Abitur Saarland Mathematik 2024 · LK · Teil B · Analysis (WTR)

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon x \mapsto \frac{4}{1+e^x}$. Der Graph ist symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts $(0 \mid 2)$.

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F \colon x \mapsto 4x - 4 \cdot \ln(e^x + 1)$.

a

Begründen Sie anhand des Funktionsterms von $f$, dass $f$ keine Nullstelle hat, und geben Sie $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ sowie $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ an.

[3 BE]

$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) =$

$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =$

e

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Der Graph von $F$ verläuft vollständig unterhalb der $x$-Achse.

[3 BE]

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon x \mapsto \frac{4}{1+e^x}$. Der Graph ist symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts $(0 \mid 2)$.

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F \colon x \mapsto 4x - 4 \cdot \ln(e^x + 1)$.

b

Berechnen Sie die mittlere Steigung des Graphen von $f$ im Bereich $-1 \le x \le 1$ auf Hundertstel genau und bestimmen Sie grafisch die Steigung des Graphen von $f$ in seinem Wendepunkt.

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon x \mapsto \frac{4}{1+e^x}$. Der Graph ist symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts $(0 \mid 2)$.

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F \colon x \mapsto 4x - 4 \cdot \ln(e^x + 1)$.

c

Für die in $\mathbb{R}$ definierte erste Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ gilt $f'(-x) = f'(x)$.

Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache im Hinblick auf den Verlauf des Graphen von $f'$ an und skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen von $f'$.

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon x \mapsto \frac{4}{1+e^x}$. Der Graph ist symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts $(0 \mid 2)$.

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F \colon x \mapsto 4x - 4 \cdot \ln(e^x + 1)$.

d

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F: x \mapsto 4x - 4 \cdot \ln(e^x + 1)$.

Zeigen Sie, dass die Funktion $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

f

Begründen Sie, dass der Wert des Integrals $\int_{-k}^k f(x)\,\mathrm{d}x$ für jede positive reelle Zahl $k$ ohne Verwendung einer Stammfunktion von $f$ exakt bestimmt werden kann, und geben Sie den Wert des Integrals an.

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $w_{a;b;c}: x \mapsto \frac{a}{b+e^{c \cdot x}}$ mit $a, b \in \mathbb{R}^+$ und $c \in \mathbb{R}$. Die Funktion aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar.

Auf einer Inselgruppe wurden Seeadler neu angesiedelt. Betrachtet wird die anschließende Entwicklung der Anzahl der Seeadler. In einem Modell wird diese Entwicklung mithilfe des Graphen der Funktion $w_{40; 1; -0{,}2}$ beschrieben, die im Folgenden mit $w$ bezeichnet wird. Es gilt also $w(x) = \frac{40}{1+e^{-0{,}2 \cdot x}}$. Dabei ist $x$ die seit der Ansiedlung vergangene Zeit in Jahren und $w(x)$ die Anzahl der Seeadler.

Unter bestimmten anderen Gegebenheiten auf der Inselgruppe kann die Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe des Graphen einer anderen Funktion aus der Schar der Funktionen $w_{a;b;c}$ beschrieben werden. Das folgende Gleichungssystem ermöglicht die Bestimmung der zugehörigen Werte von $a$, $b$ und $c$:

(1) $\frac{a}{b+1} = 20$

(2) $\lim_{x \to +\infty} \frac{a}{b+e^{c \cdot x}} = 45$

(3) $\frac{a}{b+e^{15 \cdot c}} = 35$

Teilaufgabe 2a [4 BE]

Jeder der abgebildeten Graphen I, II und III der Schar gehört, bei festen Werten von $a$ und $b$, zu einem der Werte $c = -1$, $c = 0$ und $c = 1$.

Ordnen Sie den Graphen die genannten Werte von $c$ zu und begründen Sie Ihre Zuordnung.

Graph I: $c =$

Graph II: $c =$

Graph III: $c =$

Teilaufgabe 2b [4 BE]

Auf einer Inselgruppe wurden Seeadler neu angesiedelt. Betrachtet wird die anschließende Entwicklung der Anzahl der Seeadler. In einem Modell wird diese Entwicklung mithilfe des Graphen der Funktion $w_{40;1;-0{,}2}$ beschrieben, die im Folgenden mit $w$ bezeichnet wird. Es gilt also $$w(x) = \frac{40}{1 + \mathrm{e}^{-0{,}2x}}$$ Dabei ist $x$ die seit der Ansiedlung vergangene Zeit in Jahren und $w(x)$ die Anzahl der Seeadler.

