Abitur Hamburg Mathematik 2023 · LK · Teil A · Analytische Geometrie

Gegeben sind die Punkte $A(3|5|5)$ und $B(1|1|1)$ sowie die Geraden $g$ und $h$, die sich in $B$ schneiden.

Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$, die Gerade $h$ den Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

1 Aufgabe

Gegeben ist das Gleichungssystem

$$\begin{matrix} \text{I} & 2x & & + & z & = & 0 \\ \text{II} & & -y & + & 2z & = & 0 \\ \text{III} & & 2y & + & bz & = & 1 \end{matrix}$$

mit $x, y, z \in \mathbb{R}$. Untersuchen Sie in Abhängigkeit von $b$ mit $b \in \mathbb{R}$ die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems; geben Sie gegebenenfalls die Lösungen an.

Gegeben sind die Punkte $A(3|5|5)$ und $B(1|1|1)$ sowie die Geraden $g$ und $h$, die sich in $B$ schneiden.

Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$, die Gerade $h$ den Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

a

Weisen Sie nach, dass $A$ auf $g$ liegt.

Gegeben sind die Punkte $A(3|5|5)$ und $B(1|1|1)$ sowie die Geraden $g$ und $h$, die sich in $B$ schneiden.

Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$, die Gerade $h$ den Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

b

Bestimmen Sie die Koordinaten zweier Punkte $C$ und $D$ so, dass $C$ auf $h$ liegt und das Viereck $ABCD$ eine Raute ist.

$C($ $|$ $|$ $)$

$D($ $|$ $|$ $)$

Gegeben sind die Punkte $A(3|5|5)$ und $B(1|1|1)$ sowie die Geraden $g$ und $h$, die sich in $B$ schneiden.

Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$, die Gerade $h$ den Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Gegeben ist die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}$.

a

Zeigen Sie, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x + y + z = 2$ liegt. [2 BE]

b

Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden $h_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $\mu \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}$. Weisen Sie nach, dass $g$ und $h_a$ für jeden Wert von $a$ windschief sind. [3 BE]

Gegeben sind die Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $r, s \in \mathbb{R}$.

Aufgabe 1

Betrachtet wird ein Dreieck $ABC$ mit $A(0|0|0)$ und $B(3|5|-4)$. Das Dreieck hat die folgenden Eigenschaften:

Das Dreieck ist sowohl gleichschenklig als auch rechtwinklig.

$\overline{AB}$ ist eine Kathete des Dreiecks.

Die zweite Kathete des Dreiecks liegt in der $x_1x_3$-Ebene.

Ermitteln Sie die Koordinaten eines Punkts, der für $C$ infrage kommt.

$C($ $|$ $|$ $)$

Gegeben sind die Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $r, s \in \mathbb{R}$.

a

Begründen Sie, dass $g$ und $h$ nicht identisch sind.

Gegeben sind die Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $r, s \in \mathbb{R}$.

b

Die Gerade $g$ soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade $h$ abgebildet werden. Bestimmen Sie eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutern Sie Ihr Vorgehen.