Exercice 3 - Partie C · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2025 (jour 1)

EXERCICE 3 – 6 points

On se propose d'étudier la concentration dans le sang d'un médicament ingéré par une personne pour la première fois. Soit $t$ le temps (en heures) écoulé depuis l'ingestion de ce médicament. On admet que la concentration de ce médicament dans le sang, en gramme par litre de sang, est modélisée par une fonction $f$ de la variable $t$ définie sur l'intervalle $[0\;\ +\infty[$.

Partie C: étude de la fonction f

Dans cette partie, on admet que $f$ est définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ par $f(t) = 5te^{-t}$.

1.

Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

2.

Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ puis dresser son tableau de variation complet.

3.

Démontrer qu'il existe deux réels $t_1$ et $t_2$ tels que $f(t_1) = f(t_2) = 1$. On donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ des réels $t_1$ et $t_2$.

4.

Pour une concentration du médicament supérieure ou égale à 1 gramme par litre de sang, il y a un risque de somnolence. Quelle est la durée en heures et minutes du risque de somnolence lors de la prise de ce médicament ?

h

min