Exercice 1 - Concentration et inégalité de Bienaymé-Tcheby… · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2025 (jour 2)

Thème : Concentration, inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres · Tiré du sujet Jour 2 (2025)

Énoncé

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près en cas de besoin. Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l'une de l'autre.

Partie B

À la sortie d'une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans 85 % des cas.

On teste maintenant $n$ balles successivement. On considère les $n$ tests comme un échantillon de $n$ variables aléatoires $X_i$ indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}85$ .

On considère la variable aléatoire $M_n = \sum_{i=1}^n \frac{X_i}{n} = \frac{X_1}{n} + \frac{X_2}{n} + \frac{X_3}{n} + \dots + \frac{X_n}{n}$

Déterminer l'espérance et la variance de $M_n$ .

Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier naturel $n$ , $P(0{,}75 < M_n < 0{,}95) \ge 1 - \frac{12{,}75}{n}$

En déduire un entier $n$ tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille $n$ appartienne à l'intervalle $]0{,}75\,;\,0{,}95[$ avec une probabilité supérieure à $0{,}9$ .

Énoncé: Exercice 1 - Concentration et inégalité de Bienaymé-Tcheby… · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2025 (jour 2)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

2. a. Déterminer l'espérance de $M_n$

Réponse : 0,85

2. a. Déterminer la variance de $M_n$

Réponse : 0,1275/n

2. b. Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier naturel n, P(0,75 < M_n < 0,95) >= 1 - 12,75/n

Réponse : Pour toute variable $Y$ et tout $a > 0$ , $P(|Y - E(Y)| \ge a) \le \frac{\text{Var}(Y)}{a^2}$ . On applique à $Y = M_n$ et $a = 0{,}10$ : $\{0{,}75 < M_n < 0{,}95\} = \{|M_n - 0{,}85| < 0{,}10\}$ Donc : $P(0{,}75 < M_n < 0{,}95) = 1 - P(|M_n - 0{,}85| \ge 0{,}10) \ge 1 - \frac{\text{Var}(M_n)}{0{,}10^2}$ $P(0{,}75 < M_n < 0{,}95) \ge 1 - \frac{0{,}1275/n}{0{,}01} = 1 - \frac{12{,}75}{n}$

2. c. En déduire un entier n tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille n appartienne à l'intervalle ]0,75 ; 0,95[ avec une probabilité supérieure à 0,9.

Réponse : 128

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