Abitur Saarland Mathematik 2017 · LK · Teil B · Analysis (WTR)

Für ein anderes Becken wird die momentane Änderungsrate des Volumens des enthaltenen Wassers für $0 \le t \le 15$ durch die Funktion $g$ mit $g(t) = 0{,}4 \cdot (2t^3 - 39t^2 + 180t)$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $g(t)$ die Änderungsrate in $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$. Die Funktion $G$ mit $G(t) = 0{,}2 \cdot (t^4 - 26t^3 + 180t^2)$ ist eine Stammfunktion von $g$.

1 Abbildung 1 zeigt den Graphen einer Funktion $f$, die für $0 \le t \le 15$ das Volumen des Wassers in einem Becken in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $f(t)$ das Volumen in Kubikmetern.

a

Geben Sie das Volumen des Wassers fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn an sowie den Zeitraum, in dem das Volumen mindestens 350 Kubikmeter beträgt. [3 BE]

von:

bis:

b

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn. [4 BE]

c

Die fünfzehn Stunden nach Beobachtungsbeginn vorliegende momentane Änderungsrate des Wasservolumens bleibt bis zu dem Zeitpunkt erhalten, zu dem das Becken kein Wasser mehr enthält. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man diesen Zeitpunkt grafisch bestimmen kann. Geben Sie den Zeitpunkt an. [3 BE]

d

Interpretieren Sie die Gleichung $f(t + 6) = f(t) - 350$ im Sachzusammenhang. Geben Sie eine Lösung der Gleichung an. [4 BE]

e

Begründen Sie, dass die Funktionsgleichung von $f$ weder die Form I noch die Form II hat:

$$\text{I } y = -0{,}3t^4 + at^2 + 100, \quad a \in \mathbb{R}$$

$$\text{II } y = 8{,}5t^3 + 3{,}7t^2 + bt + 100, \quad b \in \mathbb{R}$$ [3 BE]

Für ein anderes Becken wird die momentane Änderungsrate des Volumens des enthaltenen Wassers für $0 \le t \le 15$ durch die Funktion $g$ mit $g(t) = 0{,}4 \cdot (2t^3 - 39t^2 + 180t)$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $g(t)$ die Änderungsrate in $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$. Die Funktion $G$ mit $G(t) = 0{,}2 \cdot (t^4 - 26t^3 + 180t^2)$ ist eine Stammfunktion von $g$.

a)

Berechnen Sie für den beschriebenen Zeitraum denjenigen Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Wasservolumens maximal ist.

b)

Ermitteln Sie rechnerisch den Zeitraum, in dem das Volumen des Wassers abnimmt.

h

h

Für ein anderes Becken wird die momentane Änderungsrate des Volumens des enthaltenen Wassers für $0 \le t \le 15$ durch die Funktion $g$ mit $g(t) = 0{,}4 \cdot (2t^3 - 39t^2 + 180t)$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $g(t)$ die Änderungsrate in $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$. Die Funktion $G$ mit $G(t) = 0{,}2 \cdot (t^4 - 26t^3 + 180t^2)$ ist eine Stammfunktion von $g$.

c)

Drei Stunden nach Beobachtungsbeginn sind im Becken 350 Kubikmeter Wasser enthalten. Bestimmen Sie das Volumen des Wassers zu Beobachtungsbeginn.

d)

Untersuchen Sie rechnerisch, ob es nach Beobachtungsbeginn einen Zeitpunkt gibt, zu dem das Wasservolumen ebenso groß ist wie zu Beobachtungsbeginn.

Für jeden Wert $c \in \mathbb{R}^+$ ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_c: x \mapsto c \cdot \sin(cx)$ gegeben. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $h_1$.

a)

Skizzieren Sie für $c = \frac{1}{2}$ und $c = 2$ jeweils den Graphen von $h_c$ in Abbildung 2.

c)

Beschreiben Sie, wie man ohne Verwendung einer Ableitungsfunktion die Koordinaten eines Tiefpunkts des Graphen von $h_c$ in Abhängigkeit von $c$ ermitteln kann. Geben Sie die Koordinaten eines Tiefpunkts an.

Tiefpunkt: $T($ $\,|\,$ $)

Für jeden Wert $c \in \mathbb{R}^+$ ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_c: x \mapsto c \cdot \sin(cx)$ gegeben. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $h_1$.

Eine Nullstelle von $h_c$ ist $0$, die benachbarte positive Nullstelle wird mit $u$ bezeichnet. Geben Sie den Wert von $u$ in Abhängigkeit von $c$ an. Berechnen Sie damit den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $h_c$ für $0 \le x \le u$ mit der $x$-Achse einschließt.

