Abitur Saarland Mathematik 2019 · LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR)

Die Abbildung zeigt den Würfel $ABCDEFGH$ mit $A(0|0|0)$ und $G(5|5|5)$ in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Ebene $T$ schneidet die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten $I(5|0|1)$, $J(2|5|0)$, $K(0|5|2)$ und $L(1|0|5)$.

Betrachtet wird die Schar der Geraden $g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 0 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10a \\ \frac{2}{a} \end{pmatrix}$ mit $a \in \mathbb{R}^+$ und $r \in \mathbb{R}$.

a)

Zeichnen Sie das Viereck IJKL in die Abbildung ein.

[2 BE]

b)

Zeigen Sie, dass das Viereck IJKL ein Trapez ist, in dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

[3 BE]

d)

Spiegelt man $T$ an der Ebene mit der Gleichung $x_1 = 2{,}5$, so erhält man die Ebene $T'$. Zeigen Sie, dass $T'$ durch die Gleichung $-5x_1 + 4x_2 + 5x_3 - 5 = 0$ beschrieben wird.

Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem sich $T$ und $T'$ schneiden.

[6 BE]

°

e)

Die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche IJKL liegt auf der Strecke $\overline{FG}$. Untersuchen Sie, ob die Höhe dieser Pyramide $2$ sein kann.

[4 BE]

Ja

Nein

Die Abbildung zeigt den Würfel $ABCDEFGH$ mit $A(0|0|0)$ und $G(5|5|5)$ in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Ebene $T$ schneidet die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten $I(5|0|1)$, $J(2|5|0)$, $K(0|5|2)$ und $L(1|0|5)$.

Betrachtet wird die Schar der Geraden $g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 0 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10a \\ \frac{2}{a} \end{pmatrix}$ mit $a \in \mathbb{R}^+$ und $r \in \mathbb{R}$.

c)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene $T$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $T: 5x_1 + 4x_2 + 5x_3 - 30 = 0$)

[4 BE]

Betrachtet wird die Schar der Geraden

$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 0 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10a \\ \frac{2}{a} \end{pmatrix} \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}^+ \text{ und } r \in \mathbb{R}.$$

f)

Begründen Sie, dass keine Gerade der Schar in der Ebene mit der Gleichung $x_3 = 3{,}5$ liegt.

[2 BE]

g)

Untersuchen Sie, ob die Schnittgerade von $T$ und $T'$ zur betrachteten Schar gehört.

[4 BE]

Ja

Nein

Die Abbildung 1 stellt einen bearbeiteten Edelstein dar. Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem, in dem eine Längeneinheit einem Millimeter in der Wirklichkeit entspricht, sind die Quadrate $ABCD$ und $EFGH$ mit $A(4|4|-1)$ und $E(2|2|0)$ parallel zur xy-Ebene. Die Mittelpunkte der beiden Quadrate sowie der Punkt $S(0|0|-5)$ liegen auf der z-Achse.

Die Abbildung 2 stellt den Edelstein nach einem zusätzlichen Bearbeitungsschritt dar, bei dem ein pyramidenförmiges Stück abgeschliffen wurde. Das Viereck $EIJK$ mit $I(4|2|-1)$ und $K(2|4|-1)$ ist ein Drachenviereck und liegt in der Ebene $W$.

Ein Laserstrahl, der auf den Edelstein trifft, kann im Modell mithilfe einer Gerade beschrieben werden, seine Richtung durch den Vektor $\vec{LM} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -t \end{pmatrix}$ mit $t > 0$. Der Auftreffpunkt wird durch $M(0|0|0)$ dargestellt.

Beim Übergang in den Edelstein ändert der Laserstrahl seine Richtung. Die Abbildung 3 zeigt in der yz-Ebene schematisch den Verlauf des Strahls. Es gilt $\sin \alpha = 2 \sin \beta$.

1 a

Die Gerade $u: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$ verläuft durch $A$. Zeigen Sie, dass $u$ auch durch $S$ verläuft.

[1 BE]

1 b

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene $W$ in Koordinatenform.

[4 BE]

(zur Kontrolle: $W: x + y + 2z - 4 = 0$)

1 c

Berechnen Sie die Koordinaten von $J$.

[3 BE]

(zur Kontrolle: $J(3{,}5 | 3{,}5 | -1{,}5)$)

Die Abbildung 1 stellt einen bearbeiteten Edelstein dar. Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem, in dem eine Längeneinheit einem Millimeter in der Wirklichkeit entspricht, sind die Quadrate $ABCD$ und $EFGH$ mit $A(4|4|-1)$ und $E(2|2|0)$ parallel zur xy-Ebene. Die Mittelpunkte der beiden Quadrate sowie der Punkt $S(0|0|-5)$ liegen auf der z-Achse.

Die Abbildung 2 stellt den Edelstein nach einem zusätzlichen Bearbeitungsschritt dar, bei dem ein pyramidenförmiges Stück abgeschliffen wurde. Das Viereck $EIJK$ mit $I(4|2|-1)$ und $K(2|4|-1)$ ist ein Drachenviereck und liegt in der Ebene $W$.

Ein Laserstrahl, der auf den Edelstein trifft, kann im Modell mithilfe einer Gerade beschrieben werden, seine Richtung durch den Vektor $\vec{LM} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -t \end{pmatrix}$ mit $t > 0$. Der Auftreffpunkt wird durch $M(0|0|0)$ dargestellt.

