Abitur Bremen Mathematik 2023 · GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR)

Ein Anbau eines Gebäudes wird modellhaft durch das abgebildete Prisma mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(5|0|0)$, $C(5|4|0)$, $D(0|4|0)$, $E(0|0|4)$, $F(5|0|4)$, $G(5|3|3)$ und $H(0|3|3)$ beschrieben. Das Viereck EFGH stellt das Glasdach dar, das Viereck ABFE eine geschlossene Wand; die anderen Seiten des Anbaus bestehen vollständig aus Glas.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt den Untergrund, auf dem der Anbau steht.

a)

Begründen Sie, dass das Viereck BCGF ein Drachenviereck ist. [3 BE]

c)

Die Ebene $L$, in der die Punkte $A$, $B$ und $G$ liegen, hat die Gleichung $x_2 - x_3 = 0$. Begründen Sie, dass die Ebene $L$ eine Symmetrieebene des Körpers $ABCDEFGH$ ist. [3 BE]

d)

Die beiden folgenden Rechnungen I und II liefern das Volumen des Anbaus:

$$\text{I } 2\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3\cdot 5 = 60 \qquad \text{II } 3\cdot 5\cdot 4 = 60$$

Erläutern Sie für eine der beiden Rechnungen den zugrunde liegenden Gedankengang. [2 BE]

e)

Auf dem Glasdach kann ein Rollo herabgelassen werden. Dabei bewegt sich das Rollo innerhalb einer Minute von der oberen Kante des Dachs, die durch $\overline{EF}$ dargestellt wird, bis zur unteren Kante des Dachs.

cm/s

f)

Zu einem bestimmten Zeitpunkt kann das auf den Anbau treffende Sonnenlicht durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ -2\end{pmatrix}$ beschrieben werden.

°

Ein Anbau eines Gebäudes wird modellhaft durch das abgebildete Prisma mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(5|0|0)$, $C(5|4|0)$, $D(0|4|0)$, $E(0|0|4)$, $F(5|0|4)$, $G(5|3|3)$ und $H(0|3|3)$ beschrieben. Das Viereck EFGH stellt das Glasdach dar, das Viereck ABFE eine geschlossene Wand; die anderen Seiten des Anbaus bestehen vollständig aus Glas.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt den Untergrund, auf dem der Anbau steht.

b)

Die Ebene $L$, in der die Punkte $A$, $B$ und $G$ liegen, kann durch eine Gleichung der Form $r\cdot x_2 + s\cdot x_3 = 0$ dargestellt werden.

r =

s =

g)

Die geschlossene Wand sowie der Schatten, den das vollständig herabgelassene Rollo auf dieser Wand erzeugt, sollen – in Form einer gesonderten zweidimensionalen Zeichnung – in der $x_1x_3$-Ebene grafisch dargestellt werden. Die folgende Rechnung stellt einen wesentlichen Schritt zur Lösung dieser Aufgabe dar:

$$\begin{pmatrix}x_1 \\ 0 \\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 3 \\ 3\end{pmatrix} + \mu\cdot \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ -2\end{pmatrix} \text{ liefert } \mu = 3 \text{ und damit } (3|0|-3).$$

Die Abbildung 1 zeigt den Körper $ABCDEF$ mit $A(10|0|0)$, $B(0|7{,}5|0)$, $C(0|-7{,}5|0)$, $D(8|0|1)$, $E(0|3|3)$ und $F(0|-3|3)$. Das Dreieck $ABC$ wird als Grundfläche und das Dreieck $DEF$ als Deckfläche des Körpers bezeichnet. Die Deckfläche liegt in der Ebene $L$.

a

Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist. Begründen Sie, dass die Kante $\overline{\text{EF}}$ parallel zur Grundfläche liegt. [3 BE]

c

Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die $x_3$-Achse die Ebene $L$ schneidet. [3 BE]

d

Der Körper ABCDEF kann zu einer Pyramide mit der Grundfläche ABC und der Spitze $S$ (siehe Abbildung 1) ergänzt werden, wobei $D$, $E$ und $F$ auf Kanten der Pyramide liegen.

Berechnen Sie die Koordinaten von $S$. [3 BE] (zur Kontrolle: $S(0|0|5)$)

e

$S$ ist auch Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche DEF. Die Abbildung 2 zeigt in der $x_1x_3$-Ebene die Punkte $D$ und $S$ sowie den Mittelpunkt $M$ der Kante $\overline{\text{EF}}$. Begründen Sie, dass der Abstand von $S$ zur Ebene $L$ kleiner als 2 ist, und veranschaulichen Sie Ihre Begründung durch geeignete Eintragungen in der Abbildung 2. [3 BE]

f

Alle Punkte der Strecke $\overline{\text{DS}}$ lassen sich in der Form $D_t(8-8t|0|1+4t)$ mit $t \in [0;1]$ darstellen.

Die Abbildung 3 zeigt die Graphen I und II. Einer dieser Graphen stellt das Volumen des Körpers $\text{ABCD}_t\text{EF}$ in Abhängigkeit von $t$ dar. Geben Sie diesen Graphen an und begründen Sie Ihre Angabe. [4 BE]

Die Abbildung 1 zeigt den Körper $ABCDEF$ mit $A(10|0|0)$, $B(0|7{,}5|0)$, $C(0|-7{,}5|0)$, $D(8|0|1)$, $E(0|3|3)$ und $F(0|-3|3)$. Das Dreieck $ABC$ wird als Grundfläche und das Dreieck $DEF$ als Deckfläche des Körpers bezeichnet. Die Deckfläche liegt in der Ebene $L$.

b

Bestimmen Sie eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $x_1 + 4x_3 = 12$)