1.

Seeadler

2.

$x \approx$ Jahre

Teilaufgabe 2d [3 BE]

Unter bestimmten anderen Gegebenheiten auf der Inselgruppe kann die Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe des Graphen einer anderen Funktion aus der Schar der Funktionen $w_{a;b;c}$ beschrieben werden. Das folgende Gleichungssystem ermöglicht die Bestimmung der zugehörigen Werte von $a$, $b$ und $c$.

(1) $\quad \frac{a}{b+1} = 20$

(2) $\quad \lim_{x \to +\infty} \frac{a}{b+\mathrm{e}^{c\cdot x}} = 45$

(3) $\quad \frac{a}{b+\mathrm{e}^{15\cdot c}} = 35$

Interpretieren Sie jede der drei Gleichungen im Sachzusammenhang.

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $w_{a;b;c}: x \mapsto \frac{a}{b+e^{c \cdot x}}$ mit $a, b \in \mathbb{R}^+$ und $c \in \mathbb{R}$. Die Funktion aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar.

Auf einer Inselgruppe wurden Seeadler neu angesiedelt. Betrachtet wird die anschließende Entwicklung der Anzahl der Seeadler. In einem Modell wird diese Entwicklung mithilfe des Graphen der Funktion $w_{40; 1; -0{,}2}$ beschrieben, die im Folgenden mit $w$ bezeichnet wird. Es gilt also $w(x) = \frac{40}{1+e^{-0{,}2 \cdot x}}$. Dabei ist $x$ die seit der Ansiedlung vergangene Zeit in Jahren und $w(x)$ die Anzahl der Seeadler.

Unter bestimmten anderen Gegebenheiten auf der Inselgruppe kann die Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe des Graphen einer anderen Funktion aus der Schar der Funktionen $w_{a;b;c}$ beschrieben werden. Das folgende Gleichungssystem ermöglicht die Bestimmung der zugehörigen Werte von $a$, $b$ und $c$:

(1) $\frac{a}{b+1} = 20$

(2) $\lim_{x \to +\infty} \frac{a}{b+e^{c \cdot x}} = 45$

(3) $\frac{a}{b+e^{15 \cdot c}} = 35$

c)

Die Tangente an den Graphen von $w$ im Punkt $(0 \mid w(0))$ hat die Steigung $2$. Würde die Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe dieser Tangente beschrieben werden, so ergäbe sich für den Zeitpunkt vier Jahre nach der Ansiedlung eine bestimmte Anzahl von Seeadlern. Untersuchen Sie, ob diese Anzahl mit derjenigen übereinstimmt, die sich bei einer Beschreibung mithilfe des Graphen von $w$ ergeben würde.

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $w_{a;b;c}: x \mapsto \frac{a}{b+e^{c \cdot x}}$ mit $a, b \in \mathbb{R}^+$ und $c \in \mathbb{R}$. Die Funktion aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar.

Auf einer Inselgruppe wurden Seeadler neu angesiedelt. Betrachtet wird die anschließende Entwicklung der Anzahl der Seeadler. In einem Modell wird diese Entwicklung mithilfe des Graphen der Funktion $w_{40; 1; -0{,}2}$ beschrieben, die im Folgenden mit $w$ bezeichnet wird. Es gilt also $w(x) = \frac{40}{1+e^{-0{,}2 \cdot x}}$. Dabei ist $x$ die seit der Ansiedlung vergangene Zeit in Jahren und $w(x)$ die Anzahl der Seeadler.

Unter bestimmten anderen Gegebenheiten auf der Inselgruppe kann die Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe des Graphen einer anderen Funktion aus der Schar der Funktionen $w_{a;b;c}$ beschrieben werden. Das folgende Gleichungssystem ermöglicht die Bestimmung der zugehörigen Werte von $a$, $b$ und $c$:

(1) $\frac{a}{b+1} = 20$

(2) $\lim_{x \to +\infty} \frac{a}{b+e^{c \cdot x}} = 45$

(3) $\frac{a}{b+e^{15 \cdot c}} = 35$

Teilaufgabe 2e [5 BE]

Gegeben ist das Gleichungssystem für die Parameter $a$, $b$ und $c$:

(1) $\quad \frac{a}{b+1} = 20$

(2) $\quad \lim_{x \to +\infty} \frac{a}{b+\mathrm{e}^{c\cdot x}} = 45$

(3) $\quad \frac{a}{b+\mathrm{e}^{15\cdot c}} = 35$

Ermitteln Sie die Werte von $a$ und $b$.

a)

$a =$

b)

$b =$

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a;b}: x \mapsto ax^3 - bx$ mit $a, b \in \mathbb{R}^+$. Die Abbildung zeigt den Graphen einer der Funktionen der Schar.

