Abitur Bremen Mathematik 2019 · LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS)

Kurzbeschreibung

Anforderungsniveau · Prüfungsteil · Sachgebiet · digitales Hilfsmittel

erhöht · B · AG/LA (A2) · CAS

Aufgabe

Ein Logistikunternehmen testet auf einer Strecke zwischen Festland und einer Insel die Paketzustellung mithilfe eines Flugkörpers, einer sogenannten Drohne. In einem kartesischen Koordinatensystem wird das horizontale Gelände, über dem sich die Drohne bewegt, modellhaft durch die $x_1x_2$-Ebene dargestellt, die Lage des Startplatzes durch den Punkt $S(7320 \mid -1750 \mid 0)$ und die Lage des regulären Landeplatzes durch den Punkt $L(-990 \mid 6990 \mid 0)$. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Die Drohne soll über dem Startplatz zunächst vertikal aufsteigen, bis sie eine Höhe von $50\text{ m}$ erreicht hat, und anschließend geradlinig in konstanter Höhe und mit konstanter Geschwindigkeit in die Richtung des Landeplatzes fliegen.

a)

Begründen Sie, dass die vorgesehene horizontale Flugbahn der Drohne im Modell entlang der Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7320 \\ -1750 \\ 50 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -8310 \\ 8740 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$ verläuft.

b)

100 Sekunden nachdem die Drohne die Höhe von $50\text{ m}$ erreicht hat, wird ihre Position durch den Punkt $P(6489 \mid -876 \mid 50)$ dargestellt.

Zeigen Sie, dass sich die Drohne auf der vorgesehenen Flugbahn befindet. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts, der die Position der Drohne nach weiteren 200 Sekunden Flugzeit auf der vorgesehenen Flugbahn darstellt.

g)

Nach der Landung auf dem Ausweichplatz steuert die Drohne eine Position an, die sich in einer Höhe von $50\text{ m}$ befindet und vom Startplatz, vom regulären Landeplatz und von der Bodenstation gleich weit entfernt ist. Diese Position wird durch den Punkt $R$ beschrieben.

Die Ebene $E$ enthält alle Punkte, die von $S$ und $L$ den gleichen Abstand haben. Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

h)

Stellen Sie die Ebene $E$ in der Abbildung dar. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem unter Verwendung der Abbildung die Koordinaten von $R$ ermittelt werden könnten. Veranschaulichen Sie das Verfahren in der Abbildung.

Kurzbeschreibung

Anforderungsniveau · Prüfungsteil · Sachgebiet · digitales Hilfsmittel

erhöht · B · AG/LA (A2) · CAS

Aufgabe

Ein Logistikunternehmen testet auf einer Strecke zwischen Festland und einer Insel die Paketzustellung mithilfe eines Flugkörpers, einer sogenannten Drohne. In einem kartesischen Koordinatensystem wird das horizontale Gelände, über dem sich die Drohne bewegt, modellhaft durch die $x_1x_2$-Ebene dargestellt, die Lage des Startplatzes durch den Punkt $S(7320 \mid -1750 \mid 0)$ und die Lage des regulären Landeplatzes durch den Punkt $L(-990 \mid 6990 \mid 0)$. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Die Drohne soll über dem Startplatz zunächst vertikal aufsteigen, bis sie eine Höhe von $50\text{ m}$ erreicht hat, und anschließend geradlinig in konstanter Höhe und mit konstanter Geschwindigkeit in die Richtung des Landeplatzes fliegen.

c)

100 Sekunden nachdem die Drohne die Höhe von $50\text{ m}$ erreicht hat, wird ihre Position durch den Punkt $P(6489 \mid -876 \mid 50)$ dargestellt.

Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Drohne während des horizontalen Flugs.

d)

Die Drohne soll ihren Weg zum Landeplatz selbstständig zurücklegen können. Während der Testphase wird ihr Flug jedoch von einer Bodenstation aus überwacht und die Flugbahn bei Bedarf korrigiert. Die Position der Bodenstation wird durch den Punkt $B(0|0|0)$ dargestellt, ihre Reichweite beträgt $6000\text{ m}$.

