Abitur Hamburg Mathematik 2018 · LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR)

Die Punkte $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C(0|4|0)$ und $F(4|4|3)$ sind Eckpunkte des abgebildeten Quaders. Die Gerade $h$ verläuft durch $B$ und $F$.

Die Punkte der Gerade $h$ lassen sich durch $P_t(4|4|t)$ mit $t \in \mathbb{R}$ darstellen. Für jeden Wert von $t$ liegen $A$, $C$ und $P_t$ in der Ebene $E_t: t \cdot x_1 + t \cdot x_2 - 4 \cdot x_3 - 4t = 0$.

Der abgebildete Quader wird durch eine der Ebenen $E_t$ in zwei Teilkörper zerlegt. Die Seiten der Schnittfigur dieser Ebene und des Quaders sind in der Abbildung gepunktet dargestellt.

a)

Begründen Sie, dass das Dreieck $ABC$ rechtwinklig und gleichschenklig ist. Geben Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks an.

c)

Ermitteln Sie diejenigen Werte von $t$, für die die zugehörige Ebene $E_t$ mit der $x_1x_2$-Ebene einen Winkel der Größe $60^\circ$ einschließt.

e)

Berechnen Sie das Volumen desjenigen der beiden Teilkörper, zu dem der Punkt $B$ gehört, und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

g)

Die folgende Aussage stellt die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den bisher betrachteten geometrischen Objekten dar:

$$\left| \frac{t \cdot 4 + t \cdot 4 - 4 \cdot 0 - 4t}{\sqrt{t^2 + t^2 + 16}} \right| = 2 \Leftrightarrow t = -2\sqrt{2} \lor t = 2\sqrt{2}$$

Formulieren Sie eine dazu passende Aufgabenstellung.

Die Punkte $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C(0|4|0)$ und $F(4|4|3)$ sind Eckpunkte des abgebildeten Quaders. Die Gerade $h$ verläuft durch $B$ und $F$.

Die Punkte der Gerade $h$ lassen sich durch $P_t(4|4|t)$ mit $t \in \mathbb{R}$ darstellen. Für jeden Wert von $t$ liegen $A$, $C$ und $P_t$ in der Ebene $E_t: t \cdot x_1 + t \cdot x_2 - 4 \cdot x_3 - 4t = 0$.

Der abgebildete Quader wird durch eine der Ebenen $E_t$ in zwei Teilkörper zerlegt. Die Seiten der Schnittfigur dieser Ebene und des Quaders sind in der Abbildung gepunktet dargestellt.

b)

Geben Sie eine Gleichung der Gerade an, die durch $A$ und $C$ verläuft. Begründen Sie, dass diese Gerade windschief zur Gerade $h$ ist.

d)

Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Abbildung ermitteln kann, dass $t = 6$ ist.

f)

Es gibt Werte von $t$, für die die Schnittfigur des Quaders und der Ebene $E_t$ die Form eines Dreiecks hat. Geben Sie alle diese Werte von $t$ an und beschreiben Sie in Abhängigkeit von $t$ die Lage der Eckpunkte des Dreiecks.

Die Abbildung zeigt modellhaft wesentliche Elemente einer Kletteranlage: zwei horizontale Plattformen, die jeweils um einen vertikal stehenden Pfahl gebaut sind, sowie eine Kletterwand, die an einer der beiden Plattformen angebracht ist.

Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Untergrund; eine Längeneinheit entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit. Die Punkte, in denen die Pfähle aus dem Untergrund austreten, werden durch $P_1(0|0|0)$ und $P_2(5|10|0)$ dargestellt. Außerdem sind die Koordinaten der Eckpunkte $A(3|0|2)$, $B(0|3|2)$, $E(6|0|0)$, $F(0|6|0)$, $R(5|7|3)$, $S(8|13|3)$ und $T(2|10|3)$ gegeben. Die Materialstärke aller Bauteile der Anlage soll vernachlässigt werden.

a)

In den Mittelpunkten der oberen und unteren Kante der Kletterwand sind die Enden eines Seils befestigt, das $20\,\%$ länger ist als der Abstand der genannten Mittelpunkte. Berechnen Sie die Länge des Seils.

Die Punkte $A$, $B$, $E$ und $F$ liegen in der Ebene $L: 2x_1 + 2x_2 + 3x_3 - 12 = 0$.

b)

Zeigen Sie, dass die Kletterwand die Form eines Trapezes hat.

c)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt.

Über ein Kletternetz kann man von einer Plattform zur anderen gelangen. Die vier Eckpunkte des Netzes sind an den beiden Pfählen befestigt; einer der beiden unteren Eckpunkte am Pfahl 1 auf der Höhe der zugehörigen Plattform, der andere untere Eckpunkt oberhalb der Plattform 2. An jedem Pfahl beträgt der Abstand der beiden dort befestigten Eckpunkte des Netzes $1{,}80\,\text{m}$. Das Netz ist so gespannt, dass davon ausgegangen werden kann, dass es die Form eines ebenen Vierecks hat.

e)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Netzes.

Die Abbildung zeigt modellhaft wesentliche Elemente einer Kletteranlage: zwei horizontale Plattformen, die jeweils um einen vertikal stehenden Pfahl gebaut sind, sowie eine Kletterwand, die an einer der beiden Plattformen angebracht ist.

Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Untergrund; eine Längeneinheit entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit. Die Punkte, in denen die Pfähle aus dem Untergrund austreten, werden durch $P_1(0|0|0)$ und $P_2(5|10|0)$ dargestellt. Außerdem sind die Koordinaten der Eckpunkte $A(3|0|2)$, $B(0|3|2)$, $E(6|0|0)$, $F(0|6|0)$, $R(5|7|3)$, $S(8|13|3)$ und $T(2|10|3)$ gegeben. Die Materialstärke aller Bauteile der Anlage soll vernachlässigt werden.

d)

Auf die Anlage treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden beschrieben werden. Die Eckpunkte der Plattform 2 werden durch $R$, $S$ und $T$ dargestellt, die zugehörigen Eckpunkte des Schattens dieser Plattform durch $R'(4|2|0)$, $S'$ bzw. $T'(1|5|0)$. Zeigen Sie rechnerisch, dass $T'$ auf der Strecke $\overline{EF}$ liegt. Berechnen Sie die Koordinaten von $S'$ und stellen Sie den Schatten der Plattform 2 in der Abbildung grafisch dar.

f)

Die untere Netzkante berührt die Plattform 2 an der Seite, die durch $\overline{RT}$ dargestellt wird. Betrachtet wird der untere Eckpunkt des Netzes, der oberhalb der Plattform 2 befestigt ist. Berechnen Sie den Abstand dieses Eckpunkts von der Plattform 2.

Die beiden quadratischen Spielhälften eines Beachvolleyballfelds sind jeweils 8 m lang und breit. Sie werden durch ein Netz voneinander getrennt, dessen obere Kante 2,4 m über dem horizontalen Sandboden verläuft. Das Netz ist an zwei vertikal stehenden Pfosten befestigt, die 10 m voneinander entfernt sind. Die beiden Pfosten haben den gleichen Abstand von den seitlichen Begrenzungslinien des Spielfelds.

Für ein Computerspiel werden das Spielfeld, das Netz und eine Tribüne vereinfacht, aber maßstabsgetreu in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m in der Realität; die $x_1x_2$-Ebene beschreibt den Sandboden.

Die Punkte A, B, C und D sind die Eckpunkte des Spielfelds. Die beiden Strecken, die die Pfosten abbilden, enden in den Punkten E und $F(-1|8|2{,}4)$ an der Oberkante des Netzes. Die Tribüne wird durch ein Viereck dargestellt, dessen Eckpunkte $G(-4|0|0)$, $H(-4|16|0)$, $I(-10|20|4)$ und $J(-10|-4|4)$ in der Ebene $L: 2x_1 + 3x_3 = -8$ liegen.

a

Zeigen Sie, dass die Tribüne die Form eines Trapezes hat, in dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind. [3 BE]

b

In der Realität nimmt man an, dass pro Person $0{,}5\,\text{m}^2$ der Tribüne eingenommen werden. Ermitteln Sie die Anzahl der Zuschauer, die im Computerspiel dargestellt werden müssen, um eine voll besetzte Tribüne zu zeigen. [5 BE]

c

Berechnen Sie den Abstand des Punkts $F$ von der Ebene $L$. [3 BE]

d

Begründen Sie anhand einer geeigneten Zeichnung, dass kein Punkt des Vierecks, das die Tribüne darstellt, vom Punkt $F$ den gleichen Abstand wie die Ebene $L$ hat. [4 BE]

Die beiden quadratischen Spielhälften eines Beachvolleyballfelds sind jeweils 8 m lang und breit. Sie werden durch ein Netz voneinander getrennt, dessen obere Kante 2,4 m über dem horizontalen Sandboden verläuft. Das Netz ist an zwei vertikal stehenden Pfosten befestigt, die 10 m voneinander entfernt sind. Die beiden Pfosten haben den gleichen Abstand von den seitlichen Begrenzungslinien des Spielfelds.

Für ein Computerspiel werden das Spielfeld, das Netz und eine Tribüne vereinfacht, aber maßstabsgetreu in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m in der Realität; die $x_1x_2$-Ebene beschreibt den Sandboden.

Die Punkte A, B, C und D sind die Eckpunkte des Spielfelds. Die beiden Strecken, die die Pfosten abbilden, enden in den Punkten E und $F(-1|8|2{,}4)$ an der Oberkante des Netzes. Die Tribüne wird durch ein Viereck dargestellt, dessen Eckpunkte $G(-4|0|0)$, $H(-4|16|0)$, $I(-10|20|4)$ und $J(-10|-4|4)$ in der Ebene $L: 2x_1 + 3x_3 = -8$ liegen.

Im Folgenden wird der Ball im Modell vereinfachend als punktförmig angenommen.

e

Nach einem Angriffsschlag bewegt sich der Ball vom Punkt $(2|7{,}5|3)$ aus geradlinig in Richtung des Vektors $\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}$. Untersuchen Sie rechnerisch, ob der Ball das Netz berührt. [4 BE]

Ein Aufschlag wird hinter der parallel zum Netz verlaufenden Begrenzungslinie der von der Tribüne aus gesehen rechten Spielfeldhälfte ausgeführt. Anschließend kann die Bahn des Balls mithilfe der Punkte $X_t(3|12t - 1|-5t^2 + 4t + 2{,}8)$ beschrieben werden; dabei ist $t$ die seit dem Schlag vergangene Zeit in Sekunden. Auf dieser Bahn überfliegt der Ball das Netz.

f

Begründen Sie, dass sich der Ball in einer Ebene bewegt, und geben Sie eine Gleichung dieser Ebene an. [2 BE]

g

Untersuchen Sie, ob der Ball innerhalb des Spielfelds auf dem Boden auftrifft, wenn er nach dem Aufschlag von keinem Spieler berührt wird. [4 BE]