Abitur Mecklenburg-Vorpommern Mathematik 2020 · LK · Teil B · Analysis (CAS)

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $v_t$ mit

$$v_t(x) = \left(\frac{x}{t}\right)^2 \cdot (x - t)^2 + 1 \quad \text{und} \quad t \in \mathbb{R}^+.$$

a

Nennen Sie drei Eigenschaften, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.

[3 BE]

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \sqrt[4]{v_8(x)}$.

f

Beurteilen Sie jede der folgenden Aussagen:

[6 BE]

g

Es gilt $\lim_{x \to +\infty} \left(\left(\frac{\sqrt{2}}{4}x - \sqrt{2}\right) - f(x)\right) = 0$. Beschreiben Sie die grafische Bedeutung dieser Aussage.

[2 BE]

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $v_t$ mit

$$v_t(x) = \left(\frac{x}{t}\right)^2 \cdot (x - t)^2 + 1 \quad \text{und} \quad t \in \mathbb{R}^+.$$

b)

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $v_8$.

[2 BE]

$H($

$\mid$

$)$

c)

Das Gleichungssystem

$$\text{I}\quad v_8(x) = m \cdot x + 1 \qquad\qquad \text{II}\quad v'_8(x) = m$$

hat unter anderem die beiden Lösungen $x_1 = \frac{8}{3}$ und $m_1 = \frac{32}{27}$ sowie $x_2 = 8$ und $m_2 = 0$. Beschreiben Sie die Bedeutung dieser Lösungen für den Graphen von $v_8$ unter Berücksichtigung beider Gleichungen.

[4 BE]

d)

Zeigen Sie, dass der Graph von $v_t$ genau zwei Wendepunkte hat, deren $y$-Koordinaten den Wert $\frac{1}{36}t^2 + 1$ haben.

[3 BE]

e)

Der Wendepunkt des Graphen von $v_t$ mit der kleineren $x$-Koordinate sowie die Punkte $P\left(\frac{t}{2} \mid 0\right)$ und $Q\left(\frac{t}{2} \mid v_t\left(\frac{t}{2}\right)\right)$ sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Untersuchen Sie, ob es einen Wert von $t$ gibt, für den dieses Dreieck rechtwinklig ist.

[4 BE]

Auf einer 3 km langen Teststrecke fährt ein Testfahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit. In Abhängigkeit von der vom Startpunkt aus zurückgelegten Strecke in Kilometern wird durchgehend der lokale Kraftstoffverbrauch des Fahrzeugs in Millilitern pro Kilometer gemessen.

Für den ersten Abschnitt der Fahrt liegen folgende Messwerte vor:

zurückgelegte Strecke in km · 0,00 · 0,25 · 0,50 · 0,75 · 1,00

lokaler Verbrauch in $\frac{\text{ml}}{\text{km}}$ · 66,3 · 80,5 · 88,7 · 91,8 · 90,7

Für die gesamte Fahrt kann der lokale Kraftstoffverbrauch in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $k$ mit

$$k(x) = 10x^3 - 57x^2 + 72x + 66$$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die zurückgelegte Strecke in km und $k(x)$ der lokale Verbrauch in $\frac{\text{ml}}{\text{km}}$.

a)

Die gemessenen Werte für den lokalen Kraftstoffverbrauch lassen sich in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke modellhaft durch eine ganzrationale Funktion beschreiben. Ermitteln Sie einen passenden Funktionsterm.

b)

Zeigen Sie, dass die Funktion $k$ für den Startpunkt und für eine zurückgelegte Strecke von $1{,}00\text{ km}$ jeweils einen Wert liefert, der vom zugehörigen Messwert um weniger als $0{,}5\ \%$ abweicht.

%

%

Auf einer 3 km langen Teststrecke fährt ein Testfahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit. In Abhängigkeit von der vom Startpunkt aus zurückgelegten Strecke in Kilometern wird durchgehend der lokale Kraftstoffverbrauch des Fahrzeugs in Millilitern pro Kilometer gemessen.

Für den ersten Abschnitt der Fahrt liegen folgende Messwerte vor:

zurückgelegte Strecke in km · 0,00 · 0,25 · 0,50 · 0,75 · 1,00

lokaler Verbrauch in $\frac{\text{ml}}{\text{km}}$ · 66,3 · 80,5 · 88,7 · 91,8 · 90,7

Für die gesamte Fahrt kann der lokale Kraftstoffverbrauch in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $k$ mit

$$k(x) = 10x^3 - 57x^2 + 72x + 66$$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die zurückgelegte Strecke in km und $k(x)$ der lokale Verbrauch in $\frac{\text{ml}}{\text{km}}$.

c)

Ermitteln Sie für die gesamte Fahrt den größten lokalen Verbrauch sowie diejenige Stelle der Teststrecke, an der sich der lokale Verbrauch am stärksten geändert hat.