Beim Übergang in den Edelstein ändert der Laserstrahl seine Richtung. Die Abbildung 3 zeigt in der yz-Ebene schematisch den Verlauf des Strahls. Es gilt $\sin \alpha = 2 \sin \beta$.

d)

Berechnen Sie das Volumen des Teils des Edelsteins, der durch den zusätzlichen Bearbeitungsschritt verloren ging.

e)

In weiteren Bearbeitungsschritten werden auch an den Eckpunkten des Edelsteins, die durch B, C und D dargestellt sind, pyramidenförmige Stücke gleicher Form und Größe abgeschliffen. Anschließend ist der Edelstein symmetrisch bezüglich der Achse, die im Modell durch die z-Achse beschrieben wird. Beurteilen Sie, ob die folgende Aussage richtig ist:

Eine der drei Flächen, die durch die weiteren Bearbeitungsschritte entstanden sind, liegt im Modell in der Ebene mit der Gleichung

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{mit } r, s \in \mathbb{R}.$$

2. Teilaufgabe

Ein Laserstrahl, der auf den Edelstein trifft, kann im Modell mithilfe einer Gerade beschrieben werden, seine Richtung durch den Vektor $\vec{LM} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -t \end{pmatrix}$ mit $t > 0$. Der Auftreffpunkt wird durch $M(0|0|0)$ dargestellt.

Beim Übergang in den Edelstein ändert der Laserstrahl seine Richtung. Die Abbildung 3 zeigt in der yz-Ebene schematisch den Verlauf des Strahls. Es gilt $\sin\alpha = 2\sin\beta$.

a)

Bestimmen Sie für $\alpha = 45^\circ$ ohne zu rechnen den zugehörigen Wert von $t$.

b)

Zeigen Sie, dass $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$ gilt.

c)

Ermitteln Sie einen Vektor, der die Richtung des Laserstrahls im Edelstein in Abhängigkeit von $t$ beschreibt. Veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in der Abbildung 3.

Die Abbildung zeigt modellhaft ein zylinderförmiges Silo, dessen Schatten teilweise auf eine Scheune fällt. Das Silo ist $9{,}6\text{ m}$ hoch und hat einen Durchmesser von $4\text{ m}$. Die beiden Gebäude stehen senkrecht auf einem horizontalen Untergrund, der im dargestellten kartesischen Koordinatensystem durch die xy-Ebene beschrieben wird. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Realität.

Die Dachfläche der Scheune wird durch das Viereck mit den Eckpunkten $A(2|6|3)$, $B(-2|6|6)$, $C(-2|-6|6)$ und $D(2|-6|3)$ dargestellt.

Das Sonnenlicht, das zu einem bestimmten Zeitpunkt auf die beiden Gebäude trifft, kann durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}$ beschrieben werden. Der Raumbereich zwischen Silo und Scheune, der vom Sonnenlicht nicht erreicht wird, wird von mehreren Flächen begrenzt. Eine dieser Begrenzungsflächen wird durch das ebene Fünfeck PQRST beschrieben, wobei der Punkt T im Modell den Schatten von $P(7{,}2|-3{,}4|9{,}6)$ darstellt.

a)

Zeigen Sie, dass das Viereck $ABCD$ ein Rechteck ist. [3 BE]

c)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, unter dem die Dachfläche der Scheune gegenüber der Horizontalen geneigt ist. [2 BE]

°

d)

Berechnen Sie das Volumen des Silos. [2 BE]

f)

Berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{ST}$. [7 BE]

Die Abbildung zeigt modellhaft ein zylinderförmiges Silo, dessen Schatten teilweise auf eine Scheune fällt. Das Silo ist $9{,}6\text{ m}$ hoch und hat einen Durchmesser von $4\text{ m}$. Die beiden Gebäude stehen senkrecht auf einem horizontalen Untergrund, der im dargestellten kartesischen Koordinatensystem durch die xy-Ebene beschrieben wird. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Realität.

Die Dachfläche der Scheune wird durch das Viereck mit den Eckpunkten $A(2|6|3)$, $B(-2|6|6)$, $C(-2|-6|6)$ und $D(2|-6|3)$ dargestellt.

Das Sonnenlicht, das zu einem bestimmten Zeitpunkt auf die beiden Gebäude trifft, kann durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}$ beschrieben werden. Der Raumbereich zwischen Silo und Scheune, der vom Sonnenlicht nicht erreicht wird, wird von mehreren Flächen begrenzt. Eine dieser Begrenzungsflächen wird durch das ebene Fünfeck PQRST beschrieben, wobei der Punkt T im Modell den Schatten von $P(7{,}2|-3{,}4|9{,}6)$ darstellt.

b)

Das Viereck $ABCD$ liegt in der Ebene $E$. Ermitteln Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. [3 BE]

(zur Kontrolle: $E: 3x + 4z = 18$)

e)

Das Fünfeck $PQRST$ liegt in der Ebene $F$. Begründen Sie ohne die Koordinaten eines weiteren Eckpunkts des Fünfecks zu bestimmen, dass $F$ durch die Gleichung $3x + 4y = 8$ beschrieben wird. [4 BE]

g)

Eine zweite Begrenzungsfläche des betrachteten Raumbereichs liegt im Modell in einer Ebene $H: 3x + 4y = d$ mit $d \in \mathbb{R}$. Berechnen Sie den Wert von $d$. [4 BE]