Die Funktion der Schar, deren Graph in der Abbildung dargestellt ist, wird mit $f$ bezeichnet; ihr Funktionsterm ist $f(x) = x^3 - 4x$.

a)

Begründen Sie, dass jeder Graph der Schar symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

e)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

Ist $P$ ein beliebiger Punkt auf dem Graphen von $f$, so liegt der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von $P$ und dem Koordinatenursprung auf dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h: x \mapsto 4x^3 - 4x$.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a;b}: x \mapsto ax^3 - bx$ mit $a, b \in \mathbb{R}^+$. Die Abbildung zeigt den Graphen einer der Funktionen der Schar.

Die Funktion der Schar, deren Graph in der Abbildung dargestellt ist, wird mit $f$ bezeichnet; ihr Funktionsterm ist $f(x) = x^3 - 4x$.

b)

Weisen Sie in Abhängigkeit von $a$ und $b$ nach, dass der Graph von $f_{a;b}$ einen Tiefpunkt mit der x-Koordinate $\sqrt{\frac{b}{3a}}$ hat. Begründen Sie, dass er zudem einen Hochpunkt besitzt und dass dieser eine kleinere x-Koordinate hat als der Tiefpunkt.

d)

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $A(2|0)$, die x-Achse und die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = -x - 2$ schließen ein Dreieck ein. Berechnen Sie seinen Flächeninhalt.

$A =$

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a;b}: x \mapsto ax^3 - bx$ mit $a, b \in \mathbb{R}^+$. Die Abbildung zeigt den Graphen einer der Funktionen der Schar.

Die Funktion der Schar, deren Graph in der Abbildung dargestellt ist, wird mit $f$ bezeichnet; ihr Funktionsterm ist $f(x) = x^3 - 4x$.

c)

Es gibt eine Funktion der Schar, die bei $x = 3$ eine Nullstelle hat und deren Graph im vierten Quadranten mit der x-Achse ein Flächenstück mit dem Inhalt $40{,}5$ einschließt. Bestimmen Sie die zugehörigen Werte von $a$ und $b$.

Die Leitung eines großen Unternehmens versendet jeden Arbeitstag um 7:00 Uhr eine E-Mail mit tagesaktuellen Informationen an alle Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter. Diese wurden gebeten, nach dem Lesen der E-Mail eine Lesebestätigung zu versenden.

Die folgende Tabelle zeigt für einen bestimmten Tag, wie viele Lesebestätigungen bei der Leitung des Unternehmens bis zum jeweiligen Zeitpunkt bereits eingegangen sind.

Zeitpunkt · 7:30 Uhr · 8:00 Uhr · 8:30 Uhr · 9:00 Uhr · 9:30 Uhr · 10:00 Uhr · …… · 14:30 Uhr · 15:00 Uhr · ……

Anzahl der bis dahin eingegangenen Lesebestätigungen · 252 · 899 · 1701 · 2627 · 3503 · 4364 · · 7552 · 7572

Beispielsweise sind von 7:00 Uhr bis 10:00 Uhr 4364 Lesebestätigungen eingegangen.

Auf der Grundlage der über viele Tage erfassten Lesebestätigungen wurde mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $u\colon x \mapsto 100x^3 - 900x^2 + 2300x$ und $v\colon x \mapsto 20x^2 - 520x + 2880$ die Funktion $k$ entwickelt:

$$k\colon x \mapsto \begin{cases} u(x) & \text{für } 0 \le x < 3 \\ v(x) & \text{für } 3 \le x \le 8 \end{cases}$$

Die Funktion $k$ beschreibt modellhaft für einen Zeitraum von acht Stunden eines Arbeitstages die zeitliche Entwicklung der momentanen Änderungsrate der Anzahl der eingegangenen Lesebestätigungen. Dabei ist $x$ die seit 7:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $k(x)$ die momentane Änderungsrate der Anzahl der seit 7:00 Uhr eingegangenen Lesebestätigungen in der Einheit $\frac{1}{\text{h}}$.

a

Ermitteln Sie mithilfe der Tabelle für den betrachteten Tag, wie viele Lesebestätigungen im Zeitraum von 8:30 Uhr bis 10:00 Uhr im Mittel pro Stunde eingegangen sind. [3 BE]

b

Berechnen Sie $k(2)$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. [3 BE]

c

Es gilt $v(x) = 20 \cdot (x - 18) \cdot (x - 8)$. Begründen Sie, dass die Funktion $v$ nicht geeignet ist, die momentane Änderungsrate auch für den Zeitraum nach 15:00 Uhr zu beschreiben. [3 BE]

Die Leitung eines großen Unternehmens versendet jeden Arbeitstag um 7:00 Uhr eine E-Mail mit tagesaktuellen Informationen an alle Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter. Diese wurden gebeten, nach dem Lesen der E-Mail eine Lesebestätigung zu versenden.