1.

$u =$

2.

$A =$

Für jeden Wert $c \in \mathbb{R}^+$ ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_c: x \mapsto c \cdot \sin(cx)$ gegeben. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $h_1$.

d)

Geben Sie einen Term der 103. Ableitung von $h_c$ an.

Für jedes $k \in \mathbb{R}^+$ ist eine Funktion $f_k: x \mapsto k^2x^3 - 6kx^2 + 9x$ mit $x \in \mathbb{R}$ gegeben. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

a)

Geben Sie das Verhalten von $f_k$ für $x \to -\infty$ und $x \to +\infty$ an.

[2 BE]

b)

Berechnen Sie die Nullstellen von $f_k$.

[4 BE]

c)

Begründen Sie, dass $G_k$ weder bezüglich des Koordinatenursprungs noch bezüglich der y-Achse symmetrisch ist.

[2 BE]

g)

Abbildung 1 zeigt für einen bestimmten Wert von $k$ den Graphen von $f_k$ sowie den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = f_k(x) + d$ mit $d \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Ordnen Sie die beiden Funktionen jeweils einem der beiden Graphen I und II zu. Begründen Sie Ihre Zuordnung und bestimmen Sie die Werte von $k$ und $d$.

[4 BE]

Graph I gehört zu:

$h$

$f_k$

Graph II gehört zu:

$f_k$

$h$

h)

Für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt $f_2(x) = \frac{1}{2} \cdot f_1(2x)$. Beschreiben Sie, wie der Graph von $f_2$ aus dem Graphen von $f_1$ hervorgeht.

[2 BE]

Für jedes $k \in \mathbb{R}^+$ ist eine Funktion $f_k: x \mapsto k^2x^3 - 6kx^2 + 9x$ mit $x \in \mathbb{R}$ gegeben. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

d)

Weisen Sie nach, dass $f_k'(x) = 3 \cdot (kx - 1) \cdot (kx - 3)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f_k$ ist. [3 BE]

e)

Berechnen Sie denjenigen Wert von $k$, für den sich die x-Koordinaten der beiden Extrempunkte von $G_k$ um 6 unterscheiden. [4 BE]

f)

Für jeden Wert von $k$ wird die Tangente an $G_k$ im Wendepunkt $\left(\frac{2}{k} \,\middle|\, \frac{2}{k}\right)$ betrachtet. Zeigen Sie, dass die Tangenten für unterschiedliche Werte von $k$ parallel zueinander sind. [3 BE]

Für jedes $k \in \mathbb{R}^+$ ist eine Funktion $f_k: x \mapsto k^2x^3 - 6kx^2 + 9x$ mit $x \in \mathbb{R}$ gegeben. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Abbildung 2 zeigt den Graphen $G_1$ von $f_1$. Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $L$ und $M$ mit

$$L(x) = \int_0^x f_1(t)\,\mathrm{d}t \quad \text{und} \quad M(x) = \int_3^x f_1(t)\,\mathrm{d}t.$$

i)

Begründen Sie ohne Rechnung, dass der Punkt $(0|0)$ Tiefpunkt des Graphen der Funktion $L$ ist.

[3 BE]

j)

Geben Sie zwei besondere Eigenschaften des Graphen von $L$ bei $x = 3$ an. Begründen Sie jeweils Ihre Angabe.

[3 BE]

k)

Begründen Sie, dass der Graph der Funktion $M$ aus dem Graphen der Funktion $L$ durch eine Verschiebung in negative y-Richtung hervorgeht.

[2 BE]

Für jedes $k \in \mathbb{R}^+$ ist eine Funktion $f_k: x \mapsto k^2x^3 - 6kx^2 + 9x$ mit $x \in \mathbb{R}$ gegeben. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Aufgabe 2

Betrachtet wird eine große rotationssymmetrische Schale, die aus einem Steinblock gefertigt wurde. Ein Kubikmeter des Steins hat eine Masse von $2700\text{ kg}$.

