Exercice 4 - Limites de fonctions · Bac Mathématiques Antilles-Guyane 2026 (jour 1)

Thème : Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires · Tiré du sujet Jour 1 (2026)

Énoncé

Partie B: étude de fonction

On admet que la fonction représentée graphiquement dans la partie A est définie sur l'intervalle ]12 ; +∞[\left]\frac{1}{2}\,;\,+\infty\right[ par:

f(x)=xln⁡(2x−1)f(x) = x \ln(2x - 1)

où ln⁡\ln désigne la fonction logarithme népérien.

On rappelle que:

la fonction ff est deux fois dérivable sur l'intervalle ]12 ; +∞[\left]\frac{1}{2}\,;\,+\infty\right[, que f′f' désigne sa fonction dérivée et f′′f'' sa fonction dérivée seconde;

C\mathcal{C} désigne la courbe représentative de la fonction ff sur l'intervalle ]12 ; +∞[\left]\frac{1}{2}\,;\,+\infty\right[.

1. Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction ff en 12\frac{1}{2}. En déduire une interprétation graphique.

lim⁡x→12+f(x)=\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}^+} f(x) =

La droite d'équation

x=x =

est asymptote verticale à la courbe C\mathcal{C}.

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Corrigé

Corrigé proposé par AprenAI (non officiel)

Justification de la limite de la fonction f en 1/2

Réponse : On a lim⁡x→12+(2x−1)=0+\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}^+} (2x - 1) = 0^+ et lim⁡X→0+ln⁡(X)=−∞\lim\limits_{X \to 0^+} \ln(X) = -\infty, d'où par composition lim⁡x→12+ln⁡(2x−1)=−∞\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}^+} \ln(2x - 1) = -\infty. Comme lim⁡x→12+x=12\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}^+} x = \frac{1}{2}, par produit : lim⁡x→12+f(x)=−∞\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}^+} f(x) = -\infty.

Limite de la fonction f en 1/2

Réponse : −∞-\infty

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