Abitur Sachsen Mathematik 2025 · GK · Teil B · Analysis (CAS)

Um Regenwasser zu speichern, wird es kontrolliert in ein unterirdisches Auffangbecken geleitet, das ein Fassungsvermögen von $800\text{ m}^3$ hat. Für ein bestimmtes Regenereignis wird das Volumen des Regenwassers im Auffangbecken für $0 \le x \le 5$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $v$ mit $$v(x) = -\frac{5}{2}x^4 + \frac{50}{3}x^3 + 190$$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $v(x)$ das Wasservolumen in Kubikmetern.

Betrachtet wird außerdem die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r$ mit $$r(x) = 10x^2 \cdot (5 - x).$$

a)

Begründen Sie, dass zu Beobachtungsbeginn das Wasservolumen im Auffangbecken $190\,\mathrm{m^3}$ beträgt, und berechnen Sie das Volumen des Wassers, das in den ersten $1{,}5\,\mathrm{h}$ nach Beobachtungsbeginn in das Auffangbecken fließt.

d)

Es wird geplant, zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn eine Pumpe einzuschalten, die Wasser aus dem Auffangbecken mit einer konstanten Rate von $100\,\frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{h}}$ abpumpt. Die momentane Zuflussrate des Regenwassers in das Auffangbecken wird dabei weiterhin durch $r$ beschrieben.

Eine Lösung $t$ der folgenden Gleichung hat im Sachzusammenhang eine Bedeutung:

$$190 + \int_{0}^{2} r(x)\,\mathrm{d}x + \int_{2}^{t} (r(x) - 100)\,\mathrm{d}x = 400$$

Geben Sie diese Bedeutung von $t$ an und erläutern Sie den Aufbau der Gleichung in Bezug auf diese Bedeutung.

Um Regenwasser zu speichern, wird es kontrolliert in ein unterirdisches Auffangbecken geleitet, das ein Fassungsvermögen von $800\text{ m}^3$ hat. Für ein bestimmtes Regenereignis wird das Volumen des Regenwassers im Auffangbecken für $0 \le x \le 5$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $v$ mit $$v(x) = -\frac{5}{2}x^4 + \frac{50}{3}x^3 + 190$$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $v(x)$ das Wasservolumen in Kubikmetern.

Betrachtet wird außerdem die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r$ mit $$r(x) = 10x^2 \cdot (5 - x).$$

Betrachtet wird außerdem die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r$ mit $r(x) = 10x^2 \cdot (5 - x)$.

b)

Zeigen Sie, dass die momentane Änderungsrate des Volumens des Wassers im Auffangbecken in $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ für den betrachteten Zeitraum durch $r$ beschrieben werden kann.

c)

Weisen Sie anhand des gegebenen Terms von $r$ nach, dass für den durch $0 < x < 5$ beschriebenen Zeitraum das Volumen des Wassers im Auffangbecken zu jedem Zeitpunkt zunimmt.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^2\cdot(x-5)^2$ und die Stelle $x_W = \frac{15-5\sqrt{3}}{6}$.

a

Weisen Sie rechnerisch nach, dass $x_W$ eine Wendestelle von $f$ ist.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^2\cdot(x-5)^2$ und die Stelle $x_W = \frac{15-5\sqrt{3}}{6}$.

b

Es gibt im ersten Quadranten ein Flächenstück, das von der y-Achse, dem Graphen von $f$ und der Gerade parallel zur x-Achse, die durch den Wendepunkt $(x_W \mid f(x_W))$ verläuft, eingeschlossen wird. Berechnen Sie den Inhalt dieses Flächenstücks.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^2\cdot(x-5)^2$ und die Stelle $x_W = \frac{15-5\sqrt{3}}{6}$.

c

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$. Die Punkte $A(u \mid f(u))$, $B(1 \mid 0)$, $C(4 \mid 0)$ und $D(5-u \mid f(5-u))$ sind für jeden Wert von $u$ mit $0 < u < 2{,}5$ die Eckpunkte eines symmetrischen Trapezes.

Skizzieren Sie das symmetrische Trapez für $u=1{,}5$ in der Abbildung.

Ermitteln Sie einen Term, der den Flächeninhalt des symmetrischen Trapezes in Abhängigkeit von $u$ angibt.

Anforderungsniveau · Prüfungsteil · Sachgebiet · digitales Hilfsmittel

grundlegend · B · Analysis · MMS

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{100}\cdot(x-6)\cdot \mathrm{e}^{-0{,}17x+6}$.

