Abitur Rheinland-Pfalz Mathematik 2018 · LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

1 Aufgabe

In einer Stadt gab es lange Zeit nur die beiden Baumärkte A und B. Nach Eröffnung eines dritten Baumarkts C lässt sich das Wechselverhalten der Kunden von einem Monat zum nächsten zunächst modellhaft durch das abgebildete Übergangsdiagramm darstellen.

a)

In einem Monat hat der Baumarkt A 3500 Kunden, der Baumarkt B 4840 Kunden und der Baumarkt C 1660 Kunden. Bestimmen Sie für den vorhergehenden Monat die Anzahlen der Kunden der drei Baumärkte.

Baumarkt A:

Baumarkt B:

Baumarkt C:

Um der zunehmenden Konkurrenz durch den Baumarkt C zu begegnen, erweitert der Baumarkt A sein Sortiment, der Baumarkt B verbessert seinen Kundenservice. Diese Maßnahmen führen zu einer Änderung des Wechselverhaltens der Kunden.

Im Modell werden die Verteilungen der Kunden auf die drei Baumärkte durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ dargestellt, wobei $a$ die Anzahl der Kunden des Baumarkts A, $b$ die Anzahl der Kunden des Baumarkts B und $c$ die Anzahl der Kunden des Baumarkts C bezeichnet. Damit kann die Entwicklung der Kundenverteilung von einem Monat $n$ zum nächsten nun durch die Matrix

$$M = \begin{pmatrix} 0{,}63 & 0{,}18 & 0{,}3 \\ 0{,}27 & 0{,}72 & 0{,}45 \\ 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}25 \end{pmatrix}$$

und die Gleichung $M \cdot \vec{v_n} = \vec{v_{n+1}}$ beschrieben werden.

In einem auf die Maßnahmen folgenden Sommermonat hat der Baumarkt A 3539 Kunden, der Baumarkt B 5281 Kunden und der Baumarkt C 1180 Kunden.

b)

Weisen Sie nach, dass die beschriebenen Maßnahmen der Baumärkte A und B höchstens vier Monate zurückliegen.

c)

Berechnen Sie für denjenigen Monat, der dem genannten Sommermonat vorherging, die prozentualen Anteile der Kunden der drei Baumärkte an der Gesamtzahl dieser Kunden.

Anteil A:

%

Anteil B:

%

Anteil C:

%

d)

Ermitteln Sie auf der Grundlage des Modells, wie sich die prozentualen Anteile der Kunden der drei Baumärkte nach der Durchführung der Maßnahmen der Baumärkte A und B langfristig entwickeln würden, wenn das Wechselverhalten der Kunden konstant bliebe.

Langfristig A:

%

Langfristig B:

%

Langfristig C:

%

e)

Geben Sie an, für welchen der drei Baumärkte der Anteil der Kunden, die nach Beginn der beschriebenen Maßnahmen von einem Monat zum nächsten zu einem anderen Baumarkt wechseln, am kleinsten ist. Nennen Sie den zugehörigen Anteil.

Baumarkt:

Anteil der Wechsler:

%

Der Baumarkt C muss befürchten, den für seinen wirtschaftlichen Erfolg notwendigen Anteil von $25\,\%$ der Kunden aller drei Baumärkte nicht zu erreichen. Der Baumarkt führt deshalb Rabattaktionen durch, mit deren Hilfe Kunden gebunden werden sollen. Ab dem Monat, in dem die Aktionen beginnen, lässt sich das Wechselverhalten der Kunden von einem Monat zum nächsten im Modell durch eine Matrix

$$N = \begin{pmatrix} 0{,}63 & 0{,}18 & 0{,}4 \cdot (1 - p) \\ 0{,}27 & 0{,}72 & 0{,}6 \cdot (1 - p) \\ 0{,}1 & 0{,}1 & p \end{pmatrix} \quad \text{mit } p \in [0; 1]$$

beschreiben.

f)

In einem Monat nach Beginn der Rabattaktionen hat der Baumarkt A 3400 Kunden, der Baumarkt B 5200 Kunden und der Baumarkt C 1400 Kunden. Im folgenden Monat hat der Baumarkt A 3022 Kunden. Untersuchen Sie, ob diese Kundenzahl mit dem Modell in Einklang steht, das mithilfe der Matrix N beschrieben wird.

g)

Im Monat vor Beginn der Rabattaktionen hatte der Baumarkt A 3530 Kunden, der Baumarkt B 5294 Kunden und der Baumarkt C 1176 Kunden. Ermitteln Sie ausgehend von diesen Werten, in welchem Bereich der prozentuale Anteil der Kunden des Baumarkts C im folgenden Monat liegen kann.

Bereich von

% bis

%

h)

Zeigen Sie, dass es für jeden Wert von $p \in [0; 1]$ einen Vektor $\vec{v_p}$ gibt, dessen Komponenten nicht negativ sind, dessen Spaltensumme 10000 ist und für den $N \cdot \vec{v_p} = \vec{v_p}$ gilt.

Bestimmen Sie für einen geeignet gewählten Wert von $p$ einen Vektor $\vec{v_p}$, dessen Komponenten ganzzahlig sind, und interpretieren Sie die Bedeutung dieses Vektors im Sachzusammenhang.

