Abitur Hamburg Mathematik 2020 · LK · Teil A · Lineare Algebra

Auf einer Apfelplantage stehen Jungbäume, mäßigtragende Bäume und guttragende Bäume. Deren Anzahlen werden mit $J$, $M$ bzw. $G$ bezeichnet. Das Diagramm beschreibt modellhaft die Veränderung der Anzahlen dieser Bäume von einem Jahr zum nächsten; mäßigtragende und guttragende Bäume werden also teilweise durch Jungbäume ersetzt.

a

Beschreiben Sie für die im Diagramm genannten Zahlen $0{,}1$ und $0{,}9$ jeweils die Bedeutung im Sachzusammenhang. [1 BE]

b

Die Zusammensetzungen des Baumbestands können durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} J \\ M \\ G \end{pmatrix}$ dargestellt werden. Damit lässt sich die Veränderung der Anzahlen von einem Jahr $n$ zum nächsten im Modell durch eine Matrix $A$ und die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = A \cdot \vec{v}_n$ beschreiben. Es gibt eine Zusammensetzung mit $k$ Jungbäumen, $300$ mäßigtragenden Bäumen und $180$ guttragenden Bäumen, die sich zum folgenden Jahr nicht verändert. Bestimmen Sie die Werte von $r$, $s$ und $k$. [4 BE]

Aufgabe

Eine quadratische Matrix heißt spaltenstochastisch, wenn sie die beiden folgenden Eigenschaften hat:

Alle Einträge der Matrix sind reelle Zahlen, die größer oder gleich null sind.

Die Summe der Einträge jeder Spalte ist 1.

Zeigen Sie, dass das Quadrat einer spaltenstochastischen Matrix $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ebenfalls eine spaltenstochastische Matrix ist. [5 BE]