Ein Mobilfunkanbieter betreibt eine Hotline, die an jedem Tag 24 Stunden erreichbar ist. Die Wartezeit eines Anrufers dieser Hotline ist abhängig vom Zeitpunkt des Anrufs. Durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ mit $w(x) = 100 \cdot f(x) = (x-6)\cdot \mathrm{e}^{-0{,}17x+6}$ kann die Wartezeit an einem bestimmten Tag für die Zeitpunkte von 8:00 Uhr bis einschließlich 22:00 Uhr beschrieben werden. Dabei bezeichnet $x$ den Zeitpunkt des Anrufs in Stunden nach 0:00 Uhr und $w(x)$ die Wartezeit in Sekunden. Nimmt $w$ beispielsweise an der Stelle $10{,}25$ den Wert von etwa $300$ an, so beträgt die Wartezeit für einen Anruf um 10:15 Uhr etwa 300 Sekunden.

a)

Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse sowie das Verhalten von $f$ für $x \to -\infty$ und $x \to +\infty$ an.

d)

Berechnen Sie die Wartezeit für einen Anruf um 9:00 Uhr.

Ein anderer Anruf erfolgt später als 9:00 Uhr und hat eine Wartezeit von 200 Sekunden. Bestimmen Sie rechnerisch die Uhrzeit dieses Anrufs.

Anforderungsniveau · Prüfungsteil · Sachgebiet · digitales Hilfsmittel

grundlegend · B · Analysis · MMS

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{100}\cdot(x-6)\cdot \mathrm{e}^{-0{,}17x+6}$.

Ein Mobilfunkanbieter betreibt eine Hotline, die an jedem Tag 24 Stunden erreichbar ist. Die Wartezeit eines Anrufers dieser Hotline ist abhängig vom Zeitpunkt des Anrufs. Durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ mit $w(x) = 100 \cdot f(x) = (x-6)\cdot \mathrm{e}^{-0{,}17x+6}$ kann die Wartezeit an einem bestimmten Tag für die Zeitpunkte von 8:00 Uhr bis einschließlich 22:00 Uhr beschrieben werden. Dabei bezeichnet $x$ den Zeitpunkt des Anrufs in Stunden nach 0:00 Uhr und $w(x)$ die Wartezeit in Sekunden. Nimmt $w$ beispielsweise an der Stelle $10{,}25$ den Wert von etwa $300$ an, so beträgt die Wartezeit für einen Anruf um 10:15 Uhr etwa 300 Sekunden.

b)

Im Folgenden wird die Lösung zu einer Aufgabenstellung in Bezug auf den Graphen von $f$ dargestellt:

$$f''(x) = 0 \iff x = \frac{302}{17}$$

$$f'''\left(\frac{302}{17}\right) \neq 0$$

$$f'\left(\frac{302}{17}\right) < 0$$

Geben Sie die sich daraus ergebenden Eigenschaften des Graphen von $f$ im Punkt $\left(\frac{302}{17} \,\middle|\, f\left(\frac{302}{17}\right)\right)$ an.

e)

Ermitteln Sie rechnerisch für den Zeitraum von 8:00 Uhr bis einschließlich 22:00 Uhr den Zeitpunkt eines Anrufs, zu dem die Wartezeit am längsten ist, und den Zeitpunkt eines Anrufs, zu dem die Wartezeit am kürzesten ist.

Anforderungsniveau · Prüfungsteil · Sachgebiet · digitales Hilfsmittel

grundlegend · B · Analysis · MMS

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{100}\cdot(x-6)\cdot \mathrm{e}^{-0{,}17x+6}$.

Ein Mobilfunkanbieter betreibt eine Hotline, die an jedem Tag 24 Stunden erreichbar ist. Die Wartezeit eines Anrufers dieser Hotline ist abhängig vom Zeitpunkt des Anrufs. Durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ mit $w(x) = 100 \cdot f(x) = (x-6)\cdot \mathrm{e}^{-0{,}17x+6}$ kann die Wartezeit an einem bestimmten Tag für die Zeitpunkte von 8:00 Uhr bis einschließlich 22:00 Uhr beschrieben werden. Dabei bezeichnet $x$ den Zeitpunkt des Anrufs in Stunden nach 0:00 Uhr und $w(x)$ die Wartezeit in Sekunden. Nimmt $w$ beispielsweise an der Stelle $10{,}25$ den Wert von etwa $300$ an, so beträgt die Wartezeit für einen Anruf um 10:15 Uhr etwa 300 Sekunden.

c)

Der Graph von $f$ schließt mit den beiden Koordinatenachsen eine Fläche ein. Die Fläche soll durch eine Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft, in zwei gleich große Teilflächen zerlegt werden. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Gerade.

f)

Die Abbildung zeigt den Graphen von $w$ für $8 \le x \le 22$.

Für reelle Zahlen $a$ und $b$ mit $8 \le a < b \le 22$ gilt:

Wenn $\int_a^b (250 - w(x))\,dx = 0$ ist, so beträgt die durchschnittliche Wartezeit für Anrufe zwischen den durch $a$ und $b$ gegebenen Zeitpunkten 250 Sekunden.

Bestimmen Sie durch geeignete Eintragungen in der Abbildung jeweils einen möglichen Wert für $a$ und $b$, sodass zwischen den zugehörigen Zeitpunkten die durchschnittliche Wartezeit 250 Sekunden beträgt. Beschreiben Sie Ihr Vorgehen.