Abitur Schleswig-Holstein Physik 2025 · GK · Beschleunigungssensoren

2 Material

Material 1: Kapazitives Messen von Beschleunigungen

Der hier betrachtete kapazitive Beschleunigungssensor basiert auf einem Plattenkondensator. Zur Messung der Beschleunigung ist eine Masse (schraffierter Bereich) an einer Feder beweglich und reibungsfrei aufgehängt. Die Feder kann als ideale Feder aufgefasst werden, die Dehnung bzw. Stauchung der Feder erfolgt also proportional zur Krafteinwirkung. Die rechte Kondensatorplatte ist fest mit dem Gehäuse verbunden, die linke Platte ist mit der Masse verbunden, welche über eine Feder am Gehäuse hängt.

Abb. 1: prinzipieller Aufbau eines kapazitiven Beschleunigungssensors

Material 2: Erste Messreihe mit einem kapazitiven Sensor

Bei einem Versuch wird die Kapazität eines Beschleunigungssensors für verschiedene Beschleunigungen gemessen (siehe Tab. 1).

Vereinfacht soll für den Zusammenhang zwischen der Kapazität und der Beschleunigung zunächst der Zusammenhang $C = \frac{k}{a}$ angenommen werden, wobei $k$ eine Konstante ist.

Tab. 1: Messwerte von Kapazitäten im Beschleunigungssensor bei unterschiedlichen Beschleunigungen.

Beschleunigung $a$ in $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ · 9,0 · 12,0 · 15,0 · 18,0

Kapazität $C$ in pF · 1,88 · 1,39 · 1,10 · 0,93

Material 3: Weitere Untersuchung an einem kapazitiven Sensor

Zur Überprüfung des angenommenen Zusammenhangs zwischen Kapazität und Beschleunigung werden weitere Werte für einen größeren Bereich der Beschleunigung aufgenommen. Die Ergebnisse sind im Kurvenverlauf in Abbildung 2 dargestellt.

Material 4: Zeitlicher Verlauf der Kapazität während einer Aufzugfahrt

Um die vertikale Bewegung eines Aufzugs zu messen, wird der Sensor aus Material 1 bei stillstehendem Aufzug um $90^\circ$ in der Zeichenebene gegen den Uhrzeigersinn gedreht und an der Decke der Aufzugskabine befestigt. Die in Abbildung 1 rechte Gehäuseseite befindet sich nun an der Decke. Die Werte des Diagramms der Abbildung 3 wurden bei einer aus der Ruhe heraus beginnenden Aufzugfahrt aufgenommen.

1 Kapazitive Beschleunigungssensoren können modellhaft wie in Material 1 beschrieben aufgefasst werden.

a

Berechnen Sie die Kapazität eines luftgefüllten Plattenkondensators mit quadratischen Platten der Seitenlänge $\ell = 400\ \mu\mathrm{m}$ und dem Plattenabstand $d = 0{,}100\ \mu\mathrm{m}$.

b

Erklären Sie, dass beim Beschleunigungsvorgang die Feder gestaucht wird und sich dadurch die Kapazität des Kondensators ändert.

2 Material

Material 1: Kapazitives Messen von Beschleunigungen

Der hier betrachtete kapazitive Beschleunigungssensor basiert auf einem Plattenkondensator. Zur Messung der Beschleunigung ist eine Masse (schraffierter Bereich) an einer Feder beweglich und reibungsfrei aufgehängt. Die Feder kann als ideale Feder aufgefasst werden, die Dehnung bzw. Stauchung der Feder erfolgt also proportional zur Krafteinwirkung. Die rechte Kondensatorplatte ist fest mit dem Gehäuse verbunden, die linke Platte ist mit der Masse verbunden, welche über eine Feder am Gehäuse hängt.

Abb. 1: prinzipieller Aufbau eines kapazitiven Beschleunigungssensors

Material 2: Erste Messreihe mit einem kapazitiven Sensor

Bei einem Versuch wird die Kapazität eines Beschleunigungssensors für verschiedene Beschleunigungen gemessen (siehe Tab. 1).

Vereinfacht soll für den Zusammenhang zwischen der Kapazität und der Beschleunigung zunächst der Zusammenhang $C = \frac{k}{a}$ angenommen werden, wobei $k$ eine Konstante ist.

Tab. 1: Messwerte von Kapazitäten im Beschleunigungssensor bei unterschiedlichen Beschleunigungen.

Beschleunigung $a$ in $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ · 9,0 · 12,0 · 15,0 · 18,0

Kapazität $C$ in pF · 1,88 · 1,39 · 1,10 · 0,93

Material 3: Weitere Untersuchung an einem kapazitiven Sensor

Zur Überprüfung des angenommenen Zusammenhangs zwischen Kapazität und Beschleunigung werden weitere Werte für einen größeren Bereich der Beschleunigung aufgenommen. Die Ergebnisse sind im Kurvenverlauf in Abbildung 2 dargestellt.