In einem Koordinatensystem kann ein Querschnitt der Schale mithilfe der Graphen der folgenden Funktionen modellhaft dargestellt werden:

$$p: x \mapsto \sqrt{6x}, \quad 0 \le x \le 6$$

$$q: x \mapsto \sqrt{4x-8}, \quad 2 \le x \le 6$$

Dabei beschreibt die $x$-Achse die Rotationsachse der Schale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ dm}$ (vgl. Abbildung 3).

a)

Interpretieren Sie den Term $p(6) - q(6)$ im Sachzusammenhang. [2 BE]

b)

In die aufrecht stehende Schale wird mit konstanter Zuflussrate Wasser gefüllt. Entscheiden Sie, welcher der abgebildeten Graphen I, II und III für diesen Vorgang die Füllhöhe in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Begründen Sie Ihre Entscheidung. [2 BE]

c)

Weisen Sie nach, dass sich bei dem beschriebenen Füllvorgang der Flächeninhalt $A$ der Wasseroberfläche (in $\text{dm}^2$) in Abhängigkeit von der Füllhöhe $h$ (in $\text{dm}$) mithilfe der Gleichung $A(h) = 4\pi h$ berechnen lässt. [4 BE]

d)

Interpretieren Sie im Sachzusammenhang die Funktion $s$ mit

$$s(x) = \pi \cdot \int_2^{2+x} (q(t))^2 \, \mathrm{d}t$$

und geben Sie den größten Definitionsbereich von $s$ an, der im Sachzusammenhang sinnvoll ist. [4 BE]

e)

Berechnen Sie die Masse der Schale. [6 BE]

Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_k$ mit $f_k(x) = -x^4 + 6kx^2$, $x \in \mathbb{R}$ und $k \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

a)

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $k$ die Anzahl der Nullstellen von $f_k$. [4 BE]

b)

Begründen Sie, dass $G_k$ für alle Werte von $k$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist und für $k \le 0$ nicht oberhalb der x-Achse verläuft. [3 BE]

e)

Die in Abbildung 1 dargestellten Graphen gehören jeweils zu einem der Werte $k = -\frac{1}{2}$, $k = \frac{1}{2}$ und $k = 1$. Ordnen Sie die angegebenen Werte von $k$ jeweils einem der Graphen zu. Begründen Sie Ihre Zuordnung. [3 BE]

Graph · Zugehöriger Wert von $k$

Graph I

Graph II

Graph III

Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_k$ mit $f_k(x) = -x^4 + 6kx^2$, $x \in \mathbb{R}$ und $k \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

c)

Weisen Sie nach, dass $G_k$ für $k > 0$ genau zwei Hochpunkte besitzt. Bestimmen Sie die Koordinaten dieser Hochpunkte in Abhängigkeit von $k$. [5 BE]

(zur Kontrolle: Koordinaten eines Hochpunkts: $(\sqrt{3k} \mid 9k^2)$)

( |)

( |)

d)

Untersuchen Sie für $k > 0$ mithilfe der Lage eines der beiden Hochpunkte von $G_k$ in Abhängigkeit von $k$, wie viele gemeinsame Punkte $G_k$ und die Gerade mit der Gleichung $y = 4$ haben. [4 BE]

Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_k$ mit $f_k(x) = -x^4 + 6kx^2$, $x \in \mathbb{R}$ und $k \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

f

Deuten Sie für $k > 0$ das Integral $\int\limits_{0}^{\sqrt{3k}} (9k^2 - f_k(x))\,\mathrm{d}x$ mithilfe einer geeigneten Skizze geometrisch.

Ein Trainingsgerät zur Schulung der Koordination besteht aus einem Unterbau und einem Standbrett (vgl. Abbildung 2). Das zwei Zentimeter dicke Standbrett schließt seitlich ohne Überstand mit dem Unterbau ab.

Das Trainingsgerät hat auf seiner gesamten Länge den gleichen Querschnitt. In diesem Querschnitt wird die untere Profillinie des Unterbaus betrachtet.

Bei horizontal ausgerichtetem Standbrett soll die Profillinie durch eine Funktion modellhaft beschrieben werden. Das Modell geht von einem horizontalen Untergrund aus, der im Querschnitt durch die x-Achse des Koordinatensystems dargestellt wird; eine Längeneinheit im Koordinatensystem soll einem Dezimeter in der Realität entsprechen.

Zunächst wird die Profillinie für $-3 \le x \le 3$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $p$ mit $p(x) = -\frac{1}{48} \cdot (x^4 - 18x^2)$ beschrieben. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $p$.

a)

Der Graph von $p$ geht durch eine Streckung aus einem der Graphen von $f_k$ aus Aufgabe 1 hervor. Geben Sie den passenden Wert von $k$ an und beschreiben Sie die Streckung.

b)

Begründen Sie, dass der Graph von $p$ im Koordinatenursprung einen Tiefpunkt hat und genau zwei Hochpunkte besitzt, die in ihren y-Koordinaten übereinstimmen.

c)

Bestimmen Sie die Höhe des Trainingsgeräts in Zentimetern.

