Abitur Bremen Mathematik 2017 · LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR)

Ein Turm auf einem Spielplatz besteht aus vier $4{,}50\text{ m}$ langen, vertikal stehenden Pfosten, vier horizontalen Balken und einem Dach in Form einer geraden Pyramide. Die Abbildung zeigt den Turm schematisch. Die Dicke der Bauteile des Turms soll vernachlässigt werden.

In einem kartesischen Koordinatensystem können die Enden der Pfosten für einen Wert von $z$ mit $z \in \mathbb{R}$ modellhaft durch die Punkte $A(2|-3|z)$, $B$, $C$ und $D(-3|-2|z)$ sowie $E(2|-3|4)$, $F(3|2|4)$, $G(-2|3|4)$ und $H$ dargestellt werden, die Spitze des Dachs durch den Punkt $S(0|0|5)$. Dabei beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den Untergrund; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

a)

Geben Sie an, wie tief die Pfosten in den Untergrund hineinreichen.

b)

Geben Sie die Koordinaten des Punkts $H$ an. Weisen Sie nach, dass das Viereck $EFGH$ ein Quadrat ist.

c)

Begründen Sie, dass die Pyramide $EFGHS$ symmetrisch bezüglich der $x_3$-Achse ist.

f)

Zur Stabilisierung des Turms wurden zusätzliche Balken mit einer Länge von $2{,}10\text{ m}$ verwendet. Ein solcher Balken ist mit einem Ende in einer Höhe von $3{,}50\text{ m}$ über dem Untergrund an einem der vertikal stehenden Pfosten befestigt, mit dem anderen Ende an einem der beiden darauf liegenden horizontalen Balken. Der obere Befestigungspunkt teilt den horizontalen Balken in zwei Abschnitte. Bestimmen Sie das Verhältnis der Längen der beiden Abschnitte.

g)

Es soll eine vertikale Kletterstange aufgestellt werden, deren Fußpunkt im Modell durch einen Punkt $P$ der $x_1x_2$-Ebene beschrieben wird. Die Kletterstange soll von dem Pfosten, der durch $\overline{AE}$ dargestellt wird, doppelt so weit entfernt sein wie von dem Pfosten, der durch $\overline{BF}$ dargestellt wird. Bestimmen Sie für zwei mögliche Positionen der Kletterstange jeweils die Koordinaten von $P$.

Ein Turm auf einem Spielplatz besteht aus vier $4{,}50\text{ m}$ langen, vertikal stehenden Pfosten, vier horizontalen Balken und einem Dach in Form einer geraden Pyramide. Die Abbildung zeigt den Turm schematisch. Die Dicke der Bauteile des Turms soll vernachlässigt werden.

In einem kartesischen Koordinatensystem können die Enden der Pfosten für einen Wert von $z$ mit $z \in \mathbb{R}$ modellhaft durch die Punkte $A(2|-3|z)$, $B$, $C$ und $D(-3|-2|z)$ sowie $E(2|-3|4)$, $F(3|2|4)$, $G(-2|3|4)$ und $H$ dargestellt werden, die Spitze des Dachs durch den Punkt $S(0|0|5)$. Dabei beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den Untergrund; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

d)

Die Punkte $E$, $F$ und $S$ liegen in einer Ebene $L$. Bestimmen Sie eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform.

e)

An der Spitze des Dachs ist eine gerade Stange befestigt, deren oberer Endpunkt im Modell durch einen Punkt $T$ dargestellt wird. Auf den Turm treffendes Sonnenlicht lässt sich im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\vec{v}$ beschreiben. Der Schatten der Stange liegt vollständig auf der Dachfläche, die durch das Dreieck $EFS$ beschrieben wird. Beschreiben Sie, wie man die Länge dieses Schattens berechnen kann, wenn die Koordinaten von $T$ und $\vec{v}$ bekannt sind.

In einem kartesischen Koordinatensystem ist das Viereck $ABCD$ mit $A(0|0|1)$, $B(2|6|1)$, $C(-4|8|5)$ und $D(-6|2|5)$ gegeben. Der Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks wird mit $M$ bezeichnet.

Solarmodule werden auf einem Trägergestell montiert, das an einem vertikal stehenden Metallrohr befestigt ist. Die gesamte Fläche der Solarmodule wird zu einem bestimmten Zeitpunkt modellhaft durch das Rechteck $ABCD$ dargestellt. Das Metallrohr lässt sich im Modell durch eine Strecke beschreiben, der Befestigungspunkt am Trägergestell durch den Punkt $M$ (vgl. Abbildung). Im Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht $0{,}8\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

a)

Begründen Sie, dass die Gerade $AB$ parallel zur $x_1x_2$-Ebene verläuft. [2 BE]

c)

Das Rechteck $ABCD$ liegt in einer Ebene $E$. Ermitteln Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. [4 BE]

(zur Kontrolle: $3x_1 - x_2 + 5x_3 - 5 = 0$)

In einem kartesischen Koordinatensystem ist das Viereck $ABCD$ mit $A(0|0|1)$, $B(2|6|1)$, $C(-4|8|5)$ und $D(-6|2|5)$ gegeben. Der Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks wird mit $M$ bezeichnet.

Solarmodule werden auf einem Trägergestell montiert, das an einem vertikal stehenden Metallrohr befestigt ist. Die gesamte Fläche der Solarmodule wird zu einem bestimmten Zeitpunkt modellhaft durch das Rechteck $ABCD$ dargestellt. Das Metallrohr lässt sich im Modell durch eine Strecke beschreiben, der Befestigungspunkt am Trägergestell durch den Punkt $M$ (vgl. Abbildung). Im Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht $0{,}8\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

b)

Weisen Sie nach, dass das Viereck $ABCD$ ein Rechteck ist. Geben Sie die Koordinaten von $M$ an.

d)

Im Sinne eines möglichst großen Energieertrags sollte die Größe des Neigungswinkels $\varphi$ der Modulfläche gegenüber der Horizontalen zwischen $30^\circ$ und $36^\circ$ liegen. Prüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist.