Material 4: Zeitlicher Verlauf der Kapazität während einer Aufzugfahrt

Um die vertikale Bewegung eines Aufzugs zu messen, wird der Sensor aus Material 1 bei stillstehendem Aufzug um $90^\circ$ in der Zeichenebene gegen den Uhrzeigersinn gedreht und an der Decke der Aufzugskabine befestigt. Die in Abbildung 1 rechte Gehäuseseite befindet sich nun an der Decke. Die Werte des Diagramms der Abbildung 3 wurden bei einer aus der Ruhe heraus beginnenden Aufzugfahrt aufgenommen.

2 a

Begründen Sie mithilfe der in Material 2 gegebenen Messwerte, dass der Zusammenhang $C = \frac{k}{a}$ erfüllt wird und zeigen Sie unter Berücksichtigung aller Messwerte, dass sich für die Konstante $k$ der Wert $k = 16{,}7\,\frac{\mathrm{pF}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$ ergibt.

b

Berechnen Sie die Beschleunigungen, die sich nach der Gleichung $C = \frac{k}{a}$ für die Kapazitäten $C_1 = 3{,}50\text{ pF}$ und $C_2 = 14{,}0\text{ pF}$ ergeben.

c

Ergänzen Sie in der Abbildung 2 (M 3) die Messwerte aus Material 2 sowie die Wertepaare aus Aufgabe 2b und verbinden Sie diese Datenpunkte auf eine geeignete Weise.

d

Beurteilen Sie mithilfe des in Aufgabe 2c vervollständigten Diagramms, ob die Annahme des Zusammenhangs $C = \frac{k}{a}$ zur Beschreibung der Messwerte der zweiten Messreihe geeignet ist.

Berücksichtigen Sie dabei die folgenden Fälle:

den Bereich von Beschleunigungen $a > 10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

den Bereich von Beschleunigungen $0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} < a < 10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

Beschleunigung $a = 0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

2 Material

Material 1: Kapazitives Messen von Beschleunigungen

Der hier betrachtete kapazitive Beschleunigungssensor basiert auf einem Plattenkondensator. Zur Messung der Beschleunigung ist eine Masse (schraffierter Bereich) an einer Feder beweglich und reibungsfrei aufgehängt. Die Feder kann als ideale Feder aufgefasst werden, die Dehnung bzw. Stauchung der Feder erfolgt also proportional zur Krafteinwirkung. Die rechte Kondensatorplatte ist fest mit dem Gehäuse verbunden, die linke Platte ist mit der Masse verbunden, welche über eine Feder am Gehäuse hängt.

Abb. 1: prinzipieller Aufbau eines kapazitiven Beschleunigungssensors

Material 2: Erste Messreihe mit einem kapazitiven Sensor

Bei einem Versuch wird die Kapazität eines Beschleunigungssensors für verschiedene Beschleunigungen gemessen (siehe Tab. 1).

Vereinfacht soll für den Zusammenhang zwischen der Kapazität und der Beschleunigung zunächst der Zusammenhang $C = \frac{k}{a}$ angenommen werden, wobei $k$ eine Konstante ist.

Tab. 1: Messwerte von Kapazitäten im Beschleunigungssensor bei unterschiedlichen Beschleunigungen.

Beschleunigung $a$ in $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ · 9,0 · 12,0 · 15,0 · 18,0

Kapazität $C$ in pF · 1,88 · 1,39 · 1,10 · 0,93

Material 3: Weitere Untersuchung an einem kapazitiven Sensor

Zur Überprüfung des angenommenen Zusammenhangs zwischen Kapazität und Beschleunigung werden weitere Werte für einen größeren Bereich der Beschleunigung aufgenommen. Die Ergebnisse sind im Kurvenverlauf in Abbildung 2 dargestellt.

Material 4: Zeitlicher Verlauf der Kapazität während einer Aufzugfahrt

Um die vertikale Bewegung eines Aufzugs zu messen, wird der Sensor aus Material 1 bei stillstehendem Aufzug um $90^\circ$ in der Zeichenebene gegen den Uhrzeigersinn gedreht und an der Decke der Aufzugskabine befestigt. Die in Abbildung 1 rechte Gehäuseseite befindet sich nun an der Decke. Die Werte des Diagramms der Abbildung 3 wurden bei einer aus der Ruhe heraus beginnenden Aufzugfahrt aufgenommen.

3 Für die Verwendung in einem Aufzug wird der Sensor wie Material 4 beschrieben, verwendet.

a)

Erläutern Sie, dass sich bei Stillstand des Aufzugs durch die Drehung die gemessene Kapazität verändert.

Begründen Sie, dass der gemessene Wert in diesem Fall $C = 1{,}69\text{ pF}$ beträgt. [3 BE]

b)

Typische Beschleunigungswerte von Aufzügen liegen in der Größenordnung von $0{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

Begründen Sie, dass die in Aufgabe 2 erwähnte Modellierung $a = \frac{k}{C}$ zur Bestimmung der Beschleunigung eines Aufzugs genutzt werden kann. [4 BE]

c)

Abbildung 3 (M 4) zeigt eine aus der Ruhe heraus beginnende Aufzugsfahrt.

Entscheiden Sie mit Blick auf den Abschnitt zwischen $8{,}1\text{ s}$ und $11{,}0\text{ s}$ ob der Aufzug im Gebäude auf- oder abwärts fährt. Begründen Sie Ihre Entscheidung. [3 BE]