Abitur Hessen Physik 2025 · LK · Temperaturmessung

Temperaturmessung mit einem elektromagnetischen Schwingkreis

Kapazitive Sensoren werden für verschiedenste Messzwecke, z. B. zur Druck- oder Abstandsmessung eingesetzt. Auch Temperaturen können mit geeigneten Kondensatoren gemessen werden. Als Modell eines kapazitiven Sensors wird ein Kondensator im elektromagnetischen Schwingkreis betrachtet.

Material 1: Modellversuch zum kapazitiven Sensor

Im ungedämpften elektromagnetischen Schwingkreis (siehe M 1) wird, nachdem der Kondensator vollständig aufgeladen ist, der Schalter S von Position 1 nach 2 bewegt.

a)

Beschreiben Sie die Energieumwandlungen innerhalb der ersten viertel Schwingungsperiode. [4 BE]

b)

Leiten Sie nachstehende Beziehung für die maximale Stromstärke $I_{\text{max}}$ im Schwingkreis her: $$I_{\text{max}} = \sqrt{\frac{C \cdot {U_{\text{max}}}^2}{L}}$$ [4 BE]

Temperaturmessung mit einem elektromagnetischen Schwingkreis

Kapazitive Sensoren werden für verschiedenste Messzwecke, z. B. zur Druck- oder Abstandsmessung eingesetzt. Auch Temperaturen können mit geeigneten Kondensatoren gemessen werden. Als Modell eines kapazitiven Sensors wird ein Kondensator im elektromagnetischen Schwingkreis betrachtet.

Material 1: Modellversuch zum kapazitiven Sensor

Bei konstanter Spannung $U_{\text{max}}$ ändert sich die gespeicherte Energie des Kondensators, wenn zwischen die Kondensatorplatten ein Dielektrikum gebracht wird.

Begründen Sie dies, ohne auf die Prozesse im Dielektrikum einzugehen. [3 BE]

Material 2: Messwerte für verschiedene Temperaturen des Dielektrikums

Der Plattenkondensator $C$ hat eine Plattenfläche von $A = 16{,}0\text{ cm}^2$ und einen Plattenabstand von $d = 5{,}00\text{ mm}$. Zwischen den Kondensatorplatten befindet sich destilliertes Wasser, dessen Temperatur verändert wird.

Tab. 1: Messwerte aus dem Zusammenhang zwischen Strom und Zeit bei verschiedenen Temperaturen

Nummer der Messung · 1 · 2 · 3 · 4

Temperatur $\vartheta$ in °C · 0 · 19 · 41 · 84

Kapazität $C$ in pF · · 228 · 205

Periodendauer $T$ in $\mu\text{s}$ · · 6,8 · 6,6

$T^2$ in $(\mu\text{s})^2$

Es wird nun im ungedämpften Schwingkreis Wasser als Dielektrikum untersucht. Gemessen wird der zeitliche Verlauf der Stromstärke $I(t)$ für vier verschiedene Temperaturen (siehe M 2).

a)

Ermitteln Sie die Periodendauer $T$ sowie die Kapazität $C$ für die Messungen 1 und 4 mithilfe von Material 2. Ergänzen Sie die Werte in Tabelle 1. Nutzen Sie auch die in Abbildung 4 dargestellte Abhängigkeit der relativen Dielektrizitätszahl von der Temperatur. Berechnen Sie zudem die Werte für $T^2$.

Nummer der Messung

1

2

3

4

Temperatur $\vartheta$ in °C

0

19

41

84

Kapazität $C$ in pF

228

205

Periodendauer $T$ in µs

6,8

6,6

$T^2$ in $(\mu\text{s})^2$

b)

Begründen Sie die Veränderung der Periodendauer $T$ und der Stromstärke $I_{\text{max}}$.

Material 2: Messwerte für verschiedene Temperaturen des Dielektrikums

Der Plattenkondensator $C$ hat eine Plattenfläche von $A = 16{,}0\text{ cm}^2$ und einen Plattenabstand von $d = 5{,}00\text{ mm}$. Zwischen den Kondensatorplatten befindet sich destilliertes Wasser, dessen Temperatur verändert wird.

Tab. 1: Messwerte aus dem Zusammenhang zwischen Strom und Zeit bei verschiedenen Temperaturen

Nummer der Messung · 1 · 2 · 3 · 4

Temperatur $\vartheta$ in °C · 0 · 19 · 41 · 84

Kapazität $C$ in pF · · 228 · 205

Periodendauer $T$ in $\mu\text{s}$ · · 6,8 · 6,6

$T^2$ in $(\mu\text{s})^2$

Der Versuchsaufbau aus Aufgabe 2 wird für die Temperaturmessung im Bereich von 15 °C bis 26 °C genutzt. Eine Auswerteelektronik soll über die Frequenzänderung im zeitlichen Verlauf der Stromstärke die aktuelle Temperatur auf ein Grad Celsius genau bestimmen.

Für eine Beurteilung, ob die geforderte Messgenauigkeit erreicht wird, muss zunächst die Induktivität $L$ der Spule bestimmt werden (M 2).

a)

Stellen Sie in einem Diagramm $T^2$ in Abhängigkeit von $C$ für die Messwerte aus Tabelle 1 dar. Bestimmen Sie aus der Darstellung die Induktivität $L$ der Spule.

[Kontrollwert: $L = 5{,}3\,\text{mH}$]

b)

Beurteilen Sie, ob der Aufbau für diesen Messbereich geeignet ist, wenn die Frequenzbestimmung mit einer Genauigkeit von $\Delta f = 1\,\text{kHz}$ erfolgt.

Material 3: Kapazitiver Temperatursensor CS-501

In Material 3 ist die Abhängigkeit der Kapazität von der Temperatur in K für einen industriellen kapazitiven Sensor dargestellt.

Beurteilen Sie die Eignung des Sensors für die Temperaturmessung unter Berücksichtigung von drei verschiedenen Temperaturbereichen.