Abitur Saarland Mathematik 2021 · LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

Um die Ausbreitung der Europäischen Wildkatze in Deutschland zu unterstützen, haben Tierschützer zwischen den Wäldern, in denen Wildkatzen leben, sogenannte grüne Korridore aus Büschen angelegt. Diese Korridore ermöglichen eine Wanderbewegung der Wildkatzen zwischen den Wäldern.

Zunächst wird das Wanderverhalten der Wildkatzen zwischen den Wäldern A, B und C betrachtet. Die Verteilung der Wildkatzen auf die drei Wälder kann durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ dargestellt werden, wobei a, b und c die Anzahlen der Wildkatzen in den Wäldern A, B bzw. C angeben. Das Wanderverhalten von einem Jahr $n$ zum nächsten wird modellhaft durch die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = M \cdot \vec{v}_n$ mit $$M = \begin{pmatrix} 0{,}45 & 0{,}1 & 0{,}07 \\ 0{,}28 & 0{,}6 & 0{,}18 \\ 0{,}27 & 0{,}3 & 0{,}75 \end{pmatrix}$$ beschrieben.

a)

Stellen Sie das beschriebene Wanderverhalten in einem Übergangsdiagramm dar. [3 BE]

Zu Beginn der Beobachtung leben 100 Wildkatzen im Wald A, 110 im Wald B und 425 im Wald C.

b)

Ermitteln Sie, wie sich die Wildkatzen drei Jahre nach Beobachtungsbeginn auf die Wälder verteilen. [2 BE]

c)

Bestimmen Sie die exakten Einträge der Grenzmatrix $G = \lim_{n \to \infty} (M^n)$. Interpretieren Sie diese Einträge im Sachzusammenhang. [4 BE]

d)

Aufgrund von Tierschutzmaßnahmen im Wald A hat sich der Anteil der Wildkatzen, die von einem Jahr zum nächsten dort verbleiben, auf 64 % erhöht. Es soll davon ausgegangen werden, dass die Maßnahmen weder auf die Gesamtzahl der Wildkatzen in den drei Wäldern noch auf das Wanderverhalten der Tiere in den Wäldern B und C Einfluss hatten. Ermitteln Sie, wie groß die Abwanderungsraten aus dem Wald A sein müssten, damit sich eine Verteilung der Wildkatzen, bei der 200 Tiere im Wald B leben, nicht mehr ändert. [4 BE]

Zu Beginn eines Jahres wird das Wandergebiet der Wildkatzen durch weitere grüne Korridore um den Wald D erweitert. Die Verteilung der Wildkatzen auf die vier Wälder wird im entsprechend erweiterten Modell durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}$ beschrieben, ihr Wanderverhalten durch die Matrix $$N = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}1 & 0{,}05 & 0{,}2 \\ 0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}1 & 0{,}1 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}65 & 0{,}15 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}55 \end{pmatrix}$$ Unmittelbar nach der Erweiterung des Wandergebiets um den Wald D leben 115 Wildkatzen im Wald A, 200 im Wald B, 320 im Wald C und 70 im Wald D.

Um die Ausbreitung der Wildkatzen weiter zu fördern, werden am Ende jedes Jahres in jedem der vier Wälder zwei zusätzliche Wildkatzen ausgesetzt.

e)

Bestimmen Sie die Verteilung der Wildkatzen zwei Jahre nach der Erweiterung. [3 BE]

f)

Geben Sie im Sachzusammenhang die Bedeutung des Terms $$N^3 \cdot \begin{pmatrix} 115 \\ 200 \\ 320 \\ 70 \end{pmatrix} + (N^2 + N + E) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$$ an, wobei E die passende Einheitsmatrix ist. Begründen Sie Ihre Angabe. [3 BE]

In einem abgeschlossenen Waldgebiet wird die Entwicklung einer Population weiblicher Wildkatzen untersucht. Die Zusammensetzung der Population wird durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} w \\ j \\ e \end{pmatrix}$ dargestellt; dabei ist $w$ die Anzahl der Welpen (bis sechs Monate alt), $j$ die Anzahl der Jungtiere (mehr als sechs Monate bis zwölf Monate alt) und $e$ die Anzahl der erwachsenen Tiere (mehr als zwölf Monate alt). Die Entwicklung der Population von einem Halbjahr $r$ zum nächsten kann modellhaft durch die Gleichung $\vec{v}_{r+1} = P \cdot \vec{v}_r$ mit $$P = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0{,}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}4 & 0{,}7 \end{pmatrix}$$ beschrieben werden. Zu Beginn der Untersuchung befinden sich im Waldgebiet ausschließlich acht Jungtiere und acht erwachsene Tiere.

a)

Zeigen Sie, dass das Modell zur Beschreibung der Entwicklung der Population vor Beginn der Untersuchung nicht geeignet ist. [2 BE]

b)

Gegeben ist die folgende Lösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang:

$$f(r) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot P^r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix}$$

$$\text{Für } r \ge 4 \text{ gilt } \frac{f(r+1)}{f(r)} \approx 1{,}1.$$

$$k \cdot 1{,}1^4 = f(4) \text{ liefert } k \approx 32\text{, d. h. } f(r) \approx 32 \cdot 1{,}1^r \text{ für alle } r \ge 4.$$

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und beschreiben Sie die Bedeutung der Zahl 1,1. [4 BE]