Exercice 1 - Partie A · Bac Mathématiques Antilles-Guyane 2026 (jour 2)

Exercice 1 (6 points)

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.

On s'intéresse à un réseau de communication constitué d'une chaîne de relais (satellites, antennes, opérateurs...) pour transmettre des messages.

À chaque transmission entre deux relais successifs, des erreurs peuvent apparaître dans le message. Une étude statistique a permis d'établir que pour chaque relai:

si le message reçu est sans erreur, il a 94 % de chances d'être transmis sans erreur au relai suivant;

si le message reçu comporte des erreurs, il y a 35 % de chances que les erreurs soient corrigées et donc que le message soit transmis sans erreur au relai suivant.

On choisit au hasard un message envoyé au cours d'une journée.

Pour un événement $E$ quelconque, on désigne par $\overline{E}$ son événement contraire et par $P(E)$ sa probabilité.

Partie A

On considère les évènements suivants:

$A_1$: « le message reçu par le premier relais est sans erreur »;

$A_2$: « le message reçu par le deuxième relais est sans erreur ».

On admet que $P(A_1) = 0{,}96$.

1.

Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre.

Probabilités des branches de l'arbre:

Branche vers $A_1$:

Branche vers $\overline{A_1}$:

Branche de $A_1$ vers $A_2$:

Branche de $A_1$ vers $\overline{A_2}$:

Branche de $\overline{A_1}$ vers $A_2$:

Branche de $\overline{A_1}$ vers $\overline{A_2}$:

2.

Montrer que $P(A_2) = 0{,}9164$.

3.

Calculer $P_{A_2}(\overline{A_1})$. On arrondira le résultat à $10^{-4}$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.