Abitur Mecklenburg-Vorpommern Mathematik 2019 · LK · Teil A · Analytische Geometrie

Die Gerade $$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$$ mit $r \in \mathbb{R}$ und die Ebene $$E: x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 2$$ schneiden sich im Punkt $S$.

a

Berechnen Sie die Koordinaten von $S$. [3 BE]

$S\ ($

$|$

$|$

$)$

b

Der Punkt $P_1$ liegt auf $g$, aber nicht in $E$. Die Abbildung zeigt die Ebene $E$, die Gerade $g$ sowie einen Repräsentanten des Vektors $\vec{SP_1}$. Für den Punkt $P_2$ gilt $\vec{OP_2} = \vec{OP_1} - 4 \cdot \vec{SP_1}$, wobei $O$ den Koordinatenursprung bezeichnet. Zeichnen Sie die Punkte $S$, $P_1$ und $P_2$ in die Abbildung ein. [2 BE]

a

Die Ebene $E: 3x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 6$ enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten. [2 BE]

b

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

[3 BE]