Abitur Saarland Mathematik 2023 · GK · Teil B · Analysis (WTR)

Die Abbildung 1 zeigt die Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $r: x \mapsto -(x^2 - x - 1)$ und $s: x \mapsto \mathrm{e}^x$. Die beiden Graphen haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der y-Achse.

a

Berechnen Sie die Nullstellen und die Extremstelle von $r$.

b

Beschreiben Sie, wie man den Abstand zwischen dem Graphen von $r$ und der Gerade mit der Gleichung $y = 4$ berechnen könnte.

c

Berechnen Sie die Größe des Winkels, in dem der Graph von $s$ die Gerade mit der Gleichung $y = 4$ schneidet.

°

d

Zeigen Sie, dass die Graphen von $r$ und $s$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben, und geben Sie eine Gleichung dieser Tangente an.

Die Abbildung 1 zeigt die Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $r: x \mapsto -(x^2 - x - 1)$ und $s: x \mapsto \mathrm{e}^x$. Die beiden Graphen haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der y-Achse.

e Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das die Graphen von $r$ und $s$ und die Gerade mit der Gleichung $x = 2$ begrenzen.

Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ beschreibt für $x \ge 0$ die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und $w(x)$ die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von $w$.

a

Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung 2 das Volumen des Wassers, das vom Zeitpunkt vier Sekunden nach Beobachtungsbeginn bis zum Zeitpunkt sechs Sekunden nach Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließt.

Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ beschreibt für $x \ge 0$ die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und $w(x)$ die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von $w$.

b

Bestimmen Sie für die ersten elf Sekunden nach Beobachtungsbeginn mithilfe der Abbildung 2 die momentane Durchflussrate für denjenigen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt.

c

Die Tangente an den Graphen von $w$ im Punkt $(1|w(1))$ wird durch die Gleichung $y = t(x)$ dargestellt. Interpretieren Sie die folgende Aussage im Sachzusammenhang:$$\text{Für alle Werte von } x \in [0{,}7; 1{,}4] \text{ gilt } \left|\frac{t(x)-w(x)}{w(x)}\right| < 0{,}05.$$

Für jeden Wert von $a \in \mathbb{R}$ ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w_a: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x} + a$ gegeben. Unabhängig von $a$ sind $0$ und $3$ die einzigen Extremstellen von $w_a$. Die Funktion $w_4$ ist die in der Aufgabe 2 betrachtete Funktion $w$, die obige Abbildung zeigt also den Graphen von $w_4$.

a

Beschreiben Sie den Einfluss des Parameters $a$ auf den Graphen von $w_a$.

Für jeden Wert von $a \in \mathbb{R}$ ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w_a: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x} + a$ gegeben. Unabhängig von $a$ sind $0$ und $3$ die einzigen Extremstellen von $w_a$. Die Funktion $w_4$ ist die in der Aufgabe 2 betrachtete Funktion $w$, die obige Abbildung zeigt also den Graphen von $w_4$.

b

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $a$, für den der Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden Extrempunkten des Graphen von $w_a$ auf der x-Achse liegt.

c

Berechnen Sie den Wert des Terms $w_4(3)$. Geben Sie alle Werte von $a$ an, für die $w_a$ genau eine Nullstelle hat.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{27}x^3-\frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

a)

Begründen Sie, dass $G_f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist. Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_f$ mit den Koordinatenachsen.

$G_f$ soll in drei Schritten verändert werden. Die drei Schritte sind:

Spiegeln an der x-Achse

Verschieben um 6 in positive x-Richtung

Verschieben um 14 in positive y-Richtung

e)

Geben Sie an, wie viele verschiedene neue Graphen entstehen, wenn die drei Schritte in allen möglichen Reihenfolgen ausgeführt werden. Begründen Sie Ihre Angabe.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{27}x^3-\frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

b)

$G_f$ hat zwei Extrempunkte. Zeigen Sie, dass einer der beiden ein Tiefpunkt mit der x-Koordinate $\sqrt{12}$ ist.

c)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente $t$ an $G_f$ im Punkt $P(6|f(6))$.

(zur Kontrolle: $t: y = \frac{8}{3}x - 16$)

$y =$

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{27}x^3-\frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

d)

Die Tangente $t$ hat mit $G_f$ neben $P$ nur den Punkt $Q(-12|f(-12))$ gemeinsam.

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die $G_f$ und $t$ einschließen.

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit

$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14$$

In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in °C.

Zur Beschreibung des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur könnte im Modell anstelle von $g$ auch die Funktion $h$ mit $h(x) = -3 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}x\right) + 14$ und $0 \le x < 12$ verwendet werden.

a

Geben Sie die Wendestelle von $g$ an. Beschreiben Sie die Bedeutung dieser Wendestelle hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur. [2 BE]

b

Die folgenden Rechnungen stellen in Verbindung mit der Abbildung die Lösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang dar:

$$\begin{aligned} g'(x) = 0 &\Leftrightarrow x = 6 - \sqrt{12} \;\lor\; x = 6 + \sqrt{12} \\ g(6 + \sqrt{12}) &- g(6 - \sqrt{12}) \approx 6{,}2 \end{aligned}$$

Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den dargestellten Lösungsweg. [4 BE]

d

Beurteilen Sie die folgende Aussage: [4 BE]

Im Modell ist unter Verwendung von $h$ der Zeitraum steigender Tagesdurchschnittstemperatur etwa einen Monat kürzer als unter Verwendung von $g$.

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit

$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14$$

In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in °C.

Zur Beschreibung des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur könnte im Modell anstelle von $g$ auch die Funktion $h$ mit $h(x) = -3 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}x\right) + 14$ und $0 \le x < 12$ verwendet werden.

c Geben Sie die Tagesdurchschnittstemperaturen an, die im Modell unter Verwendung der Funktion $h$ angenommen werden. Geben Sie für jede dieser Temperaturen an, wie oft sie angenommen wird.

Von

°C bis

°C