 1)

Partie B

Dans le Sud de la France, on compte 12 réacteurs nucléaires qu'on numérote de 1 à 12.

On sait que lorsque le réacteur fonctionne normalement, sa production journalière est égale à 16 GWh (gigawattheure), lorsque le réacteur fonctionne au ralenti, sa production journalière est réduite à 10 GWh et enfin lorsque le réacteur est à l'arrêt, sa production journalière est nulle.

On rappelle que $P(N) = 0{,}75$, $P(R) = 0{,}05$ et $P(A) = 0{,}20$.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh d'un réacteur.

Pour tout entier naturel $i$ compris entre 1 et 12, on note $X_i$ la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh du $i$-ème réacteur.

Ainsi, par exemple, $X_2$ désigne la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh du 2-ième réacteur.

On suppose que les variables $X_1, X_2, \dots, X_{12}$ suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire $X$, et qu'elles sont indépendantes.

On considère la variable aléatoire $S$ qui donne la production totale journalière des 12 réacteurs. On a ainsi $S = X_1 + X_2 + \dots + X_{12}$.

On note $E(S)$ l'espérance de la variable aléatoire $S$ et $V(S)$ sa variance.

1. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh d'un réacteur.

a.

Compléter le tableau donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. On notera $k$ les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ et $p_k$ les probabilités égales à $P(X = k)$.

$k$

$0$

$p_k$

$0{,}20$

b.

Montrer que l'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ est égale à $12{,}5$ et que sa variance $V(X)$ est égale à $40{,}75$.

2. Pour tout entier naturel $i$ compris entre $1$ et $12$, on note $X_i$ la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh du $i$-ème réacteur. On suppose que les variables $X_1, X_2, \dots, X_{12}$ suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire $X$, et qu'elles sont indépendantes. On considère la variable aléatoire $S = X_1 + X_2 + \dots + X_{12}$.

a.

Montrer que $E(S) = 150$ et $V(S) = 489$.