Ein Trainingsgerät zur Schulung der Koordination besteht aus einem Unterbau und einem Standbrett (vgl. Abbildung 2). Das zwei Zentimeter dicke Standbrett schließt seitlich ohne Überstand mit dem Unterbau ab.

Das Trainingsgerät hat auf seiner gesamten Länge den gleichen Querschnitt. In diesem Querschnitt wird die untere Profillinie des Unterbaus betrachtet.

Bei horizontal ausgerichtetem Standbrett soll die Profillinie durch eine Funktion modellhaft beschrieben werden. Das Modell geht von einem horizontalen Untergrund aus, der im Querschnitt durch die x-Achse des Koordinatensystems dargestellt wird; eine Längeneinheit im Koordinatensystem soll einem Dezimeter in der Realität entsprechen.

Zunächst wird die Profillinie für $-3 \le x \le 3$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $p$ mit $p(x) = -\frac{1}{48} \cdot (x^4 - 18x^2)$ beschrieben. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $p$.

d)

Der Unterbau und das Standbrett sind ohne Hohlraum aus Holz gefertigt. Ein Kubikzentimeter des Holzes hat eine Masse von $0{,}5\text{ Gramm}$. Berechnen Sie die Masse des Trainingsgeräts in Kilogramm.

Ein Trainingsgerät zur Schulung der Koordination besteht aus einem Unterbau und einem Standbrett (vgl. Abbildung 2). Das zwei Zentimeter dicke Standbrett schließt seitlich ohne Überstand mit dem Unterbau ab.

Das Trainingsgerät hat auf seiner gesamten Länge den gleichen Querschnitt. In diesem Querschnitt wird die untere Profillinie des Unterbaus betrachtet.

Bei horizontal ausgerichtetem Standbrett soll die Profillinie durch eine Funktion modellhaft beschrieben werden. Das Modell geht von einem horizontalen Untergrund aus, der im Querschnitt durch die x-Achse des Koordinatensystems dargestellt wird; eine Längeneinheit im Koordinatensystem soll einem Dezimeter in der Realität entsprechen.

Zunächst wird die Profillinie für $-3 \le x \le 3$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $p$ mit $p(x) = -\frac{1}{48} \cdot (x^4 - 18x^2)$ beschrieben. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $p$.

Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $(1 \mid p(1))$ und $(3 \mid p(3))$.

e

Weisen Sie nach, dass $g$ die Tangente an den Graphen von $p$ im Punkt $(1 \mid p(1))$ ist.

f

Berechnen Sie die Größe des Steigungswinkels von $g$.

g

Der Steigungswinkel von $g$ hat für das Trainingsgerät hinsichtlich dessen Bewegungsfreiheit eine besondere Bedeutung. Beschreiben Sie diese Bedeutung.

Ein Trainingsgerät zur Schulung der Koordination besteht aus einem Unterbau und einem Standbrett (vgl. Abbildung 2). Das zwei Zentimeter dicke Standbrett schließt seitlich ohne Überstand mit dem Unterbau ab.

Das Trainingsgerät hat auf seiner gesamten Länge den gleichen Querschnitt. In diesem Querschnitt wird die untere Profillinie des Unterbaus betrachtet.

Bei horizontal ausgerichtetem Standbrett soll die Profillinie durch eine Funktion modellhaft beschrieben werden. Das Modell geht von einem horizontalen Untergrund aus, der im Querschnitt durch die x-Achse des Koordinatensystems dargestellt wird; eine Längeneinheit im Koordinatensystem soll einem Dezimeter in der Realität entsprechen.

Zunächst wird die Profillinie für $-3 \le x \le 3$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $p$ mit $p(x) = -\frac{1}{48} \cdot (x^4 - 18x^2)$ beschrieben. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $p$.

Zur Beschreibung der Profillinie des Unterbaus soll nun eine Funktion $q$ mit $$q(x) = a - c \cdot \mathrm{e}^{-x^2},\quad a, c \in \mathbb{R}^+\text{ und } x \in [-3; 3]$$ verwendet werden.

h

Der Graph von $q$ soll durch den Koordinatenursprung verlaufen. Die y-Koordinaten der beiden Randpunkte des Graphen von $q$ sollen mit den y-Koordinaten der Randpunkte des Graphen von $p$ übereinstimmen. Ermitteln Sie die Werte von $a$ und $c$.

i

Begründen Sie, dass die Werte von $a$ und $c$ nicht so gewählt werden können, dass der Graph von $q$ zu seinen Randpunkten hin parallel zur x-Achse ausläuft.