Die folgende Tabelle zeigt für einen bestimmten Tag, wie viele Lesebestätigungen bei der Leitung des Unternehmens bis zum jeweiligen Zeitpunkt bereits eingegangen sind.

Zeitpunkt · 7:30 Uhr · 8:00 Uhr · 8:30 Uhr · 9:00 Uhr · 9:30 Uhr · 10:00 Uhr · …… · 14:30 Uhr · 15:00 Uhr · ……

Anzahl der bis dahin eingegangenen Lesebestätigungen · 252 · 899 · 1701 · 2627 · 3503 · 4364 · · 7552 · 7572

Beispielsweise sind von 7:00 Uhr bis 10:00 Uhr 4364 Lesebestätigungen eingegangen.

Auf der Grundlage der über viele Tage erfassten Lesebestätigungen wurde mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $u\colon x \mapsto 100x^3 - 900x^2 + 2300x$ und $v\colon x \mapsto 20x^2 - 520x + 2880$ die Funktion $k$ entwickelt:

$$k\colon x \mapsto \begin{cases} u(x) & \text{für } 0 \le x < 3 \\ v(x) & \text{für } 3 \le x \le 8 \end{cases}$$

Die Funktion $k$ beschreibt modellhaft für einen Zeitraum von acht Stunden eines Arbeitstages die zeitliche Entwicklung der momentanen Änderungsrate der Anzahl der eingegangenen Lesebestätigungen. Dabei ist $x$ die seit 7:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $k(x)$ die momentane Änderungsrate der Anzahl der seit 7:00 Uhr eingegangenen Lesebestätigungen in der Einheit $\frac{1}{\text{h}}$.

d

Berechnen Sie mithilfe der Funktion $k$ die Anzahl der im Zeitraum von 10:00 Uhr bis 15:00 Uhr eines Arbeitstages eingegangenen Lesebestätigungen. Ermitteln Sie, um wie viel Prozent diese auf der Grundlage des Modells berechnete Anzahl von der entsprechenden Anzahl des eingangs betrachteten Tages (vgl. Tabelle) abweicht. [5 BE]

%

Der abgebildete Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = 3 \cdot (x + 10) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}1x}$ stellt für $0 \le x \le 44$ den Längsschnitt einer Rutschbahn dar. Der Anfang der Rutschbahn wird im Modell durch den Punkt $(0 \mid f(0))$ beschrieben, ihr Ende durch den Punkt $(44 \mid f(44))$. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse den horizontalen Erdboden. Eine Längeneinheit entspricht $10\text{ cm}$ in der Wirklichkeit.

Für die erste und die zweite Ableitungsfunktion von $f$ gilt: $f'(x) = -0{,}3x \cdot \mathrm{e}^{-0{,}1x}$ bzw. $f''(x) = 0{,}03 \cdot (x - 10) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}1x}$.

In einer Zusammenstellung der Sicherheitskriterien für Rutschbahnen auf öffentlichen Spielplätzen einer Gemeinde heißt es:

I

Der durch den Anfangspunkt und den Endpunkt der Rutschbahn festgelegte Winkel gegenüber der Horizontalen darf eine Größe von $45^\circ$ nicht überschreiten.

II

Neigungswinkel gegenüber der Horizontalen mit einer Größe über $60^\circ$ sind an keinem Punkt der gesamten Rutschbahn zulässig.

a

Berechnen Sie den Höhenunterschied zwischen dem Anfang und dem Ende der Rutschbahn.

b

Beurteilen Sie ohne weitere Rechnung, ob die betrachtete Rutschbahn das Sicherheitskriterium I erfüllt. Veranschaulichen Sie Ihre Überlegungen hierzu in der Abbildung.