Auf einer 3 km langen Teststrecke fährt ein Testfahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit. In Abhängigkeit von der vom Startpunkt aus zurückgelegten Strecke in Kilometern wird durchgehend der lokale Kraftstoffverbrauch des Fahrzeugs in Millilitern pro Kilometer gemessen.

Für den ersten Abschnitt der Fahrt liegen folgende Messwerte vor:

zurückgelegte Strecke in km · 0,00 · 0,25 · 0,50 · 0,75 · 1,00

lokaler Verbrauch in $\frac{\text{ml}}{\text{km}}$ · 66,3 · 80,5 · 88,7 · 91,8 · 90,7

Für die gesamte Fahrt kann der lokale Kraftstoffverbrauch in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $k$ mit

$$k(x) = 10x^3 - 57x^2 + 72x + 66$$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die zurückgelegte Strecke in km und $k(x)$ der lokale Verbrauch in $\frac{\text{ml}}{\text{km}}$.

Im Tank des Fahrzeugs befanden sich am Startpunkt genau 1000 ml Kraftstoff.

d)

Begründen Sie, dass der Term $1000 - \int_0^x k(z)\,\mathrm{d}z$ in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke den momentanen Tankinhalt liefert.

e)

Der durchschnittliche Funktionswert einer Funktion $g$ im Intervall $[a; b]$ kann mithilfe der folgenden Überlegung bestimmt werden:

Schließt der Graph von $g$ mit der $x$-Achse und den Geraden mit den Gleichungen $x = a$ und $x = b$ ein Flächenstück ein, so gibt es ein Rechteck der Länge $b - a$, das den gleichen Flächeninhalt wie das Flächenstück hat (vgl. Abbildung). Die Breite dieses Rechtecks stimmt mit dem Betrag des durchschnittlichen Funktionswerts von $g$ im Intervall $[a; b]$ überein.

Bestimmen Sie den durchschnittlichen Kraftstoffverbrauch des Fahrzeugs auf der gesamten 3 km langen Fahrt.

Zeigen Sie, dass sich der durchschnittliche Kraftstoffverbrauch des Fahrzeugs in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke mithilfe der Funktion $d$ mit $d(x) = \frac{5}{2}x^3 - 19x^2 + 36x + 66$ beschreiben lässt.

Im Oktober des Jahres 2000 wurden auf einer Waldfläche Fichten gepflanzt. Alle Fichten hatten zum Zeitpunkt der Pflanzung eine Höhe von $50\text{ cm}$.

Betrachtet wird die Rate des Höhenwachstums der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit. Diese Wachstumsrate wird für $t \ge 0$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ mit $$w(t) = 60 \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{3000}(t-40)^2}$$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und $w(t)$ die Wachstumsrate in Zentimeter pro Jahr $\left(\frac{\text{cm}}{\text{a}}\right)$. Die Abbildung zeigt den Graphen von $w$ für $t \ge 0$.

a)

Bestätigen Sie rechnerisch, dass die Wachstumsrate im Jahr 2040 am größten ist.

Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitraum in Jahren, in dem die Fichten mehr als $50\,\frac{\text{cm}}{\text{a}}$ wachsen.

Im Oktober des Jahres 2000 wurden auf einer Waldfläche Fichten gepflanzt. Alle Fichten hatten zum Zeitpunkt der Pflanzung eine Höhe von $50\text{ cm}$.

Betrachtet wird die Rate des Höhenwachstums der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit. Diese Wachstumsrate wird für $t \ge 0$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ mit $$w(t) = 60 \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{3000}(t-40)^2}$$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und $w(t)$ die Wachstumsrate in Zentimeter pro Jahr $\left(\frac{\text{cm}}{\text{a}}\right)$. Die Abbildung zeigt den Graphen von $w$ für $t \ge 0$.

b)

Begründen Sie die folgende Aussage:

Innerhalb der ersten 80 Jahre nach der Pflanzung sind für zwei beliebige Zeitpunkte, die den gleichen zeitlichen Abstand vom Oktober des Jahres 2040 haben, die zugehörigen Wachstumsraten gleich groß.

c)

Zu einer bestimmten Wachstumsrate ist der Zeitraum, in dem diese Wachstumsrate nicht unterschritten wird, genau 30 Jahre lang. Geben Sie diesen Zeitraum an und bestimmen Sie den Wert der Wachstumsrate. Veranschaulichen Sie Ihr Ergebnis in der Abbildung.

Im Oktober des Jahres 2000 wurden auf einer Waldfläche Fichten gepflanzt. Alle Fichten hatten zum Zeitpunkt der Pflanzung eine Höhe von $50\text{ cm}$.