Sogenannte Taufliegen leben mehrere Wochen. Eine fertig entwickelte Fliege (im Folgenden als „Vollinsekt“ bezeichnet) legt wöchentlich bis zu 400 Eier. Innerhalb der ersten Woche nach dem Legen eines Eis entsteht über mehrere Larvenstadien eine Puppe, innerhalb der zweiten aus dieser Puppe ein Vollinsekt.

Betrachtet wird die Entwicklung verschiedener Populationen weiblicher Tiere, die jeweils unter Laborbedingungen abgeschlossen gezüchtet werden. In einem Modell wird die Zusammensetzung einer Population durch einen Vektor $\begin{pmatrix} E \\ P \\ V \end{pmatrix}$ beschrieben, wobei $E$ die Anzahl der Eier, aus denen weibliche Larven schlüpfen können, $P$ die Anzahl der Puppen und $V$ die Anzahl der Vollinsekten bezeichnet.

1. Erste Population

Zu Beginn der Beobachtung einer Fliegenpopulation besteht diese nur aus 230 Vollinsekten. Die Entwicklung der Population von einer Woche $n$ zur nächsten kann durch die Matrix $L = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 200 \\ 0{,}03 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}11 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ und die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = L \cdot \vec{v}_n$ beschrieben werden.

a)

Beschreiben Sie die Bedeutung der Matrixeinträge 200 und 0,11 im Sachzusammenhang. [2 BE]

b)

Zeigen Sie, dass sechs Wochen nach Beobachtungsbeginn etwa 336 Vollinsekten und zehn Wochen nach Beobachtungsbeginn etwa 652 Vollinsekten zur Population gehören. [2 BE]

c)

Es wird vermutet, dass die Anzahl der Vollinsekten ab dem Zeitpunkt sechs Wochen nach Beobachtungsbeginn innerhalb von jeweils vier Wochen um etwa 92 % zunimmt. Zeigen Sie, dass diese Vermutung zwischen den Zeitpunkten sechs und zehn Wochen nach Beobachtungsbeginn sowie zwischen den Zeitpunkten zehn und vierzehn Wochen nach Beobachtungsbeginn näherungsweise zutrifft. Bestimmen Sie passend zur Vermutung die durchschnittliche wöchentliche Zunahme der Anzahl der Vollinsekten in Prozent. [5 BE]

%

2. Zweite Population

Einer zweiten Population soll am Ende jeder Woche eine bestimmte Anzahl $a$ von Vollinsekten entnommen werden. Die Entwicklung dieser Population von einer Woche $n$ zur nächsten kann damit durch die Matrix $L$ aus Aufgabe 1 und die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = L \cdot \vec{v}_n - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a \end{pmatrix}$ beschrieben werden.

a)

Angenommen, die Population bestünde zu Beginn der Beobachtung nur aus 4000 Puppen. Bestimmen Sie die Zusammensetzung der Population zwei Wochen nach Beobachtungsbeginn, wenn man ihr am Ende jeder Woche 10 Vollinsekten entnimmt. [2 BE]

$\vec{v}_2 =$

$E_2 =$

$P_2 =$

$V_2 =$

b)

Beurteilen Sie die folgende Aussage: [3 BE]

„Entnimmt man der Population während eines Zeitraums von fünf Wochen am Ende jeder Woche 10 Vollinsekten, so führt dies zur gleichen Zusammensetzung, wie wenn erst nach Ablauf des gesamten Zeitraums 50 Vollinsekten entnommen werden.“

c)

Zur Population sollen dauerhaft 20000 Eier und 600 Puppen gehören. Bestimmen Sie die Anzahl der Vollinsekten in der Population und die Anzahl der Vollinsekten, die am Ende jeder Woche entnommen werden müssen. [3 BE]

3. Dritte Population

Die Entwicklung einer dritten Population von einer Woche $n$ zur nächsten kann durch die Matrix $M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 100 \\ 0{,}09 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}15 & 0{,}9 \end{pmatrix}$ und die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = M \cdot \vec{v}_n$ beschrieben werden.

a)

Es gibt Zusammensetzungen dieser Population, die jeweils die drei folgenden Eigenschaften haben:

Die Anzahl der Eier und die Anzahl der Vollinsekten stehen im Verhältnis $b: 1$.

Die Anzahl der Puppen ist viermal so groß wie die Anzahl der Vollinsekten.

Die Anzahl der Eier, Puppen und Vollinsekten wächst von einer Woche zur nächsten jeweils mit einem konstanten Faktor $c$.

Bestimmen Sie die Werte von $b$ und $c$. [4 BE]

b)

Zu Forschungszwecken wird bei dieser Population ein Insektizid eingesetzt. Es bewirkt, dass von einer Woche zur nächsten stets alle Vollinsekten sterben. Die Überlebenschancen der Eier und Puppen sowie die Fruchtbarkeit der Vollinsekten werden durch das Insektizid aber nicht beeinflusst. Beurteilen Sie die folgende Aussage: [4 BE]

„Betrachtet man die Entwicklung der Population im Rhythmus von drei Wochen, so steigen die Anzahl der Eier, die Anzahl der Puppen und die Anzahl der Vollinsekten jeweils exponentiell an.“