Der abgebildete Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = 3 \cdot (x + 10) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}1x}$ stellt für $0 \le x \le 44$ den Längsschnitt einer Rutschbahn dar. Der Anfang der Rutschbahn wird im Modell durch den Punkt $(0 \mid f(0))$ beschrieben, ihr Ende durch den Punkt $(44 \mid f(44))$. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse den horizontalen Erdboden. Eine Längeneinheit entspricht $10\text{ cm}$ in der Wirklichkeit.

Für die erste und die zweite Ableitungsfunktion von $f$ gilt: $f'(x) = -0{,}3x \cdot \mathrm{e}^{-0{,}1x}$ bzw. $f''(x) = 0{,}03 \cdot (x - 10) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}1x}$.

In einer Zusammenstellung der Sicherheitskriterien für Rutschbahnen auf öffentlichen Spielplätzen einer Gemeinde heißt es:

I

Der durch den Anfangspunkt und den Endpunkt der Rutschbahn festgelegte Winkel gegenüber der Horizontalen darf eine Größe von $45^\circ$ nicht überschreiten.

II

Neigungswinkel gegenüber der Horizontalen mit einer Größe über $60^\circ$ sind an keinem Punkt der gesamten Rutschbahn zulässig.

c

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Rutschbahn das Sicherheitskriterium II erfüllt. [4 BE]

d

Die Rutschbahn wird durch eine Strebe gestützt. Die Strebe kann im Modell durch eine Strecke beschrieben werden, die vom Punkt $\mathrm{P}(40 \mid f(40))$ senkrecht zur Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $\mathrm{P}$ verläuft. Berechnen Sie die Länge der Strebe zwischen der Rutschbahn und dem Erdboden. [6 BE]

Die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 gehört zur Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $f_k(x) = k \cdot (x + 10) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}1x}$ und $k \in \mathbb{R},\; k \neq 0$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Im Folgenden sei $k > 0$.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F_k$ mit $F_k(x) = -10k \cdot (x + 20) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}1x}$ ist eine Stammfunktion von $f_k$.

a)

Begründen Sie, dass $-10$ die einzige Nullstelle von $f_k$ ist, und geben Sie das Verhalten von $f_k$ für $x \to -\infty$ in Abhängigkeit von $k$ an.

c)

Für $k \neq -1$ werden $G_k$ und $G_{k+1}$ betrachtet. Berechnen Sie den Abstand der Schnittpunkte von $G_k$ und $G_{k+1}$ mit der $y$-Achse.

d)

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Spiegelt man einen beliebigen Graphen der Schar an der x-Achse, so entsteht ein anderer Graph der Schar.

Die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 gehört zur Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $f_k(x) = k \cdot (x + 10) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}1x}$ und $k \in \mathbb{R},\; k \neq 0$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Im Folgenden sei $k > 0$.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F_k$ mit $F_k(x) = -10k \cdot (x + 20) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}1x}$ ist eine Stammfunktion von $f_k$.

b)

Für jeden Wert von $k$ besitzt $G_k$ genau einen Extrempunkt. Bestimmen Sie die Koordinaten und die Art des Extrempunkts von $G_k$ in Abhängigkeit von $k$.

$($

$|$

$)$

f)

Betrachtet werden reelle Werte von $u$, die größer als $-10$ sind. Ausgehend von den Punkten $(-10 \mid 0)$ und $(u \mid 0)$ stellen die folgenden vier Schritte die Lösung einer Aufgabenstellung in einem geometrischen Zusammenhang dar:

(1) $p_k(u) = \frac{1}{2} \cdot (u + 10) \cdot f_k(u)$

(2) $p_k'(u) = 0 \iff u = 10$

(3) Es gilt: $p_k''(10) < 0$

(4) Ergebnis: $p_k(10) \approx 73{,}6 \cdot k$

Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie die Schritte.

Die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 gehört zur Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $f_k(x) = k \cdot (x + 10) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}1x}$ und $k \in \mathbb{R},\; k \neq 0$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Im Folgenden sei $k > 0$.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F_k$ mit $F_k(x) = -10k \cdot (x + 20) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}1x}$ ist eine Stammfunktion von $f_k$.

e)

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F_k$ mit $F_k(x) = -10k \cdot (x + 20) \cdot e^{-0{,}1x}$ ist eine Stammfunktion von $f_k$.

$G_k$ schließt im zweiten Quadranten mit den beiden Koordinatenachsen eine Fläche ein. Diese Fläche wird durch eine Gerade $h_k$ in zwei Flächenstücke gleichen Inhalts geteilt, wobei die Gerade $h_k$ für $x < 0$ den Graphen $G_k$ nur auf der x-Achse schneidet. Ermitteln Sie eine Gleichung von $h_k$.

$y =$