Weisen Sie nach, dass sich die Drohne auf dem horizontalen Teil der vorgesehenen Flugbahn über eine Strecke von mehr als $8{,}5\text{ km}$ innerhalb der Reichweite der Bodenstation befindet.

e)

Einer Korrektur der Bodenstation folgend weicht die Drohne im Modell im Punkt $Q(3996 \mid 1746 \mid 50)$ von der vorgesehenen Flugbahn ab und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von $5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ geradlinig auf einen Ausweichlandeplatz zu, der durch den Punkt $A(4050 \mid 1810 \mid 0)$ dargestellt wird.

Bestimmen Sie die Größe des Neigungswinkels der Flugbahn gegenüber dem Gelände beim Anflug auf den Ausweichlandeplatz.

f)

Berechnen Sie, um wie viele Meter sich die Flughöhe pro Sekunde verringert.

Die Abbildung zeigt den Körper $ABCDEF$ mit $B(4{,}5|0|0)$, $D(0|0|12)$, $E(4{,}5|0|9)$ und $F(0|6|10{,}5)$. Die Grundfläche liegt in der $x_1x_2$-Ebene, die Seitenflächen stehen dazu senkrecht. Die Punkte $G$ und $H$ liegen auf den Kanten $\overline{AD}$ bzw. $\overline{CF}$ und haben die gleiche $x_3$-Koordinate wie $E$.

Betrachtet wird die Ebene $$W: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} \quad \text{mit } r, s \in \mathbb{R}.$$

a)

Begründen Sie, dass das Viereck $DGHF$ ein Trapez ist, und bestimmen Sie das Volumen des Teilkörpers $DGHFE$.

b)

Der Punkt $M(m_1 \mid m_2 \mid 0)$ hat von allen Seiten des Dreiecks $ABC$ den gleichen Abstand.

Begründen Sie, dass $m_1 = m_2$ gilt.

c)

Die Gleichungen I und II liefern gemeinsam die Lösung einer Aufgabe:

$$\text{I } \left|\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} m_1 \\ m_1 \\ 0 \end{pmatrix}\right| = m_1 \qquad \text{II } \left(\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} m_1 \\ m_1 \\ 0 \end{pmatrix}\right) \circ \begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$$

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und erläutern Sie die beiden Gleichungen.

f)

Betrachtet wird zudem die Schar der Geraden $g_u: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 6 - 6u \\ 12u \end{pmatrix}$ mit $u \in \mathbb{R}$ und $t \in \mathbb{R}$.

Ermitteln Sie diejenigen Werte von $u$, für die $g_u$ die $x_1x_2$-Ebene jeweils unter einem Winkel der Größe $30^\circ$ schneidet.

Die Abbildung zeigt den Körper $ABCDEF$ mit $B(4{,}5|0|0)$, $D(0|0|12)$, $E(4{,}5|0|9)$ und $F(0|6|10{,}5)$. Die Grundfläche liegt in der $x_1x_2$-Ebene, die Seitenflächen stehen dazu senkrecht. Die Punkte $G$ und $H$ liegen auf den Kanten $\overline{AD}$ bzw. $\overline{CF}$ und haben die gleiche $x_3$-Koordinate wie $E$.

Betrachtet wird die Ebene $$W: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} \quad \text{mit } r, s \in \mathbb{R}.$$

Betrachtet wird die Ebene $W: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix}$ mit $r, s \in \mathbb{R}$.

d)

Bestimmen Sie die Koordinaten der beiden Schnittpunkte von $W$ mit den Kanten $\overline{AD}$ und $\overline{CF}$. Zeichnen Sie in die Abbildung die Figur ein, in der $W$ den Körper $ABCDEF$ schneidet.

e)

Die Ebene $W$ schneidet die Strecke $\overline{GH}$. Bestimmen Sie rechnerisch das Verhältnis, in dem der Schnittpunkt diese Strecke teilt.

g)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage falsch ist:

Jeder Punkt der Ebene $W$ liegt auf einer Gerade der Schar.