Betrachtet wird die Rate des Höhenwachstums der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit. Diese Wachstumsrate wird für $t \ge 0$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ mit $$w(t) = 60 \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{3000}(t-40)^2}$$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und $w(t)$ die Wachstumsrate in Zentimeter pro Jahr $\left(\frac{\text{cm}}{\text{a}}\right)$. Die Abbildung zeigt den Graphen von $w$ für $t \ge 0$.

d)

Geben Sie die Bedeutung des Terms $\frac{1}{100} \cdot \left( 50 + \int_{0}^{60} w(t)\,\mathrm{d}t \right)$ im Sachzusammenhang an und begründen Sie Ihre Angabe. Skizzieren Sie die Höhe der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit beginnend mit dem Zeitpunkt der Pflanzung bis zum Jahr 2180.

In einem anderen Modell wird die Höhe der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h: t \mapsto 50 \cdot \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{10}t}}{\mathrm{e}^{\frac{1}{10}t} + 99}$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und $h(t)$ die Höhe in Metern. Der Graph von $h$ ist punktsymmetrisch bezüglich seines Wendepunkts $W$.

a

Bestimmen Sie die Koordinaten von $W$. (zur Kontrolle: $W(10\cdot\ln 99 \mid 25)$)

b

Eine Zeitschrift aus dem Jahr 1911 enthält folgenden Textabschnitt:

«Von unseren einheimischen Bäumen steht die Fichte hinsichtlich ihres Höhenwachstums obenan, und zwar mit 37 Zentimeter durchschnittlich im Jahre. Doch sind von Forstbeamten Ausnahmen beobachtet worden, in denen Fichten in einem Jahre bis zu 150 Zentimeter ihrer Länge zusetzten.»

(Quelle: Walther Kabel: Wachstumsgeschwindigkeit bei Pflanzen. In: Das Buch für Alle. Jahrgang 1911, Heft 1, Union Deutsche Verlagsgesellschaft. Stuttgart 1911, S. 23.)

Stellen Sie die durch die Funktion $h$ bestimmte maximale Wachstumsgeschwindigkeit in einen Zusammenhang mit den Angaben dieses Textabschnitts.

c

Das Höhenwachstum der Fichten kann für den Zeitraum von Oktober 2040 bis Oktober 2050 näherungsweise durch die Tangente an den Graphen von $h$ im Punkt $W$ beschrieben werden. Berechnen Sie die maximale prozentuale Abweichung im Vergleich zur Beschreibung mithilfe von $h$.

%

In einem anderen Modell wird die Höhe der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h: t \mapsto 50 \cdot \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{10}t}}{\mathrm{e}^{\frac{1}{10}t} + 99}$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und $h(t)$ die Höhe in Metern. Der Graph von $h$ ist punktsymmetrisch bezüglich seines Wendepunkts $W$.

d

Im betrachteten Modell lässt sich die zeitliche Entwicklung der Höhe der Fichten für die ersten 20 Jahre ab der Pflanzung näherungsweise durch die Funktion $n_1$ mit $n_1(t) = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{10}t}$ beschreiben. Gegeben sind zudem die folgenden Funktionsterme:

$$n_2(t) = n_1(t + 10 \cdot \ln 99) - 25$$ $$n_3(t) = -n_2(-t)$$ $$n_4(t) = n_3(t - 10 \cdot \ln 99) + 25$$

Begründen Sie, dass der Graph von $n_4$ zum Graphen von $n_1$ bezüglich des Punkts $W$ symmetrisch ist. Geben Sie die Bedeutung von $n_4$ im Sachzusammenhang an und begründen Sie Ihre Angabe.

Um den Verkaufswert eines Baumstamms zu bestimmen, wird dessen Durchmesser in einer Höhe von $1{,}3\text{ m}$ verwendet. Dieser Durchmesser wird als Brusthöhendurchmesser (BHD) bezeichnet.

a

Ein Fichtenstamm hat einen BHD von 40 cm. Sein Volumen vom Boden bis zu einer Höhe von 1,3 m beträgt $0{,}17\text{ m}^3$. Es soll davon ausgegangen werden, dass der Durchmesser des Stamms mit zunehmender Höhe linear abnimmt. Berechnen Sie den Durchmesser des Stamms in einer Höhe von 15 m.

Um den Verkaufswert eines Baumstamms zu bestimmen, wird dessen Durchmesser in einer Höhe von $1{,}3\text{ m}$ verwendet. Dieser Durchmesser wird als Brusthöhendurchmesser (BHD) bezeichnet.

b

Für BHD ab 10 cm kann der Verkaufspreis von Fichtenstämmen in Abhängigkeit vom BHD näherungsweise mithilfe einer quadratischen Funktion bestimmt werden. Der Tabelle kann für drei BHD der jeweilige Preis entnommen werden. Ermitteln Sie den Preis für einen Fichtenstamm mit einem BHD von 80 cm.

BHD

Preis

10 cm

0 €

40 cm

100 €

60 cm

250 €

€