°

Ja

Nein

e)

Zum betrachteten Zeitpunkt fällt das Sonnenlicht, das im Modell durch parallele Geraden dargestellt wird, senkrecht auf die Fläche der Solarmodule. Diese Fläche erzeugt auf dem horizontalen Untergrund einen rechteckigen Schatten. Begründen Sie unter Verwendung einer geeignet beschrifteten Skizze, dass der Flächeninhalt des Schattens mithilfe des Terms $|\vec{AB}| \cdot \frac{|\vec{AD}|}{\cos\varphi} \cdot (0{,}8\,\mathrm{m})^2$ berechnet werden kann.

f)

Um die Solarmodule während eines Tages ständig möglichst gut nach der Sonneneinstrahlung ausrichten zu können, lässt sich das Metallrohr mit dem Trägergestell um die Längsachse des Rohrs drehen. Die Neigung des Trägergestells bleibt dabei unverändert.

Betrachtet wird der untere linke Eckpunkt der Modulfläche, der im Modell durch den Punkt $A$ dargestellt wird. Berechnen Sie den Radius des Kreises, auf dem sich dieser Eckpunkt bei der Drehung des Metallrohrs bewegt.

g)

Begründen Sie ohne zu rechnen, dass der in Teilaufgabe f ermittelte Radius entsprechend auch für den unteren rechten Eckpunkt der Modulfläche gilt.

Eine Radarstation überwacht die Bewegung eines Flugzeugs. Die Bewegung kann modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden, dessen $x_1x_2$-Ebene die Horizontale beschreibt; eine Längeneinheit entspricht einem Kilometer in der Realität. Der Standort der Radarstation wird durch den Punkt $R(18|0|-1)$ beschrieben.

Zu Beginn der Beobachtung um 14.00 Uhr wird die Position des Flugzeugs durch den Punkt $A(0|0|0)$ beschrieben. Anschließend bewegt es sich im Modell entlang einer Geraden durch den Punkt $B(8|4|1)$, der die Position um 14.02 Uhr darstellt. Ab 14.14 Uhr fliegt das Flugzeug in gleicher Himmelsrichtung horizontal weiter; im Modell bleibt es dabei in der Ebene, die die Punkte $A$ und $B$ enthält und zur $x_1x_2$-Ebene senkrecht steht. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass das Flugzeug von 14.00 Uhr bis 14.14 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit fliegt.

a)

Berechnen Sie für die Zeit bis 14.14 Uhr die Größe des Steigungswinkels der Flugbahn gegenüber der Horizontalen. Geben Sie die Koordinaten des Punkts an, der die Position des Flugzeugs um 14.10 Uhr darstellt.

°

(

|

|

)

b)

Die Abbildung zeigt schematisch die Flugbahn des Flugzeugs sowie die Horizontale. Zeichnen Sie die Positionen des Flugzeugs zu den Zeitpunkten 14.02 Uhr und 14.10 Uhr ein.

c)

Ermitteln Sie für die Zeit bis 14.14 Uhr die Geschwindigkeit des Flugzeugs in Kilometer pro Stunde.

Zu einem bestimmten Zeitpunkt zwischen 14.00 Uhr und 14.14 Uhr ist die Entfernung des Flugzeugs von der Radarstation am geringsten. Die bis dahin seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit soll in Minuten bestimmt werden. Dafür werden zwei verschiedene Lösungsansätze I und II betrachtet:

I

$$d(s) = \left| \begin{pmatrix} 18 - 8s \\ -4s \\ -1 - s \end{pmatrix} \right| = \sqrt{81s^2 - 286s + 325}$$

$$d'(s) = 0$$

II

$$\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 18 - 8s \\ -4s \\ -1 - s \end{pmatrix} = 0$$

e)

Erläutern Sie jeden der beiden Lösungsansätze.

f)

Setzen Sie einen der beiden Ansätze bis zur Lösung fort und bestimmen Sie die geringste Entfernung des Flugzeugs von der Radarstation.

g)

Ist das Flugzeug mehr als 70 km von der Radarstation entfernt, so kann es von dieser nicht mehr erfasst werden. Die Position, an der das Flugzeug nach 14.14 Uhr den Erfassungsbereich der Radarstation verlässt, wird im Modell durch einen Punkt dargestellt. Ermitteln Sie die Koordinaten dieses Punkts.

(

|

|

)

Eine Radarstation überwacht die Bewegung eines Flugzeugs. Die Bewegung kann modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden, dessen $x_1x_2$-Ebene die Horizontale beschreibt; eine Längeneinheit entspricht einem Kilometer in der Realität. Der Standort der Radarstation wird durch den Punkt $R(18|0|-1)$ beschrieben.

Zu Beginn der Beobachtung um 14.00 Uhr wird die Position des Flugzeugs durch den Punkt $A(0|0|0)$ beschrieben. Anschließend bewegt es sich im Modell entlang einer Geraden durch den Punkt $B(8|4|1)$, der die Position um 14.02 Uhr darstellt. Ab 14.14 Uhr fliegt das Flugzeug in gleicher Himmelsrichtung horizontal weiter; im Modell bleibt es dabei in der Ebene, die die Punkte $A$ und $B$ enthält und zur $x_1x_2$-Ebene senkrecht steht. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass das Flugzeug von 14.00 Uhr bis 14.14 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit fliegt.

d)

Geben Sie eine Gleichung der Strecke an, die die Flugbahn von 14.00 Uhr bis 14.14 Uhr beschreibt.